实验二静电场的描绘
【目的与任务】
1、理解用模拟法描绘静电场的原理和方法；
2、学会用模拟法描绘静电场的等势线和电场线；
3、定性说明同轴圆柱面和带电直导线电流场的特点及其应用。
【仪器与设备】
静电场描绘仪（西安教学仪器厂生产），万用电表，坐标纸等。
仪器简介：
1、交流电源
交流电源输出电压在0～10V之间连续可调，最大输出电流l A。实验时将输出电压调节到实验要求之值。
2、静电场描绘仪
图1 静电场描绘仪
静电场描绘仪如图1所示，支架采用双层式结构，下层放置水盘和电极，上层安放坐标纸。P是测量探针，用于在水中测量各点的电势，P′是与P联动的记录探针，可将P在水中测得的各电势点通过按下指针P′在坐标纸上打出印迹，同步地记录在坐标纸上。由于P、P′是固定在同一探针架上的，所以两者绘出的图形完全相同。
3、模拟电极
可提供两点电荷(平行输电线)，同轴柱面(同轴电缆)，聚焦电极三种模拟电极。
【原理与方法】
1、直接测量静电场的困难
带电体在周围空间产生的静电场，可用电场强度E或电势U的空间分布来描述。一般情况下，可从已知的电荷分布，用静电场方程求出其对应的电场分布，但对较复杂的电荷分布，如电子管、示波管、电子显微镜、加速器等电极系统，数学处理上十分困难，因而总是希望用实验方法直接测量。但是，直接测量静电场往往很困难。因为，首先静电场中无电流，不能使用磁电式仪表，而只能使用较复杂的静电仪表和相应的测量方法；其次，探测装置必须是导体或电介质，一旦放入静电场中，将会产生感应电荷或极化电荷，使原电场发生改变，影响测量结果的准确性。若用相似的电流场来模拟静电场，则可从电流场得到对应的静电场的具体分布。
2、用稳恒电流场模拟静电场的可行性
如果两种物理现象在一定条件下满足同一形式的数学规律，则可将对其中某一种物理现象的研究来代替对另一种物理现象的研究，这种研究方法称为模拟法。模拟法本质上就是利用几何形状和物理规律在形式上相似的原理，把不便于直接测量的物理量在相似条件下间接地实现。
稳恒电流场与静电场是两种不同性质的场，但两者在一定条件下具有相似的空间分布，即两种场所各自遵守的规律在形式上相似，都可以引入电势U ，电场强度E =－▽U ，都遵守高斯定律。
对于静电场，电场强度在无源区域内满足以下积分关系
⎰⎰=⋅0S d E ， ⎰=⋅0l d E
在各向同性的导电介质中，对于稳恒电流场，电流密度矢量()j E σ=在无源区域内也满足类似的积分关系
⎰⎰=⋅0S d j ， ⎰=⋅0l d j
由此可见E 和j 在各自区域中满足同样的数学规律。在相同边界条件下，具有相同的解析解。因此，我们可以用稳恒电流场来模拟静电场，通过测量恒定电流场的电势分布来求得模拟静电场的电势分布。这种利用几何形状和物理规律在形式上的相似，把不便于直接测量的量在相似条件下用模拟的方法加以间接实现。
3、静电场与稳恒电场的相似性
（1）长同轴带电圆柱体间静电场分布
如图2(a) 所示，在真空中有一半径为r a 的长圆柱体A 和一内半径为r b 的长圆筒形导体B ，它们同轴放置，分别带等量异号电荷。由高斯定理知，在垂直于轴线的任一截面S 内，都有均匀分布的辐射状电场线，这是一个与坐标z 无关的二维场。在二维场中，电场强度E 平行于xy 平面,其等势面为一簇同轴圆柱面。因此只要研究S 面上的电场分布即可。
图2 同轴电缆及其静电场分布
由静电场中的高斯定理可知，距轴线的距离为r 处（见图2b ）的各点电场强度为
02E r
λπε=
（1）
式中λ为柱面单位长度的电荷量，其电势为
0ln 2a
r
r a a r a
r U U Edr U r λ
πε
=-=-
⎰
（2）
设r =r b 时，U b =0，则有
02ln a
b
a
U r r λ
πε=
（3）
将（3）式代入（2）及（1）式，得
ln
ln b
r a b
a
r r
U U r r =
（4）
1ln a r
r b a
U dU E r dr r r =-
=⋅
（5）
（2）同轴圆柱面电极间的电场分布
若上述圆柱形导体A 与圆筒形导体B 之间充满了电导率为σ的不良导体， A 、B 与电源电流正负极相连接（见图3），A 、B 间将形成径向电流，建立稳恒电流场E r ′，可以证明不良导体中的电场强度E r ′与原真空中的静电场E r 是相等的。
取厚度为t 的圆轴形同轴不良导体片为研究对象，设材料电阻率为ρ（ρ=1/σ），则任意半径r 到r +d r 的圆周间的电阻是
22dr dr dr dR s rt t r
ρρρππ=⋅
=⋅=⋅
（6）
则半径为r 到r b 之间的圆柱片的电阻为
ln
22b
b
r b rr r r dr R t r t r
ρρ
ππ==⎰
（7）
图3 同轴电缆的模拟模型
总电阻为(半径r a 到r b 之间圆柱片的电阻)
ln 2a b b r r a
r R t r ρ
π=
（8）
设U b =0，则两圆柱面间所加电压为U a ，径向电流为
2ln a b a a
b
r r a
U tU I r R r πρ=
=
（9）
距轴线r 处的电势为
ln
ln b b
r rr a b
a
r r
U IR U r r '==
（10） 则
r E '
=
1ln a r b a
U dU r dr r r '-=⋅
（11）
由以上分析可见，U r 与U r ′， E r 与E r ′的分布函数完全相同。为什么这两种场的分布相同呢？我们可以从电荷产生场的观点加以分析。在导电介质中没有电流通过的，其中任一体积元（宏观小，微观大，其内仍包含大量原子）内正负电荷数量相等，没有净电荷，呈电中性。当有电流通过时，单位时间内流入和流出该体积元内的正或负电荷数量相等，净电荷仍为零，仍然呈电中性。因而，整个导电介质内有电流通过时也不存在净电荷。这就是说，真空中的静电场和有稳恒电流通过时导电介质中的场都是由电极上的电荷产生的。事实上，真空中电极上的电荷是不移动的，在有电流通过的导电介质中，电极上的电荷一边流失，一边由电源补充，在动态平衡下保持电荷的数量不变。所以这两种情况下电场分布是相同的。
4、静电场的测绘方法 由电磁学理论可知，场强E 在数值上等于电势梯度，方向指向电势降落方向。考虑到E 是矢量，而电势U 是标量，从实验测量来讲，测定电势比测定场强容易实现，所以可先测绘等势面（线），然后根据电场线与等势面（线）正交的原理，画出电场线，并且可由等势线的间距确定电场线的疏密和指向，将抽象的电场形象地反映出来。例如：
（1）无限长的带异号电荷同轴柱面的电场分布（例如同轴电缆）：
其静电场分布的特点是：①、对称性：电场的分布局限在两圆柱面之间的环形区域内，并具有轴对称性的特点；②、与z 轴无关。
在圆环B 中放一层自来水，在电极上加－U 和＋U ，由于对称性，该电流场等势面都
