线性代数同济大学 模拟试题

复习题一、单项选择题1. 设A 是5×3矩阵，且B 是3×2矩阵，C 是2×2矩阵，则矩阵运算可行的是( )A.ACB.ABCC.BCAD.BAC2. 设A 是n 阶方阵(n>1)，线性方程组AX=b 仅有一个解，则A 的秩为（ ）A.nB.1C.0D.不存在3. 设A 是n 阶方阵，则|A|=0的充要条件是（ ）A.A 中有两行（两列）元素对应成比例B.A 为奇异矩阵C. A 中有一行元素全为零D. A 中任一行为其余行的线性组合4. 已知二次型f=X T AX 对应的矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--210121011,则A 是（ ）A. 负定矩阵B.正定矩阵C. 既正定矩阵又负定矩阵D. 以上都不是5.已知A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛i h g f e dc b a ,B=(0,0,1),则乘积BA=( ) A.(a,b,c) B.(d,e,f) C.(g,h,i) D.(a,b,1)6. 设A,B 是两个n 阶方阵，且k>0，则以下正确的是( )A.|A-B| = |A| - |B|B.|kA|=k n |A|C.|kA|=k|A|D.|A+k|=|A|+k7. 设A 是n 阶方阵，且|A|=0,则A 一定是（ ）A 降秩矩阵 .B. 满秩矩阵 C.可逆矩阵 D. 非奇异矩阵8. 若A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-200110001,则A 的秩R(A)=( )A. -1B. 2C.3D.-29.已知A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛i h g f e dc b a ,B=(1,0,0),则BA=( ) A.(a,b,c) B.(d,e,f) C.(g,h,i) D.(a,b,1)10. 行列式方程224132513232213211x x --=0有（ ）个根 A.1 B.2 C.3 D.4 二、简答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）1. 若A,B,C 均为n 阶方阵，且由AB=AC,可以推出B=C,则A 应是什么矩阵？为什么？2.设A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200034012,求1-A3.设⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-=+-020*********321321x x x x x x x x x λ当参数λ为何值时，齐次线性方程组有非零解4. D=1641421111-这是什么行列式？求行列式D 的值，5. 设A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200034012 B=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛340230002/1求 ⎢AB ⎥6. 设A 是n 阶方阵,满足条件A 2=A,|A|≠0求|A|7.设A 为2阶方阵，|A|=1/3,求|3A|8. 已知α=(2,0,-1,5)T ，β=(2,0,2,1)T ，求两个向量的内积以及将β单位化9.设向量α=(1,0,-3)T ，β=(-3,0,t)T 线性相关，求参数t10. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x A 10100002与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ12y 相似, 求x , y三、综合题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）1.已知A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--143125,B=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--102023,求BA T2. 用行初等变换，求下列向量组的秩、写出它的一个极大无关组及将其余向量由该极大无关组线性表示，T T T )1,1,0,3(,)1,2,1,1(,)2,1,1,2(321-=-==ααα3.用行初等变换，求矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---153121132的逆矩阵A -14.设实对称阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛400031013，求可逆阵P(不必正交)，使Λ=-AP P 1为对角阵5.求解非齐次线性方程组： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=----=+-+-=+-+=+-+261782314620324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x6. 判断下列向量组的线性相关性T T T )1,3,2(,)1,2,1(,)1,1,4(321-=-=-=ααα7.求解非齐次线性方程组： ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++2223120432143214321x x x x x x x x x x x x8.设实对称阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100，求正交阵P ，使Λ=-AP P 1为对角阵9. 已知A 的特征值为1，2，3，求|A|，A 的迹与|A 2+A+3E|.四、证明题（本大题共1小题，共10分）1.设A 是n 阶非奇异阵,满足条件A 2=A,证明|A|=12.若实方阵A 满足A 2-2A-4I=O,,证明:A+I 为可逆阵（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

同济大学课程考核试卷（B 卷） 2009—2010学年第一学期课名：线性代数B 考试考查：考试一、填空题（每空3分，共24分）1、 已知4阶方阵为()2131,,,A αααβ= ()1232,2,,B αααβ= 且4A =-，2B =-，则行列式 =+B A 6 .解：因为()1212312,2,2,A B αααααββ+=+++， 所以()1212312,2,2,A B αααααββ+=+++，根据行列式的性质（书上的貌似是最后一个性质），原式化简为：()1231,2,2,αααβ+()1232,2,2,αααβ+()2131,,2,αααβ+()2132,,2,αααβ=422-16-4-826A B A B -++=+=2、 设行列式1131100021034512D =，j i A 是D 中元素j i a 的代数余子式，则=+2414A A -9 .解：这种题是代数余字式常出的一种，根据41424344+0+0A A A A +⨯⨯前面的系数，我们可以把题目理解成求1131100021031100D =‘，最后按第二行展开后，得到4142-9A A +=3、 已知矩阵222222a A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，伴随矩阵0≠*A ，且0=*x A 有非零解，则 C .(A) 2=a ； (B) 2=a 或4-=a ；(C) 4-=a ； (D) 2≠a 且4-≠a .解：因为0=*x A 有非零解，所以A *绝对不满秩，在根据之前我给出的秩与原矩阵的关系，不难得出1202R A R A RA R A **⎧==⎪⎨=<⎪⎩（），（）（），（）,因为0≠*A ，所以1R A *=（）。

