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江西省宜春市国星中学高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 为了调查学生每天零花钱的数量（钱数取整数元），以便引导学生树立正确的消费观．样本容量1000的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在［6,14)内的频数为（）A. 780B. 660C. 680D. 460参考答案：C略2. 已知是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（）．A．B．C．D．参考答案：B∵，时，，∴当时，为增函数，时，为减函数，∵有奇函数，∴为偶函数，∵，∴．画出大致图象可得到时．3. 设f（x）=xe x的导函数为f′（x），则f′（1）的值为（）A．e B．e+1 C．2e D．e+2参考答案：C【考点】导数的运算．【分析】求出导函数，再x=1代入导函数计算．【解答】解：f′（x）=e x+xe x，f′（1）=e+e=2e．故选：C．4. 如图是导函数的图象，那么函数在下面哪个区间是减函数( )A. B. C. D.参考答案：B略5. 函数的定义域是A. （-1，2]B. [-1,2]C. （-1 ，2）D. [-1,2)参考答案：A【分析】根据二次根式的性质求出函数的定义域即可．【详解】由题意得：解得：﹣1＜x≤2，故函数的定义域是（﹣1，2]，故选：A．【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．常见的求定义域的类型有：对数，要求真数大于0即可；偶次根式，要求被开方数大于等于0；分式，要求分母不等于0，零次幂，要求底数不为0;多项式要求每一部分的定义域取交集.6. 已知a＞b，c∈R，则（）A．＜B．|a|＞|b| C．a3＞b3 D．ac＞bc参考答案：C【考点】不等式的基本性质．【分析】利用函数f（x）=x3在R单调递增，可知：C正确．再利用不等式的基本性质即可判断出A，B，D不正确．【解答】解：利用函数f（x）=x3在R单调递增，可知：C正确．a＞0＞b时，A不正确；取a=﹣1，b=﹣2，B不正确．取对于c≤0时，D不正确．故选：C．【点评】本题考查了不等式的基本性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7. 有下列四个命题①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题。
江西省宜春市八景中学2020-2021学年高二数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 把89化为五进制数，则此数为 ( )A． 322(5) B． 323(5) C． 324(5) D． 325(5)参考答案：C2. 在极坐标系中，曲线关于（）A.直线轴对称B B ．直线轴对称DC.点中心对称D.极点中心对称参考答案：B将原极坐标方程，化为：ρ2=2ρsinθ﹣2ρcosθ，化成直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣2y=0，是一个圆心在（﹣，1），经过圆心的直线的极坐标方程是直线轴对称．故选B．3. 已知函数在上是单调函数,则实数的取值范围是（）A． B．C． D．参考答案：B4. 在直角坐标系xOy中，在y轴上截距为且倾斜角为的直线方程为( )A． B． C． D ．参考答案：A略5. 两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R如下，其中拟合效果最好的模型是（）A. 模型1的相关指数B. 模型2的相关指数C. 模型3的相关指数D. 模型4的相关指数参考答案：D【分析】根据两个变量与的回归模型中，相关指数的绝对值越接近1，其拟合效果越好，由此得出正确的答案．【详解】根据两个变量与的回归模型中，相关指数的绝对值越接近1，其拟合效果越好，选项D中相关指数R最接近1，其模拟效果最好．故选：D．【点睛】本题考查了用相关指数描述两个变量之间的回归模型的应用问题，是基础题目．6. 已知数列{a n}：， +， ++， +++，…，那么数列{b n}={}的前n项和为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】数列的求和；数列的概念及简单表示法．【分析】先求得数列{a n}的通项公式为a n==，继而数列的通项公式为==4（），经裂项后，前n项的和即可计算．【解答】解：数列{a n}的通项公式为a n===数列的通项公式为==4（）其前n项的和为4[（）+（）+（）+…+（）]=故选A7. 已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的动点，则线段中点的轨迹方程是（）A．B． C．D．参考答案：A略8. 水平放置的△ABC的直观图如图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′=，那么原△ABC是一个( )A．等边三角形B．直角三角形C．三边中只有两边相等的等腰三角形D．三边互不相等的三角形参考答案：A【考点】平面图形的直观图．【专题】计算题；转化思想．【分析】由图形和A′O′=通过直观图的画法知在原图形中三角形的底边BC=B'C'，AO⊥BC，且AO=，故三角形为正三角形．【解答】解：由图形知，在原△ABC中，AO⊥BC，∵A′O′=∴AO=∵B′O′=C′O′=1∴BC=2∴AB=AC=2∴△ABC为正三角形．故选A【点评】本题考查了平面图形的直观图的画法及其先关性质，把握好直观图与原图形的关系，是个基础题．9. 若变量满足约束条件的最大值和最小值分别为（）A． B． C． D．参考答案：B10. 如果满足∠ABC=60 , AC=12, BC=k的△ABC恰有一个, 那么k的取值范围是(A)k=8(B)0＜k≤12(C)k≥12(D)0＜k≤12或k=8参考答案：D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 从8名女生和4名男生中抽取3名学生参加某娱乐节目，若按性别进行分层抽样，则不同的抽取方法数为 .参考答案：112由分层抽样可得，应从8名女生中抽取2人，从4名男生中抽取1人， 所以不同的抽取方法共有种．12. 若函数f （x ）=在区间（0，2）上有极值，则a 的取值范围是 ．参考答案：（﹣1，1）求出函数的导数，求出函数的极值点，得到关于a 的不等式，解出即可．解：f′（x ）=，令f′（x ）＞0，解得：x ＜a+1， 令f′（x ）＜0，解得：x ＞a+1，故f （x ）在（﹣∞，a+1）递增，在（a+1，+∞）递减， 故x=a+1是函数的极大值点，由题意得：0＜a+1＜2，解得：﹣1＜a ＜1， 故答案为：（﹣1，1）．13. （5分）已知直线l 1：x+ay+6=0和l 2：（a ﹣2）x+3y+2a=0，则l 1∥l 2的充要条件是a= ． 参考答案：﹣1【考点】： 直线的一般式方程与直线的平行关系． 【专题】： 计算题．【分析】： 由已知中，两条直线的方程，l 1：x+ay+6=0和l 2：（a ﹣2）x+3y+2a=0，我们易求出他们的斜率，再根据两直线平行的充要条件，即斜率相等，截距不相等，我们即可得到答案． 解：∵直线l 1：x+ay+6=0和l 2：（a ﹣2）x+3y+2a=0，∴k 1=，k 2=若l 1∥l 2，则k 1=k 2即=解得：a=3或a=﹣1又∵a=3时，两条直线重合 故答案为﹣1【点评】： 本题考查的知识点是直线的一般式方程与直线的平行关系，其中两个直线平行的充要条件，易忽略截距不相等的限制，而错解为﹣1或3．14. 在正方体中，P 为对角线的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有_____________（个）.参考答案：415. 已知复数z ＝1＋a i(a ∈R，i 是虚数单位)，则a ＝________________.参考答案：－2 略16. 如图，在□ABCD 中，，，，M 是BC 的中点，则____________．（用、表示）参考答案：略17. 已知平行四边形ABCD 的三个顶点为A （-1，2），B （3，4），C （4，-2），点（x ，y ）在四边形ABCD 的内部（包括边界），则z=2x-5y 的取值范围是___________. 参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2023-2024学年上学期期末模拟考试01高二数学（答案在最后）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．测试范围：空间向量与立体几何、直线与圆的方程、圆锥曲线、数列。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线10x -=的倾斜角是（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】D【分析】根据已知条件，结合直线的倾斜角与斜率的关系，即可求解．【详解】设直线的倾斜角为θ，0πθ≤<，直线10x -=可化为y =所以直线的斜率tan k θ==5π6θ∴=，故选：D ．2.已知)1,2n x =，(2n =--分别是平面,αβ的法向量，若//αβ，则x =（）A.7-B.1-C.1D.7【答案】B【解析】【分析】利用平面平行可得法向量平行，列出等式即可求解【详解】因为)1,2n x =，(2n =--分别是平面,αβ的法向量，且//αβ，所以12//n n，即33==-，解得=1x -故选：B3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22a =，且2a ，3a ，42a -成等差数列，则4S =（）A ．7B ．12C ．15D ．31【答案】C【分析】设出公比，根据2a ，3a ，42a -成等差数列列出方程，求出公比，利用等比数列求和公式得到答案.