数理逻辑习题答案

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P184 习题10.1

10.1.1 解：⑴ ① P∧R→Q ；② Q→R ；③ P∧Q

⑵ ① 我去镇上，当且仅当我有时间且天不下雪。

② 我若去镇上则我有时间，并且我若有时间则去镇上。

③ 我有时间或我去镇上，此话不对。（并非如此）

10.1.2 解：⑴  T∨T∧F  T∨F  T

⑵  T∧T∧F∨(T∨T∧(F∨F))  F∨(T∨T∧F)  F∨F  F

⑶  (F∧T∨T)∧F∨((T∧T)∨T)  F∨(F∨T)  T

⑷  (T∧T)∨T∨( )  T

⑸  (TF)∧(F→F)  F∧T  F

⑹  T∨( )T∨T  TT  T

10.1.3 解：⑴ P：天下雨；Q：我不去； 正：P→Q ； 逆：Q→P ； 反：P→Q 。

⑵ P：你去； Q：我逗留； 正：Q→P ； 逆：P→Q ； 反：Q→P 。

⑶ P：n是大于2的正整数； Q：方程xn+yn=zn无正整数解。

正：P→Q ； 逆：Q→P ； 反：P→Q。

P201 习题10.2

10.2.1 解：⑴

⑵

⑶

P Q P→Q (P→Q)→P 全式

0 0 1 0 0

0 1 1 0 0

1 0 0 1 0

1 1 1 1 1

P Q R Q∧R P∨Q P∨R (P∨Q∧R) (P∨Q)∧(P∨R) 全式

0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 1 1 0 0

0 1 0 0 1 0 1 0 0

0 1 1 1 1 1 0 1 0

1 0 0 0 1 1 0 1 0

1 0 1 0 1 1 0 1 0

1 1 0 0 1 1 0 1 0

1 1 1 1 1 1 0 1 0

P Q R P∨Q Q∧R P∨Q→Q∧R (P∨Q→Q∧R)→P R 全式

0 0 0 0 0 1 0 1 0

0 0 1 0 0 1 0 0 0

0 1 0 1 0 0 1 1 1

0 1 1 1 1 1 0 0 0

1 0 0 1 0 0 1 1 1

1 0 1 1 0 0 1 0 0

1 1 0 1 0 0 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 0 0 学习必备

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⑷

10.2.2 解：⑴ 否。∵无论基础条款还是归纳条款都不能产生P，Q连在一起的情况。

⑵ 是。根据基础，P，Q，R 是；

根据归纳，P，(P∧Q) 皆是；

又根据归纳，P→(P∧Q) 是；

又根据归纳，(P→(P∧Q))∨R 是。

⑶ 否。∵无论基础条款还是归纳条款都不能产生∨∧。

⑷ 是。根据基础，P，Q，R 是；

根据归纳，R→P 是；

又根据归纳，Q∧(R→P) 是；

又根据归纳，(Q∧(R→P))→P 是。

10.2.3 解：

⑴ P∧(P→Q)→Q36E(P∧(P∨Q))∨Q7E((P∧P)∨(P∧Q))∨Q

19E(F∨(P∧Q))∨Q29E(P∧Q)∨Q13E(P∨Q)∨Q4EP∨(Q∨Q)

20EP∨T28ET

⑵ (P→Q)∧(Q→R)→(P→R)36E[(P∨Q)∧(Q∨R)]∨(P∨R)

7E[(P∧Q)∨(P∧R)∨(Q∧Q)∨(Q∧R)]∨(P∨R)

19E[(P∧Q)∨(P∧R)∨F∨(Q∧R)]∨(P∨R)

29E[(P∧Q)∨(P∧R)∨(Q∧R)]∨(P∨R)

14E[(P∧Q)∧(P∧R)∧(Q∧R)]∨(P∨R)

13E[(P∨Q)∧(P∨R)∧(Q∨R)]∨(P∨R)

8E(P∨Q∨P∨R)∧(P∨R∨P∨R)∧(Q∨R∨P∨R)