变相得出2R A =（）。

对A进行初等变换，得到a=-4（你也可以算一下A 的行列式来找到a 的值）4、 向量组s ααα，，，Λ21)2(≥s 线性无关，且可由向量组s βββ，，，Λ21线性表示， 则以下结论中不能成立的是 B .(A) 向量组s βββ，，，Λ21线性无关； (B) 对任一个j α(1)j s ≤≤，向量组s j ββα，，，Λ2线性相关； (C) 向量组s ααα，，，Λ21与向量组s βββ，，，Λ21等价. 解：B 举个反例，当 s ααα，，，Λ21与s βββ，，，Λ21对应相等时，12s αββL ，，，仍然线性无关。

同济大学课程考核试卷(B 卷) 2009—2010学年第一学期课名：线性代数（2学分） 考试考查：考查（注意：本试卷共七大题，三大张，满分100分．考试时间为100分钟.要求写出解题过程，否则不予计分）一、填空与选择题(6-8小题均为单选题)(24分)1、 设A 为3阶方阵，已知||2A =-，把A 按行分块为123a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，则行列式312123a a a a -=___6_____. 解：根据行列式的最后一个性质（书上的那个），31312221112233+3a a a a a a a a a a --=，31122213123-3630a a a a a a a a a -===，，所以原式为62、 已知4阶行列式34222207005322D =--，且ij M 和ij A 分别为D 中元素ij a 的余子式和代数余子式，则441jj A==∑__0_________.解：根据代数余子式性质44130402222007001111j j A ===-∑.(这是代数余子式经常出的一种形式的习题)3、 已知3阶方阵A 的特征值分别为1，2，-3，则*32A A E ++=__25____________. 解：根据特征值的性质，有-6A =，设*32B A A E =++，则B 对应的三个特征值分别为123-6-6-63262-9212-3λλλ=++=++=+，，，则 *12332-15-525A A E λλλ++==⨯⨯=（）4、设123(,1,1),(0,2,3),(1,2,1)k ααα===，则当__14k =__________时，123,,ααα线性相关.解：因为这三个向量构成的矩阵为方阵，则对该矩阵求行列式，因为三个向量线性相关，所以行列式的值等于0，解得14k =5、已知二次型2221231213235224f x x x ax x x x x x =+++-+为正定二次型，则参数a 满足___405a -<<____________. 解：先写出二次型对应的矩阵，为1-112-125a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，由于二次型是正定二次型，则矩阵也一定是正定矩阵，根据正定矩阵的性质，它的顺序主子式都应大于0，则有221041-005450a a a a >⎧⎪>−−→-<<⎨⎪-->⎩6、 设A 是m n ⨯矩阵，3,3m n >>,若A 与B 行等价，则__D______________.().().().().A A B B A B C A B D 若的前三行线性无关，则的前三行也线性无关若的前三列线性无关，则的前三列也线性无关若的左上角的三阶行列式非零，则的左上角的三阶行列式也非零以上都不对(解：A 和B 都是m n ⨯的矩阵，且A 和B 的行等价,则A 和B 的行向量可以相互表示 ，也就是说对A 做初等行变换可以得到B ，所以存在可逆矩阵P 使得PA B =对,A B 进行列分块就有()()1212,,...,,,...,n n P a a a b b b =,也就是要说明在P 可逆的情况下 ,A 的某几列无关和B 的对应的某几列无关等价. 随意取3列()123,,a a a 无关于()123,,b b b 无关等价这是显然的,因为()()1212,,...,,,...,n n P a a a b b b =因为P 可逆所以()()()121212,,...,(,,...,)(,,...,)n n n r a a a r P a a a r b b b ==)7、 设,,A B C 为同阶方阵，且ABC E =，则下列各式中不成立的是___B_________.111111(). (). (). ().A CAB E BC A B E C BCA ED B A CE ------====解：因为ABC E =，所以我们可知-1A BC =和-1C AB =，又因为-1-1XX X X E ==，所以A ，C 正确，现在，对ABC E =两边求逆，有-1-1-1C B A E =，可以看出B 错，对于D ，-1A BC =，所以-1-1A C B =，所以-1CA B =，带入D ，可知其正确性8、 非齐次线性方程组Ax b =中，A 是m n ⨯矩阵，()R A r =，则____A___________.(). (). (). (). A r m B r n C m n D r n ===<时方程组有解时方程组有唯一解时方程组有唯一解时方程组有无穷多解解：这题我直接看到A 就选了，其它的也不好分析，因为他们的条件和结论根本没什么明显联系。