【详解】设公比为()0q q ≠，因为2a ，3a ，42a -成等差数列，所以32422a a a =+-，则222222q q ⨯=+-，解得：2q =或0（舍去）.因为22a =，所以11a =，故44121512S -==-.故选：C4．设R a ∈，则“1a =”是“直线()130a x ay +++=与直线250ax y +-=平行”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据直线平行的条件和充分必要条件的概念可判断结果.【详解】因为直线(1)30a x ay +++=与直线250ax y +-=平行的充要条件是212a a +=且5(1)6a a -+≠，解得1a =或12a =-．所以由充分必要条件的概念判断可知：“1a =”是“直线()130a x ay +++=与直线250ax y +-=平行”的充分不必要条件，故选：A5．如图，在四面体OABC 中，,,OA a OB b OC c ===．点M 在OA 上，且2,OM MA N =为BC中点，则MN等于（）A.121232a b c -+B.211322a b c-++C.111222a b c +- D.221332a b c +- 【答案】B 【解析】【分析】连接ON ，利用空间向量基本定理可得答案.【详解】连接()12211,23322ON MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++．故选：B.6．已知圆1C ：221x y +=与圆2C ：22860+-++=x y x y m 相内切，则1C 与2C 的公切线方程为（）A.3450x y --=B.3450x y -+=C.4350x y --=D.4350x y -+=【答案】D 【解析】【分析】由两圆的位置关系得出m ，进而联立两圆方程得出公切线方程.【详解】圆1C ：221x y +=的圆心11(0,0),1O r =，圆2C ：22860+-++=x y x y m 可化为22(4)(3)25x y m -++=-，()25m <，则其圆心为2(4,3)O -，半径为2r =，因为圆1C 与圆2C 相内切，所以2121r O O -=，即216r ==，故11m =-.由2222186110x y x y x y ⎧+=⎨+-+-=⎩，可得4350x y -+=，即1C 与2C 的公切线方程为4350x y -+=.故选：D7．已知数列{}n a 满足1112n n n n n a a a a ++--=，且21a =-，若816k a a =，则正整数k 为（）A ．13B ．12C ．11D ．10【答案】B 【分析】确定111112n n n a a -+-=，112a =-，利用累加法确定22n n a -=-，代入计算得到答案.【详解】1112n n n n n a a a a ++--=，故111112n n n a a -+-=，21a =-，故112a =-，212112111111111111112222n n n n n n n n a a a a a a a a -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+=+++-=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .故22n n a -=-，816k a a =，即261021622k --=-⨯=-，故210k -=，解得12k =.故选：B8．已知F 为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点，P 为C 上的动点，过F 且垂直于x 轴的直线与C 交于M ，N 两点，若MN 等于PF 的最小值的3倍，则C 的离心率为（）A.13B.12C.3D.2【答案】B 【解析】【分析】根据椭圆的性质以及通径，可得minPF a c =-，22b MN a=，再根据已知列式，结合椭圆a b c 、、的关系，求出离心率即可.【详解】F 为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点，P 为C 上的动点，由椭圆的性质，可得minPFa c =-.过F 且垂直于x 轴的直线与C 交于M ，N 两点，22b MN a∴=.MN 等于PF 的最小值的3倍，()223a b ac =∴-.椭圆中222a c b -=，()222233a c a ac ∴-=-，即22230c ac a -+=，则22222230c ac a a a a -+=.ce a=，22310e e ∴-+=，解得12e =或1e =（舍）.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知曲线1C ：224348x y +=，2C ：2213yx -=，则（）A.1C 的长轴长为4B.2C 的渐近线方程为y =C.1C 与2C 的焦点坐标相同D.1C 与2C 的离心率互为倒数【答案】BD 【解析】【分析】根据椭圆与双曲线的标准方程，结合它们的几何性质逐项判断即可.【详解】曲线1C ：224348x y +=整理得2211216x y+=，则曲线1C 是焦点在y 轴上的椭圆，其中221116,12a b ==，所以2221114c a b =-=，离心率为1112142c e a ===故曲线1C 的长轴长128a =，故A 不正确；曲线2C ：2213y x -=是焦点在x 轴上的双曲线，其中22221,3a b ==，所以2222224c a b =+=，离心率为222221c e a ===，故与曲线1C 的焦点位置不同，故C 不正确；2C ：2213y x -=的渐近线方程为y =，故B 正确；又121212e e ⋅=⨯=，所以1C 与2C 的离心率互为倒数，故D 正确.故选：BD.10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23240,0S S ><，则下列结论错误的是（）A ．数列{}n a 是递增数列B ．130a >C ．当n S 取得最大值时，13n =D ．1312a a >【答案】ABC【分析】由已知23240,0S S ><，利用等差数列求和公式与等差数列的性质可得：120a >，12130a a +<，进而判断选项即可.【详解】因为{}n a 是等差数列，且23240,0S S ><，所以()12312232302a a a +=>，()()()1241241213242412022a a a a a a ++==+<，即12130a a +<，所以120a >，130a <，且1312a a >，所以B 错误，D 正确；因为13120d a a =-<，所以等差数列{}n a 是递减数列，所以A 错误；所以当12n =时，n S 取得最大值，所以C 错误.故选：ABC11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11A B ，AB 的中点，则下列结论正确的是（）A.点B 到直线11A CB.直线CF 到平面1AEC 的距离为3C.直线11A C 与平面1AEC 所成角的余弦值为6D.直线11A C 与直线1B F 所成角的余弦值为10【答案】ABD 【解析】【分析】以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可结合选项逐一求解．【详解】在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11A B ，AB 的中点，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，(2B ,2,0)，1(2A ,0,2)，1(0C ,2,2)，1(0A B = ,2,2)-，11(2A C =-,2,0)，则点B 到直线11A C 的距离为：21||d A B==A正确；(2A,0,0)，(2F,1,0)，(2E,1,2)，(0C,2,0)，(2CF=,1-,0)，(0AE=,1,2)，1(2AC=-,2,2)，(0AF=,1,0)，设平面1AEC的法向量(n x= ,y,)z，则1202220n AE y zn AC x y z⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取1x=，得(1n=,2,1)-，由于,E F分别为11,A B AB的中点，所以1//EF CC且1EF CC=，因此四边形1FCC E为平行四边形，故1//EC FC,又⊄FC平面1AEC,1EC⊂平面1AEC,所以//CF平面1AEC，∴直线CF到平面1AEC的距离为||||3AF ndn⋅===，故B正确；设直线11A C与平面1AEC所成角为θ，则1111||sin||||A C nA C nθ⋅==⋅C错误；1(2B,2,2)，1(0B F=,1-,2)-，设直线11A C与直线1B F所成角为θ，则111111||cos||||AC B FAC B Fθ⋅==⋅，故D正确．故选：ABD．12.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…设第n层有n a个球，从上往下n层球的总数为n S，则下列结论正确的是（）A.420S= B.1n n na a+-=C.()112n n n n S S -+-=，2n ≥ D.1232023111120231012a a a a +++⋅⋅⋅+=【答案】ACD 【解析】【分析】根据每层球数变化规律可直接求解得到AB 正误；利用累加法可求得C 正确；采用裂项相消法可求得D 正确.【详解】对于A ，123441361020S a a a a =+++=+++=，A 正确；对于B ，由每层球数变化规律可知：()11n n a a n n *+-=+∈N ，B 错误；对于C ，当2n ≥时，()()()()()11221111212n n n n n n n a a a a a a a a n n ---+=-+-+⋅⋅⋅+-+=+-+⋅⋅⋅++=；当1n =时，11a =满足()12n n n a +=，()()12n n n a n *+∴=∈N ；()()1122n n n n n S S a n -+∴-==≥，C 正确；对于D ，()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，123202311111111112121223202320242024a a a a ⎛⎫⎛⎫∴+++⋅⋅⋅+=⨯-++⋅⋅⋅+-=⨯- ⎪⎝⎭⎝⎭20231012=，D 正确.