广东省广州市2013届高三毕业班综合测试(二)数学文试题 Word版含答案

试卷类型：A 2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 数学（理科） 2013.3 本试卷共4页，21小题， 满分150分考试用时120分钟1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答漏涂、错涂、多涂的，答案无效5．考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回相互独立,那么. 线性回归方程中系数计算公式， 其中表示样本均值. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40，集合，，则 A． B． C． D． 2. 已知，其中是实数，i是虚数单位，则i A．i B．i C．i D．i 3．已知变量满足约束条件则的最大值为 A． B． C． D． 4. 直线截圆所得劣弧所对的圆心角是 A． B． C． D． 5. 某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是 A． B． C. D. 6. 函数是 A．奇函数且在上单调递增 B．奇函数且在上单调递增 C．偶函数且在上单调递增 D．偶函数且在上单调递增 7．已知e是自然对数的底数，函数e的零点为，函数 的零点为，则下列不等式中成立的是 A． B. C. D. 8．如图2，一条河的两岸平行，河的宽度m， 一艘客船从码头出发匀速驶往河对岸的码头. 已知km，水流速度为km/h, 若客船行 驶完航程所用最短时间为分钟，则客船在静水中 的速度大小为 A． km/h B．km/h 图2 C．km/h D．km/h 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题） 的解集是 . 10．d . 11．某工厂的使用年限和所支出的维修费用(万元)有表统计资料：234562.23.85.56.57.0 根据上表可得回归方程，据此模型估计使用年限为10年时费用约万元（结果保留两位小数），函数若函数在上的最大值比最小值大，则的值为 . 13. 已知经过同一点的N个平面，任意三个平面不经过同一条直线.若这个平面将空间分成个部分，则， . （二）选做题（14～1514．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点，点在直线上运动，当线段最短时，点的极坐标为 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图，的直径，的切线，交于点，若，，则的长为． 已知函数，，）的最大值为2，最小正周 期为. （1）求函数的解析式；2）若函数上点横坐标为，求 的. 17．（本小题满分12分） 甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为，乙，丙做对的概率分别为， (＞)，且三位学生是否做对相互独立.记为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为： 0123(1) 求至少有一位学生做对该题的概率； （2) 求，的值； （3) 求的数学期望. 18．（本小题满分14分） 如图4，在三棱柱中，△是边长为的等边三角形， 平面，，分别是，的中点. （1）求证：∥平面； （2）若为上的动点，当与平面所成最大角的正切值为时， 求平面 与平面所成二面角（锐角）的余弦值. 19．（本小题满分14分） 已知数列的前项和为，N. (1) 求数列；是三个互不相等的正整数，且成等差数列，试判断 是否成等比数列？并说明理由. 20．（本小题满分14分） 已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，，点在椭圆 上，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，且与交于点. (1) 求椭圆的方程； (2) 是否存在满足的点? 若存在，指出这样的点有几个（不必求出点的坐标）; 若不存在，说明理由. 21．（本小题满分14分） 已知二次函数，关于的不等式 的解集为，其中为非零常数.设. （1）求的值； （2）R如何取值时，函数存在极值点，并求出极值点； （3）若，且，求证：N. 2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 数学（理科）试题参考答案及评分标准 说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数． 2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分． 题号12345678答案DBCD ACAB 二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题． 9． 10． 11． 12．或 13．8， 14． 15． 说明：① 第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分． ② 第14题的正确答案可以是：Z. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） （本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解：∵的最大值为2，且， ∴. ……………1分 ∵的最小正周期为， ∴，得. ……………2分 ∴. ……………3分 （2）解法1：∵， ……………4分 ， ……………5分 ∴. ∴. ……………8分 ∴. ………10分 ∴. ……………11分 ∴△的面积为. ……………12分 解法2：∵， ……………4分 ， ……………5分 ∴. （苏元高考吧： ∴. ……………8分 ∴. ……………10分 ∴. ……………11分 ∴△的面积为. ……………12分 解法3：∵， ……………4分 ， ……………5分 ∴. ∴直线的方程为，即. ……………7分 ∴点到直线的距离为. ……………9分 ∵， ……………11分 ∴△的面积为. ……………12分 17．（本小题满分12分） （本小题主要考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的均值等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想） 解：设“甲做对”为事件，“乙做对”为事件，“丙做对”为事件，由题意知， . ……………1分 （1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“”是对立的， 所以至少有一位学生做对该题的概率是. …………3分 （2）由题意知， ……………4分 ， ……………5分 整理得 ，. 由，解得，. ……………7分 （3）由题意知 ， ………9分 =， ……………10分 ∴的数学期望为=. …………12分 18．（本小题满分14分） （本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法） 解法一： （1）证明：延长交的延长线于点，连接. ∵∥，且， ∴为的中点. ……………2分 ∵为的中点， ∴∥. ……………3分 ∵平面，平面， ∴∥平面. ……………4分 （2）解：∵平面，平面， ∴. ……………5分 ∵△是边长为的等边三角形，是的中点， ∴，. ∵平面，平面，， ∴平面. ……………6分 ∴为与平面所成的角. ……………7分 ∵， 在Rt△中，， ∴当最短时，的值最大，则最大. ……………8分 ∴当时，最大. 此时，. ∴. ……………9分 ∵∥，平面， ∴平面. ……………10分 ∵平面，平面， ∴，. ……………11分 ∴为平面 与平面所成二面角（锐角）. ……………12分 在Rt△中，，.…13分 ∴平面 与平面所成二面角（锐角）的余弦值为. ……………14分 解法二： （1）证明：取的中点，连接、. ∵为的中点， ∴∥，且. ……………1分 ∵∥，且， ∴∥，. ……………2分 ∴四边形是平行四边形. ∴∥. ……………3分 ∵平面，平面， ∴∥平面. （苏元高考吧： ……………4分 （2）解：∵平面，平面， ∴. ……………5分 ∵△是边长为的等边三角形，是的中点， ∴，. ∵平面，平面，， ∴平面. ……………6分 ∴为与平面所成的角. ……………7分 ∵， 在Rt△中，， ∴当最短时，的值最大，则最大. ……………8分 ∴当时，最大. 此时，. ∴. ……………9分 在Rt△中，. ∵Rt△～Rt△， ∴，即. ∴. ……………10分 以为原点，与垂直的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴， 建立空间直角坐标系. 则，，，. ∴，，. 设平面的法向量为， 由，， 得 （苏元高考吧： 令，则. ∴平面的一个法向量为. ……………12分 ∵平面， ∴是平面的一个法向量. ∴. ……………13分 ∴平面 与平面所成二面角（锐角）的余弦值为. ……………14分 19．（本小题满分14分） （本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力） (1) 解：， ∴ 当时，有 解得 . ……………1分 由, ① 得, ② ……………2分 ② - ①得: . ③ ……………3分 以下提供两种方法： 法1：由③式得：， 即; ……………4分 ， ……………5分 ∵， ∴数列是以4为首项,2为公比的等比数列. ∴,即. ……………6分 当时, ， ……………7分 又也满足上式, ∴. ……………8分 法2：由③式得：， 得. ④ ……………4分 当时,, ⑤ ……………5分 ⑤-④得：. ……………6分 由，得， ∴. ……………7分 ∴数列是以为首项，2为公比的等比数列. ∴. ……………8分 （2）解：∵成等差数列， ∴. ……………9分 假设成等比数列， 则， ……………10分 即， 化简得：. （*） ……………11分 ∵， ∴，这与（*）式矛盾，故假设不成立.……13分 ∴不是等比数列. ……………14分 20．（本小题满分14分） （本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识） 解法1：设椭圆的方程为, 依题意: 解得: ……………2分 ∴ 椭圆的方程为. ……………3分 解法2：设椭圆的方程为， 根据椭圆的定义得，即， ……………1分 ∵， ∴. ……………2分 ∴ 椭圆的方程为. ……………3分 (2)解法1：设点,，则， ， ∵三点共线, （苏元高考吧： ∴. ……………4分 ∴, 化简得：. ① ……………5分 由,即得. ……………6分 ∴抛物线在点处的切线的方程为，即. ② 同理，抛物线在点处的切线的方程为 . ③ ……………8分 设点，由②③得：， 而，则 . ……………9分 代入②得 ， ……………10分 则，代入 ① 得 ，即点的轨迹方程为. ……………11分 若 ，则点在椭圆上，而点又在直线上， ……………12分 ∵直线经过椭圆内一点, ∴直线与椭圆交于两点. ……………13分 ∴满足条件 的点有两个. ……………14分 解法2：设点,，， 由,即得. ……………4分 ∴抛物线在点处的切线的方程为， 即. ……………5分 ∵， ∴ . ∵点在切线上, ∴. ① ……………6分 同理， . ② ……………7分 综合①、②得，点的坐标都满足方程. ……………8分 ∵经过的直线是唯一的， ∴直线的方程为， ……………9分 ∵点在直线上， ∴. ……………10分 ∴点的轨迹方程为. ……………11分 若 ，则点在椭圆上，又在直线上，……12分 ∵直线经过椭圆内一点, ∴直线与椭圆交于两点. ……………13分 ∴满足条件 的点有两个. ……………14分 解法3：显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 由消去，得. ……………4分 设,则. ……………5分 由,即得. ……………6分 ∴抛物线在点处的切线的方程为，即.…7分 ∵， ∴. 同理,得抛物线在点处的切线的方程为. ……………8分 由解得 ∴. ……………10分 ∵, ∴点在椭圆上. ……………11分 ∴. 化简得.(*) ……………12分 由, ……………13分 可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点有两个. ……………14分 21．（本小题满分14分） （本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识） （1）解：∵关于的不等式的解集为， 即不等式的解集为， ∴. ∴. ∴. ∴. ……………2分 (2)解法1:由(1)得. ∴的定义域为. ∴. ……………3分 方程（*）的判别式 . ……………4分 ①当时，，方程（*）的两个实根为 ……………5分 则时，；时，. ∴函数在上单调递减，在上单调递增. ∴函数有极小值点. ……………6分 ②当时，由,得或， 若，则 故时，，（苏元高考吧： ∴函数在上单调递增. ∴函数没有极值点. ……………7分 若时， 则时，；时，；时，. ∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. ∴函数有极小值点，有极大值点. ……………8分 综上所述, 当时，取任意实数, 函数有极小值点； 当时，，函数有极小值点，有极大值点.………9分 (其中, ) 解法2:由(1)得. ∴的定义域为. ∴. ……………3分 若函数存在极值点等价于函数有两个不等的零点，且 至少有一个零点在上. ……………4分 令, 得, (*) 则,(**) ……………5分 方程（*）的两个实根为, . 设, ①若,则,得,此时,取任意实数, (**)成立. 则时，；时，. ∴函数在上单调递减，在上单调递增. ∴函数有极小值点. ……………6分 ②若,则得 又由(**)解得或, 故. ……………7分 则时，；时，；时，. ∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. ∴函数有极小值点，有极大值点. ……………8分 综上所述, 当时，取任何实数, 函数有极小值点； 当时，，函数有极小值点，有极大值点.………9分 (其中, ) (2)证法1：∵， ∴. ∴ . ……………10分 令， 则 . ∵， ∴ ……11分 …12分 . ……………13分 ∴，即. ……………14分 证法2：下面用数学归纳法证明不等式. ① 当时，左边，右边，不等式成立； ……………10分 ② 假设当N时，不等式成立，即， 则 ……………11分 ……………12分 . ……………13分 也就是说，当时，不等式也成立. 由①②可得，对N，都成立. ………14分 水流方向。