2009—2010学年第二学期课名：线性代数（2学分）一、填空与选择题(24分)1、 已知m 阶方阵A 与n 阶方阵B 的行列式值分别为,a b ,且0ab ≠,则11030T A B --⎛⎫-= ⎪⎝⎭______abm n )()3(+-_____________. 解：化简后可得11-300m nTA B +-⎛⎫⎪⎝⎭（）由拉普拉斯定理 ，分母为-1T A B ，所以得到ab m n )()3(+- 2、 设100220333A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其伴随矩阵为*A ，则()1*A -=____A 61______.解：先化简，由伴随矩阵的性质*-1A A A =，()1*-1-1116AA A A A A -===（） 3、 若3阶方阵A 满足20A E A E A E +=+=-=，则253A A E --=___-231___________.解：看到这种形式请立刻联想到特征值，20A E A E A E +=+=-=由这几个等式，我们可知A 的三个特征值为-1，-2，1.而A 为3阶方阵，说明它只有3个特征值，现在，我们来看253A A E --，我们假定253=B A A E --，则根据特征多项式，我们可以分别把A 的三个特征值带进去，得到B 的三个特征值分别为1231533410-3111-5-3-7λλλ=+-=⎧⎪=+=⎨⎪==⎩，在根据特征值之积等于方阵的行列式可知253A A E --=-231 4、 已知123,,ααα是3R 空间的一组规范正交基，则12323ααα-+=__14__________. 解：本题要求的是12323ααα-+的范数，带入公式，由于123,,ααα是3R 空间的一组规范正交基（正交基：列向量位单位向量，且每个列向量之间内积为0），于是有=5、 设二次型22212312313(,,)222T f x x x x Ax ax x x bx x ==+-+，其中0b >，已知A 的全体特征值之和为1，全体特征值之积为12-，则a =_1__________，b =___2________.解：二次型A 所对应的矩阵是00200-2a b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，因为它的行列式的值即使特征值的积，主对角线之和（又称为迹，用tr （A ）表示）既是特征值之和，得到a=1，将a 代入A ，求出行列式=-12，得到b=2；6、 设A 为n 阶非零方阵，且A 中各行元素都对应成比例，又12,,,t βββL 是齐次线性方程组0Ax =的基础解系，则-1t n =____________.解：因为A 中各行元素都对应成比例且A 为n 阶非零方阵，很明显11111111()1,..([])1111R A e g =,又由于12,,,t βββL 是齐次线性方程组0Ax =的基础解系，所以它的基础解系中有t 个线性无关向量，则根据-n r A t =（） ，可得-1t n =7、 设12324369Q t ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，P 为3阶非零方阵，且0PQ =，则下面说法正确的是_____C____. (). 6() 1 (). 6() 2 (). 6() 1 ().6() 2A t R PB t R PC t R PD t R P ====≠=≠=时时时 时解：利用代入法，0PQ R P R Q n =−−→+≤（）（），6(Q)1()2t R R P ==∴≤时， 6()2 1 t R Q R P ≠=∴≤时，（），因为P 为3阶非零方阵，1R P ∴=（）8、 设1123a a a α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,1223b b b α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,1323c c c α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,三条不同的直线0i i i a x b y c ++=，(1,2,3)i =，220i i a b +≠，则这三条直线交于一点的充要条件是_____D____________.12312312312312312(). ,,). ,, (). (,,)(,,) ().,,,A B C R R D ααααααααααααααααα=线性相关 (线性无关 线性相关,线性无关解：这题的意思是，要让这个线性方程有唯一解（只有唯一解才能让它们交于同一点）即增广矩阵111222333---a b c a b c a b c ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的秩应该为2，且系数矩阵112233a b a b a b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的秩也应该为2所以12312,,,ααααα线性相关,线性无关二、(12分) 设n 阶方阵111b b bb A bb ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭L L M M O M L，试求A 的全体特征值.. 解：根据特征多项式定义-0A E λ=，1-1-01-b b b b bb λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭L L M M O M L，（小技巧，把每一列元素对应加到第一列上，在把第一列上的元素提出来就很容易得到特征值了）解得：-11n b λ=+（），1--1b n λ=（重）三、(10分)设4阶方阵1000230004500067A ⎛⎫⎪-⎪= ⎪-⎪-⎝⎭，又()E A B E A +=-，求E B +. 解：这种题拿到就化简，()(2E A B E A E A E B E +=-−−→++=（）） 这时应该先算0E A +≠（），说明E A +（）可逆，然后得到-1(2E B E E A +=+）（） 1000110022111033311114444E B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦四、(12分)已知线性方程组123123123(2)22 1 2(5)4 2 24(5)1x x x x x x x x x λλλλ-+-=⎧⎪+--=⎨⎪--+-=--⎩，试讨论参数λ为何值时，此方程组有唯一解、无解或有无穷多解.解：这种题很好解，因为它的系数矩阵是方阵，所以，根据克莱姆法则，我们可以直接求它的系数行列式，并令其为0，2-2-225--4-2-45-λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦令它的行列式为0，得到1,1,10λ=，当1λ=当增广矩阵为12-2124-42-2-44-2⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，利用初等变换，得到 1 2 -2 00 0 0 1 0 0 0 0说明系数矩阵的秩和增广矩阵的秩不等，所以无解，把10λ=带进去，得到的是无穷解 所以110λ≠和有唯一解五、(12分)设有如下两个向量组：向量组()123111I :0,1,1232a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，向量组()II :1231222,1,1364a a a βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，问a 取何值时两个向量组等价？a 又为何值时两个向量组不等价？解：先对I 和II 求行列式，可解得I 的行列式为1a +，II 的行列式为6,可知，它们要等价，则a 必然不能等于-1.当a=-1，I 和II 的秩不等。