故选：ACD.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，若PD xPA yPB zPC =++ ，则xyz =______．【答案】1-【解析】【分析】根据空间向量的运算及空间向量基本定理得答案.【详解】因为四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，所以PD PA AD PA BC PA PC PB =+=+=+- ，又PD xPA yPB zPC =++，由空间向量基本定理可得，1,1,1x y z ==-=，故1xyz =-.故答案为：1-.14.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21n n S a =+，则n a =________．【答案】12n --【解析】【分析】先令1n =得到11a =-，再令2n ≥得到1121n n S a --=+，从而得到()122nn a n a -=≥为常数，得到数列{}n a 是首项为1-，公比为2的等比数列，从而直接求得通项公式.【详解】令1n =，得11121a S a ==+，所以11a =-；令2n ≥，则1121n n S a --=+，两式相减得，1122n n n n S S a a ---=-，即122n n n a a a -=-，所以()122n n a a n -=≥，因为110a =-≠，所以0n a ≠，所以()122nn a n a -=≥为常数，所以数列{}n a 是首项为1-，公比为2的等比数列，所以11122n n n a --=-⨯=-.故答案为：12n --15.如图是一座抛物线型拱桥，拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．当水位下降，水面宽为6米时，拱顶到水面的距离为______米．【答案】4.5##92【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为2x my =，求出抛物线的方程，再代点的坐标即得解.【详解】如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为2x my =，将()2,2A -代入2x my =，得2m =-，所以22x y =-．设()03,B y ，代入092y =-，得0 4.5y =-．所以拱桥到水面的距离为4.5m ．故答案为：4.5.16.如图，我们把由半椭圆()2210169y x x +=≤和半椭圆()22102516x y x +=>合成的曲线称作“果圆”．1F ，2F ，3F 是相应半椭圆的焦点，则123F F F 的周长为______，直线y t =与“果圆”交于A ，B 两点，且AB 中点为M ，点M 的轨迹方程为______．【答案】①.8+②.()221016y x x +=>【解析】【分析】根据各半椭圆方程可得1F ，2F ，3F 的坐标，再根据两点间距离公式求得距离及周长；分别表示点A ，B 的坐标，利用中点公式表示M ，消参即可得到点M ，得轨迹方程.【详解】由1F ，2F ，3F 是相应半椭圆的焦点，可得(1F，(20,F ，()33,0F ，所以12F F =，134F F =，234F F =，故所求周长为448++=+；设(),M x y ，联立直线y t =与()2210169y xx +=≤，得x =-，即点A t ⎛⎫⎪⎝⎭，联立直线y t =与()22102516x yx +=>，得x =即点B t ⎫⎪⎭，且,A B 不重合，即4t ≠，又M 为AB 中点，所以1644242x t ty t ⎧⎪==⎪⎨⎪+==⎪⎩，即x =0x >，整理可得22116yx +=，0x >，故答案为：8+，()221016y x x +=>.四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（10分）已知ABC D 的顶点坐标为(1,1)A -，(2,0)B ，(3,4)C .(1)求AB 边上的高CD 的长.(2)求ABC D 的面积.【答案】(1)10(2)13 2【分析】（1）求出直线AB的方程，利用点到直线的距离即可求解；（2）求出AB的长，用面积公式即可求解.【详解】（1）由题意，直线AB的方程为：021012y x--=---，即320x y+-=.故点C到直线AB的距离即为AB边上的高CD的长，所以||CD=（2）因为||AB==所以ABCD的面积为：111313||||22102ABCS AB CD==创=.18.（12分）已知数列{}n a是等差数列，{}n b是各项均为正数的等比数列，数列{}n b的前n项和为n S，且111a b==，221a b=+，43a S=．（1）求数列{}n a，{}n b的通项公式；（2）令()*,21,2nnna n kc kb n k=-⎧=∈⎨=⎩N，求数列{}n c的前12项和12T．【答案】（1）21na n=-，12nnb-=（2）2796【解析】【分析】（1）由数列{}n a是等差数列，{}n b是各项均为正数的等比数列，设出公差和公比，根据题意列出方程组求解即可；（2）根据题意写出数列{}n c通项公式，用分组求和法，结合等差等比求和公式求解即可.【小问1详解】设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为()0q q >，由题意可得，()11211131a d b q a d b q q +=+⎧⎪⎨+=++⎪⎩，即23d q q q d =⎧⎨+=⎩，所以220q q -=，因为0q >，所以2d q ==，所以()12121n a n n =+-=-，11122n n n b --=⨯=．【小问2详解】由（1）可得*121,21,2,2n n n n k c k n k--=-⎧=∈⎨=⎩N ，所以{}n c 的所有奇数项组成以1为首项，4为公差的等差数列；所有偶数项组成以2为首项，4为公比的等比数列．所以，()()1213112412T c c c c c c =+++++++ ()()13112412a a a b b b =+++++++ ()()62146616146627302796214⨯-⨯-=⨯+⨯+=+=-．19.（12分）已知直线20x y --=经过抛物线C ：()220y px p =>的焦点F ，且与C 交于A ，B两点．（1）求C 的方程；（2）求圆心在x 轴上，且过A ，B 两点的圆的方程．【答案】（1）28y x =；（2）()221096x y -+=.【解析】【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，代入直线方程即可求解作答.（2）根据给定条件，求出线段AB 的中垂线方程，再求出圆心坐标及半径作答.【小问1详解】依题意，抛物线C 的焦点(,0)2p F 在直线20x y --=上，则202p-=，解得4p =，所以C 的方程为28y x =．【小问2详解】由（1）知，抛物线C 的准线方程为2x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为00(,)M x y ，由2208x y y x --=⎧⎨=⎩消去y 得21240x x -+=，则1212x x +=，有12062x x x +==，0024y x =-=，即()6,4M ，因此线段AB 的中垂线方程为()46y x -=--，即10y x =-+，令0y =，得10x =，设所求圆的圆心为E ，则()10,0E ，又AB 过C 的焦点F ，则有12||||2216AB AF BF x x =+=+++=，设所求圆的半径为r ，则222222844962AB r ME ⎛⎫=+=++= ⎪⎝⎭，故所求圆的方程为()221096x y -+=．20.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和22n n S a =-．（1）证明{}n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）在n a 和1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【答案】（1）证明见解析，2n n a =（2）332nn +-【解析】【分析】（1）利用1(2)n n n a S S n -=-≥及已知即可得到证明，从而求得通项公式；（2）先求出通项112n n n d +=，再利用错位相减法求和即可.【小问1详解】因为22n n S a =-，当2n ≥时，1122n n S a --=-，所以，当2n ≥时，12n n a a -=，又1122a a =-，解得12a =，所以{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，故2nn a =【小问2详解】因为2nn a =，所以1211nn n n a a d n n +-==++，112n nn d +=，21211111123(1)222n n n T n d d d =+++=⨯+⨯+++⨯ ，231111123(1)2222n n T n +=⨯+⨯+++⨯ ，所以231111111(1)22222n n n T n +=++++-+⨯ 211111(1)13112211222212n n n n n n -++-++=+-=---13322n n ++=-，所以332n nn T +=-21.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，AD DC ⊥，//AB DC ，222PC AB AD CD ====，点E 在棱PB上．