广州市2013届高三年级调研测数 学（文 科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数1+i （i 为虚数单位）的模等于AB ．1 C．2D ．122．已知集合}4,3,2,1,0{=A ，集合},2|{A n n x x B ∈==，则=B AA ．}0{B ．}4,0{C ．}4,2{D ．}4,2,0{3．已知函数()2030xx x fx x log ,,⎧>=⎨≤⎩, 则14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是A ．9B ．19C ．9-D ．19-4．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若34512a a a ++=，则7S 的值为A ．56B ．42C ．28D ．14 5．已知e 为自然对数的底数，函数y x =e x 的单调递增区间是A . )1,⎡-+∞⎣B ．(1,⎤-∞-⎦C ．)1,⎡+∞⎣D ．(1,⎤-∞⎦ 6．设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，下列命题正确的是A ．αα//,//,//n m n m 则若B ．βαγβγα//,,则若⊥⊥C ．nm n m //,//,//则若ααD ．n m n m ⊥⊥则若,//,αα7．如图1，程序结束输出s 的值是A ．30B ．55C ．91D ．1408．已知函数()()212fx x x cos cos =-⋅，x ∈R ，则()f x 是A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数 D ．最小正周期为π的偶函数图29．在区间15,⎡⎤⎣⎦和24,⎡⎤⎣⎦分别取一个数,记为a b ,, 则方程22221x y ab+=表示焦点在x轴2的椭圆的概率为A ．12B ．1532C ．1732D ．313210．在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若对任意2x >，不等式()2x a x a -⊗≤+ 都成立，则实数a 的取值范围是A. 17,⎡⎤-⎣⎦B. (3,⎤-∞⎦ C. (7,⎤-∞⎦D. ()17,,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣二．填空题： 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题） 11．已知()fx 是奇函数,()()4gx fx =+, ()12g =, 则()1f -的值是 .12．已知向量a ，b 都是单位向量，且 a b 12=，则2-a b 的值为 .13．设x x f cos )(1=，定义)(1x f n +为)(x f n 的导数，即)(' )(1x f x f n n =+，n ∈N *，若ABC ∆的内角A 满足1220130f A f A f A ()()()+++= ，则s i n A 的值是 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14.（几何证明选讲选做题）如图2，已知A B 是⊙O 的一条弦，点P 为A B 上一点，P C O P ⊥，P C 交⊙O 于C ，若4A P =，2PB =，则P C 的长是 . 15．（坐标系与参数方程选讲选做题） 已知圆C 的参数方程为2x y cos ,sin ,θθ⎧=⎨=+⎩(θ为参数), 以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为1sin cos ρθρθ+=, 则直线l 截圆C 所得的弦长是 .三．解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）侧视DCBAP图5图4图3625x 0611y 11988967乙甲已知函数2f x x x ()sin sin π⎛⎫=-+⎪⎝⎭. （1）求函数)(x f y =的单调递增区间；（2）若43f ()πα-=，求)42(πα+f 的值17．（本小题满分12分）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图3，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83. （1）求x 和y 的值；（2）计算甲班7位学生成绩的方差2s ；（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率. 参考公式：方差()()()2222121n s x xxxx xn ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦， 其中12nx x x x n+++=.18．(本小题满分14分)已知四棱锥P A B C D -的正视图是一个底边长为4、腰长为3的等腰三角形，图4、图5 分别是四棱锥P A B C D -的侧视图和俯视图. （1）求证：A D P C ⊥；（2）求四棱锥P A B C D -的侧面P A B 的面积.19．（本小题满分14分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，数列}1{+n S 是公比为2的等比数列，2a 是1a 和3a 的等比中项.（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求数列{}n na 的前n 项和n T .20.（本小题满分14分） 已知()fx 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()05,，且()f x 在点()()11f ,处的切线与直线610x y ++=平行. （1）求()fx 的解析式；（2）是否存在t ∈N *，使得方程()370fx x+=在区间()1t t ,+内有两个不等的实数根？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由.21.（本小题满分14分） 已知椭圆()22122:10x y C a b ab+=>>的右焦点与抛物线22:4C y x =的焦点F 重合,椭圆1C 与抛物线2C 在第一象限的交点为P ,53P F =.(1)求椭圆1C 的方程；(苏元高考吧：)(2) 若过点()1,0A -的直线与椭圆1C 相交于M 、N 两点，求使FM FN FR +=成立的动点R 的轨迹方程；(3) 若点R 满足条件（2），点T 是圆()2211x y -+=上的动点，求RT 的最大值.11．2 12. 13. 1 14. 15.16．（本小题满分12分）(本小题主要考查三角函数性质、同角三角函数的基本关系、二倍角公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力) （1） 解：2f x x x ()sin sin π⎛⎫=-+⎪⎝⎭x x cos sin =+ …………… 1分22x x sin cos ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭4x sin π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. …………… 3分由22242k x k ,πππππ-+≤+≤+ …………… 4分解得32244k x k k ,ππππ-+≤≤+∈Z . …………… 5分∴)(x f y =的单调递增区间是32244k k k [,],ππππ-++∈Z . ………… 6分（2）解：由（1）可知)4sin(2 )(π+=x x f ，∴43f ()sin παα-==，得13sin α=. …………… 8分∴)42(πα+f =22sin πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭…………… 9分2cos α= …………… 10分()212sin α=-…………… 11分9=. …………… 12分17．（本小题满分12分）(本小题主要考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识) （1）解：∵甲班学生的平均分是85，6FEDCBA P∴92968080857978857x +++++++=. …………… 1分∴5x =. …………… 2分 ∵乙班学生成绩的中位数是83， ∴3y =. ……… 3分 （2）解：甲班7位学生成绩的方差为2s ()()()2222222167507117⎡⎤=-+-+-++++⎢⎥⎣⎦40=. …… 5分（3）解：甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为,A B ， …………… 6分 乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为,,C D E . …………… 7分 从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：()()(),,,,,,A B A C A D ()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,A E B C B D B E C D C E D E . …………… 9分 其中甲班至少有一名学生共有7种情况：()()(),,,,,,A B A C A D()()()(),,,,,,,A E B C B D B E . ……………11分 记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件M ，则()710P M=.答：成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为710.12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、三视图、几何体的侧面积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）证明：依题意，可知点P 在平面A B C D 上的正射影是线段C D 的中点E ，连接P E ， 则PE ⊥平面A B C D . …………… 2分 ∵A D ⊂平面A B C D ，∴AD PE ⊥. …………… 3分 ∵A D C D ⊥，CD PE E CD ,=⊂ 平面PC D ，PE ⊂平面PC D ， ∴AD ⊥平面PC D . …………… 5分 ∵P C ⊂平面PC D ，∴A D P C ⊥. …………… 6分 （2）解：依题意，在等腰三角形PC D 中，3P C P D ==，2D E EC ==， 在R t △PED中，PE ==，…………… 7分过E 作EF AB ⊥，垂足为F ，连接P F ，∵PE ⊥平面A B C D ，A B ⊂平面A B C D ，∴A B P E ⊥. …………… 8分 ∵EF ⊂平面P E F ，PE ⊂平面P E F ，EF PE E = ， ∴AB⊥平面P E F . …………… 9分∵PF ⊂平面P E F ，∴AB PF ⊥. …………… 10分 依题意得2EF AD ==. …………… 11分在R t △P E F 中， 3PF ==， …………… 12分∴△P A B 的面积为162S AB PF == .∴四棱锥P A B C D -的侧面P A B 的面积为6. …………… 14分19．（本小题满分14分）(本小题主要考查数列、数列求和等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) （1）解：∵}1{+n S 是公比为2的等比数列，∴11112)1(2)1(1--⋅+=⋅+=+n n n a S S . …………… 1分 ∴12)1(11-⋅+=-n n a S .从而11122+=-=a S S a ，221233+=-=a S S a . …………… 3分 ∵2a 是1a 和3a 的等比中项∴)22()1(1121+⋅=+a a a ，解得=1a 1或11-=a . …………… 4分 当11-=a 时，11+S 0=，}1{+n S 不是等比数列， …………… 5分∴=1a 1. ∴12-=nn S . …………… 6分当2n ≥时，112--=-=n n n n S S a . …………… 7分∵11=a 符合12-=n n a ， ∴12-=n n a . …………… 8分（2）解：∵12n n na n -= ，∴1211122322n n T n -=⨯+⨯+⨯++ . ① …………… 9分21231222322nn T n =⨯+⨯+⨯++ .② …………… 10分①-②得2112222n nn T n --=++++- …………… 11分12212nnn -=-- …………… 12分=()121n n -- . …………… 13分 ∴()121nn T n =-+ . …………… 14分20.（本小题满分14分）(本小题主要考查二次函数、函数的性质、方程的根等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识) （1）解：∵()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()05,，∴可设()()5fx ax x =-，0a >. …………… 1分∴25f x ax a /()=-. …………… 2分 ∵函数()f x 在点()()11f ,处的切线与直线610xy ++=平行，∴()16f/=-. …………… 3分∴256a a -=-，解得2a =. …………… 4分 ∴()()225210fx x x xx =-=-. …………… 5分（2）解：由（1）知，方程()370f x x+=等价于方程32210370x x-+=. 6分设()h x =3221037xx -+，则()()26202310h x x x x x /=-=-. …………… 7分当1003x ,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x /<，函数()h x 在1003,⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减； ……… 8分 当103x ,⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0h x />，函数()h x 在103,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. … 9分 ∵()()1013100450327h h h ,,⎛⎫=>=-<=>⎪⎝⎭， …………… 12分 ∴方程()0h x =在区间1033,⎛⎫ ⎪⎝⎭，1043,⎛⎫ ⎪⎝⎭内分别有唯一实数根，在区间()03,,()4,+∞内没有实数根. …………… 13分∴存在唯一的自然数3t =，使得方程()370fx x+=在区间()1t t ,+内有且只有两个不等的实数根. …………… 14分21.（本小题满分14分）(本小题主要考查求曲线的轨迹方程、直线、椭圆、抛物线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1)解：抛物线22:4C y x =的焦点F 的坐标为()1,0，准线为1x =-， 设点P 的坐标为()00,x y ，依据抛物线的定义，由53P F =，得01x +53=， 解得023x =.…………… 1分∵ 点P 在抛物线2C 上，且在第一象限，∴ 2002443y x ==⨯，解得03y =∴点P 的坐标为233⎛⎝⎭. …………… 2分 ∵点P 在椭圆22122:1x y C ab+=上， ∴2248193ab+=. …………… 3分又1c =，且22221a b c b =+=+， …………… 4分 解得224,3a b ==.∴椭圆1C 的方程为22143xy+=. …………… 5分(2)解：设点M()11,x y 、()22,N x y 、(),R x y ，则()()()11221,,1,,1,FM x y FN x y FR x y =-=-=-. ∴()12122,FM FN x x y y +=+-+.∵ FM FN FR += ,∴121221,x x x y y y +-=-+=. ① …………… 6分∵M 、N 在椭圆1C 上， ∴222211221,1.4343x y x y +=+=上面两式相减得()()()()12121212043x x x x y y y y +-+-+=.②把①式代入②式得()()()12121043x x x y y y +--+=.当12x x ≠时，得()1212314x y y x x y+-=--. ③ …………… 7分设F R 的中点为Q ，则Q 的坐标为1,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭. ∵M 、N 、Q 、A 四点共线，∴M N A Q k k =, 即121221312yy y y x x x x -==+-++. ④ …………… 8分把④式代入③式，得()3134x yx y+=-+，化简得()2243430y x x +++=. …………… 9分 当12x x =时，可得点R 的坐标为()3,0-，经检验，点()3,0R -在曲线()2243430y x x +++=上.∴动点R 的轨迹方程为()2243430y x x +++=. …………… 10分(3)解: 由(2)知点R()x y ,的坐标满足()2243430yx x +++=,即()224343y x x =-++,由20y≥,得()23430x x -++≥,解得31x -≤≤-. …………… 11分∵圆()2211x y-+=的圆心为()10F ,,半径1r =,∴RF ==12=…………… 12分∴当3x =-时,4RF max=, …………… 13分此时,415RTmax=+=. …………… 14分。

