华东师大版
第二十七章 二次函数
教学目标：
1． 探索具体问题中的数量关系和变化规律．
2． 结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念． 3． 会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质． 4． 会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴． 5． 会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解．
6． 会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题．
重点：解二次函数的有关概念
难点：解二次函数的有关概念的应用
27．1 二次函数
本节知识点
通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义． 教学过程
（1）正方形边长为a （cm ），它的面积s （cm 2）是多少？
（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x 厘米，则面积增加y 平方厘米，试写出y 与x 的关系式．
请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义． [实践与探索]
例1． m 取哪些值时，函数)1()(2
2
+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数？
分析 若函数)1()(2
2
+++-=m mx x m m y 是二次函数，须满足的条件是：02
≠-m m ．
解 若函数)1()(2
2
+++-=m mx x m m y 是二次函数，则 02
≠-m m ． 解得 0≠m ，且1≠m ．
因此，当0≠m ，且1≠m 时，函数)1()(2
2+++-=m mx x m m y 是二次函数． 回顾与反思 形如c bx ax y ++=2
的函数只有在0≠a 的条件下才是二次函数．
探索 若函数)1()(22
+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数，则m 取哪些值？
例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．
（1）写出正方体的表面积S （cm 2）与正方体棱长a （cm ）之间的函数关系； （2）写出圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系；
（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y （元）与所存年数x 之间的函数关系；
（4）菱形的两条对角线的和为26cm ，求菱形的面积S （cm 2）与一对角线长x （cm ）之间的函数关系． 解 （1）由题意，得 )0(62
>=a a S ，其中S 是a 的二次函数；
（2）由题意，得 )0(42
>=x x y π
，其中y 是x 的二次函数； （3）由题意，得 10000%98.110000⋅+=x y （x ≥0且是正整数），
其中y 是x 的一次函数； （4）由题意，得 )260(132
1
)26(212<<+-=-=
x x x x x S ，其中S 是x 的二次函数． 例3．正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一
个无盖的盒子．
(1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积． 解 （1）)2
150(42254152
22<
<-=-=x x x S ； （2）当x=3cm 时，189342252
=⨯-=S （cm 2）． [当堂课内练习]
1．下列函数中，哪些是二次函数？ （1）02
=-x y （2）2
)1()2)(2(---+=x x x y
（3）x
x y 1
2+
= （4）322-+=x x y 2．当k 为何值时，函数1)1(2
+-=+k
k
x k y 为二次函数？
3．已知正方形的面积为)(2
cm y ，周长为x （cm ）． (1)请写出y 与x 的函数关系式； (2)判断y 是否为x 的二次函数． [本课课外作业]
A 组
1． 已知函数7
2
)3(--=m
x m y 是二次函数，求m 的值．
2． 已知二次函数2
ax y =，当x=3时，y= -5，当x= -5时，求y 的值．
3． 已知一个圆柱的高为27，底面半径为x ，求圆柱的体积y 与x 的函数关系式．若圆柱的底面半径x 为
3，求此时的y ．
4． 用一根长为40 cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积y 与它的半径x 之间的函数关系式．这
个函数是二次函数吗？请写出半径r 的取值范围．
B 组
5．对于任意实数m ，下列函数一定是二次函数的是 （ ） A ．2
2
)1(x m y -= B ．2
2
)1(x m y += C ．2
2
)1(x m y += D ．2
2
)1(x m y -= 6．下列函数关系中，可以看作二次函数c bx ax y ++=2
（0≠a ）模型的是 （ ）
A ． 在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B ． 我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系
C ． 竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
D ． 圆的周长与圆的半径之间的关系
课堂小结：
教学反思：
