浙教版八下数学各章节知识点及重难点
第一章二次根式（徐旺红老师整理）
知识点一：二次根式的概念
二次根式的定义：形如√a（a≥0）的代数式叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
知识点二：取值范围
1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0
时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只
要使被开方数大于或等于零即可。
2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a
﹤0时，没有意义。
知识点三：二次根式（）的非负性
（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一
个非负数，即0（）。
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注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术
平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
知识点四：二次根式（）的性质
（）
文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.
知识点五：二次根式的性质
文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注：
2
1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，
若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；
2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一
定有意义；
3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六：与的异同点
1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a
的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；
在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，，而
2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，
无意义，而.
知识点七:最简二次根式：必须同时满足下列条件：
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。满足这三个条件的二次根式称为最简二次根式。
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知识点八:同类二次根式：
化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式称为同类二次根式。
知识点九:二次根式的运算：
（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。
注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
二次根式的乘法：
二次根式的除法：
注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．
4
5
强调：二次根式具有双重非负性。 （4）二次根式的混合运算：
先乘方（或开方），再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算．
注意：进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，以便使运算过程简便．二次根式运算结果应尽可能化简．另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数．例如
不能写成
．
（5）有理化因式：
一般常见的互为有理化因式有如下几类： ①与； ②
与
；
③
与
； ④
与
．
说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化． （6）分母有理化：
分母有理化也称为有理化分母。就是将分母含有根号的代数式变成分母不含根号的代数式，这个过程叫做分母有理化。
(1)形如：
a
a
b a
a a
b a
b =
•= 或
b
a b a c b
a b a b a c b
a c ±±=
±•±±•=±
6
(2)形如：
b
a b a c b a b a b a c b
a c ±=
±•=
±2)()
)(()( 或
b
a b a c b a b a b a c b
a c -=
±•=
±)
()
)(()( 7.关于具有双重根号的二次根式。 如：,
二.重点和难点：
重点：二次根式的运算。 难点：1.混合运算以及应用。 2.二次根式的内移和外移。 3.二次根式的大小比较。 【难点指导】 1、如果是二次根式，则一定有；当
时，必有
；
2、当
时，
表示的算术平方根，因此有
；反过来，
也可以将一个非负数写成的形式；
3、
表示
的算术平方根，因此有，可以是任意实数；
4、区别
和
的不同：
中的可以取任意实数，中的只能是一个非负数，否则
无意义．
5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径： （1）因式的内移：因式内移时，若
，则将负号留在根号外．即：
．