试卷类型：A2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）2013．3 本试卷共4页，21小题， 满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：线性回归方程y bx a =+中系数计算公式121ni i i ni i x x y y b a y bx x x ()(),()==--∑==--∑，其中y x ,表示样本均值.锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i 是虚数单位，则复数1-2i 的虚部为A ．2B ．1C ．1-D ．2- 2．设全集{}123456U ,,,,,=，集合{}135A ,,=，{}24B ,=，则A ．U AB = B ．U =()U A ðBC ．U A=()U B ð D ．U =()U A ð()UB ð3．直线3490x y +-=与圆()2211x y -+=的位置关系是图1俯视图A ．相离B ．相切C ．直线与圆相交且过圆心D ．直线与圆相交但不过圆心 4．若函数()y fx =是函数2x y =的反函数，则()2f 的值是A ．4B ．2C ．1D ．0 5．已知平面向量a ()2m =-,，b (1=，且()-⊥a b b ，则实数m 的值为A．- B． C． D．6．已知变量x y ,满足约束条件21110x y x y y ,,.⎧+≥⎪-≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =-的最大值为A ．3-B ．0C ．1D ．37. 某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是A ．2B . 1C .23D .138. 已知函数()2fx x sin =，为了得到函数()22g x x x sin cos =+的图象，只要将()y fx =的图象A ．向右平移4π个单位长度 B ．向左平移4π个单位长度 C ．向右平移8π个单位长度 D ．向左平移8π个单位长度 9．“2m <”是“一元二次不等式210x mx ++>的解集为R ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 10．设函数()fx 的定义域为D ，如果x D y D ,∀∈∃∈，使()()2f x f y C C (+=为常数)成立，则称函数()fx 在D 上的均值为C . 给出下列四个函数：①3yx =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y x ln =；④21y x sin =+, 则满足在其定义域上均值为1的函数的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4图2C二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题） 11．函数()()1f x x ln =+-的定义域是12．某工厂的某种型号的机器的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)有下表的统计资料：根据上表可得回归方程ˆˆ1.23yx a =+，据此模型估计，该型号机器使用年限为10年的维修费用约 万元（结果保留两位小数）．13．已知经过同一点的n n (∈N 3n *,)≥个平面，任意三个平面不经过同一条直线.若这n 个平面将空间分成()fn 个部分，则()3f = ，()f n = .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点32,2A π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在直线cos sin 0ρθθ=上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标为 ．15．（几何证明选讲选做题） 如图2，AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，AC 与O 交于点D ，若3BC =，165AD =，则AB 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数()sin()4f x A x πω=+（其中x ∈R ，0A >，0ω>）的最大值为2，最小正周期为8.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()f x 图象上的两点,P Q 的横坐标依次为2,4，O 为坐标原点，求cos ∠POQ图3a0.06b MDCBAP的值.17．（本小题满分12分）沙糖桔是柑桔类的名优品种，因其味甜如砂糖故名.某果农选取一片山地种植沙糖桔，收获时，该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量（单位：kg ），获得的所有数据按照区间(4045,,⎤⎦(((455050555560,,,,,⎤⎤⎤⎦⎦⎦进行分组，得到频率分布直方图如图 3.已知样本中产量在区间(4550,⎤⎦上的果树株数是产量在区间(5060,⎤⎦上的果树株数的43倍. （1）求a ,b 的值；（2）从样本中产量在区间(5060,⎤⎦上的果树随机抽取两株，求产量在区间(5560,⎤⎦上的果树至少有一株被抽中的概率.18．（本小题满分14分）如图4，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，60BCD ︒∠=，2AB AD =，PD ⊥平面ABCD ，点M 为PC 的中点.（1）求证:PA //平面BMD ； （2）求证：AD ⊥PB ；（3）若2AB PD ==，求点A 到平面BMD 的距离.19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，28a =，()11452n n n S S S n +-+=≥，n T 是数列{}2n a log 的前n 项和.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求n T ；（3）求满足2311110101112013n T T T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最大正整数n 的值. 20．（本小题满分14分）已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两个焦点分别为1(2,0)F -，2F ()20,，点(2,3)A 在椭圆1C 上，过点A 的直线L 与抛物线22:4C x y =交于B C ,两点，抛物线2C 在点B C ,处的切线分别为12l l ,, 且1l 与2l 交于点P . (1) 求椭圆1C 的方程；(2) 是否存在满足1212PF PF AF AF +=+的点P ? 若存在，指出这样的点P 有几个（不必求出点P 的坐标）; 若不存在，说明理由.21．（本小题满分14分）已知n ∈N *，设函数2321()1,2321n n x x x f x x x n -=-+-+-∈-R . （1）求函数y =2()f x kx k (-∈R )的单调区间；（2）是否存在整数t ，对于任意n ∈N *，关于x 的方程()0n f x =在区间1t t ,⎡⎤+⎣⎦上有唯一实数解，若存在，求t 的值；若不存在，说明理由.2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．11．(]1,2 12．1238. 13．8，22n n -+ 14．1116,π⎛⎫⎪⎝⎭15．4 说明：① 第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分．② 第14题的正确答案可以是：11126k k ,(ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ).三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解：∵()f x 的最大值为2，且0A >，∴2A =. ……………1分 ∵()f x 的最小正周期为8， ∴28T πω==，得4πω=. ……………3分∴()2sin()44f x x ππ=+. ……………4分（2）解法1：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭， ……………5分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ ……………6分∴(4,P Q . ……………7分∴OP PQ OQ ===……………10分∴222222cos 2OP OQ PQPOQOP OQ+-+-∠===……12分 解法2：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭，……………5分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭……………6分∴(4,P Q . ……………8分 ∴(2,2),(4,OP OQ ==. ……………10分∴cos cos ,36OP OQ POQ OP OQ OP OQ⋅∠=<>===. ……………12分 解法3: ∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭5分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭6∴(4,P Q . ……………7分作1PP x ⊥轴, 1QQ x ⊥轴,垂足分别为11P Q ,,∴112,OP OP PP ====114OQ QQ ,== (8)分设11POP QOQ ,αβ∠=∠=,则13sin ,cos ,sin ,cos ααββ====. ……………10分 ∴cos cosPOQ ∠=()cos cos sin sin αβαβαβ+=-=.………12分 17．（本小题满分12分）（本小题主要考查频率分布直方图、概率等知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）（1）解:样本中产量在区间(4550,⎤⎦上的果树有520100a a ⨯⨯=（株），…………1分 样本中产量在区间(5060,⎤⎦上的果树有()()002520100002b b ..+⨯⨯=+（株）， ……………2分依题意，有()41001000023a b .=⨯+，即()40023a b .=+.①…………3分 根据频率分布直方图可知()00200651b a ..+++⨯=， ② …………4分 解①②得:008004a b .,.==. ……………6分 （2）解：样本中产量在区间(5055,⎤⎦上的果树有0045204.⨯⨯=株，分别记为ONMDCP123A A A ,,,4A ，……………… 7分 产量在区间(5560,⎤⎦上的果树有0025202.⨯⨯=株，分别记为12B B ,. … 8分 从这6株果树中随机抽取两株共有15种情况：()()1213A A A A ,,,，()14A A ,()()()()()()111223242122A B A B A A A A A B A B ,,,,,,,,,,,,()34A A ,,()31A B ,,()32A B ,，()()4142A B A B ,,,,()12B B ,. ……………10分其中产量在(5560,⎤⎦上的果树至少有一株共有9种情况：()()1112A B A B ,,,,()()()()21223132A B A B A B A B ,,,,,,,,()()4142A B A B ,,,，()12B B ,. ………11分记“从样本中产量在区间(5060,⎤⎦上的果树随机抽取两株，产量在区间(5560,⎤⎦上的果树至少有一株被抽中”为事件M ，则()93155P M ==. ……………12分 18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、点到平面的距离等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） (1)证明:连接AC ，AC 与BD 相交于点O , 连接MO ， ∵ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 的中点. ……………1分 ∵M 为PC 的中点，∴MO AP //. ……………2分 ∵PA ⊄平面BMD ,MO ⊂平面BMD ,∴PA //平面BMD . ……………3分 (2)证明:∵PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥AD . ……………4分∵60BAD BCD ︒∠=∠=，2AB AD =，∴222260BDAB AD AB AD cos ︒=+-⋅⋅2222AB AD AD =+-22AB AD =-. ……………5分 ∴22ABAD =2BD +.∴AD BD ⊥. ……………6分∵PDBD D =，PD ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，∴AD ⊥平面PBD . ……………7分 ∵PB ⊂平面PBD ，∴AD PB ⊥. ……………8分（3）解：取CD 的中点N ，连接MN ，则MN PD //且12MN PD =. ∵PD ⊥平面ABCD ，2PD =，∴MN ⊥平面ABCD ，1MN =. ……………9分在Rt △PCD 中，2CD AB PD ===，1122DM PC ===，∵BC AD //,AD PB ⊥, ∴BC PB ⊥.在Rt △PBC 中，12BM PC ==在△BMD 中，BM DM =，O 为BD 的中点, ∴MO BD ⊥.在Rt △ABD 中，602BD AB sin ︒=⋅=⨯=.在Rt △MOB 中，MO ==2. ∴1322ΔABD S AD BD =⨯=，11524ΔMBD S BD MO =⨯=.…………11分 设点A 到平面BMD 的距离为h ，∵M ABD A MBD V V --=， ∴13MN 13ΔABD S h =ΔMBD S . ……………12分即13⨯12⨯13h =⨯⨯4， 解得5h =. ……………13分∴点A 到平面BMD ……………14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等知识，考查分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识） （1） 解：∵当2n ≥时，1145n n n S S S +-+=，∴()114n n n n S S S S +--=-. ……………1分 ∴14n n a a +=. ……………2分 ∵12a =，28a =，∴214a a =. ……………3分∴数列{}n a 是以12a =为首项，公比为4的等比数列.∴121242n n n a --=⋅=. ……………4分（2） 解：由（1）得：2122221n n a n log log -==-， ……………5分∴21222n n T a a a log log log =+++()1321n =+++- ……………6分()1212n n +-=……………7分2n = . ……………8分（3）解： 23111111n T T T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22211111123n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ……………9分222222222131411234n n----=⋅⋅⋅⋅ ()()2222132********n n n⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+=⋅⋅⋅⋅ ……………10分12n n+=. ……………11分 令12n n+10102013>，解得：42877n <. ……………13分 故满足条件的最大正整数n 的值为287. ……………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）(1) 解法1：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得:2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ……………2分 ∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分解法2：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=，即4a =， ……………1分 ∵2c =， ∴22212b a c =-=. ……………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分 (2)解法1：设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ，则))(41,(212212x x x x BC --=， )413,2(211x x --=，∵C B A ,,三点共线,∴BC BA //. ……………4分 ∴()()()222211211113244x x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭,化简得：1212212x x x x ()+-=. ① ……………5分 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-， 即211412x x x y -=. ② ……………7分 同理，抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 222412x x x y -=. ③ ……………8分 设点),(y x P ，由②③得：=-211412x x x 222412x x x -， 而21x x ≠，则 )(2121x x x +=. ……………9分代入②得 2141x x y =， ……………10分 则212x x x +=，214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ，即点P 的轨迹方程为3-=x y . ……………11分 若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，而点P 又在直线3-=x y 上， ……………12分∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分 解法2：设点),(11y x B ,),(22y x C ，),(00y x P ， 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………4分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-， 即2111212x y x x y -+=. ……………5分 ∵21141x y =， ∴112y x x y -= . ∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① ……………6分 同理， 20202y x x y -=. ② ……………7分 综合①、②得，点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程 y x xy -=002. ……8分 ∵经过),(),,(2211y x C y x B 两点的直线是唯一的， ∴直线L 的方程为y x xy -=002， ……………9分∵点)3,2(A 在直线L 上， ∴300-=x y . ……………10分 ∴点P 的轨迹方程为3-=x y . ……………11分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，又在直线3-=x y 上，…12分 ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分 解法3：显然直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为()23y k x =-+，由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ，得248120x kx k -+-=. ……………4分设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-. ……………5分 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-， 即2111212x y x x y -+=. ……………7分 ∵21141x y =， ∴211124x y x x =-. 同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x y x x =-. ……………8分 由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩ ∴()223P k k ,-. ……………10分∵1212PF PF AF AF +=+,∴点P 在椭圆22111612x y C :+=上. ……………11分 ∴()()2222311612k k -+=.化简得271230k k --=.(*) ……………12分由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>, ……………13分可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个. ……………14分 21．（本小题满分14分）（本小题主要考查三次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数的零点、数列求和等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）（1）解：∵232()1,23x x y f x kx x kx =-=-+-- ……………1分 ∴221(1)y x x k x x k '=-+--=--++. ……………2分 方程210x x k -++=的判别式()()214134Δk k =--+=--.当34k ≥-时，0Δ≤，2(1)0y x x k '=--++≤， 故函数y =2()f x kx -在R 上单调递减； ……………3分当34k <-时，方程210x x k -++=的两个实根为1x =，2x =. ……………4分则()1x x ,∈-∞时，0y '<；()12x x x ,∈时，0y '>；()2x x ,∈+∞时，0y '<； 故函数y =2()f x kx -的单调递减区间为()1x ,-∞和()2x ,+∞，单调递增区间为()12x x ,. ……………5分（2）解：存在1t =，对于任意n ∈N *，关于x 的方程()0n f x =在区间1t t ,⎡⎤+⎣⎦上有唯一实数解，理由如下：当1n =时，1()1f x x =-，令1()10f x x =-=，解得1x =，∴关于x 的方程1()0f x =有唯一实数解1x =. ……………6分当2n ≥时，由2321()12321n n x x x f x x n -=-+-+--， 得22322()1n n n f x x x x x --'=-+-++-. ……………7分若1x =-，则()(1)(21)0n n f x f n ''=-=--<，若0x =，则()10n f x '=-<, ……………8分若1x ≠-且0x ≠时，则211()1n n x f x x -+'=-+, ……………9分当1x <-时，2110,10,()0n n x xf x -'+<+<<, 当1x >-时，2110,10,()0n n x xf x -'+>+><,∴()0n f x '<，故()n f x 在(,)-∞+∞上单调递减. ……………10分 ∵111111(1)(11)()()()23452221n f n n =-+-+-++---0>， ………11分23452221222222(2)(12)()()()23452221n n n f n n --=-+-+-++--- 24221212121()2()2()223452221n n n -=-+-+-++--- 2422132312222345(22)(21)n n n n --=-----⋅⋅--0<. …………12分∴方程()0n f x =在[]1,2上有唯一实数解. ……………13分 当()1x ,∈-∞时，()()10n n f xf >>；当()2x ,∈+∞时，()()20n n f x f <<.综上所述，对于任意n ∈N *，关于x 的方程()0n f x =在区间12,⎡⎤⎣⎦上有唯一实数解.t . ……………14分∴1。