（1）证明：平面EAC ⊥平面PBC ；（2）当2BE EP =时，求二面角P AC E --的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，求出各边长，由勾股定理逆定理得到AC BC ⊥，从而证明出线面垂直，面面垂直；（2）解法一：以C 为原点，CB ，CA ，CP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建系，写出点的坐标及平面的法向量，求出二面角的余弦值；解法二：取AB 的中点G ，连接CG ，以点C 为原点，CG ，CD ，CP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建系，写出点的坐标及平面的法向量，求出二面角的余弦值；【小问1详解】因为PC ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PC AC ⊥．因为2AB =，1AD CD ==，所以AC BC ==所以222AC BC AB +=，所以ACBC ⊥．又因为PC BC C ⋂=，PC ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AC ⊥平面PBC ．又AC ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBC ．【小问2详解】解法一：以点C 为原点，CB ，CA ，CP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0C ，)B，()A ，()002P ,,．设点E 的坐标为(),,x y z ，因为2BE EP =，所以()(),2,,2x y z x y z =---，即3x =，0y =，43z =，所以4,0,33E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．所以()CA =，4,0,33CE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．设平面ACE 的一个法向量为(),,n x y z = ，则00n CA n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩．所以04033x z =+=⎪⎩，取x =0y =，1z =-．所以平面ACE的一个法向量为()1n =-．又因为BC ⊥平面PAC ，所以平面PAC的一个法向量为)CB =．设平面PAC 与平面ACE 的夹角为θ，则cos cos ,3n CB θ==．所以，平面PAC 与平面ACE 夹角的余弦值为223．解法二：取AB 的中点G ，连接CG ，以点C 为原点，CG ，CD ，CP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()1,1,0B -，()1,1,0A ，()002P ,,．设点E 的坐标为(),,x y z ，因为2BE EP =，所以()()1,1,2,,2x y z x y z -+=---，即13x =，13y =-，43z =，所以114,,333E ⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以()1,1,0CA =，114,,333CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．设平面ACE 的一个法向量为(),,n x y z = ，则00n CA n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩．所以01140333x y x y z +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取3x =，则=3y -，32z =-．所以，平面ACE 的一个法向量为33,3,2n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ．又因为BC ⊥平面PAC ，所以平面PAC 的一个法向量为()1,1,0CB =-．设平面PAC 与平面ACE 的夹角为θ，则cos cos ,3n CB θ===．所以，平面PAC 与平面ACE 夹角的余弦值为322.（12分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F （1210F F<），上顶点为A ，12AF AF ⊥，且1F 到直线l ：50x -+=的距离为3．（1）求C 的方程；（2）与l 平行的一组直线与C 相交时，证明：这些直线被C 截得的线段的中点在同一条直线上；（3）P 为C 上的动点，M ，N 为l 上的动点，且MN =，求PMN ∆面积的取值范围．【答案】（1）2212x y +=（2）证明见解析（3）[]3,7．【解析】【分析】（1）由题意，根据椭圆的顶点坐标以及点到直线距离公式，可得答案；（2）由两直线的平行关系，设出直线方程，联立方程，利用韦达定理，表示出中点坐标，可得答案；（3）根据直线的平移，取与椭圆相切是的临界点，利用三角形的面积公式，可得答案.【小问1详解】设()1 , 0F c -，()2 , 0F c，由题意得22235b c a b c c =⎧==+⎪⎪<⎩，解得1b c a ==⎧⎪⎨=⎪⎩，所以C 的方程为2212x y +=．【小问2详解】证明：设这组平行线的方程为0x m +=，与2212x y +=联立消去x ，得22420y m -+-=，则()()221620m ∆=-->，得22m -<<．设直线0x m +=被C 截得的线段的中点为(),B x y ，则1224y y y m +==，其中1y ，2y是方程22420y m -+-=的两个实数根．所以2mxm =-=-，消去m，得0x +=，所以这些直线被C截得的线段的中点均在直线0x =上．【小问3详解】由（2）知，l 与C 相离，当直线0x m +=与C相切时，()()221620m ∆=--=，解得2m =-或2m =．当2m =-时，直线与l的距离为1733d ==，此时1723PMN S =⨯=△，当2m =时，直线与l的距离为2d ==，此时132PMN S =⨯=△，。
2020-2021学年宜春市上高二中高二上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.用最小二乘法得到一组数据(x i ,y i )其中i =1，2，3，4，5的线性回归方程为y ̂=bx +3，若∑x i 5i=1=25，∑y i 5i=1=65，则回归系数b =( )A. 3B. 2C. 4D. 以上都不对2.甲、乙两同学5次综合测评的成绩如茎叶图所示． 甲乙98 8 3 3 7210 9●9老师在计算甲、乙两人平均分时，发现乙同学成绩的一个数字无法看清．若从{0,1,2,…,9}随机取一个数字代替，则乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为( )A. 110B. 19C. 15D. 453. 若二次函数f(x)=k(x +1)(x −2)的图象与坐标轴的交点是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的顶点或焦点，则k =( )A. √3B. ±√3C. √32 D. ±√324. 甲、乙、丙三人各自拥有一把钥匙，这三把钥匙混在了一起，他们每人从中无放回地任取一把，则甲、乙二人中恰有一人取到自己钥匙的概率是( )A. 16B. 13C. 12D. 235. 过点P(1,√2)的直线l 将圆(x −2)2+y 2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k 等于( )A. −√22B. √22C. −12D. 126. 已知α，β是两个不同的平面，m ，n ，l 是三条不同的直线，且α∩β=l ，则下列命题正确的是 ( ) A. 若m//α，n//β，则m//n//l B. 若m//α，n ⊥l ，则m ⊥n C. 若m ⊥α，n//β，则n ⊥lD. 若m ⊥α，n//l ，则m ⊥n7. 执行右边的程序框图，若输出的S 是127，则条件①可以为( )．A. n≤5B. n≤6C. n≤7D. n≤88. 一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为()A. B. C. D.9. 在区间[−1,1]上任取两个数x，y，则点P(x,y)落在以原点为圆心，12为半径的圆内的概率是()A. π16B. π8C. π4D. π210. 8.直线与抛物线交于两点(点在第一象限)，为抛物线的焦点，则的值()A. 与的值有关B. 与的值有关C. 与的值都有关D. 与的值都有无关11. 下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程：区间(0,1)中的实数m对应数轴上的点M(点A对应实数0，点B对应实数1)，如图①；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图②；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为(0,1)，在图形变化过程中，图①中线段AM的长度对应于图③中的弧ADM的长度，如图③，图③中直线AM与x轴交于点N(n,0)，则m的象就是n，记作f(m)=n．给出下列命题：①f(14)=1；②f(12)=0；③f(x)是奇函数；④f(x)在定义域上单调递增，则所有真命题的序号是()A. ①②B. ②③C. ①④D. ②④12. 