第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=01100000100100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ).(A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=01111010100111.6．行列式=-010000200001nn .7．行列式=--001)1(2211)1(111 n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++λλλ111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .14．已知d b c a c c a b ba b ca cb a D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .16．已知行列式nn D001031002112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a d b a dc ad c b dc b a dc b a dc b a++++++++33332222; 2．yxyx x y x y y x y x +++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4．111111321321221221221----n n n n a a a a xa a a a x a a a a xa a a a x；5. na a a a111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)；6. bn b b ----)1(1111211111311117. na b b b a a b b a a a b321222111111111； 8．x a a a a x a a a a x a a a a xn nn321212121;9.2212221212121111nn n nn x x x x x x x x x x x x x x x +++; 10.211200000210001210001211．aa a aa a a aaD ---------=110110001100011001.四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++d ddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a dc b a +++------=.4．∏∑≤<≤=----=nj i i jni in nn nn n n n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333=c b a c b a的充要条件是0=++c b a .参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ; 12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-； 3. 1,0,2-=x ; 4.∏-=-11)(n k kax5.)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略)第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。

同济大学课程考核试卷（B 卷） 2009—2010学年第二学期课名：线性代数B 考试考查：考试一、 (24分) 填空与选择题，其中选择题均为单选题.1、 设三阶矩阵121121113x A x x --⎛⎫ ⎪=-+ ⎪ ⎪-+⎝⎭，则A 的行列式展开式中2x 的系数是4 .解：直接用沙路法求行列式，或者分析矩阵的行列式，只有主对角线上乘出来的()()()123x x x -++才会产生2x ，所以不难看出2x 的系数应该是-1+2+3=42、 设A 为3阶方阵，行列式20A E A E A E +=-=+=，则A 的伴随矩阵的行列式*A = 4 .解：由20A E A E A E +=-=+=可知A 的三个特征值分别为-1，1，-2.而*A 的特征值就应该是iAλ，由特征值之积等于对应行列式的值可知，A 为2，*1234A A AA λλλ==3、 设3阶方阵1110101k A k -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭与对角阵300010001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭相似，已知0k >，则k =解：因为1110101k A k -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭与对角阵300010001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭相似，所以他们的特征值一定相同，而特征值之积等于行列式的值，对1110101k k -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭求行列式，令其等于300010-3001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，因为0k >，可得k =4、 设向量()5,,1,4Tx α=与向量()3,0,,2Ty β=正交，那么y = -23 .解：两向量正交，那么一定有0Tαβ=，于是15080,23y y +++==-5、 设A 为3阶方阵，()2R A =，且A 的各行元素之和为0，则线性方程组0Ax =的通解为 11,1k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭.解：A 的各行元素之和为0，所以一定有0111TA αα==，（，，），又因为()2R A =，()-1n R A =所以A 的基础解系只有一个向量，所以可得0Ax =的通解为11,1k k R ⎛⎫⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭。

《线性代数》期终试卷1（ 2学时）本试卷共七大题一、填空题(本大题共7个小题，满分25分)：1.(4分)设阶实对称矩阵的特征值为, , , 的属于的特征向量是, 则的属于的两个线性无关的特征向量是()；2.(4分)设阶矩阵的特征值为,,,, 其中是的伴随矩阵, 则的行列式()；3.(4分)设, , 则()；4.(4分)已知维列向量组所生成的向量空间为,则的维数dim()；5.(3分)二次型经过正交变换可化为标准型,则()；6.(3分)行列式中的系数是()；7.(3分) 元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为, 已知是它的个解向量, 其中, , 则该方程组的通解是()。

二、计算行列式：(满分10分)三、设, , 求。

(满分10分)四、取何值时, 线性方程组无解或有解？有解时求出所有解（用向量形式表示）。

(满分15分)五、设向量组线性无关, 问: 常数满足什么条件时, 向量组, , 也线性无关。

(满分10分)六、已知二次型，(1)写出二次型的矩阵表达式；(2)求一个正交变换，把化为标准形, 并写该标准型；(3)是什么类型的二次曲面?(满分15分)七、证明题（本大题共2个小题，满分15分）：1．(7分)设向量组线性无关, 向量能由线性表示, 向量不能由线性表示 . 证明: 向量组也线性无关。

2. (8分)设是矩阵, 是矩阵, 证明: 时, 齐次线性方程组必有非零解。

《线性代数》期终试卷2（ 2学时）本试卷共八大题一、是非题（判别下列命题是否正确，正确的在括号内打√，错误的在括号内打×；每小题2 分，满分20 分）：1. 若阶方阵的秩，则其伴随阵。