2013年高考试题及答案广东卷文数D8.设l 为直线，,αβ是两个不同的平面.下列命题中正确的是A 若l ∥α，l ∥β，则α∥βB 若l ⊥α，l ⊥β，则α∥βC 若l ⊥α，l ∥β，则α∥βD 若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β9.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F （1,0），离心率等于12，则C 的方程是 22.134x y A +=22.143x B +=22.142x y C +=22.143x y D +=10.设α是已知的平面向量且0α≠.关于向量α的分解，有如下四个命题：①给定向量b,总存在向量c ，使a b c =+；②给定向量b 和c,总存在实数λ和μ，使a b c λμ=+； ③给定向量b 和正数，总存在单位向量c,使a b c λμ=+. ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c,使a b c λμ=+.上述命题中的向量b,c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是A.1B.2C.3D.4二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。

（一）必做题（11~13题）11．设数列| na |是首项为1，公比为2-的等比数列，则1234||||a a a a +++=________。

12．若曲线2ln y ax x =-在点（1，a ）处的切线平行于x 轴，则a =________。

13．已知变量x ，y 满足约束条件30111x y x y -+≥⎧⎪-≤≤⎨⎪≥⎩则z x y =+的最大值是________。

（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程=2cos ρθ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________。

15．（几何证明选讲选做题）如图3，在矩形ABCD 中，3AB =3BC =，BE AC ⊥，垂足为E ，则ED =________。

2016年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数 学（文科）注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。

(1) 已知集合{}0,1,2M =,{11,N x x =-≤≤x ∈Z}, 则(A) M N ⊆ (B) N M ⊆ (C) {}0,1M N =I (D) M N N =U (2) 已知()1i i +=a b +i (,a b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a b +的值为 (A) 1- (B) 0 (C) 1 (D) 2 (3) 已知等比数列{}n a 的公比为12-, 则135246a a a a a a ++++的值是(A) 2- (B) 12-(C) 12(D) 2 (4) 从数字1，2，3，4，5中任取2的两位数，则这个两位数大于30的概率是(A) 15 (B) 25(C) 35 (D) 45(5) 执行如图的程序框图，若程序运行中输出的 一组数是(),12x -，则x 的值为(A) 27 (B) 81(C) 243 (D) 729(6) 不等式组0,2,22x y x y x y -≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≥-⎩的解集记为D , 若(),a b D ∈,(7) 已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列结论中正确的是 (A) 函数()f x 的最小正周期为2π (B) 函数()f x 的图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 (C) 由函数()f x 的图象向右平移8π个单位长度可以得到函数sin 2y x =的图象 (D) 函数()f x 在区间5,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增(8) 已知1F , 2F 分别是椭圆C ()2222:10x y a b a b +=>>的左, 右焦点, 点1,2A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在椭 圆C 上, 124AF AF +=, 则椭圆C 的离心率是(A)1223(9) 已知球O 的半径为R ，,,A B C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为12R ，2AB AC ==，120BAC ︒∠=, 则球O 的表面积为 (A) 169π (B) 163π (C) 649π (D) 643π(10) 已知命题p ：x ∀∈N *, 1123x x⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，命题q ：x ∃∈R , 122x x-+=命题中为真命题的是(A) p q ∧ (B) ()p q ⌝∧(11) 如图, 网格纸上的小正方形的边长为1 的是某几何体的三视图, (A) 86+π (B) 46+π (C) 412+π (D) 812+π(12) 设函数()f x 的定义域为R , ()f x -()3f x x =, 则函数()()cos g x x π=-22⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

图1895x 061162y 116987乙甲 试卷类型：A2012年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数 学（文科）2012．4本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A 满足{}1,2A ⊆，则集合A 的个数为A ．4B ．3C ．2D ．1 2．已知i 为虚数单位，复数1z a =+i ,22z =-i ,且12z z =，则实数a 的值为 A ．2 B ．2- C ．2或2- D ．±2或03．已知双曲线221y x m-=的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值是 A ．4 B ．14 C ．14- D ．4- 4．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图1，其中甲班学生的 平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x +y 的值为A ．7B ．8C ．9D ．10图3BA5．已知向量()()3,4,6,3,OA OB =-=-u u u r u u u r ，(),1OC m m =+u u u r，若//AB OC u u u r u u u r ，则实数m 的值为 A ．32-B ．14-C ．12D ．326．已知函数()f x =e x -e 1x -+ (e 是自然对数的底数)，若()2f a =，则()f a -的 值为A ．1--eB ．-eC ．eD ． 1+e7. 已知两条不同直线m 、l ，两个不同平面α、β，在下列条件中，可得出αβ⊥的是 A ．m l ⊥，//l α，//l β B ．m l ⊥，l αβ=I ，m α⊂ C ．//m l ，l β⊥，m α⊂ D ．//m l ，m α⊥，l β⊥ 8．下列说法正确的是 A ．函数()1f x x=在其定义域上是减函数 B ．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C ．命题“x ∃∈R ，210x x ++>”的否定是“x ∀∈R ，210x x ++<D ．给定命题p 、q ，若p q ∧是真命题，则p ⌝是假命题9．阅读图2的程序框图, 该程序运行后输出的k 的值为 A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 10. 已知实数,a b 满足22430a b a +-+=，函数()sin cos 1f x a x b x =++的最大值记为(),a b ϕ， 则(),a b ϕ的最小值为A ．1B ．2C 1D ．3二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题）11．不等式2230x x +-<的解集是 . 12．如图3，,A B 两点之间有4条网线连接，每条网线能通过的最大信息量分别为1,2,3,4.从中任取两条网线，则这两条 网线通过的最大信息量之和为5的概率是 .图4A13．已知点P 是直角坐标平面xOy上的一个动点，OP =O 为坐标原点）， 点()1,0M -，则cos OPM ∠的取值范围是 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若等边三角形(ABC 顶点A ,,B C 按顺时 针方向排列)的顶点,A B 的极坐标分别为72,,2,66ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则顶点C 的极坐标 为 .15．（几何证明选讲选做题）如图4，AB 是圆O 的直径，延长AB 至C ， 使2BC OB =，CD 是圆O 的切线，切点为D ，连接AD ，则ADBD的值为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. （本小题满分12分）已知函数()()()cos sin cos sin f x x x x x =+-. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若0,022ππαβ<<<<，且12,2323f f αβ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求()sin αβ-的值.17．（本小题满分12分）某工厂欲将这三种食物混合成100kg 的混合食物，设所用食物甲、乙、丙的重量分别为x kg 、y kg 、z kg. (1) 试以x 、y 表示混合食物的成本P ；（2）若混合食物至少需含35000单位维生素C 及40000单位维生素D ，问x 、y 、z 取什么值时，混合食物的成本最少？图5NM DC BA B 1C 1D 1A1图6侧（左）视图正（主）视图18. （本小题满分14分）某建筑物的上半部分是多面体MN ABCD -, 下半部分是长方体1111ABCD A B C D -(如 图5). 该建筑物的正（主）视图和侧（左）视图如图6, 其中正（主）视图由正方形和等 腰梯形组合而成，侧（左）视图由长方形和等腰三角形组合而成. （1）求线段AM 的长；（2）证明：平面ABNM ⊥平面CDMN ； （3）求该建筑物的体积.19．（本小题满分14分）已知对称中心为坐标原点的椭圆1C 与抛物线22:4C x y =有一个相同的焦点1F ，直线:2l y x m =+与抛物线2C 只有一个公共点. （1）求直线l 的方程；（2）若椭圆1C 经过直线l 上的点P ，当椭圆1C 的长轴长取得最小值时，求椭圆1C 的方程及点P 的坐标.20．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意n ∈N *，都有0n a >且()()122n n n a a S -+=，令1ln ln n n na b a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）使乘积12k b b b ••⋅⋅⋅•为整数的(k k ∈N *)叫“龙数”，求区间[]1,2012内的所有“龙数”之和；（3）判断n b 与1n b +的大小关系，并说明理由.21．（本小题满分14分） 已知函数()21ln 2f x x ax x =-+，a ∈R . （1）求函数()f x 的单调区间;（2）是否存在实数a ，使得函数()f x 的极值大于0？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由.2012年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）参考答案说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几 种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．50分.二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共5小题，考生作答4小题， 每小题5分，满分20分，其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．11.(-3,1) 12.3113.]1,22[ 14.)32,32(π 15.2 说明：第14题答案可以是))(23232(Z k k ∈+ππ，三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、二倍角的余弦、同角三角函数关系、两角差的正 弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力） (1)解：)sin )(cos sin (cos )(x x x x x f -+=Θx x 22sin cos -= ……………2分x 2cos =. ……4分∴函数f(x)的最小正周期为ππ==22T . ……………6分 (2)解：由(1)得x x f 2cos )(=.32)2(,31)2(==βαf f Θ，32cos ,31cos ==∴βα. ………8分20,20πβπα<<<<Θ。

2013年广州市普通高中毕业班数学文科综合测试（一）（）2013．3本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：线性回归方程中系数计算公式，其中表示样本均值.锥体的体积公式是,其中是锥体的底面积, 是锥体的高.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i是虚数单位，则复数i的虚部为A．B．C．D．2．设全集，集合，，则A．B．C．D．3．直线与圆的位置关系是A．相离B．相切C．直线与圆相交且过圆心D．直线与圆相交但不过圆心4．若函数是函数的反函数，则的值是A．B．C．D．5．已知平面向量，，且，则实数的值为A．B．C．D．6．已知变量满足约束条件则的最大值为A．B．C．D．7. 某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是A． B. C. D.8. 已知函数，为了得到函数的图象，只要将的图象A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度9．“”是“一元二次不等式的解集为R”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．设函数的定义域为，如果，使为常数成立，则称函数在上的均值为 . 给出下列四个函数：①；②；③；④, 则满足在其定义域上均值为的函数的个数是A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）11．函数的定义域是12．某工厂的某种型号的机器的使用年限和所支出的维修费用(万元)有下表的统计资料：2 3 4 5 62.23.8 5.5 6.5 7.0根据上表可得回归方程，据此模型估计，该型号机器使用年限为10年的维修费用约万元（结果保留两位小数）．13．已知经过同一点的N 个平面，任意三个平面不经过同一条直线.若这个平面将空间分成个部分，则，.（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点，点在直线上运动，当线段最短时，点的极坐标为．15．（几何证明选讲选做题）如图2，是的直径，是的切线，与交于点，若，，则的长为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数（其中，，）的最大值为2，最小正周期为.（1）求函数的解析式；（2）若函数图象上的两点的横坐标依次为，为坐标原点，求的值.17．（本小题满分12分）沙糖桔是柑桔类的名优品种，因其味甜如砂糖故名.某果农选取一片山地种植沙糖桔，收获时，该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量（单位：kg），获得的所有数据按照区间进行分组，得到频率分布直方图如图3.已知样本中产量在区间上的果树株数是产量在区间上的果树株数的倍.（1）求, 的值；（2）从样本中产量在区间上的果树随机抽取两株，求产量在区间上的果树至少有一株被抽中的概率.18．（本小题满分14分）如图4，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，平面，点为的中点.（1）求证: 平面；（2）求证：；（3）若，求点到平面的距离.19．（本小题满分14分）设数列的前项和为，已知，，，是数列的前项和.（1）求数列的通项公式；（2）求；（3）求满足的最大正整数的值.20．（本小题满分14分）已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，，点在椭圆上，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为, 且与交于点 .(1) 求椭圆的方程；(2) 是否存在满足的点? 若存在，指出这样的点有几个（不必求出点的坐标）; 若不存在，说明理由.21．（本小题满分14分）已知N ，设函数R.（1）求函数R 的单调区间；（2）是否存在整数，对于任意N ，关于的方程在区间上有唯一实数解，若存在，求的值；若不存在，说明理由.。