已知点F 为双曲线x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点，定点A 为双曲线虚轴的一个顶点，直线FA 与双曲线的一条渐近线在y 轴左侧的交点为B ，若FA ⃗⃗⃗⃗ =(√3−1)AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，则此双曲线的离心率是( ) A. √2B. √3C. 2D. 3二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：4，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，其中A 型号产品有16件，那么此样品容量为n =______．14. 已知椭圆x 216+y24=1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为6，则点P 到另一个焦点的距离为______． 15. 给出下列命题：①函数f(x)=log a (2x −1)−1的图象过定点(1,0)；②已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，f(x)=x(x +1)，则f(x)的解析式为f(x)=x 2−|x|；③若log a 12<1，则a 的取值范围是(0,12)∪(2,+∞)； 其中所有正确命题的序号是______ ．16. 把四个半径分别为9，9，9，19的小球同时放入一个大球中，使四个小球两两外切并均与大球内切，则大球的半径为______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知圆C 的方程是(x −1)2+(y −1)2=4，直线l 的方程为y =x +m ，求：当m 为何值时，(1)直线平分圆； (2)直线与圆相切； (3)直线与圆有两个公共点．18. 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，CC 1=AC =BC ，∠ACB =90°，P 是AA 1的中点，Q 是AB 的中点． (1)求异面直线PQ 与B 1C 所成角的大小；(2)若直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的体积为12，求四棱锥C −BAPB 1的体积．19. 如表中给出了2011年～2015年某市快递业务总量的统计数据(单位：百万件)年份 2011 2012 2013 2014 2015 年份代码12 3 45快递业务总量 34 557185 105(Ⅰ)在图中画出所给数据的折线图；(Ⅱ)建立一个该市快递量y 关于年份代码x 的线性回归模型； (Ⅲ)利用(Ⅱ)所得的模型，预测该市2016年的快递业务总量． 附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：斜率：b ^=∑(n i=1x i −x)(y i −y)∑(n i=1x i−x)2，纵截距：a ^=y −b ^x ．20. 为了了解一个小水库中养殖的鱼的有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量(单位：千克)，并将所得数据分组，画出频率分布直方图(如图所示)．分组频率[1.00,1.05)[1.05,1.10)[1.10,1.15)[1.15,1.20)[1.20,1.25)[1.25,1.30)(1)在题中表格中填写相应的频率；(2)估计数据落在[1.15,1.30)中的概率为多少；(3)将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库，几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条．请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数．21. 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AB⊥BB1，AC=BC=BB1=2，D为AB的中点，且CD⊥DA1．(1)求证：BB1⊥平面ABC；(2)求直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值； (3)求A 1B 1与平面DCA 1所成角的余弦值．22. 已知点P(−1,32)是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上一点，F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，O 是坐标原点，PF 1⊥x 轴． (1)求椭圆E 的方程；(2)设A ，B 是椭圆E 上两个动点，满足：PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPO ⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ<4，且λ≠2)，求直线AB 的斜率． (3)在(2)的条件下，当△PAB 面积取得最大值时，求λ的值．参考答案及解析1.答案：B解析：解：因为∑x i 5i=1=25，∑y i 5i=1=65，所以x −=255=5，y −=655=13，因为回归直线经过样本中心，所以13=5b +3，解得b =2， 故选：B ．求出样本中心坐标，代入回归直线方程，然后求解即可． 本题考查回归直线方程的应用，是基础题．2.答案：A解析：解：甲的平均分为88+89+90+91+925=90设●为x ，则乙的平均分为83+83+87+90+x+995令83+83+87+90+x+995>90，则x >8，即x =9∴从{0,1,2,…,9}随机取一个数字代替，则乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为110 故选A ．计算甲、乙的平均分，建立不等式，求出满足题意的数字，即可求得概率． 本题考查概率的计算，考查茎叶图，考查计算能力，属于基础题．3.答案：D解析：本题考查椭圆的简单性质，二次函数的简单性质的应用，属于基础题．求出二次函数与x 轴的交点，得到a ，c ，然后求解b ，即可求解二次函数当x =0时的y 值，然后求解k 即可．解：二次函数f(x)=k(x +1)(x −2)过点(−1,0),(2,0)， 二次函数的图象与坐标轴的交点是椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的顶点或焦点，可得c =1，a =2，则b =√3， 则二次函数过点(0,√3)或(0,−√3)， 所以f (0)=−2k =±√3， 解得k =±√32．故答案选：D．4.答案：B解析：解：甲、乙、丙三人各自拥有一把钥匙，这三把钥匙混在了一起，他们每人从中无放回地任取一把，基本事件总数n=A33=6，甲、乙二人中恰有一人取到自己钥匙包含的基本事件个数C21C11C11=2，则甲、乙二人中恰有一人取到自己钥匙的概率p=mn =26=13．故选：B．基本事件总数n=A33=6，甲、乙二人中恰有一人取到自己钥匙包含的基本事件个数C21C11C11=2，由此能求出甲、乙二人中恰有一人取到自己钥匙的概率．本题考查概率的求法，考査古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.答案：B解析：解：如图示，由图形可知：点P(1,√2)在圆(x−2)2+y2=4的内部，圆心为O(2,0)要使得劣弧所对的圆心角最小，则直线l⊥OP，所以k l=−1k OP =−1−√2=√22．故选：B．先要画出满足条件的图形，数形结合容易得到符合题目中的条件的数理关系，由劣弧所对的圆心角最小弦长最短，及过圆内一点最短的弦与过该点的直径垂直，易得到解题思路．垂径定理及其推论是解决直线与圆关系时常用的定理，要求大家熟练掌握，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．相关推论，过圆内一点垂直于该点直径的弦最短，且弦所在的劣弧最短，优弧最长，弦所对的圆心角、圆周角最小．6.答案：D解析：解：A.由m//α，n//β，则m//n//l不一定成立；B.若m//α，n⊥l，由于n⊥α不一定成立，因此m⊥n不一定成立；C.若m⊥α，n//β，则n⊥l不成立；D .若m ⊥α，则m ⊥l ，又n//l ，则m ⊥n ，正确． 故选：D ．利用线面平行垂直的判定定理与性质定理即可判断出．本题考查了线面平行垂直的判定定理与性质定理，考查了推理能力，属于中档题．7.答案：B解析：依据程序框图知，1+2+22+⋯+2n =127，则=127，2n+1=128，∴n =6.因此条件①应为n ≤6．8.答案：C解析：试题分析：把原来的几何体补成以为长、宽、高的长方体，原几何体四棱锥与长方体是同一个外接球，，，．考点：1.补体法；2.几何体与外接球之间的元素换算．9.答案：A解析：解：由题意，在区间[−1,1]上任取两个数x ，y ，对应区域是边长为2的正方形，面积为4， 则点P(x,y)落在以原点为圆心，12为半径的圆内，对应区域面积为π(12)2=π4； 所以由几何概型的公式得到所求的概率是：π44=π16；故选A ．由题意，本题是几何概型，由于是两个变量，所以利用区域的面积比求概率．本题考查了几何概型的概率求法；关键是明确事件的几何测度为变量对应区域的面积；利用面积比求得概率．10.答案：A解析：解：由直线方程y =2kx −kp 得：y =k(2x −p)，所以直线恒过抛物线的焦点F联立 得：设 ，所以 ①由题意知，=，令=m，则②将②代入①得：所以m的值与k有关，故选A．11.答案：D解析：解：如图，因为M在以(1,1−12π)为圆心，12π为半径的圆上运动，对于①当m=14时．M的坐标为(−12π,1−12π)，直线AM方程y=x+1，所以点N的坐标为(−1,0)，故f(14)=−1，则①错；对于②，当m=12时，对应的点在点A的正下方，此时点N(0,0)，所以f(12)=0，则②对；对于③，因为实数m所在区间(0,1)不关于原点对称，所以f(x)不存在奇偶性．则③错；对于④，当实数m越来越大时，如图直线AM与x轴的交点N(n,0)也越来越往右，即n也越来越大，所以f(x)在定义域上单调递增，则④对．其中正确的为②④．故选D．