（）2.若矩阵和矩阵满足，则。

（）3.实对称阵与对角阵相似：，这里必须是正交阵。

（）4.初等矩阵都是可逆阵，并且其逆阵都是它们本身。

（）5.若阶方阵满足，则对任意维列向量，均有。

（）6.若矩阵和等价，则的行向量组与的行向量组等价。

（）7.若向量线性无关，向量线性无关，则也线性无关。

同济大学线性代数复习题线代补充复习题一、填空与单选题.1、设4阶方阵()1231,,2,A αααβ=，()3212,,,B αααβ=，其中12312,,,,αααββ都是4维列向量，如果行列式||1A =，||2B =，则行列式||A B +=.2、设3阶方阵A 的行列式||2A =，*A 是A 的伴随矩阵，则行列式()1*2A A --=.3、设230A A E ++=,则1()A E -+=.3、设矩阵21111122aA a a ?? ?=-- ? ?-+??，则a =时，矩阵A 的秩最小.4、设n 元非齐次线性方程组Ax β=的通解为1122x c c ξξη=++，其中12,,ξξη为线性无关的n 维列向量，12,c c 为任意常数，则矩阵(,)B A β=的秩()R B =.5、设向量()1,2,3Tα=，()1,1,1Tβ=-，矩阵T A αβ=，则下面说法中不正确的是. (A) ()1R A =.(B)0是矩阵A 的特征值. (C) α是矩阵A 的特征向量. (D) β是矩阵A 的特征向量. 6、设3阶方阵33()ij A a ?=的特征值为123,,λλλ，则下面说法中不正确的是. (A)如果A 可逆，则一定有123,,λλλ全不为零.(B) 如果A 可相似对角化，则123,,λλλ一定两两互不相同. (C)如果2A E =，则123,,λλλ一定只能为1或者1-.(D) 如果123,,λλλ都大于零，则A 的对角元之和112233a a a ++一定大于零.7、设有3阶方阵122212221A ?? ?= ? ，130310001B ??= ? ?-??，则方阵A 与B .(A) 既相似又合同 (B) 相似但不合同(C) 合同但不相似 (D) 既不相似又不合同8、设A 为4阶对称矩阵, 且432A A O +=，若A 的秩为3，则A 相似于（）A ．2222-?? ?- ? ?- ?-?B ．2220-??- ? ?- ?C. 2200-??- ? ? ?D. 2000-??9、已知AB C =，且||0B ≠，则下列说法正确的是： A. 矩阵C的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 B. 矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 C. 矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价D. 矩阵C的列向量组与矩阵B 的列向量组等价10、二次型2222424f x y z xy xz =++--是：A.正定二次型B.负定二次型C.非正定也非负定二次型D.无法判断 11、设12,,...,s ααα为维列向量组，A 为矩阵,下列选项正确的是 A.若12,,...,s ααα线性相关,则12,,...,s A A A ααα线性相关 B.若12,,...,s ααα线性相关,则12,,...,s A A A ααα线性无关C.若12,,...,s ααα线性无关,则12,,...,s A A A ααα线性相关D.若12,,...,s ααα线性无关,则12,,...,s A A A ααα线性无关12、设()()()1231,1,0,1,0,1,0,1,1TTTααα===为3R 的一组基，则向量()2,0,0Tb =在这组基下的坐标为.13、设二次型212311223(,,)22f x x x x x x x x =++ ,则其正惯性指数为.14、设阶方阵111a a a a A a a ??= ? ???()3n ≥，如果齐次线性方程组0Ax =的基础解系中只含有一个向量，则常数a =.15、设23462463A t ?? ?= ? ，()132340B ??= ? ???，且()2r A AB +=，则t = .A.7B.8C.9D.10n m n ?n16、已知n 阶方阵A 与B 相似，则下列说法正确的是 . A. 存在正交矩阵P ，满足1P AP B -=； B. A 与B 具有相同的特征值和特征向量； C. A 与B 均相似于一个对角矩阵；D. 对于任意的常数k ，矩阵A kE -与B kE -相似.17、设A 为矩阵,0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =的导出组，则 .A. 若齐次线性方程组0Ax =仅有零解，则Ax b =有唯一解；B.若齐次线性方程组0Ax =有非零解，则Ax b =有无穷多解；C.若非齐次线性方程组Ax b =有无穷多解，则0Ax =仅有零解；D.若非齐次线性方程组Ax b =有无穷多解，则0Ax =有非零解.二、计算题1、设有矩阵等式()12TT C B E A C --=，其中311230122A --?? ?=- ? ，100010011B ?? ?= ? ???，而E 为3阶单位方阵，求矩阵C .2、问当λ为何值时, 线性方程组123123123(1)3(1)3(1)0x x x x x x x x xλλλλ-++=??+-+=??++-=? 有唯一解、无解、有无穷多解? 并在有无穷多解时求出其通解.3、设向量1(,2,2)T αλ=-，2(2,3,4)T αλ=+-，3(2,4,3)T αλ=--+，(1,2,3)T βλ=-.问参数λ取何值时,(1) 向量β不能由向量组123,,ααα线性表示；(2) 向量β可由向量组123,,ααα线性表示，且表示式唯一；(3) 向量β可由向量组123,,ααα线性表示，且表示式不唯一，并求一般表示式.4、设二次型2221231231223(,,)222f x x x ax x x x x x x =++--经正交变换112233x y x P y x y= ? ? ? ?????化为标准形2221233f by y y =++. (1) 求参数,a b . (2) 求正交阵P .三、证明题m n ?1、(1) 设44A ?，123122900,,900901ααα?????? ? ? ? ? ? ?=== ? ? ? ? ? ???????是线性方程组Ax b =的3个解，证明：*0A =.(2) 已知,αβ是两个相互正交的n 维列向量，证明：矩阵T E αβ+可逆.2、对于n 阶方阵()ij n n A a ?=，我们定义A 的迹tr()A 为A 的所有对角元之和，即1122tr()nn A a a a =+++ . 可以证明：对任意两个n 阶方阵,A B ，成立等式tr ()tr ()AB BA =. 下面设n 阶方阵A 满足等式2A A =，证明：(1) ()()R A R A E n +-=，其中E 为n 阶单位阵；(2) A 可相似对角化，并写出A 的相似对角化矩阵；(3) ()tr()R AA =.3、证明题:(1)设A 是矩阵, B 是矩阵,E 是阶单位矩阵. 若AB E =，证明矩阵B 的列向量组线性无关.(2)设矩阵2,T T A ααββ=+其中,αβ是两个互相正交的三维单位列向量. 证明：矩阵A能够相似于对角矩阵1=20?? ?Λ ? ???.n m ?m n ?n。