2016年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数 学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。

1．已知集合{0,1,2}M =,{11,}N x x x =-≤≤∈Z , 则（ ）A ． M N ⊆B ． N M ⊆C ．{0,1}M N =ID ．M N N =U 【答案】C【解析】{1,0,1}N =-，∴{0,1}M N =I ．2．已知(1i)i i(,)a b a b +=+∈R ，其中i 为虚数单位，则a b +的值为（ ） A ． 1- B ． 0 C ．1 D ．2 【答案】B【解析】∵(1i)i i a b +=+，∴1i i a b -+=+，∴1,1a b =-=，0a b +=． 3．已知等比数列{}n a 的公比为12-, 则135246a a a a a a ++++的值是（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．2 【答案】A 【解析】1351352461352()a a a a a aa a a q a a a ++++==-++++．4．从数字1，2，3，4，5中任取2个，组成一个没有重复数字的两位数，则这个两位数大于30的概率是（ ）A ． 15B ．25C ．35D ．45【答案】C【解析】重复数字的两位数共有10个，两位数大于30的数共有12个，∴123205P ==．5．执行如图的程序框图，若程序运行中输出的一组数是(),12x-则x 的值为（ ）A ． 27B ． 81C ．243D ．729 【答案】B【解析】由程序框图可知：6．不等式组0,2,22x y x y x y -≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≥-⎩的解集记为D , 若(,)a b D ∈, 则23z a b =-的最大值是（ ）A ．1B ．4C ．1-D ．4- 【答案】A【解析】不等式组表示的平面区域的角点 坐标分别为(1,1),(2,0),(2,2)A B C ---,1,4,2A B C z z z ==-=-，故选A ．7．已知函数()sin(2)4f x x π=+，则下列结论中正确的是（ ）A ． 函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图象关于点(,0)4π对称 C ．由函数()f x 的图象向右平移8π个单位长度可以得到函数sin 2y x =的图象 D ．函数()f x 在区间5(,)88ππ上单调递增 【答案】C【解析】()f x 的最小正周期为π，故A 错误；()sin(2)04442f πππ=⨯+=≠，故B 错误； ()sin[2()]sin 2884f x x x πππ-=-+=，故C 正确．8．已知1F ，2F 分别是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左, 右焦点,点(1,2A 在椭圆C 上, 124AF AF +=, 则椭圆C 的离心率是（ ）A ．12 B．4 C ．23D．2【答案】D【解析】∵1242AF AF a +==，∴2a =．∵点A 在椭圆C 上,∴213144b+=，∴1b =，c =2e =．9．已知球O 的半径为R ，,,A B C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为12R ，2AB AC ==，120BAC ︒∠=, 则球O 的表面积为（ ）A ．169π B ．163π C ．649π D ．643π【答案】D【解析】∵2AB AC ==，120BAC ︒∠=,，∴2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅22122222()122=+-⨯⨯⨯-=，∴BC =设ABC ∆外接圆的半径为r ，则24sin 2BC r A ===,∴2r =． ∴2221()2R R r =+，得2163R =．∴球O 的表面积为26443R ππ=．10．已知命题p ：*x ∀∈N , 11()()23x x≥，命题q ：x ∃∈R, 122x x-+=，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝ 【答案】A【解析】由11()()23xx≥，得0x ≥，故命题p 为真命题．∵122xx-+=2202x x +-=，∴2(2)220x x-+=，∴2(20x =，∴12x =，故命题q 为真命题．∴p q ∧为真命题．11．如图, 网格纸上的小正方形的边长为1, 体的体积是（ ）A ．86π+B ．46π+C ．412π+D ．812π+【答案】A【解析】该几何体为半圆柱和四棱锥组成， 其中，平面PDC ⊥平面ABCD ， ∴ 21143223V r h π=+⨯⨯⨯ 21238862ππ=⨯⨯+=+．12．设函数()f x 的定义域为R , ()(),()(2)f x f x f x f x -==-, 当[0,1]x ∈时，3()f x x =，则函数()cos()()g x x f x π=-在区间13[,]22-上的所有零点的和为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】B【解析】∵()(),()(2)f x f x f x f x -==-，∴()(2)f x f x -=-，∴()f x 的周期为2． 画出()y f x =和cos()y x π=的图象， 由图可知，()g x 共有5个零点， 其中120x x +=，40x =，352x x +=． ∴所有零点的和为3．二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．曲线2()23f x x x =-在点(1,(1))f 的处的切线方程为 ． 【答案】20x y --=【解析】()43f x x '=-，(1)1f '=，(1)1f =-，∴切线方程为11y x +=-，即20x y --=．C BADP14．已知a 与b 的夹角为3π，=a，2-=a b =b ． 【答案】2【解析】∵2-=a b 224412-⋅=a a b+b ．∴22242cos 4123π-⨯⨯⨯=b +b ．∴220--=b b ，∴2=b ．15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若212a =，2*1()n S kn n =-∈N ，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为 ． 【答案】21nn + 【解析】依题意得112141a k a a k =-⎧⎨+=-⎩，∵212a =，∴4k =，13a =．∴241n S n =-，211111()4122121n S n n n ==---+， ∴数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为 11111111[(1)()()()2335572121n n -+-+-+⋅⋅⋅+--+ 11(1)22121nn n =-=++．16．已知点O 为坐标原点，点M 在双曲线:C 22(x y λλ-=为正常数）上，过点M 作双曲线C 的某一条渐近线的垂线，垂足为N ，则2ON MN +的最小值为 ．【答案】【解析】双曲线的渐近线为y x =±．设00(,)M x y ，直线MN 的方程为00()y x x y =--+， 由00()y x y x x y =⎧⎨=--+⎩，解得0000(,)22x y x y N ++．∴00ON y =+，00MN y ==-， ∵2200x y λ-=，∴0000()()x y x y λ-+=∴0000x y x y λ-=+，002MN x y =+．∴00002ON MN y x y +=+++≥=三、 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

广州市2013届高三年级调研测数 学（文 科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数1+i （i 为虚数单位）的模等于AB ．1 CD ．122．已知集合}4,3,2,1,0{=A ，集合},2|{A n n x x B ∈==，则=B AA ．}0{B ．}4,0{C ．}4,2{D ．}4,2,0{ 3．已知函数()2030x x x fx x log ,,⎧>=⎨≤⎩, 则14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是 A ．9 B ．19 C ．9- D ．19- 4．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若34512a a a ++=，则7S 的值为A ．56B ．42C ．28D ．145．已知e 为自然对数的底数，函数y x =e x的单调递增区间是A . )1,⎡-+∞⎣B ．(1,⎤-∞-⎦C ．)1,⎡+∞⎣D ．(1,⎤-∞⎦ 6．设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，下列命题正确的是A ．αα//,//,//n m n m 则若B ．βαγβγα//,,则若⊥⊥C ．n m n m //,//,//则若ααD ．n m n m ⊥⊥则若,//,αα 7．如图1，程序结束输出s 的值是A ．30B ．55C ．91D ．1408．已知函数()()212fx x x cos cos =-⋅，x ∈R ，则()f x 是A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数 D ．最小正周期为π的偶函数图29．在区间15,⎡⎤⎣⎦和24,⎡⎤⎣⎦分别取一个数,记为a b ,, 则方程22221x y a b +=表示焦点在x 轴A ．12 B ．1532C ．1732D ．3132 10．在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若对任意2x >，不等式()2x a x a -⊗≤+ 都成立，则实数a 的取值范围是A. 17,⎡⎤-⎣⎦B. (3,⎤-∞⎦ C. (7,⎤-∞⎦D. ()17,,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣二．填空题： 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题） 11．已知()fx 是奇函数, ()()4g x f x =+, ()12g =, 则()1f -的值是 .12．已知向量a ，b 都是单位向量，且 a b 12=，则2-a b 的值为 . 13．设x x f cos )(1=，定义)(1x f n +为)(x f n 的导数，即)(' )(1x f x f n n =+，n ∈N *，若ABC ∆的内角A 满足1220130f A f A f A ()()()+++= ，则sin A 的值是 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14.（几何证明选讲选做题）如图2，已知AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点，PC OP ⊥，PC 交⊙O 于C ，若4AP =，2PB =，则PC 的长是 . 15．（坐标系与参数方程选讲选做题）已知圆C 的参数方程为2x y cos ,sin ,θθ⎧=⎨=+⎩(θ为参数), 以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为1sin cos ρθρθ+=, 则直线l 截圆C 所得的弦长是 .三．解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）侧视DCBAP 图5图4图3625x 0611y 11988967乙甲已知函数2f x x x ()sin sin π⎛⎫=-+⎪⎝⎭. （1）求函数)(x f y =的单调递增区间；（2）若43f ()πα-=，求)42(πα+f 的值17．（本小题满分12分）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图3，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83. （1）求x 和y 的值；（2）计算甲班7位学生成绩的方差2s ；（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率.参考公式：方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦， 其中12nx x x x n+++=.18．(本小题满分14分)已知四棱锥P ABCD -的正视图是一个底边长为4、腰长为3的等腰三角形，图4、图5 分别是四棱锥P ABCD -的侧视图和俯视图. （1）求证：AD PC ⊥；（2）求四棱锥P ABCD -的侧面PAB 的面积.19．（本小题满分14分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，数列}1{+n S 是公比为2的等比数列，2a 是1a 和3a 的等比中项.（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求数列{}n na 的前n 项和n T .20.（本小题满分14分） 已知()fx 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()05,，且()f x 在点()()11f ,处的切线与直线610x y ++=平行. （1）求()fx 的解析式；（2）是否存在t ∈N *，使得方程()370fx x+=在区间()1t t ,+内有两个不等的实数 根？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由.21.（本小题满分14分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的右焦点与抛物线22:4C y x =的焦点F 重合,椭圆1C 与抛物线2C 在第一象限的交点为P ,53PF =. (1)求椭圆1C 的方程；(苏元高考吧：)(2) 若过点()1,0A -的直线与椭圆1C 相交于M 、N 两点，求使FM FN FR +=成立的动点R 的轨迹方程；(3) 若点R 满足条件（2），点T 是圆()2211x y -+=上的动点，求RT 的最大值.11．2 12. 13. 1 14. 15. 16．（本小题满分12分）(本小题主要考查三角函数性质、同角三角函数的基本关系、二倍角公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力) （1） 解：2f x x x ()sin sin π⎛⎫=-+⎪⎝⎭x x cos sin =+ …………… 1分22x x sin cos ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭4x sin π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. …………… 3分由22242k x k ,πππππ-+≤+≤+ …………… 4分解得32244k x k k ,ππππ-+≤≤+∈Z . …………… 5分 ∴)(x f y =的单调递增区间是32244k k k [,],ππππ-++∈Z . ………… 6分 （2）解：由（1）可知)4sin(2 )(π+=x x f ，∴43f ()sin παα-==，得13sin α=. …………… 8分∴)42(πα+f =22sin πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭ …………… 9分2cos α= …………… 10分()212sin α=- …………… 11分9=. …………… 12分 17．（本小题满分12分）(本小题主要考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识) （1）解：∵甲班学生的平均分是85，6FEDCBA P∴92968080857978857x +++++++=. …………… 1分∴5x =. …………… 2分∵乙班学生成绩的中位数是83， ∴3y =. ……… 3分 （2）解：甲班7位学生成绩的方差为2s ()()()22222221675007117⎡⎤=-+-+-++++⎢⎥⎣⎦40=. …… 5分 （3）解：甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为,A B ， …………… 6分 乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为,,C D E . …………… 7分 从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：()()(),,,,,,A B A C A D ()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,A E B C B D B E C D C E D E . …………… 9分 其中甲班至少有一名学生共有7种情况：()()(),,,,,,A B A C A D()()()(),,,,,,,A E B C B D B E . ……………11分 记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件M ，则()710P M =. 答：成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为710.12分 18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、三视图、几何体的侧面积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）证明：依题意，可知点P 在平面ABCD 上的正射影是线段CD 的中点E ，连接PE ， 则PE ⊥平面ABCD . …………… 2分 ∵AD ⊂平面ABCD ，∴AD PE ⊥. …………… 3分 ∵AD CD ⊥，CD PE E CD ,=⊂ 平面PCD ，PE ⊂平面PCD ， ∴AD ⊥平面PCD . …………… 5分 ∵PC ⊂平面PCD ，∴AD PC ⊥. …………… 6分 （2）解：依题意，在等腰三角形PCD 中，3PC PD ==，2DE EC ==， 在R t △PED中，PE ==7分过E 作EF AB ⊥，垂足为F ，连接PF ，∵PE ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴AB PE ⊥. …………… 8分∵EF ⊂平面PEF ，PE ⊂平面PEF ，EF PE E = ， ∴AB ⊥平面PEF . …………… 9分∵PF ⊂平面PEF ，∴AB PF ⊥. …………… 10分 依题意得2EF AD ==. …………… 11分在R t △PEF 中， 3PF ==， …………… 12分∴△PAB 的面积为162S AB PF == . ∴四棱锥P ABCD -的侧面PAB 的面积为6. …………… 14分 19．（本小题满分14分）(本小题主要考查数列、数列求和等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) （1）解：∵}1{+n S 是公比为2的等比数列，∴11112)1(2)1(1--⋅+=⋅+=+n n n a S S . …………… 1分 ∴12)1(11-⋅+=-n n a S .从而11122+=-=a S S a ，221233+=-=a S S a . …………… 3分 ∵2a 是1a 和3a 的等比中项∴)22()1(1121+⋅=+a a a ，解得=1a 1或11-=a . …………… 4分 当11-=a 时，11+S 0=，}1{+n S 不是等比数列， …………… 5分 ∴=1a 1. ∴12-=n n S . …………… 6分当2n ≥时，112--=-=n n n n S S a . …………… 7分 ∵11=a 符合12-=n n a ， ∴12-=n n a . …………… 8分 （2）解：∵12n n na n -= ，∴1211122322n n T n -=⨯+⨯+⨯++ . ① …………… 9分21231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++ .② …………… 10分①-②得2112222n n n T n --=++++- …………… 11分12212nn n -=-- …………… 12分=()121nn -- . …………… 13分∴()121nn T n =-+ . …………… 14分20.（本小题满分14分）(本小题主要考查二次函数、函数的性质、方程的根等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识) （1）解：∵()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()05,，∴可设()()5fx ax x =-，0a >. …………… 1分∴25f x ax a /()=-. …………… 2分 ∵函数()fx 在点()()11f ,处的切线与直线610x y ++=平行，∴()16f /=-. …………… 3分∴256a a -=-，解得2a =. …………… 4分 ∴()()225210fx x x x x =-=-. …………… 5分（2）解：由（1）知，方程()370f x x+=等价于方程32210370x x -+=. 6分设()h x=3221037x x -+，则()()26202310hx x x x x /=-=-. …………… 7分当1003x ,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x /<，函数()h x 在1003,⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； ……… 8分当103x ,⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0h x />，函数()h x 在103,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. … 9分 ∵()()1013100450327h h h ,,⎛⎫=>=-<=>⎪⎝⎭， …………… 12分 ∴方程()0h x=在区间1033,⎛⎫ ⎪⎝⎭，1043,⎛⎫⎪⎝⎭内分别有唯一实数根，在区间()03,,()4,+∞内没有实数根. …………… 13分∴存在唯一的自然数3t =，使得方程()370fx x+=在区间()1t t ,+内有且只有两个不等的实数根. …………… 14分21.（本小题满分14分）(本小题主要考查求曲线的轨迹方程、直线、椭圆、抛物线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1)解：抛物线22:4C y x =的焦点F 的坐标为()1,0，准线为1x =-， 设点P 的坐标为()00,x y ，依据抛物线的定义，由53PF =，得01x +53=， 解得023x =. …………… 1分∵ 点P 在抛物线2C 上，且在第一象限，∴ 2002443y x ==⨯，解得03y =.∴点P 的坐标为2,33⎛⎝⎭. …………… 2分 ∵点P 在椭圆22122:1x y C a b+=上， ∴2248193a b +=. …………… 3分又1c =，且22221a b c b =+=+， …………… 4分 解得224,3a b ==.∴椭圆1C 的方程为22143x y +=. …………… 5分 (2)解：设点M()11,x y 、()22,N x y 、(),R x y ，则()()()11221,,1,,1,FM x y FN x y FR x y =-=-=-. ∴()12122,FM FN x x y y +=+-+.∵ FM FN FR += ,∴121221,x x x y y y +-=-+=. ① …………… 6分∵M 、N 在椭圆1C 上， ∴222211221, 1.4343x y x y +=+= 上面两式相减得()()()()12121212043x x x x y y y y +-+-+=.②把①式代入②式得()()()12121043x x x y y y +--+=.当12x x ≠时，得()1212314x y y x x y+-=--. ③ …………… 7分 设FR 的中点为Q ，则Q 的坐标为1,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭. ∵M 、N 、Q 、A 四点共线，∴MNAQ k k =, 即121221312yy y y x x x x -==+-++. ④ …………… 8分 把④式代入③式，得()3134x yx y+=-+， 化简得()2243430y x x +++=. …………… 9分当12x x =时，可得点R 的坐标为()3,0-，经检验，点()3,0R -在曲线()2243430y x x +++=上.∴动点R 的轨迹方程为()2243430y x x +++=. …………… 10分(3)解: 由(2)知点R ()x y ,的坐标满足()2243430y x x +++=,即()224343y x x =-++,由20y ≥,得()23430x x -++≥,解得31x -≤≤-. …………… 11分∵圆()2211x y -+=的圆心为()10F ,,半径1r =,∴RF ==12=…………… 12分∴当3x =-时,4RF max=, …………… 13分此时,415RTmax=+=. …………… 14分。