由题中对映射运算描述，对四个命题逐一判断其真伪，①m=14此时M恰好处在左半圆弧的中点上，求出直线AM的方程后易得N的横坐标；②当m=12时，对应的点在点A的正下方，即可求出n；③可由奇函数的定义域关于原点对称来确定正误；④可由图3，由M的运动规律观察出函数值的变化，得出单调性．本题考查映射的概念，解答本题关键是理解题设中所给的对应关系，正确认识三个图象的意义，由此对四个命题的正误作出判断，本题题型新颖，寓数于形，是一个考查理解能力的题，对题设中所给的关系进行探究，方可得出正确答案，本题易因为理解不了题意而导致无法下手，题目较抽象．解析：由题意可得点F(c,0)，设点A(0,b)，求得直线AF 的方程，联立渐近线方程，求得交点B 的横坐标，由向量的坐标表示可得a ，c 的关系，由离心率公式可得所求值．本题考查了双曲线的方程和性质应用问题，主要是渐近线方程和离心率的求法，是基础题． 解：由题意可得F(c,0)，设A(0,b)， 直线FA 的方程为bx +cy −bc =0，与双曲线的渐近线y =−ba x 的交点B 横坐标为x =aca−c ， 由FA⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3−1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 可得−c =(√3−1)⋅aca−c ， 化为c =√3a ，即离心率为e =ca =√3． 故选B ．13.答案：72解析：解：由于A 型号产品的样本数为16，A 型号产品所占的比例为22+3+4，故样本容量n =16÷22+3+4=72，故答案为：72．用A 型号产品的样本数16，除以A 型号产品所占的比例22+3+4，即得样本容量n 的值．本题考查分层抽样的定义和方法，用A 型号产品的样本数除以A 型号产品所占的比例，即得样本容量．14.答案：2解析：解：由已知椭圆的方程可得a 2=16，所以a =4， 设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，则由椭圆的定义可知|PF 1|+|PF 2|=2a =8， 不妨设|PF 1|=6，则|PF 2|=2， 即点P 到另一个焦点的距离为2， 故答案为：2．先由椭圆的方程求出a 的值，然后根据椭圆的定义即可求解． 本题考查了椭圆的定义，属于基础题．解析：解：当x=1时，函数f(x)=−1恒成立，故函数f(x)=log a(2x−1)−1的图象过定点(1,−1)，故①错误；∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)=x(x+1)，∴当x>0时，f(x)=x(x−1)，综上可得：f(x)的解析式为f(x)=x2−|x|；故②正确；若log a12<1，则a∈(0,12)∪(1,+∞)，故③错误；故答案为：②求出函数f(x)=log a(2x−1)−1的图象所过定点，可判断①；求出函数的解析式，可判断②；求出满足条件的a的范围，可判断③．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了对数函数的图象和性质，函数的奇偶性，函数解析式等知识点，难度中档．16.答案：572解析：解：如图，设三个半径为9的球的球心分别为A、B、C，半径为19的球的球心为D，连接AB、BC、AC、AD、BD、CD，则D在平面ABC上的射影为底面正三角形ABC的外心G，可得BG=23√182−92=6√3，三棱锥D−ABC为正三棱锥，侧棱DB=28，则DG=√282−(6√3)2=26．再设大球的球心为O，由对称性可得，O在线段DG上，要使大球与四个小球都内切，则OD+19=OB+9，设OB=x，则OG=√x2−(6√3)2=√x2−108，∴OD=DG−OG=26−√x2−108，则26−√x2−108+19=x+9，解得x=392．∴大球的半径为x+9=392+9=572．故答案为：572．由题意画出图形，利用大球与四个小球内切，结合半径相等列式即可求解．本题考查球与球位置关系的应用，考查多面体外接球半径的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．17.答案：解：由圆的方程(x −1)2+(y −1)2=4，得到圆心坐标为(1,1)，圆的半径r =2，(1)当直线平分圆时，即直线过圆的直径，把(1,1)代入y =x +m 中，解得m =0； (2)当直线与圆相切时，圆心(1,1)到直线x −y +m =0的距离d =√2=r =2，解得m =±2√2；(3)当直线与圆有两个公共点即直线与圆相交时，圆心(1,1)到直线的距离d =√2<r =2，解得：−2√2<m <2√2．所以，当m =0时，直线平分圆；当m =±2√2时，直线与圆相切；当−2√2<m <2√2时，直线与圆有两个公共点．解析：本题考查学生掌握直线与圆相切及相交时所满足的条件，属于中档题．(1)根据题意，由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径r ，直线平分圆即直线过圆心，所以把圆心坐标代入直线方程中即可求出m 的值；(2)直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，所以利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d ，让d 等于圆的半径列出关于m 的方程，求出方程的解即可得到符合题意m 的值； (3)直线与圆有两公共点即直线与圆相交，即圆心到直线的距离公式小于圆的半径，所以利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d ，让d 小于圆的半径列出关于m 的不等式，求出不等式的解集即可得到满足题意的m 的范围．18.答案：解：(1)以C 为坐标原点，以CA ，CB ，CC 1为X ，Y ，Z 轴正方向建立空间直角坐标系．不妨设CC 1=AC =BC =2．依题意，可得点的坐标P(2,0,1)，Q(1,1,0)，B 1(0,2,2)． 于是，PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,−1)，B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,−2)． 由PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则异面直线PQ 与B 1C 所成角的大小为π2．(2)连接CQ.由AC =BC ，Q 是AB 的中点，得CQ ⊥AB ； 由AA 1⊥面ABC ，CQ ⊊面ABC ，得CQ ⊥AA 1． 又AA 1∩AB =A ，因此CQ ⊥面ABB 1A 1由直三棱柱ABC−A1B1C1的体积为12⇒CC1=AC=BC=1.可得CQ=√22．所以，四棱锥C−BAPB1的体积为V C−BAPB1=13⋅CQ⋅S BAPB1=13⋅√22⋅[12(12+1)⋅√2]=14．解析：(1)以C为坐标原点，以CA，CB，CC1为X，Y，Z轴正方向建立空间直角坐标系，分别求出异面直线PQ与B1C的方向向量，代入向量夹角公式，即可求出异面直线PQ与B1C所成角的大小；(2)连接CQ.由AC=BC，由已知中，Q是AB的中点，AA1⊥面ABC，我们根据等腰三角形“三线合一”的性质及线面垂直的性质，即可得到CQ⊥AB，CQ⊥AA1，进而根据线面垂直的判定定理，得到CQ⊥面ABB1A1，故C Q即为四棱锥C−BAPB1的高，求出棱锥的底面面积，代入棱锥体积公式，即可得到答案．本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，棱锥的体积，其中(1)的关键是建立空间坐标系，将异面直线夹角问题转化为向量夹角问题，而(2)的关键是根据线面垂直的判定定理，得到CQ为棱锥的高．19.答案：解：(Ⅰ)所给数据的折线图如下：(Ⅱ)可得x=3，y=70，b^=(1−3)(34−70)+(2−3)(55−70)+(3−3)(71−70)+(4−3)(85−70)+(5−3)(105−70)(1−3)2+(2−3)2+(3−3)2+(4−3)2+(5−3)2，=72+15+0+15+704+1+0+1+4=17210=17.2，a^=70−17.2×3=18.4，∴y与x的回归模型为：y^=17.2x+18.4．(Ⅲ)把2016年的年份代码x=6代入回归模型得ŷ=17.2×6+18.4=121.6(百万件)，∴预计该市2016年的快递业务总量约为121.6百万件．解析：(Ⅰ)根据表中所给的数据，得到点的坐标，在平面直角坐标系中画出散点图；(Ⅱ)先求出年份代码x和快递量y的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，代入样本中心点求出a的值，写出线性回归方程；(Ⅲ)先求得2016年对于的年份代码，代入线性回归方程，即可求得该市2016年的快递业务总量．本题考查散点图，考查线性回归方程的求法，考查利用线性回归方程进行预测，属于基础题．20.答案：解：(1)根据频率分布直方图可知，频率=组距×(频率/组距)，故可得下表分组频率[1.00,1.05)0.05[1.05,1.10)0.20[1.10,1.15)0.28[1.15,1.20)0.30[1.20,1.25)0.15[1.25,1.30)0.02(2)0.30+0.15+0.02=0.47，所以数据落在[1.15,1.30)中的概率约为0.47．(3)=2000，所以水库中鱼的总条数约为2000条．解析：略21.答案：(1)证明：∵AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，又CD⊥DA1，AB∩A1D=D，AB，A1D在平面AA1B1B内．∴CD⊥平面AA1B1B，又BB1在平面AA1B1B.∴CD⊥BB1，又BB1⊥AB，AB∩CD=D，AB，CD在平面ABC内，∴BB1⊥平面ABC．