同济大学线性代数试卷题库（4）同济大学课程考核试卷（A 卷） 2009—2010学年第一学期课名：线性代数B 考试考查：考试一、填空题（每空3分，共24分）1、设1α、2α、3α均为3维列向量，已知矩阵123(,,)A ααα=,()123123123927,248B ααααααααα=++++++，3，且1A =，那么B = -12 .解：由矩阵之间的关系，我们可以得到1321941278B A =??，对等式两边取行列式，有 1321941278B A ??=??。

所以得到-12B =2、设分块矩阵A O C O B ??=, ,A B 均为方阵，则下列命题中正确的个数为4 .(A).若,A B 均可逆, 则C 也可逆.(B).若,A B 均为对称阵, 则C 也为对称阵.(C).若,A B 均为正交阵, 则C 也为正交阵. (D).若,A B 均可对角化, 则C 也可对角化. 解：A. 若,A B 均可逆，说明,A B 的行列式都不为0，则我们可以根据拉普拉斯定理求出C 的行列式为A B ，所以可知C 的行列式也不为0，即C 可逆.B ．若,A B 均为对称阵，则有,TTA AB B ==，对矩阵C 取转置，根据对角阵性质有T TT A O A O C C O B O B === ? ??,所以C 也是对称阵。

C ．若,A B 均为正交阵, 则有,T TA A EB B E ==，固T T TT TA O A O A A O C C E OB O B O B B === ? ? ?。

所以C 也为正交阵. D ．若,A B 均可对角化,则有-1-112,A P P B Q Q =Λ=Λ,则-1-111-1-122=O P O P P O P O C O O Q OQ Q O Q ΛΛ= ? ? ΛΛ??，令P O M O Q ??= ，则原式可看成-1-111-12P P O C M M OQ Q ??Λ==Λ ?Λ??固以上4个全对（考试里出现全对的情况还是第一次见）3、设2341345145617891D =，则D 的第一列上所有元素的代数余子式之和为 0 .解：直接利用代数余子式性质，求113411451015611891D ==4、设向量组(I):12,,,r αααL 可由向量组(II):12,,,s βββL 线性表示，则 D 成立.(注：此题单选)(A)．当r s <时，向量组（II ）必线性相关 (B)．当r s >时，向量组（II ）必线性相关(C)．当r s <时，向量组（I ）必线性相关 (D)．当r s >时，向量组（I ）必线性相关解：直接分析，举反例，A 反例1201,,,10200r r ααα==??L ，（），()12100,,,0103001s s βββ==??L ，；B 反例()12100,,,0103001s s βββ??==L ，，121000,,,010040011r r ααα==??L ，（）；C 反例1201,,,10200r r ααα??==L ，（），()12100,,,0103001s s βββ??==L ，；D.正确，这个很显然。