广东省2013届高三最新理科试题精选（37套含13大市区的二模）分类汇编17：导数与积分（2）一、选择题1 ．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））由曲线sin ,cos y x y x ==与直线0,2x x π==所围成的平面图形(图1中的阴影部分)的面积是（ ）A ．1B ．4πC ．3D ．2【答案】D2 ．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）如图所示,图中曲线方程为21y x =-,用定积分表达围成封闭图形(阴影部分)的面积是【答案】C3 ．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））曲线f(x)=xlnx在点x=1处的切线方程为（ ）A ．y=2x+2B ．y=2x-2C ．y=x-1C ．y=x+1【答案】C4 ．（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学理试题）将边长为2的等边三角形PAB 沿x 轴滚动,某时刻P 与坐标原点重合(如图),设顶点(,)P x y 的轨迹方程是()y f x =,关于函数()y f x =的有下列说法:①()f x 的值域为[0,2];②()f x 是周期函数;③( 1.9)()(2013)f f f π-<<;④69()2f x dx π=⎰.其中正确的说法个数为: （ ）A ．0B ．C ．2D ．3【答案】C5 ．（广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）数学理试题（WORD 版））已知函数()yf x =的图象如图1所示,则其导函数()y f x '=的图象可能是【答案】A二、填空题6 ．（广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）计算________.【答案】2e ;7 ．（广东省江门市2013年高考模拟考试（即一模）数学（理）试题 ）在平面直角坐标系Oxy中,直线a y =(0>a )与抛物线2x y =所围成的封闭图形的面积为328,则=a _______. 【答案】28 ．（广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学（理）试题）不等式211x -<的解集为(),a b ,计算定积分)2b ax dx -=⎰_______.【答案】139．（广东省广州市2013届高三调研测试数学（理）试题）若直线2y x m =+是曲线ln y x x=图1A ．B ．C ．D ．O x P A 第8题图的切线,则实数m 的值为_________.【答案】e -分析:设切点为000(,ln )x x x ,由1(ln )ln ln 1y x x x x x x''==+=+ 得0ln 1k x =+, 故切线方程为0000ln (ln 1)()y x x x x x -=+-,整理得00(ln 1)y x x x =+-, 与2y x m =+比较得00ln 12x x m+=⎧⎨-=⎩,解得0e x =,故e m =-10．（广东省广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一）数学（理）试题）10x cos ⎰d x =______________.【答案】1sin11．（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）20(3sin )x x dx π+=⎰________________.【答案】2318π+解析:22220033(3sin )(cos )|128x x dx x x πππ+=-=+⎰.12．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD 版））曲线y= x 3-x + 3在点(1,3)处的切线方程为_______【答案】21x y -+13．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））若直线y kx =与曲线ln y x =相切,则k =__________________.【答案】1e14．（广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）计算= ________.【答案】2e .三、解答题15．（广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（理）试题（含解析））已知函数()ln f x x =,2()()g x f x ax bx =++,函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴.(1)确定a 与b 的关系;(2)试讨论函数()g x 的单调性; (3)证明:对任意*n N ∈,都有()211ln 1ni i n i=-+>∑成立.【答案】解:(1)依题意得2()ln g x x axbx =++,则1'()2g x ax b x=++ 由函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴得:'(1)120g a b =++= ∴21b a =--(2)由(1)得22(21)1'()ax a x g x x -++=(21)(1)ax x x--=∵函数()g x 的定义域为(0,)+∞∴当0a ≤时,210ax -<在(0,)+∞上恒成立, 由'()0g x >得01x <<,由'()0g x <得1x >, 即函数()g x 在(0,1)上单调递增,在(1,)+∞单调递减; 当0a >时,令'()0g x =得1x =或12x a=, 若112a <,即12a >时,由'()0g x >得1x >或102x a <<,由'()0g x <得112x a<<,即函数()g x 在1(0,)2a ,(1,)+∞上单调递增,在1(,1)2a单调递减;若112a >,即102a <<时,由'()0g x >得12x a>或01x <<,由'()0g x <得112x a<<, 即函数()g x 在(0,1),1(,)2a +∞上单调递增,在1(1,)2a单调递减;若112a =,即12a =时,在(0,)+∞上恒有'()0g x ≥, 即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增,综上得:当0a ≤时,函数()g x 在(0,1)上单调递增,在(1,)+∞单调递减; 当102a <<时,函数()g x 在(0,1)单调递增,在1(1,)2a 单调递减;在1(,)2a+∞上单调递增;当12a =时,函数()g x 在(0,)+∞上单调递增, 当12a >时,函数()g x 在1(0,)2a 上单调递增,在1(,1)2a单调递减;在(1,)+∞上单调递增.(3)证法一:由(2)知当1a =时,函数2()ln 3g x x x x =+-在(1,)+∞单调递增,2ln 3(1)2x x x g ∴+-≥=-,即2ln 32(1)(2)x x x x x ≥-+-=---,令*11,x n N n =+∈,则2111ln(1)n n n+>-, 2222111111111111ln(1)ln(1)ln(1)...ln(1)...123112233n n n∴++++++++>-+-+-++-2222111111111111ln[(1)(1)(1)...(1)]...123112233n n n∴++++++>-+-+-++-即()211ln 1ni i n i=-+>∑ 【证法二:构造数列{}n a ,使其前n 项和ln(1)n T n =+, 则当2n ≥时,111ln()ln(1)n n n n a T T n n-+=-==+, 显然1ln 2a =也满足该式, 故只需证221111ln(1)n n n n n-+>=- 令1x n=,即证2ln(1)0x x x +-+>,记2()ln(1)h x x x x =+-+,0x > 则11(21)'()12120111x x h x x x x x x +=-+=-+=>+++,()h x 在(0,)+∞上单调递增,故()(0)0h x h >=,∴221111ln(1)n n n n n -+>=-成立,2222111111111111ln(1)ln(1)ln(1)...ln(1)...123112233n n n∴++++++++>-+-+-++-即()211ln 1ni i n i =-+>∑ 】 【证法三:令211()ln(1)i ni i n n i ϕ==-=+-∑,则2(1)()ln(2)ln(1)(1)n n n n n n ϕϕ+-=+--++2111ln(1)11(1)n n n =+-++++ 令11,1x n =++则(1,2]x ∈,*11,,1x n N n =-∈+ 记22()ln (1)(1)ln 32h x x x x x x x =--+-=+-+∵1(21)(1)()230x x h x x x x--'=+-=>∴函数()h x 在(1,2]单调递增, 又(1)0,(1,2],()0,h x h x =∴∈>当时即(1)()0n n ϕϕ+->, ∴数列()n ϕ单调递增,又(1)ln 20ϕ=>,∴()211ln 1ni i n i =-+>∑ 】 16．（广东省江门市2013年高考模拟考试（即一模）数学（理）试题 ）已知x a a x a x x f ln )()12(21)(22+++-=(0>x ,a 是常数),若对曲线)(x f y =上任意一点) , (00y x P 处的切线)(x g y =,)()(x g x f ≥恒成立,求a 的取值范围.江门市2013年高考模拟考【答案】解:依题意,xaa a x x f +++-=2/)12()()(00x f y =,曲线)(x f y =在点) , (00y x P 处的切线为))((00/0x x x f y y -=- ,即))((00/0x x x f y y -+=,所以))(()(00/0x x x f y x g -+= 直接计算得)1)(ln ()12(21)(002200-++++--=x x x a a x a x x x x g , 直接计算得)()(x g x f ≥等价于0)1)(ln ()(2100220≥+-++-x xx x a a x x 记)1)(ln ()(21)(00220+-++-=x xx x a a x x x h ,则 )1)(()11)(()()(020020/xx aa x x x x a a x x x h +--=-++-=若02≤+a a ,则由0)(/=x h ,得0x x = ,且当00x x <<时,0)(/<x h ,当0x x >时,0)(/>x h ,所以)(x h 在0x x =处取得极小值,从而也是最小值,即0)()(0=≥x h x h ,从而)()(x g x f ≥恒成立 .若02>+a a ,取a a x +=20,则0)1)(()(020/≥+--=xx aa x x x h 且当01x x ≠时0)(/>x h ,)(x h 单调递增 ,所以当00x x <<时,0)()(0=<x h x h ,与)()(x g x f ≥恒成立矛盾,所以02≤+a a ,从而a 的取值范围为01≤≤-a17．（广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学（理）试题）(本小题满分14分)已知函数()()2ln f x x a x x =+--在0x =处取得极值.(1)求实数a 的值;(2)若关于x 的方程()52f x x b =-+在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根,求实数b 的取值范围;(3)证明:对任意的正整数n ,不等式()23412ln 149n n n+++++>+ 都成立. 【答案】(本小题主要考查导数、函数的单调性、不等式、最值、方程的根等知识,考查化归转化、分类讨论、数形结和的数学思想方法,以及抽象概括能力、运算求解能力、创新能力和综合应用能力) 解:(1)()'121,f x x x a=--+ 0x = 时,()f x 取得极值, ()'00,f ∴=故12010,0a-⨯-=+解得 1.a =经检验1a =符合题意 (2)由1a =知()()2ln 1,f x x x x =+--由()52f x x b =-+,得()23ln 10,2x x x b +-+-= 令()()23ln 1,2x x x x b ϕ=+-+-则()52f x x b =-+在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根等价于()0x ϕ=在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根()()()()'451132,1221x x x x x x ϕ-+-=-+=++当[]0,1x ∈时,()'0x ϕ>,于是()x ϕ在[)0,1上单调递增; 当(]1,2x ∈时,()'0x ϕ<,于是()x ϕ在(]1,2上单调递减依题意有()()()()()0031ln 111022ln 12430b b b ϕϕϕ=-≤⎧⎪⎪=+-+->⎨⎪⎪=+-+-≤⎩,解得,1ln 31ln 2.2b -≤<+(3) ()()2ln 1f x x x x =+--的定义域为{}1x x >-,由(1)知()()()'231x x f x x -+=+,令()'0fx =得,0x =或32x =-(舍去), ∴当10x -<<时, ()'0f x >,()f x 单调递增;当0x >时, ()'0fx <,()f x 单调递减.()0f ∴为()f x 在()1,-+∞上的最大值. ()()0f x f ∴≤,故()2ln 10x x x +--≤(当且仅当0x =时,等号成立)对任意正整数n ,取10x n=> 得,2111ln 1,n n n⎛⎫+<+⎪⎝⎭ 211ln n n n n++⎛⎫∴< ⎪⎝⎭.故()23413412ln 2ln ln ln ln 14923n n n n n++++++>++++=+ . 18．（广东省广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一）数学（理）试题）已知二次函数()21fx x a x m =+++,关于x的不等式()()2211f x m x m <-+-的解集为()1m m ,+,其中m 为非零常数.设()()1f xg x x =-.