(2)解：连接BC1，B1C交于O点，连接OD，则OD//AC1，所以∠A 1DO 为异面直线AC 1与A 1D 所成角或其补角，在△A 1DO 中，A 1D =√4+(√2)2=√6,A 1O =√4+(√2)2=√6,OD =√2, cos∠A 1DO =2×√6⋅√2=√36， 故直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值为√36；(3)解：∵CD ⊥平面ABB 1A 1，CD 在平面A 1CD ， ∴平面A 1CD ⊥平面ABB 1A 1， 作B 1E ⊥A 1D 交A 1D 于E ，∵平面A 1CD ∩平面ABB 1A 1=A 1D ，B 1E 在平面ABB 1A 1， 则B 1E ⊥面A 1CD ，则∠B 1A 1E 为A 1B 1与平面DCA 1所成角，在△A 1DB 1中，A 1D =√6，A 1B 1=2√2，B 1D =√6， cos∠B 1A 1E =2√6⋅2√2=√33， 则A 1B 1与平面DCA 1所成角的余弦值为√33．解析：本题考查线面、面面垂直的判定和性质，考查空间异面直线所成的角和直线与平面所成的角，考查运算能力，属于中档题．(1)运用线面垂直的判定和性质，即可得证；(2)连接BC 1，B 1C 交于O 点，连接OD ，则OD//AC 1，所以∠A 1DO 为异面直线AC 1与A 1D 所成角或其补角，在△A 1DO 中，运用余弦定理即可得到；(3)由面面垂直的性质定理，作B 1E ⊥A 1D 交A 1D 于E ，则B 1E ⊥面A 1CD ，则∠B 1A 1E 为A 1B 1与平面DCA 1所成角，在△A 1DB 1中运用余弦定理即可得到．22.答案：解：(Ⅰ)∵PF 1⊥x 轴，∴F 1(−1,0)，c =1，F 2(1,0)，∴|PF 2|=√22+(32)2=52，∴2a =|PF 1|+|PF 2|=4，∴a =2，∴b 2=3，∴椭圆E 的方程为：x 24+y 23=1.…(3分)(2)证明：设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，由 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPO ⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ<4，且λ≠2)，得(x 1+1,y 1−32)+(x 2+1,y 2−32)=λ(1,−32)， ∴x 1+x 2=λ−2，y 1+y 2=32(2−λ)…①…(5分)又{x 224+y 223=1x 124+y 123=1，两式相减得3(x 1+x 2)(x 1−x 2)+4(y 1+y 2)(y 1−y 2)=0…..②以①式代入可得AB 的斜率k =y 1−y2x 1−x 2=12.…(8分)(3)设直线AB 的方程为y =12x +t ，与3x 2+4y 2=12联立消去y 并整理得 x 2+tx +t 2−3=0，△=3(4−t 2)，|AB|=√1+k 2|x1−x2|=√1+14×√3(4−t 2)=√152×√4−t 2，点P 到直线AB 的距离为d =√5，△PAB 的面积为S =12|AB|×d =√32×√4−t 2|t −2|，…(10分)设f(t)=S 2=−34(t 4−4t 3+16t −16)(−2<t <2)，f′(t)=−3(t 3−3t 2+4)=−3(t +1)(t −2)2，由f′(t)=0及−2<t <2得t =−1． 当t ∈(−2,−1)时，f′(t)>0，当t ∈(−1,2)时，f′(t)<0，f(t)=−1时取得最大值814， 所以S 的最大值为92．此时x 1+x 2=−t =1=λ−2，λ=3.…(12分)解析：(Ⅰ)由PF 1⊥x 轴，求出2a =|PF 1|+|PF 2|=4，由此能求出椭圆E 的方程．(2)设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，由PA⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPO ⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ<4，且λ≠2)，得x 1+x 2=λ−2，y 1+y 2=32(2−λ)，再由3(x 1+x 2)(x 1−x 2)+4(y 1+y 2)(y 1−y 2)=0，由此能求出AB 的斜率．(3)设直线AB 的方程为y =12x +t ，与3x 2+4y 2=12联立得x 2+tx +t 2−3=0，由此利用根的判别式、弦长公式、点到直线距离公式、三角形面积公式，求出△PAB 的面积为S =√32×√4−t 2|t −2|，设f(t)=S 2=−34(t 4−4t 3+16t −16)(−2<t <2)，求出f′(t)=−3(t +1)(t −2)2，由f′(t)=0及−2<t <2得t =−1.由此能求出结果．本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率的求法，考查三角形面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、直线、导数等知识点的合理运用．。
2021-2022学年江西省宜春市高级中学高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 春天来了,某池塘中的荷花枝繁叶茂,已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍,若荷叶20天可以完全长满池塘水面,当荷叶刚好覆盖水面面积一半时,荷叶已生长了( )a.10天b.15天c.19天d.20天参考答案：C荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系为y=2 x ,当x=20时,长满水面,所以生长19天时,布满水面一半.故选C.2. 若，则“”是“”的（）．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B或，所以“”是“”的必要而不充分条件，故选．3. 已知集合,则的元素个数为A. 0B.1C.2D.3参考答案：C4. 设某大学的女生体重（单位：）与身高（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（），用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中不正确的是A．与具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心C．若该大学某女生身高增加，则其体重约增加D．若该大学某女生身高为，则可断定其体重必为参考答案：D略5. 函数在上是减函数时，则的取值范围为（）A． B． C ． D．参考答案：B6. 程序框图如图所示，则该程序框图运行后输出的S是( )A. B.-3 C.2 D.参考答案：A略7. 定义域为R的可导函数的导函数为，且满足，则下列关系正确的是（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】根据函数单调性进行判断，但是的处理很关键，最好乘以，使不等式左边变成的导数.【详解】对不等式两边同时乘以得到.所以在定义域内单调递减.得到,即，故选A.【点睛】此题是导致单调性的应用的常见题，最好可以了解一些积分因子方面的资料，当然多做做类似的训练练习一下也可以很好的掌握.8. 已知为正实数, 且成等差数列, 成等比数列, 则的取值范围是 ( )A. B. C. D.参考答案：D9. 已知，，，则（）A．B．C．D．参考答案：A10. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石B．169石C．338石D．1365石参考答案：B【考点】随机抽样和样本估计总体的实际应用．【分析】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1534×≈169石，故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 一名同学想要报考某大学，他必须从该校的7个不同专业中选出5个，并按第一志愿、第二志愿、…第五志愿的顺序填写志愿表．若A专业不能作为第一、第二志愿，则他共有种不同的填法（用数字作答）．参考答案：1800【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2步进行分析：①、在除A之外的6个专业中，任选2个，作为第一、二志愿，②、第一二志愿填好后，在剩下的5个专业中任选3个，作为第三四五志愿，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、由于A专业不能作为第一、第二志愿，需要在除A之外的6个专业中，任选2个，作为第一、二志愿，有A62=30种填法，②、第一二志愿填好后，在剩下的5个专业中任选3个，作为第三四五志愿，有A53=60种填法，则该学生有30×60=1800种不同的填法；故答案为：1800．12. 设,,则的值是_________.参考答案：略13. 函数f（x）=x cos2x在区间[0，2π]上的零点的个数为．参考答案：5【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】令f（x）=0，可得x=0或cos2x=0，cos2x=0，可得2x=kπ+，k∈Z，由k的取值，即可得到所求零点的个数．【解答】解：令f（x）=0，可得x=0或cos2x=0，若cos2x=0，可得2x=kπ+，k∈Z，即x=+，k∈Z，即有k=0，x=；k=1，x=；k=2，x=；k=3，x=．综上可得，f（x）在区间[0，2π]上的零点的个数为5．故答案为：5．【点评】本题考查函数的零点的求法，注意运用三角函数的周期，考查运算能力，属于基础题．14. 过点M（1，2）作直线l交椭圆+=1于A，B两点，若点M恰为线段AB的中点，则直线l的方程为．参考答案：8x+25y﹣58=0【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则16x12+25y12=400，16x22+25y22=400，∴16（x1+x2）（x1﹣x2）+25（y1+y2）（y1﹣y2）=0．