期中复习专题
专题1 等腰直角三角形综合探究
1.已知，在△ABC 中，CA ＝CB ＝10，O 为AB 的中点，点E ，F 分别在直线AC ，BC 上，且∠EOF ＝2∠A． (1)若∠A＝450．
①如图①，连接OC ，当E ，F 分别在线段AC ，BC 上时，求证：△COF≌△BOF； ②如图②，当E ，F 分别在AC 延长线上和CB 延长线上时，求CF-CE 的值；
(2)如图③，若∠A＝30°，且E ，F 分别在AC 延长线上和线段BC 上，试说明CF 与CE 满足怎样的关系式．
【解析】(1)①∵CA ＝CB ，∠A＝45°∴∠A＝∠B＝45°,∠ACB＝90°.∵AO ＝OB ，∴OC ＝OA ＝OB ，
∠ACO ＝∠BC0＝45°,CO ⊥AB.∵∠EOF＝2∠A＝90°,∠COB＝90°，∴∠EOF＝∠COB ,∴∠EOC＝∠BOF ，
在△EOC 和△FOB 中，∠ECO＝∠B ,CO＝OB ，∠EOC＝∠FOB，∴△EOC≌△FOB (ASA). ②连接CO ，由①易知∠ACO-∠ABC ＝45°，∴∠ECO＝∠OBF ＝135°.∵∠COB＝∠EOF＝90°， ∠COE ＝∠BOF．在△EOC 和△FOB 中，∠ECO＝∠F BO ，CO ＝OB ，∠EOC＝∠FOB， ∴△FOC≌△FOB (ASA).∴EC ＝BF,∴CF-EC ＝BC ＋BF-EC ＝BC ＝10.
(2)CF-CE ＝5．连接OC,在CF 上截取CM ＝CO ，连接EF ，OM.∵∠A＝∠B＝30°,O 为AB 中点， 易得∠ACB ＝120°,CO ⊥AB.∴∠ACO＝∠BCO＝60°,∴∠OCE＝120°.∵CM ＝CO ，∴△COM 为等边三角形，
∴∠COM ＝60°，∴∠OMB＝120°＝∠OCE.∵∠EOF ＝2∠A ＝60°，∴∠COM ＝∠EOF ，∴∠COE ＝∠MOF ．
M
F E
F
E
F
E
O
C
B A 图① 图② 图③
A
B
C
O
A B
C
O
在△COE 和△MOF 中，∠COE＝∠MOF ,CO＝MO,∠OCE＝∠OMF，∴△COF≌△MOF．∴CE ＝MF ． ∴CF-CE ＝CF-MF ＝CM ＝CO.在Rt△AOC 中，∠A＝30°,AC ＝10，∴C0＝5．∠CF-CE ＝5．
2．（2016秋.黄陂区月考）已知在△ABC 中，AC ＝BC ，∠CAB＝∠CBA ＝45︒，点M 为直线BC 上任意一点，过
点C 作CD ⊥AM 交AB 于点D ，在BC 上取一点N ，使CN ＝BM ．连接DN ． (1)如图，M ，N 在线段BC 上，求证：∠AMC＝∠DNB；
(2)若M ，N 分别在CB ，BC 的延长线上，试画出图形，并说明(1)中的结论是否成立？
【解析】(1)如图①，作BG 上BC ，交CD 的延长线于G ，设AM 交CD 才0．∵AM ⊥CD ，BG ⊥BC ，∴∠AOC＝∠CBG 90°,∴∠ACO＋∠CAO＝90°∴∠ACO ＋∠BCG ＝90°∴∠CAM ＝∠BCG ∵AC ＝BC ，易证△ACM≌△CBG (ASA),∴ CM ＝BG ，∠AMG.∴CN ＝BM,∴BN ＝CM ＝BG.∵∠DBN ≌△DBG ( SAS), ∴ ∠G ＝∠BND,∠AMC＝△DNB
(2)(1)中的结论成立．理由：作BG 上BC,交CD 的延长线于G ，设AM 交CD 的延长线于O ，∵AM ⊥CD ，
BG ⊥BC ，∴∠AOC＝∠CBG＝∠ACM ＝90°，∴∠ACO ＋∠CAO＝90°,∠ACO ＋∠BCG ＝90°，∴∠CAM ＝∠BCG．又∵AC ＝BC ，∴△ACM ≌△CBG(AAS)，∴CM ＝BG,∠M＝∠G.∵CN=BM ，∴CM ＝BN=BG ．∵BD=BD ,∠DBN ＝∠DBG =＝45°,BN ＝BG ，∴△DBN≌△DBG( SAS)，∴∠G ＝∠N ，∴∠M ＝∠N ．
N
M
D
C
B
A
答图
图① 图②
O
N
M
D
C B
A
G
G
A
B
C
D
M
N
专题2 等腰三角形与全等
1．（2017秋·青山区期中）已知，AB ＝AC ，D ，A ，E 三点在同一直线上，且∠BDA＝∠AEC ＝∠BAC＝120°．
(1)如图①，求证：BD ＝AE ；
(2)如图②，AF 平分∠BAC，且AF ＝AB ，连接FD ，FE ，试判断△FDE 的形状，并说明你的结论．
【解析】(1)∵∠BDA ＝∠BAC＝120°，∴∠DBA＋∠DAB ＝∠CAE＋∠DAB ＝60°∴∠DBA ＝∠CAE.
在△BAD 和△ACE 中，∠BDA＝∠AEC,∠DBA＝∠CAE,BA ＝AC ，∴△ADB≌△CEA(AAS)，∴BD ＝AE.
(2)△DEF 为等边三角形．理由：如图②，连接BF,CF.∵AB ＝AC ＝AF ,AF 平分∠BAC,∠BAC ＝120°，
∴△ABF 和△ACF 均为等边三角形，∴BF-AF ＝AB ＝AC ＝CF ，∠BAF＝∠CAF＝∠ABF＝60°.由(1)知△ADB ≌ △CEA(AAS),∴BD ＝AE,∠DBA＝∠CAE ．∵∠ABF＝∠CAF＝60°,∴∠DBA＋∠ABF＝∠CAE＋∠CAF，∴∠DBF＝∠FAE．在△BDF 和△AEF 中,FB ＝FA ，∠DBF＝∠FAE ,BD ＝AE ，∴△DBF ≌△EAF (SAS)．∴DF ＝EF ,∠BFD＝∠AFE ．∴∠DFE＝∠DFA＋∠AFE＝∠DFA ＋∠BFD＝60°，∴△DEF 为等边三角形．
2．（2016秋·武昌区期末）已知，在△ABC 中，AC ＝BC ，
(1)如图①，分别过A ，B 做AM ⊥BC ，BN ⊥AC ，垂足分别为点M ，N ，AM 与BN 相交于点P ，求证：AP ＝BP ；
(2)如图②，分别在AC 的右侧，BC 的左侧做等边△ACE 和等边△BCD，AE 与BD 相交于点F ，连接CF 并延长交AB 于点G ，求证：点G 是AB 的中点；
(3)在(2)的条件中，当∠ACB 的大小发生变化时，设直线CD 与直线AE 相交于H 点，当∠ACB
图① 图②
E
F
E
D
C
B
A
C
B
