北师大版七年级数学下册专题训练系列（附解析
专训3几何计数的四种常用方法名师点金：
1.对于几何中的计数问题，掌握一定的方法能够让我们准确、高效地得出结果，常见的计数方法有：按顺序计数、按画图计数、按基本图形计数、按从特殊到一般的思想方法计数．
2．计数的原则是不重复、不遗漏．
按顺序计数问题
1．(1)如图①，直线l上有2个点，则图中有2条可用图中字母表示的射线，有1条线段；
(第1题)
(2)如图②，直线l上有3个点，则图中有________条可用图中字母表示的射线，有________条线段；
(3)如图③，直线l上有n个点，则图中有_______ 条可用图中字母表示的射线，有_________ 条线段；
(4)应用(3)中发现的规律解决问题：某校七年级共有6个班进行足球比赛，准备进行单循环赛(即每两个班之间赛一场)，预计全部赛完共需________场比赛．
按画图计数问题
2．请你画图说明同一平面内的4条直线的位置关系，它们分别
有几个交点？
3．在同一平面内有10条直线，无任何三线共点，要使它们恰好有31个交点，请你画出示意图．
按基本图形计数问题
4．如图，一组互相平行的直线有6条，它们和两条平行线a，b 都相交，构成若干个“#”形，则此图中共有多少个“#”形？
(第4题)
按从特殊到一般的思想方法计数问题
5．观察如图所示的图形，寻找对顶角(不含平角)．
(第5题)
(1)两条直线相交于一点，如图①所示，共有________对对顶角；
(2)三条直线相交于一点，如图②所示，共有________对对顶角；
(3)四条直线相交于一点，如图③所示，共有________对对顶角；
……
(4)根据以上结果探究：当n条直线相交于一点时，所构成的对顶角有____________对；
(5)根据探究结果，求2 016条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数．
6．同一平面内n 条直线最多将平面分成多少个部分？
答案
1．(2)4；3 (3)(2n －2)；n
2(n －1) (4)15
2．解：图①有0个交点，图②有1个交点，图③、图④有3个交点，图⑤、图⑥有4个交点，图⑦有5个交点，图⑧有6个交点．
(第2题)
3．解：如图．
(第3题)
4．解：以一个“#”形为基本图形的有5个，以两个“#”形为基本图形的有4个，以三个“#”形为基本图形的有3个，以四个“#”形为基本图形的有2个，以五个“#”形为基本图形的有1个，所以共有5＋4＋3＋2＋1＝15(个)．
5．解：(1)2(2)6(3)12(4)n(n－1)
(5)当2 016条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数为2 016×(2 016－1)＝2 016×2 015＝4 062 240.
, 方法规律)：本题运用了从特殊到一般的思想，前三题可
以直接数出对顶角的对数．根据前三题中的结果，探究出一般规律，再运用规律来解决最后一个问题．
6．解：首先画图如图所示，列表如下：
(第6题)
当n ＝1时，平面被分成2个部分；
当n ＝2时，最多增加2个，分成2＋2＝4(个)部分； 当n ＝3时，最多增加3个，分成2＋2＋3＝7(个)部分； 当n ＝4时，最多增加4个，分成2＋2＋3＋4＝11(个)部分；…； 所以当n 条直线时，最多分成2＋2＋3＋4＋…＋n ＝1＋1＋2＋3＋4＋…＋n ＝1＋n （n ＋1）2＝n 2＋n ＋22
(个)部分．