《线性代数》模拟试题一、填空题（30分）1.设A 是n 阶方阵（2n ≥）,且||1A = 则|2|A =2.1301n⎛⎫= ⎪⎝⎭3．10m n 齐次线性方程组A 有非零解的充要条件是⨯⨯=n X4．线性表示式为，由），（则）（），（212134,1,1,12ααβααTT T =-==5．线性），，（），，（），，（向量组TT T 242,020,101321===ααα 6．的矩阵表示是）（二次型23312121321242,,x x x x x x x x x f +-+= 7.若向量组12,,s ααα可由向量组12,,t βββ线性表示, 则有1212(,,,,,)s t r αααβββ 12(,,)t r βββ8．实对称矩阵A 的不同特征值对应的特征向量一定9．三阶行矩阵的三个特征值分别为1， 2，3，则1-A =______ 10．若n 阶矩阵A 与B 相似，且A 2=A, 则B 2=二、单项选择题（10分）11．A B C ，，为同阶矩阵，若ABC E =，则下列各式成立的是 ( ).A.1A BC -=B.111C A B ---=C. 111A B C E ---=D.1B AC -= 12．设1234(1,0,0),(0,1,0),(2,2,0),(1,1,1)αααα====则对向量组1234,,,αααα说法正确的是（ ）A. 相关B. 无关C. 秩为4D.相互正交 13．n 阶矩阵A 经过若干次初等变换后化为A 为B ,则（ ）A.||||A B =B.()()r A r B =C.,A B 相似D.,A B 合同 14．n 阶矩阵A 与对角矩阵相似的充要条件是（ ）A.有n 个线性无关的特征向量.B.A 有n 个不同的特征值.C.A 的n 个列向量线性无关.D.A 有n 个非零的特征值.15. 二次型3222212132142),,(x x x x x x x x x f +++=的秩等于 ( ) A. 0 B. 1 C.2 D. 3三、计算题（54分）16．计算n 阶行列式0321021301321 ------n n n17．已知2111011,,001A A AB E B -⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭求．18．设有线性方程组123123123(1)0(1)3(1)x x x x x x x x x λλλλ+++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩ 问λ取何值时此方程组(1)有唯一解(2)无解(3)有无穷多解?并在有无穷多解时求其通解. 19．给定向量组123(1,1,1,1),(3,1,1,3),(1,1,0,2)ααα=--==；12(2,0,1,1),(3,1,2,0)ββ==- 请求出123,,ααα和12,ββ的秩，并用123,,ααα表示12,ββ。

同济大学课程考核试卷(A 卷) 2009—2010学年第一学期课名：线性代数（2学分） 考试考查：考查（注意：本试卷共七大题，三大张，满分100分．考试时间为100分钟.要求写出解题过程，否则不予计分）一、填空与选择题(5-9小题均为单选题)(27分)1、 设3阶方阵()23,,A αγγ=，()23,,B βγγ=，其中23,,,αβγγ都是3维列向量，已知1||2,||2A B ==，则||A B +=__10_________________. 解：()()232323,,,,23A B αγγβγγαβγγ+=+=+（，，）23232323||224444410A B A B αβγγαβγγαγγβγγ+=+=+=+=+=（，，）（，，）（，，）（，，）2、 已知A B ，为3阶方阵，且()2R B =，12326369A a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若0AB =，则a =____4_______.解：这里会用到矩阵的秩的一个重要性质0AB =，m n A ⨯时可推出n R A R B +≤（）（）()21R B R A =∴≤Q ，（），因为A 中一个1阶子式不为0，1RA ∴=（），对A 随意选取一个二阶子式，令其为0，得到a =43、 已知3阶方阵A 的特征值分别为1，-1，2，设矩阵533B A A =-，则B =___-32___________.解：根据特征值多项式方程，我们先求出B 的三个对应特征值，分别为：125331-3-2-1322-3*28λλλ⎧==⎪=+=⎨⎪==⎩，在根据B 的特征值之积等于其对应行列式的值，解得-32B = 4、 已知向量组12312112,3,2,3120a a αααβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪===+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若β不能由123,,ααα线性表示，则a 的取值为__-1__________.解：这种题刻可选择初等变换法：化简得：[(a + 1), 0, 0, (a + 2)] [ 0, (a + 1), 0, -1][ 0, 0, (a + 1), 1]，这时什么讨论a 是否为-1，若a=-1，则增广矩阵和系数矩阵秩不等，固不能线性表示（初等变换的时候最好别轻易的除掉某个字母未知数，除非你肯定它是非零的）5、 设行列式11121311121312122232313233313233,111a a a a a a D a a a D a a a a a a ==，且ij M 和ij A 分别为1D 中元素ij a 的余子式和代数余子式，则2D =__A_____________. 333322221111().(). (). (). jj j j j j j j A AB MC AD M ====--∑∑∑∑解：请自行查看代数余字式的定义和相关性质- -（偷个懒） 6. 以下结论中正确的是____C_________.2222(). 00.(). 00.(). .().()().A A A AB A AC A AD A B A B A B A B ====+-=-若方阵的行列式，则若，则若为对称阵，则也是对称阵 对任意的同阶方阵，有解：A. 反例：1000⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.反例：幂零矩阵（就是幂乘后为0的矩阵，具体内容自行百度，当然，其他某些矩阵也可作为B 的反例）C ．()()2TT T T T A A AA A A A ===，（） D ．这个等式成立的条件是AB 为可交换阵7、 设n 阶方阵A 与B 等价，则____B________.(). = (). 00 (). (). =A AB B A BC A BD A B ≠≠≠若，则-解：你得先清楚什么是等价，这里，A ，B 为同型等价，所以它们的秩相同（秩相同不一定等价哦，因为它们不一定同型，如果同型，则这个可作为充要条件），但他们的秩和行列式无直接关系（除了奇异阵的那种）。