(1)求a 的值;(2)k k (∈R )如何取值时,函数()x ϕ()g x =-()1k x ln -存在极值点,并求出极值点;(3)若1m =,且x 0>,求证:()()1122nn ng x g x n (⎡⎤+-+≥-∈⎣⎦N *). 【答案】(本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识,考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识) (1)解:∵关于x 的不等式()()2211fx m x m <-+-的解集为()1m m ,+,即不等式()22120x a m x m m ++-++<的解集为()1m m ,+,∴()2212x a m x m m ++-++=()()1x mx m ---.∴()2212x a m x m m ++-++=()()2211x m x m m -+++.∴()1221a m m +-=-+. ∴2a =-(2)解法1:由(1)得()()1f xg x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--.∴()()xg x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211mkx x ---()()22211x k x k m x -++-+=- 方程()2210x k x k m -++-+=(*)的判别式()()222414Δk k m k m =+--+=+①当0m >时,0Δ>,方程(*)的两个实根为11x ,=<21x ,=>则()21x x ,∈时,()0x ϕ'<;()2x x ,∈+∞时,()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减,在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x②当0m <时,由0Δ>,得k <-k >若k <-,则11x ,=<21x ,=<故x ∈()1,+∞时,()0x ϕ'>∴函数()x ϕ在()1,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ没有极值点若k >时,1212k x ,+-=>2212k x ,++=>则()11x x ,∈时,()0x ϕ'>;()12x x x ,∈时,()0x ϕ'<;()2x x ,∈+∞时,()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增,在()12x x ,上单调递减,在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ,有极大值点1x综上所述, 当0m >时,k 取任意实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ; 当0m <时,k >函数()x ϕ有极小值点2x ,有极大值点1x (其中122k x +-=, 222k x ++=解法2:由(1)得()()1f xg x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--.∴()()xg x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211mkx x ---()()22211x k x k m x -++-+=- 若函数()()x g x ϕ=-()1k x ln -存在极值点等价于函数()x ϕ'有两个不等的零点,且至少有一个零点在()1,+∞上 令()x ϕ'()()22211x k x k m x -++-+=-0=,得()221x k x k m -++-+0=, (*)则()()2224140Δkk m k m =+--+=+>,(**)方程(*)的两个实根为1x =2x =设()h x=()221x k x k m -++-+,①若1211x x ,<>,则()10h m =-<,得0m >,此时,k 取任意实数, (**)成立.则()21x x ,∈时,()0x ϕ'<;()2x x ,∈+∞时,()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减,在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x②若1211x x ,>>,则()10212h m k ,.⎧=->⎪⎨+>⎪⎩得00m k ,.⎧<⎨>⎩又由(**)解得k >k <-故k >则()11x x ,∈时,()0x ϕ'>;()12x x x ,∈时,()0x ϕ'<;()2x x ,∈+∞时,()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增,在()12x x ,上单调递减,在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ,有极大值点1x综上所述, 当0m >时,k 取任何实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ; 当0m <时,k >函数()x ϕ有极小值点2x ,有极大值点1x (其中122k x +-=, 222k x ++=(2)证法1:∵1m =, ∴()g x=()111x x -+-.∴()()1111nnn n n g x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-+=+-+ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭ 112212111111n n n n n n n n n n n n n x C x C x C x C x x x x x x ----⎛⎫=+⋅+⋅++⋅+-+ ⎪⎝⎭ 122412n n n n n n n C x C x C x ----=+++令T 122412n n n nn n n C xC x C x ----=+++ , 则T 122412n nn n n n n n C xC x C x -----=+++122412n n n n n n n C x C x C x ----=+++ .∵x 0>, ∴2T ()()()122244122n n n n n n n n n n C xx C x x C x x -------=++++++≥121n nn n C C C -⋅+⋅++⋅ ()1212n n n n C C C -=+++()012102n n n n n n n n n n C C C C C C C -=+++++--()222n =-∴22n T ≥-,即()()1122nn n g x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦证法2:下面用数学归纳法证明不等式11nn n x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22n ≥-.① 当1n =时,左边110x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,右边1220=-=,不等式成立;② 假设当n k =k (∈N *)时,不等式成立,即11kk k x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22k≥-,则 11111k k k x x x x +++⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11111111kk k k k k k x x x x x x x x x x x x ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111kk k x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111k k x x --⎛⎫+ ⎪⎝⎭()22k ≥⋅-+122k +=-也就是说,当1n k =+时,不等式也成立.由①②可得,对∀n ∈N *,()()1122nn n g x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦都成立19．（广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==,且最小值是14-.(1)求()f x 的解析式; (2)设常数1(0,)2t ∈,求直线l :2y t t =-与()f x 的图象以及y 轴所围成封闭图形的面积是()S t ;(3)已知0m ≥,0n ≥,求证:211()()24m n m n +++≥【答案】解:(1)由二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==.设()(1)(0)f x ax x a =-≠,则221()()24af x ax ax a x =-=--又()f x 的最小值是14-,故144a -=-.解得1a =.∴2()f x x x =-;(2)依题意,由22x x t t -=-,得x t =,或1x t =-.(1t - ｔ) 由定积分的几何意义知3232222002()[()()]()|3232ttx x t t S t x x t t dx t x tx =---=--+=-+⎰(3)∵()f x 的最小值为14-,故14m -,14n -∴12m n +-≥-,故12m n ++≥∵1()02m n +,102m n ++, ∴11()()22m n m n +++=∴211()()24m n m n +++≥20．（2013年广东省佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（理）试题）设()x g x e =,()[(1)]()f x g x a g x =λ+-λ-λ,其中,a λ是常数,且01λ<<.(1)求函数()f x 的极值;(2)证明:对任意正数a ,存在正数x ,使不等式11x e a x--<成立; (3)设12,λλ∈+R ,且121λλ+=,证明:对任意正数21,a a 都有:12121122a a a a λλ≤λ+λ.【答案】解析:(1)∵()[(1)]()f x g x a g x λλλλ'''=+--,由()0f x '>得,[(1)]()g x a g x λλ''+->,∴(1)x a x λλ+->,即(1)()0x a λ--<,解得x a <, 故当x a <时,()0f x '>;当x a >时,()0f x '<; ∴当x a =时,()f x 取极大值,但()f x 没有极小值(2)∵111x x e e x x x----=, 又当0x >时,令()1xh x e x =--,则()10xh x e '=->, 故()(0)0h x h >=,因此原不等式化为1x e x a x--<,即(1)10x e a x -+-<, 令()(1)1x g x e a x =-+-,则()(1)xg x e a '=-+, 由()0g x '=得:1xe a =+,解得ln(1)x a =+,当0ln(1)x a <<+时,()0g x '<;当ln(1)x a >+时,()0g x '>. 故当ln(1)x a =+时,()g x 取最小值[ln(1)](1)ln(1)g a a a a +=-++,令()ln(1),01a s a a a a =-+>+,则2211()0(1)1(1)a s a a a a '=-=-<+++. 故()(0)0s a s <=,即[ln(1)](1)ln(1)0g a a a a +=-++<.因此,存在正数ln(1)x a =+,使原不等式成立(3)对任意正数12,a a ,存在实数12,x x 使11x a e =,22x a e =, 则121122112212xx x x a a e ee λλλλλλ+=⋅=,12112212x x a a e e λλλλ+=+,原不等式12121122a a a a λλλλ≤+11221212x x x x e e e λλλλ+⇔≤+,11221122()()()g x x g x g x λλλλ⇔+≤+由(1)()(1)()f x g a λ≤-恒成立,故[(1)]()(1)()g x a g x g a λλλλ+-≤+-, 取1212,,,1x x a x λλλλ===-=, 即得11221122()()()g x x g x g x λλλλ+≤+, 即11221212x x x x e e e λλλλ+≤+,故所证不等式成立21．（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）已知函数321,(1)()(1),(1)x x ax bx x f x c e x -⎧-++<⎪=⎨-≥⎪⎩在32,0==x x 处存在极值. (1)求实数b a ,的值;(2)函数)(x f y =的图像上存在两点B A ,使得AOB ∆是以坐标原点O 为直角顶点的直角三角形,且斜边AB 的中点在y 轴上,求实数c 的取值范围; (3)当e c =时,讨论关于x 的方程()f x kx =()k R ∈的实根的个数.【答案】解(1)当1x <时,2()32f x x ax b '=-++.因为函数f(x)在20,3x x ==处存在极值,所以(0)0,2()0,3f f '=⎧⎪⎨'=⎪⎩解得1,0a b ==. (2) 由(1)得321,(1),()(1),(1),x x x x f x c e x -⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩根据条件知A,B 的横坐标互为相反数,不妨设32(,),(,()),(0)A t t t B t f t t -+>.若1t <,则32()f t t t =-+,由AOB ∠是直角得,0OA OB ⋅= ,即23232()()0t t t t t -++-+=,即4210t t -+=.此时无解;若1t ≥,则1()(1)t f t c e -=-. 由于AB 的中点在y 轴上,且AOB ∠是直角,所以B 点不可能在x 轴上,即1t ≠. 由0OA OB ⋅= ,即2321()(1)t t t t c e --++⋅-=0,即()11(1)1t c t e -=+-..因为函数()1(1)1t y t e -=+-在1t >上的值域是(0,)+∞,所以实数c 的取值范围是(0,)+∞.