第四章 叶栅理论 §4—1 概 论
把按照一定规律排列起来的相同机翼之系列，叫做翼栅。翼栅问题是单个机翼问题的推广。翼栅理论在工程上得到广泛应用，特别是在叶片式流体机械方面。因此，翼栅常被称为叶栅，组成它的机翼也就叫做叶片了。 一、叶栅几何参数
表征一个叶栅的几何特征的参数，叫做叶栅的几何参数。叶栅的几何参数主要有下列几个：
(一)列线
栅中诸叶片上各相应点的联结线，称为叶栅的列线。通常都以叶片前后缘点的联线表示之。实际上所遇到的列线，其形状有两种：一为无限长直线；另
(见图4一
1)。
(二)栅轴
垂直于列线的直线叫栅轴。但对圆周列线的叶栅，把旋转轴定义为其栅轴。 有些文献中，把上述列线叫做栅轴，而不再引用列线这一名词。 (三)叶型
叶片与过列线的流面交截出来的剖面形，叫叶栅的叶型。其一几何参数见翼型。
图4—1直列叶栅与环列叶栅
(四)栅距
列线上二相邻的相应点间的线段长度，叫叶栅的栅距或栅隔，用字母t 记之。对圆列线叶栅，不引用此参数，而用角距n
π
2(n ——叶片数)代替它。 (五)安放角
叶型的弦与列线间之夹角e β，称为叶型在叶栅中之安放角。叶型中线在前、后缘之切线
与列线之夹角'e β、''e β分别叫作叶型的进、出口安放角。对圆列线叶栅，只引用后二个参数。 （六）疏密度
栅中叶型弦长l 与栅距t 之比值t l /，叫做叶栅的疏密度。而把其倒数l t /，称为相对栅距。圆列线叶栅不引用此参数。 二、叶栅分类
在工程实际当中所遇到叶栅多种多样，为便于分析和讨论问题，可以给这些叶型加以分 类。但从不同角度又可得出不同的分类，这里仅就水力机械中常用到的分类法，介绍两种。
(一)根据绕流流面分类叶栅
1．平面叶栅
如能将绕叶栅液流分成若干等厚度流层，这些流层本身为平面或这些流层虽为曲而，但若沿流线切开后，能铺展成一平面者，称这类叶栅为平面叶栅。绕这类叶栅的流动为平面流动。
例如水轮机的导叶叶栅，低比速水轮机和水泵的转轮叶栅等，绕流这些叶栅的流面本身就是平面；而轴流式水轮机、水泵和风机等转轮叶栅之流面，虽为圆柱面，但顺流线切开后可展成平面。所以上述叶栅均为平面叶栅。
2．空间叶栅
如果无论怎样分绕叶栅的液流，既得不到平面流层，也得不到可以展成平面的曲面流层时，则叶栅就叫空问叶栅。混流式水轮机及泵叶轮属于这类叶栅。
(二)按展开流面上列线形状，还可分叶栅成；
1．直列叶栅
列线成一无限长直线者为直列叶栅。轴流式叶轮属于此类叶栅(图4-1a)。
2．环列叶栅
列线为一圆形围线者，称环列叶栅。低比速水轮机及水泵叶轮，均为环列叶栅(图4-1b)。
三、叶栅绕流问题提法
叶栅理论所讨论的问题，可以分成两个基本类型：
(一)正问题
给定叶栅和栅前无穷远处来流，要确定叶片表面及其周围空间的流速分布及栅后无穷远处流功情况。这类问题通常就叫做绕叶栅流动正问题。
(二)反问题
给定叶栅前、后无穷远处速度，及某些叶栅几何参数，要求作出叶栅。这样提出的问题，常称为绕叶栅流动反问题。
正问题是叶栅理论的基础，叶栅绕流总是从正问题入手，建立它的理论。反问题是设计叶栅，是机器制造中的首要任务。
不可压缩流体叶栅理论，目前对平面叶栅比较成熟。可认为任意叶型所组成的叶栅之平面势流问题都已解决，并被广泛应用于工程实际中。空间叶栅理论，则还处于探索阶段。本书主要介绍平面叶栅的绕流。
四、栅中叶型的受力
在平而机翼理论§3一3中，我们得到了单个机翼受力的库达一茹可夫斯基定理。在平面直列叶栅情况下，使用动量定理，则可导出一个类似的结果。
如图4-2a为一被绕流的直列叶栅。栅前、栅后无限远处流速，分别为'ω和''ω。坐标系取法如图：y轴与列线平行，x轴与它成右手系。
图 4-2 栅中叶型的受力
取垂直于纸面为一单位厚的封闭控制面ABCD :AB 与DC 为二相邻的相应流线；AD 及BC 则取再叶栅前、后充分远处并与列线平行，那里流动已趋于均匀。对流出、流进此控制面的流体，列出它们沿坐标轴方向的动量方程：
()()()'
''
'''
'''x
x x y x x p p t R
Q R Q ρωωρωω--=--=-
其中''',p p 为叶栅前、后充分远处的压力；,x y R R 为流体对叶型作用力R 的坐标分量。
由连续性方程：
'''
x x Q t t ωω==
从而 '''
x x x ωωω==
代入动量方程得
()'
''
0x
p p t R
--=
或 ()
'''
x R p p t =-
()'''
y x x x R t ρωωω=-
为进一步改进所得结果，在上、下游断面AD 与BC 处列出伯努利方程式：
()()'2'2''2''21122
x y x y p p ρωωρωω+
-=+- 从而 ()'''''2'2
12
y y ρρρωω-=-
把这代入上面得到R x 之结果中则
()()''2'2''2'2
12
x y y y y y R t R t ρωωρωω=
-=-- 把上、下游速度的向量平均值，叫做绕叶栅流动的无穷远平均速度，并用记号ω∞表示：
()'''
'''1
22
y y x i j ωωωωωω∞+=+=+
注意此时饶叶型环量为:
()'''
''
'
'''s ABCDA
s y s y AB BC
CD
DA
s y s y AB
BC DC AD y y ds
ds dy ds dy
ds dy ds dy
t
ωωωωωωω
ωω
ωωΓ==+++=+--=-⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
把ω∞及Γ代入叶型受力的表达式得
x y y x R R ρωρω∞∞=Γ=-Γ
(4-1)
这就是作用在叶型上的力之两个坐标分量。合力的大小为
R ρω∞==Γ
并由于
0x y y x x y R X Y ωωωρωωρωω∞∞∞∞∞∞∞∙=+=Γ-Γ=
可见R 与ω∞垂直，结合式(4一1)更可看出R 的方向为将ω∞逆环流转90
的方向(见图4-2
b )。
如果令相邻两叶片间距离t 无限增大，而保持环量Γ不变，则由
()'''
y y t ωωΓ=-
推知
'''0y y ωω-→
这就是说，留在有限位置上的那个叶片前、后充分远处的流速'ω、''
ω完全一样了。这个离叶片充分远处的流速用ω∞代表，则叶片此时所受升力为R ρω∞=Γ。因此，孤立翼型可视为叶栅绕流的一个特殊情况，而叶栅绕流时茹可夫斯基升力公式的更一般形式是 R ρω∞=Γ (4-2) 五、等价叶栅
在叶栅的计算中，某一叶栅动力特性的有关数据，常常是通过已被详细地进行过理论分析，并精确地掌握其动力性能的另一个，所谓等价叶栅取得的。因此有必要介绍一个等价叶栅的概念。
栅距相同，但叶型不同的两个叶栅，如对无论怎样的来流速度，二栅中叶型全能给出相等的的升力，则此二叶栅叫互为等价的叶栅。