∵M（1，2）恰为线段AB的中点，∴32（x1﹣x2）+100（y1﹣y2）=0，∴直线AB的斜率为﹣，∴直线AB的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），即8x+25y﹣58=0．故答案为8x+25y﹣58=0．【点评】本题考查了“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式，属于中档题．15. 随机抽取某中学12位高三同学，调查他们春节期间购书费用（单位：元），获得数据的茎叶图如图4，这12位同学购书的平均费用是__________元.参考答案：16. 已知是圆为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为．参考答案：【考点】轨迹方程．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据题意可知|BP|+|PF|正好为圆的半径，而PB|=|PA|，进而可知|AP|+|PF|=2．根据椭圆的定义可知，点P的轨迹为以A，F为焦点的椭圆，根据A，F求得a，c，进而求得b，答案可得．【解答】解：依题意可知|BP|+|PF|=2，|PB|=|PA|∴|AP|+|PF|=2根据椭圆的定义可知，点P的轨迹为以A，F为焦点的椭圆，a=1，c=，则有b=故点P的轨迹方程为故答案为【点评】本题主要考查了用定义法求轨迹方程的问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．17. 已知矩形沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，（）A.存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B.存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D.对任意位置，三对直线“AC与BD”，，“AD与BC”均不垂直参考答案：B略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020-2021学年江西省宜春市南庙中学高二数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在△ABC中，若，则角A等于（）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°参考答案：A【分析】利用正弦定理可求的大小.注意用“大边对大角”来判断角的大小关系.【详解】由正弦定理可得，所以，所以，因，所以，故为锐角，所以，故选A.【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.2. 在中，内角的对边分别为，若,,,则等于( )A. 1B.C.D. 2参考答案：A3. 已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人得分的中位数之和是（）A. B. C. D.参考答案：B略4. 直线MN与双曲线C：的左、右支分别交于M、N两点，与双曲线C 的右准线相交于P点，F为右焦点，若|FM|＝2|FN|，又＝λ(λ∈R)，则实数λ的值为()A. B．1 C．2 D.参考答案：A5. 双曲线的焦距为（）A． B．C． D．参考答案：C试题分析：由双曲线，可得双曲线的标准方程为，所以，所以双曲线的焦距为，故选C.考点：双曲线的标准方程及其性质.6. 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线，则曲线C 的方程为( )A．25x2＋9y2＝1 B．9x2＋25y2＝1 C．25x＋9y＝1 D．参考答案：A7. 5名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数有（）A．A55?A42种B．A55?A52种C．A55?A62种D．A77﹣4A66种参考答案：A【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】根据题意，先排大人，有A55种排法，分析可得，去掉头尾后，有4个空位，再用插空法，将2个小孩插在4个空位中，进而由分步计算原理，计算可得答案．【解答】解：先排大人，有A55种排法，去掉头尾后，有4个空位，再分析小孩，用插空法，将2个小孩插在4个空位中，有A42种排法，由分步计数原理，有A42?A55种不同的排法，故选A．8. 不等式|x+1|+|x﹣4|≥7的解集是（）A．（﹣∞，﹣3]∪[4，+∞）B．[﹣3，4] C．（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）D．[﹣2，5]参考答案：C【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】通过讨论x的范围，得到关于区间上的x的范围，取并集即可．【解答】解：x≥4时，x+1+x﹣4≥7，解得：x≥5；﹣1＜x＜4时，x+1+4﹣x≥7，无解；x≤﹣1时，﹣x﹣1+4﹣x≥7，解得：x≤﹣2，综上，不等式的解集是（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞），故选：C．9. 设偶函数f(x)的定义域为R，当x时f(x)是增函数，则的大小关系是（）A．B．C．D．参考答案：A10. 已知二次函数的导数为，，对于任意实数，有，则的最小值为Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 执行下列程序框图，如果输入的是6，那么输出的是。
【高二】江西省宜春市2021 2021学年高二上学期期末统考试题（数学理）【高二】江西省宜春市2021-2021学年高二上学期期末统考试题（数学理）试卷描述：第ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.不等式的解集是()a．b．c．d．3.命题“存在使得”的否定是（）a．存在使得b．存在使得c．对于任意的d．对于任意的6.，则方程表示的曲线不可能是（）a圆b．椭圆c．双曲线抛物线因为，所以若，方程表示圆若，方程表示轴上的椭圆若，方程表示轴上的双曲线，所以方程表示的曲线不可能是抛物线.考点：1.圆锥曲线标准方程分类讨论思想，若是与的等比中项，则的最小值为（）a．8b．4c．1d．8.与椭圆共焦点，的双曲线方程是（）．bc．d．9.如图，已知为内部（包括边界）的动点，若目标函数仅在点处取得最大值，则实数的取值范围是（）ａ．．c．d．成等差数列，则下列不等式一定成立的是（）a．b．c．d．第ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.已知数列对于任意有，若，则，，则的最小值为____________.14.已知椭圆的左右焦点为，若存在动点，满足，且的面积等于，则椭圆离心率的取值范围是.【答案】15.下列命题正确的有.①“一元二次方程”有实数解的一个充分不必要条件是；②命题“，则”的否命题是假命题的解集是，的解集；④数列满足:若是递增数列，则.正确，而④是错误的.考点：1.充分必要条件；2.命题及其关系；3.一元二次不等式；4.数列的单调性.三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）（1）平面过坐标原点，是平面的一个法向量，求到平面的距离；（2）直线过,是直线的一个方向向量，求到直线的距离.17.（本小题满分12分）在锐角中,角,,对应的边分别是,,.已知.（1）求角的大小；（2）若的面积,,求的值.18.（本小题满分12分）已知，设：函数在上单调递减；：函数在上为增函数.（1）若为真，为假，求实数的取值范围；（2）若“且”为假，“或”为真，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.19.（本题满分12分）已知是等比数列的前项和,、、成等差数列,且（1）求数列的通项公式是否存在正整数,使得?若存在,求出符合条件的所有的集合若不存在说明理由由题意得即解得故数列的通项公式为20.（本小题满分13分）已知平面五边形关于直线对称（如图（1）），，，将此图形沿折叠成直二面角，连接、得到几何体（如图（2））（1）证明：平面；（2）求平面与平面的所成角的正切值.【答案】（1）证明详见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）先以b为坐标原点，分别以射线bf、bc、ba为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出各点的坐标以及和的坐标，进而得到两向量共线，即可证明线面平行；（2）先根据条件求出两个半平面的法向量的坐标，再求出这两个法向量所成角的余弦值，再结合同角三角函数的基本关系式可求得结果.（2）由（1）得四点共面，，设平面，则不妨令，故，由已知易得平面abcd的一个法向量为∴，设平面与平面的所成角为∴所求角的正切值为…………………………13分.考点：1.直线与平面平行的判定；2.用空间向量求二面角.21.（本小题满分14分）已知定点，曲线c是使为定值的点的轨迹，曲线过点.（1）求曲线的方程；（2）直线过点，且与曲线交于，当的面积取得最大值时，求直线的方程；（3）设点是曲线上除长轴端点外的任一点，连接、，设的角平分线交曲线的长轴于点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）和；（3）.试题解析：（1）……2分曲线c为以原点为中心，为焦点的椭圆设其长半轴为,短半轴为,半焦距为，则，曲线c的方程为…………………………………………4分（3）由题意可知：=,=…………10分其中，将向量坐标代入并化简得：m（，……………………12分，所以，………………………………13分，所以………………………………14分每天发布最有价值的高考资源每天发布最有价值的高考资源11每天发布最有价值的第9题abcdefabfecd(1)(2)江西省宜春市2021-2021学年高二上学期期末统考试题（数学理）。
