微积分(上)期末考试试题A卷(附答案)

(5)描点作图 略2分
六、证明题（每题5分，共计10分）
1、设函数 在 上连续，且 在 内是常数，证明 在 上的表达式为
证明：设 在（a，b）内任取一点x，在区间[a，x]上由拉格朗日中值定理有： 2分
则 2分
当x=a时，上式也成立。1分
2、设函数 在 上可导，且 证明 在 内仅有一个零点。
证明：在 内任取一点x，则
3分
令 ，由f（x）的单调性和零值定理知原命题成立。2分
一、 选择题 (选出每小题的正确选项，每小题２分，共计10分)
1． _________。
（A ） -（B ） +（C） 0 （D） 不存在
2．当 时， 的极限为_________。
（A ） ห้องสมุดไป่ตู้ （B ） 1 （C ）2 （D） 不存在
3．下列极限存在，则成立的是_________。
4．设f（x）有二阶连续导数，且
（A ） 极小值 （B ）极大值（ C ）拐点 （D） 不是极值点也不是拐点
5．若 则下列各式成立。
二、填空题（每小题3分，共18分）
1. 设 ，那么曲线 在原点处的切线方程是__________。
２．函数 在区间[0，3]上满足罗尔定理，则定理中的=。
3．设 。
4．设 那么2阶导函数
5．设某商品的需求量Ｑ是价格Ｐ的函数 ，那么在Ｐ＝４的水平上，若价格
（2）求使销售利润最大的商品单价。
五、（12分）作函数 的图形
六、证明题（每题5分，共计10分）
1、设函数 在 上连续，且 在 内是常数，证明 在 上的表达式为
2、设函数 在 上可导，且 证明 在 内仅有一个零点。
《微积分》（上）期末考试试卷答案(A)
一、 选择题 (选出每小题的正确选项，每小题２分，共计10分)
6、解： 2分
2分
2分
7、设函数f(x)具有二阶连续导数，且f（0）=0, 又 ，
求
解： ，这时 连续2分
3分
所以 1分
四、（8分）假设某种商品的需求量Q是单价P（单位元）的函数：Q=1200-8P；商品的总成本C是需求量Q的函数：C=2500+5Q。
（3）求边际收益函数MR和边际成本函数MC；
（4）求使销售利润最大的商品单价。
1．C；2． D；3.B C; 4.A; 5.B C.
二、填空题（每小题3分，共18分）
1. ２．23．
4．X=2,极小值 5．上升2%6．
三、计算题（每小题6分，共42分）：
1、求
解：令 ，则
3、
解：原式=
3、设
解：由 3分
得a=0，b=-2，c取任意实数。3分
4解： 3分
3分
5、解 2分
2分
2分
下降1％，需求量将。
6．若 且 。
三、计算题（每小题6分，共42分）：
1、求
2、
3、设
4、
5、
6、
7、设函数f(x)具有二阶导数，且f（0）=0, 又 ，求 。
四、（8分）假设某种商品的需求量Q是单价P（单位元）的函数：Q=1200-8P；商品的总成本C是需求量Q的函数：C=2500+5Q。
（1）求边际收益函数和边际成本函数；
解：（1） 3分
（2）利润函数
1分
2分
P=155/2时利润最大。2分
五、（12分）作函数 的图形
答案： （1）定义域是 是间断点1分
（2）渐近线
因 故y=0为水平渐近线
因 故x=1为垂直渐近线2分
(3)单调性、极值、凹凸及拐点
令 得x=0
令 得
再列表
是极小值；拐点是 .6分
(4)选点当 时，y=0;当 时,y=8;当x=2时,y=3；当x=3时， 1分