20E(T∨Q∨R)∧(T∨T)∧(T∨Q∨P)28ET∧T∧T T

⑶ (P→Q)→(P∨Q)36E(P→Q)→(P→Q)21ET

⑷ (P↔Q)↔(P∧Q∨P∧Q)36E(P↔Q)↔(P↔Q)24ET

① ② ③ ④

P Q R P∧Q P→① ②→R ③∧Q 全式

0 0 0 0 0 1 0 1

0 0 1 0 0 1 0 0

0 1 0 0 0 1 1 1

0 1 1 0 0 1 1 1

1 0 0 1 1 0 0 1

1 0 1 1 1 1 0 0

1 1 0 0 1 0 0 1

1 1 1 0 1 1 1 1 学习必备

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P189 习题10.3

10.3.1 解：P  P↓P

P∧Q  (P↓P)↓(Q↓Q)

P∨Q  (P↓Q)↓(P↓Q)

P→Q  (P↓P↓Q)↓(P↓P↓Q)

P↔Q  (P↓P↓Q)↓(Q↓Q↓P)

10.3.2 解：P  P↑P

P∧Q  (P↑Q)↑(P↑Q)

P∨Q  (P↑P)↑(Q↑Q)

P→Q  P↑(Q↑Q)  P↑(P↑Q)

P↔Q  (P↑Q)↑((P↑P)↑(Q↑Q))

10.3.3 解：P∧Q  (P∨Q)  (P→Q)

P∨Q  P→Q

PQ (P→Q)∧(Q→P)((P→Q)∨(Q→P)) ((P→Q)→(Q→P))

T  P→P

F  (P→P)

10.3.4 解：P∧Q  (P∨Q)  (P→Q)  (P→(Q→F))→F

P∨Q  P→Q  (P→F) →Q

P  P→F

T  P→P

PQ  (P→Q)∧(Q→P)  ((P→Q)→((Q→P)→F))→F

10.3.5 解：P TP

P∧Q  P(TQ)

P∨Q  T((TP)Q)

PQ  (T(PQ))(T(T(QP)))

F  TT

10.3.6 证：⑴ P↑Q(P∧Q)(Q∧P)Q↑P。同样方法可证得 P↓Q  Q↓P。

⑵ 令 P=Q=T，S=F，

P↑(Q↑S)  (P∧(Q∧S))  (T∧(T∧F))  F

(P↑Q)↑S  ((P∧Q)∧S)  ((T∧T)∧F)  T

∴ ↑不可结合。同样方法可证得↓也不可结合。 ※

10.3.7 证：⑴ PQ(P∧Q)∨(Q∧P)(Q∧P)∨(P∧Q)QP

⑵ P(QR)(P∧((Q∧R)∨(R∧Q)))∨(((Q∧R)∨(R∧Q))∧P)

((P∧Q∧R)∨(P∧R∧Q))∨(((Q∨R)∧(R∨Q))∧P)

(P∧Q∧R)∨(P∧R∧Q)∨(((Q∧R)∨(R∧Q))∧P)

(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R) → → → → → → → → → → → → → 学习必备

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(PQ)R(((P∧Q)∨(Q∧P))∧R)∨(((P∧Q)∨(Q∧P))∧R)

(((P∨Q)∧(Q∨P))∧R)∨((P∧Q∧R)∨(Q∧P∧R))

((P∧Q)∨(Q∧P))∧R) ∨(P∧Q∧R)∨(Q∧P∧R)

(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(Q∧P∧R)

∴ P(QR)  (PQ)R 。

⑶ P∧(QR)P∧((Q∧R)∨(R∧Q))(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)

(P∧Q)(P∧R)((P∧Q)∧(P∧R))∨((P∧Q)∧(P∧R))

((P∨Q)∧(P∧R))∨((P∧Q)∧(P∨R))

(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)

∴ P∧(QR)(P∧Q)(P∧R) 。 ※

10.3.8 证：⑴ PQ(P→Q)∧(Q→P)(Q→P)∧(P→Q)QP

⑵ P(QR)(P∨((Q∨R)∧(R∨Q)))∧(((Q∨R)∧(R∨Q))∨P)

((P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R))∧(((Q∧R)∨(Q∧R))∨P)

(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧(((Q∨R)∧(Q∨R))∨P)

(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)

(PQ)R((P∨Q)∧(P∨Q)∨R)∧((P∨Q)∧(P∨Q)∨R)

(((P∧Q)∨(P∧Q))∨R)∧((P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R))

(((P∨Q)∧(P∨Q))∨R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)

(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)

∴ P(QR)  (PQ)R 。

⑶ P∨(QR)P∨(Q∨R)∧(R∨Q)(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)