同济大学课程考核试卷（A 卷） 2009—2010学年第二学期考试考查：考试一、(24分) 填空与选择题，其中选择题均为单选题.1、 设6510423y A x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A 中元素y 的代数余子式的值为 4-3x .解： 根据代数余字式的定义，12A =()()1214-14-33x x +=2、 设3阶方阵A 与对角阵100020000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭相似，则A 的伴随矩阵*A 的秩*()R A =1 .解：因为A 与100020000⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭相似，所以一定有-1100020000A P P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中，P 一定是可逆阵，所以根据秩的性质，()1000202000R A R ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,在根据伴随矩阵与原矩阵秩的关系可知，*()1R A =（具体的关系请看前几次的解答）3、 设实二次型22212312313(,,)2f x x x kx x kx x x =+++为正定二次型，则k 的取值范围是1k > .解：因为22212312313(,,)2f x x x kx x kx x x =+++为正定二次型，所以将其表示成矩阵形式有0101010k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，根据正定阵的性质，可知该矩阵的顺序主子式均大于0，于是推出20100110k k k k ⎧>⎪⨯->−−→>⎨⎪->⎩4、 设矩阵2061101k A k -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭有两重特征值-1，则行列式5A E -= 0 .解：因为矩阵现在已知两个相同的特征-1，则根据矩阵的迹等于矩阵所有特征值之和可得矩阵的另一个特征值为5，所以，由特征值的性质可知50A E -=（k 在这里完全是迷惑你的，当然，你把-1特征值带进去求k ，在求出原矩阵，最后解出行列式的值也没问题，只不过我比较喜欢偷懒，找巧解而已）5、 设A 为34⨯阵，非齐次线性方程组Ax b =有解，其解向量组的秩为2，则()R A = 3 .解：这里直接利用非齐次线性方程解的结论，()-1n R A t =+，2代表的是解向量组的秩，或者说是解向量的个数。

同济大学课程考核试卷（A 卷） 2009—2010学年第一学期课名：线性代数B 考试考查：考试一、填空题（每空3分，共24分）1、 设1α、2α、3α均为3维列向量，已知矩阵 123(,,)A ααα=,()123123123927,248B ααααααααα=++++++，3，且1A =，那么B = -12 .解：由矩阵之间的关系，我们可以得到1321941278B A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，对等式两边取行列式，有 1321941278B A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

所以得到-12B =2、 设分块矩阵A O C O B ⎛⎫=⎪⎝⎭, ,A B 均为方阵，则下列命题中正确的个数为4 .(A).若,A B 均可逆, 则C 也可逆.(B).若,A B 均为对称阵, 则C 也为对称阵.(C).若,A B 均为正交阵, 则C 也为正交阵. (D).若,A B 均可对角化, 则C 也可对角化. 解：A. 若,A B 均可逆，说明,A B 的行列式都不为0，则我们可以根据拉普拉斯定理求出C 的行列式为A B ，所以可知C 的行列式也不为0，即C 可逆.B ．若,A B 均为对称阵，则有,TTA AB B ==，对矩阵C 取转置，根据对角阵性质有T TT A O A O C C O B O B ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以C 也是对称阵。

C ．若,A B 均为正交阵, 则有,T TA A EB B E ==，固T T TT TA O A O A A O C C E OB O B O B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

所以C 也为正交阵. D ．若,A B 均可对角化,则有-1-112,A P P B Q Q =Λ=Λ,则-1-111-1-122=O P O P P O P O C O O Q OQ Q O Q Λ⎛⎫⎛⎫Λ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎪ΛΛ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令P O M O Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则原式可看成-1-111-12P P O C M M OQ Q ⎛⎫Λ==Λ ⎪Λ⎝⎭固以上4个全对（考试里出现全对的情况还是第一次见）3、 设2341345145617891D =，则D 的第一列上所有元素的代数余子式之和为 0 .解：直接利用代数余子式性质，求113411451015611891D ==4、 设向量组(I):12,,,r αααL 可由向量组(II):12,,,s βββL 线性表示，则 D 成立.(注：此题单选)(A)．当r s <时，向量组（II ）必线性相关 (B)．当r s >时，向量组（II ）必线性相关(C)．当r s <时，向量组（I ）必线性相关 (D)．当r s >时，向量组（I ）必线性相关解：直接分析，举反例，A 反例1201,,,10200r r ααα⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦L ，（）， ()12100,,,0103001s s βββ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦L ，；B 反例()12100,,,0103001s s βββ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦L ，，121000,,,010040011r r ααα⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦L ，（）；C 反例1201,,,10200r r ααα⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦L ，（），()12100,,,0103001s s βββ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦L ，；D.正确，这个很显然。