(3)由方程()f x kx =,知32,(1),(1)x x x x kx e e x ⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩,可知0一定是方程的根,所以仅就0x ≠时进行研究:方程等价于2,(10),,(1).x x x x x k e e x x ⎧-+<≠⎪=⎨-≥⎪⎩且构造函数2,(10),(),(1),x x x x x g x e e x x⎧-+<≠⎪=⎨-≥⎪⎩且对于10x x <≠且部分,函数2()g x x x =-+的图像是开口向下的抛物线的一部分, 当12x =时取得最大值14,其值域是1(,0)(0,]4-∞ ; 对于1x ≥部分,函数()x e e g x x -=,由2(1)()0x e x e g x x-+'=>,知函数()g x 在()1,+∞上单调递增.所以,①当14k >或0k ≤时,方程()f x kx =有两个实根; ②当14k =时,方程()f x kx =有三个实根; ③当104k <<时,方程()f x kx =有四个实根.22．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD 版））已知a <2,(1) 求f(x)的单调区间; (2)若存在x 1∈[e,e2],使得对任意的x 2∈[—2,0],f (x 1)<g(x 2)恒成立,求实数a 的取值范围.【答案】23．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））定义(,)|||ln |x x y e y y x y ρ=---,其中,x R y R +∈∈.(1)设0a >,函数()(,)f x x a ρ=,试判断()f x 的定义域内零点的个数; (2)设0a b <<,函数()(,)(,)F x x a x b ρρ=-,求()F x 的最小值; (3)记(2)中最小值为(,)T a b ,若{}n a 是各项均为正数的单调递增数列,证明:1111(,)()ln 2nii n i T a aa a ++=<-∑.【答案】24．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）设函数32()()f x ax a b x bx c =-+++其中0,,a b c R ≥∈(1)若1()3f '=0,求()f x 的单调区间;(2)设M 表示'(0)f 与'(1)f 两个数中的最大值,求证:当0≤x ≤1时,|()f x '|≤M .【答案】设函数32()()f x ax a b x bx c =-+++其中0,,a b c R ≥∈(1)若1()3f '=0,求()f x 的单调区间(2)设M 表示'(0)f 与'(1)f 两个数中的最大值,求证:当0≤x ≤1时,|()f x '|≤M . 解:(1)由1()3f '=0,得a =b .当0a =时,则0b =,()f x c =不具备单调性 故f (x )= ax 3-2ax 2+ax +c .由()f x '=a (3x 2-4x +1)=0,得x 1=13,x 2=1列表:由表可得,函数f (x )的单调增区间是(-∞,13)及(1,+∞) .单调减区间是1[,1]3(2)当0a =时,()f x '=2bx b -+ 若0b = ()0f x '=,若0b >,或0b <,()f x '在[0,1]是单调函数,'(0)(1)f f '-=≤()f x '≤(0)f ',或'(1)f -=(0)f '≤()f x '≤(1)f '所以,()f x '≤M当0a >时,()f x '=3ax 2-2(a +b )x +b =3222()33a b a b aba x a a++---. ①当1,033a b a b a a++≥或≤时,则()f x '在[0,1]上是单调函数,所以(1)f '≤()f x '≤(0)f ',或(0)f '≤()f x '≤(1)f ',且(0)f '+(1)f '=a >0.所以M -()f x '<≤M②当013a ba +＜＜,即-a <b <2a ,则223a b ab a +--≤()f x '≤M . (i) 当-a <b ≤2a 时,则0<a +b ≤32a. 所以 (1)f '223a b ab a +--=22223a b ab a --=223()3a a b a -+≥214a >0.所以 M -()f x '<≤M (ii) 当2a <b <2a 时,则()(2)2a b b a --<0,即a 2+b 2-52ab <0. 所以223a b ab b a +--=2243ab a b a -->22523ab a b a-->0,即(0)f '>223a b ab a +-.所以 M -()f x '<≤M综上所述:当0≤x ≤1时,|()f x '|≤M25．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）已知函数2(),()ln f x x ax g x x =-=.(1)若()()f x g x ≥对于定义域内的任意x 恒成立,求实数a 的取值范围; (2)设()()()h x f x g x =+有两个极值点12,x x ,且11(0,)2x ∈,证明:123()()ln 24h x h x ->-; (3)设1()()()2ax r x f x g +=+对于任意的(1,2)a ∈,总存在01[,1]2x ∈,使不等式2()(1)r x k a >- 成立,求实数k 的取值范围.【答案】解析:(Ⅰ)由题意:)()(x g x f ≥⇔≥-ax x 2x ln ,)0(>x分离参数a 可得:)0(ln >-≤x xx x a设x x x x ln )(-=φ,则22/1ln )(x x x x -+=φ由于函数2x y =,x y ln =在区间),0(+∞上都是增函数,所以函数1ln 2-+=x x y 在区间),0(+∞上也是增函数,显然1=x 时,该函数值为0 所以当)1,0(∈x 时,0)(/<x ϕ,当),1(+∞∈x 时,0)(/>x ϕ所以函数)(x φ在)1,0(∈x 上是减函数,在),1(+∞∈x 上是增函数 所以1)1()(min ==φφx ,所以1)(min =≤x a φ即]1,(-∞∈a(Ⅱ)由题意知道:x ax x x h ln )(2+-=,且)0(,12)(2|>+-=x x ax x x h所以方程)0(0122>=+-x ax x 有两个不相等的实数根21,x x ,且)21,0(1∈x , 又因为,2121=x x 所以),1(2112+∞∈=x x ,且)2,1(,122=+=i x ax i i而)ln ()()(112121x ax x x h x h +-=-)ln (2222x ax x +--]ln )12([12121x x x ++-=]ln )12([22222x x x ++--212122lnx x x x +-=22222221ln )21(x x x x +-=2222222ln 41x x x --=,)1(2>x设)1(,2ln 41)(222≥--=x x x x x u ,则02)12()(322/≥-=x x x u所以2ln 43)1()(-=>u x u ,即2ln 43)()(21->-x h x h(Ⅲ))21()()(ax g x f x r ++=21ln2++-=ax ax x 所以12)(|++-=ax a a x x r 12222++-=ax x x a ax 1)22(22+--=ax a a x ax 因为(1,2)a ∈,所以21212212222=-≤-=-a a a a 所以当),21(+∞∈x 时,)(x r 是增函数,所以当01[,1]2x ∈时, 21ln1)1()(max 0++-==a a r x r ,(1,2)a ∈所以,要满足题意就需要满足下面的条件:)1(21ln12a k a a ->++-,令)1(21ln 1)(2a k a a a --++-=ϕ,(1,2)a ∈即对任意(1,2)a ∈,)1(21ln1)(2a k a a a --++-=ϕ0>恒成立 因为)122(11222111)(2/-++=+-+=+++-=k ka a aa a ka ka ka a a ϕ分类讨论如下:(1)若0=k ,则1)(/+-=a aa ϕ,所以)(a ϕ在)2,1(∈a 递减,此时0)1()(=<ϕϕa 不符合题意(2)若0<k ,则)121(12)(/+-+=k a a ka a ϕ,所以)(a ϕ在)2,1(∈a 递减,此时0)1()(=<ϕϕa 不符合题意.(3)若0>k ,则)121(12)(/+-+=k a a ka a ϕ,那么当1121>-k 时,假设t 为2与121-k中较小的一个数,即}121,2min{-=k t ,则)(a ϕ在区间})121,2min{,1(-k 上递减,此时0)1()(=<ϕϕa 不符合题意.综上可得⎪⎩⎪⎨⎧≤->11210k k 解得41≥k ,即实数k 的取值范围为),41[+∞26．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））已知函数32(),()ln ,(0)f x x x bx g x a x a =-++=>.(1)若()f x 存在极值点,求实数b 的取值范围;(3)当b=0时,令(),1()(),1f x x F xg x x <⎧=⎨≥⎩.P(11,()x F x ),Q(22,()x F x )为曲线y=()F x 上的两动点,O 为坐标原点,请完成下面两个问题:①能否使得POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形,且斜边中点在y 轴上?请说明理由. ②当1<12x x <时,若存在012(,)x x x ∈,使得曲线y=F(x)在x=x 0处的切线l ∥PQ, 求证:1202x x x +<【答案】27．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）设函数2()(1)n n f x x x =-在1[,1]2上的最大值为n a (1,2,n = ).(1)求12,a a 的值;(2)求数列{}n a 的通项公式;(3)证明:对任意*n N ∈(2n ≥),都有21(2)n a n ≤+成立.【答案】解:(1)解法1:∵121'()(1)2(1)(1)[(1)2]n n n n f x nx x x x x x n x x --=---=---当1n =时,1'()(1)(13)f x x x =--当1[,1]2x ∈时,1'()0f x ≤,即函数1()f x 在1[,1]2上单调递减, ∴1111()28a f ==, 当2n =时,2'()f x 2(1)(12)x x x =--当1[,1]2x ∈时,2'()0f x ≤,即函数2()f x 在1[,1]2上单调递减, ∴2211()216a f ==【解法2:当1n =时,21()(1)f x x x =-,则21'()(1)2(1)(1)(13)f x x x x x x =---=-- 当1[,1]2x ∈时,1'()0f x ≤,即函数1()f x 在1[,1]2上单调递减,∴1111()28a f ==, 当2n =时,222()(1)f x x x =-,则222'()2(1)2(1)f x x x x x =---2(1)(12)x x x =--当1[,1]2x ∈时,2'()0f x ≤,即函数2()f x 在1[,1]2上单调递减,∴2211()216a f ==】 (2)令'()0n f x =得1x =或2n x n =+,∵当3n ≥时,1[,1]22n n ∈+且当1[,)22nx n ∈+时'()0n f x >,当(,1]2nx n ∈+时'()0n f x <, 故()n f x 在2nx n =+处取得最大值,即当3n ≥时,22()()()222n n n n n a f n n n ==+++24(2)nn n n +=+,------(*) 当2n =时(*)仍然成立,综上得21,184.2(2)n nn n a n n n +⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪+⎩(3)当2n ≥时,要证2241(2)(2)n n n n n +≤++,只需证明2(1)4n n +≥∵01222(1)()()n nnn n n C C C nnn+=+++ 2(1)41212142n n n-≥++⋅≥++=∴对任意*n N ∈(2n ≥),都有21(2)n a n ≤+成立 28．（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD 版））已知函数2()1f x a bx x =++在3x =处的切线方程为58y x =-. (1)求函数()f x 的解析式;(2)若关于x 的方程()x f x k e =恰有两个不同的实根,求实数k 的值; (3)数列{}n a 满足12(2)a f =,1(),n n a f a n N *+=∈, 求12320131111S a a a a =+++⋅⋅⋅⋅+的整数部分.惠州市2013届高三第一次模拟考【答案】解: (1) f'(x)=2ax+b ,依题设,有`(3)5(3)7f f =⎧⎨=⎩,即659317a b a b +=⎧⎨++=⎩,解得11a b =⎧⎨=-⎩2()=1f x x x ∴-+(2)方程()=k x f x e ∴,即21k xx x e -+=,得2k (1)xx x e -=-+, 记2F(x)(1)xx x e -=-+,则22F'(x)=(21)(1)(32)(1)(2)x x x x x e x x e x x e x x e -------+=--+=---令F'(x)=0,得121,2x x ==当x 变化时,F'(x)、F(x)的变化情况如下表:∴当1x =时,F(x)取极小值1e ;当2x =时,F(x)取极大值23e作出直线y x =和函数2F(x)(1)xx x e -=-+的大致图象,可知当1k e =或23k e =时,它们有两个不同的交点,因此方程()x f x k e =恰有两个不同的实根,(3) 12(2)3a f ==,得1312a >>,又21()1n n n n a f a a a +==-+.22121(1)0n n n n n a a a a a +∴-=-+=->,11n n a a +∴>>由211n n n a a a +=-+,得11=(1)n n n a a a +--,111111(1)1n nnnnaa a a a+∴==----,即111111nnn aa a+=---122013122320132014111111111()()()111111S a aaa aaaaa∴=+++=-+-++-------12014201411111122a aa=-=-<---又1211242637211S a a>++==>即12S <<,故S 的整数部分为. l4分。