2007.7.27第一讲不等式和绝对值不等式(三)

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[随堂训练]
1．函数 f(x)＝3x＋1x22(x>0)的最小值为(
)
A．8
B．9
C．10 解析：∵x>0，
D．11
∴f(x)＝32x＋32x＋1x22≥3 3 322×12＝9.
12/12当/答2021且案仅：当B 32x＝1x22 ，即
x＝2
时，f(x)min＝9.
n a1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an
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时，等号成立．
[双基自测]
1．已知 a，b，c 为正数，则ab＋bc＋ac有( )
A．最小值 3
B．最大值 3
C．最小值 2
D．最大值 2
解析：∵a，b，c∈R＋，∴ab＋bc＋ac≥3
答案：A
ab·bc·ac＝3，故选 A.
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∴当 12/12/2021 a＝2，b＝1 时原式有最小值 3.
答案：3
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4．设三角形三边长为 3,4,5，P 是三角形内的一点，则 P 到这三角形三边距离乘 积的最大值是________． 解析：设 P 到长度为 3,4,5 的三角形三边的距离分别是 x，y，z，三角形的面积为 S. 则 S＝12(3x＋4y＋5z)，又∵32＋42＝52， ∴这个直角三角形的面积 S＝12×3×4＝6.
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3．若 a>b>0，则 a＋a－1bb的最小值为________． 解析：∵a>b>0，∴a－b>0.
∴a＋a－1bb＝(a－b)＋b＋a－1bb
≥3 3 a－b·b·a－1bb＝3，

解：因为 6＝x＋3y＋4z＝x2＋x2＋y＋y＋y＋4z≥66 x2y3z， 所以 x2x3z≤1当且仅当x2＝y＝4z时，取“＝”. 所以 x＝2，y＝1，z＝14时，x2y3z 取得最大值 1.
解析：由 x2y＝2，得 y＝x22，代入 xy＋x2，得 xy＋x2＝x·x22＋x2＝2x＋x2＝1x＋1x＋x2≥3， 当且仅当1x＝x2， 即 x＝1，y＝2 时取等号． 答案：3
9．已知 x∈R＋，求函数 y＝x(1－x2)的最大值． 解：因为 y＝x(1－x2)，
所以 y2＝x2(1－x2)2＝2x2(1－x2)(1－x2)×12. 因为 2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，
3．三个正数的算术-几何平均不等式
[A 基础达标] 1．已知 x 为正数，下列各题求得的最值正确的是( )
A．y＝x2＋2x＋x43≥3 3 x2·2x·x43＝6，所以 ymin＝6
B．y＝2＋x＋1x≥3 3 2·x·1x＝33 2，所以 ymin＝33 2 C．y＝2＋x＋1x≥4，所以 ymin＝4 D．y＝x(1－x)(1－2x)≤133x＋（1－x）3＋（1－2x）3＝881， 所以 ymax＝881
[B 能力提升]
1．已知正实数 a，b，c 满足 a＋b＋c＝1，1a＋1b＋1c＝10，则 abc 的取值范围是________． 解析：由 a＋b＋c＝1 可得 1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋ 2bc＋2ac≥3(ab＋bc＋ac)， 故有 0＜ab＋bc＋ac≤13. 因为1a＋1b＋1c＝ab＋abbcc＋ac＝10， 所以 abc＝110(ab＋bc＋ac)，所以 0＜abc≤310. 答案：0，310
6．将实数 1 分为三个正数之和，则这三个正数之积的最大值 是________． 解析：设这三个正数分别是 a，b，c，则 a＋b＋c＝1，所以 abc≤a＋3b＋c3＝217，当且仅当 a＝b＝c＝13时，abc 取得最大 值217. 答案：217

所以 |2x+3y-2a-3b|<5ε.
例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个
地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第
10km和第20km处。现要在公路沿线建两个施
工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生
活区和施工地点之间往返一次。要使两个施工
队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于
何处？ ·
当 c 0 时, x R
课堂练习一： 试解下列不等式：
(1) | 3 2x |≥ 7
(2) | x2 3 x | 4
解:∵| 3 2x |≥ 7 ∴ 2 x 3 ≥ 7
∴ 2x 3≥ 7或2x 3 ≤ 7 ∴ x ≥ 5或x ≤ 2
∴原不等式的解集为,2 5, .
(1, 4)
(3) | 3x 2 | 1
·
·
10
x
20
分析：假设生活区建在公路路碑的第xkm处，两 个施工队每天往返的路程之和为S(x)km，则有 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)，要求问题化归为求该函数 的最小值，可用绝对值三角不等式求解。
绝对值不等式的解法
1:形如|x|<a和|x|>a (a>0)的含绝对值的不等式的解集
① 不等式|x|<a的解集为{x|-a<x<a}
分类讨论3０的当-思(xX想<--1．2)时+(，X+原2)不≥等5式同解于
X<-2
X≤-3
-(X-1)-(X+2) ≥5
综合上述知不等式的解为x 2或x -3
例 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
解 原不等式化为|x-1|+|x+2|-5 ≥0

A．必要不充分条件
C．充分必要条件 [解析] [答案] 时，则可能有a>b且c>d. A
B．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
易得a>b且c>d时必有a＋c>b＋d.若a＋c>b＋d
利用基本不等式求最值问题一般有两种类型：①和为 定值时， 积有最大值；②积为定值时，和有最小值，在具 体应用基本不等式解题时， 一定要注意适用的范围和条 件：“一正、二定、三相等”． [例 2] ________． y2 x，y，z∈R＋，x－2y＋3z＝0， xz的最小值为
3 1 1 1 1 1 ＋ ≥3 ··. b3 c3 a3 b3 c3 1 1 1 3 即 3＋ 3＋ 3≥abc. a b c 1 1 1 3 所以 3＋ 3＋ 3＋abc≥abc＋abc， a b c 3 而abc＋abc≥2 3 abc＝2 3. abc·
1 1 1 所以 3＋ 3＋ 3＋abc≥2 3. a b c
2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.
答案：5
3．(2011· 陕西高考)若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R 恒成立，则a的取值范围是________．
解析：令 f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝ －2x＋1x≤－1， 3－1<x<2， 2x－1x≥2， ∴f(x)≥3. ∵|x＋1|＋|x－2|≥a 对任意 x∈R 恒成立，∴a≤3.
考情分析
从近两年的高考试题来看，绝对值不等式主要考查 解法及简单的应用，题目难度中档偏下，着重考查学生 的分类讨论思想及应用能力．
解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，化成不
含绝对值的不等式，其一是依据绝对值的意义；其二是 先令每一个绝对值等于零，找到分界点，通过讨论每一 区间内的代数式的符号去掉绝对值．

在物理中的应用
描述物理量的大小
在物理学中，许多物理量的大小受到绝对值的影响，例如速度、加速度、力等。通过绝 对值不等式，可以描述这些物理量的变化范对值不等式常被用于判断物理量的符号和大小，例如在解决力学 、电磁学和热力学问题时。
预测物理现象
通过建立绝对值不等式，可以预测某些物理现象的发生，例如在研究波动现象、流体动 力学和量子力学时。
绝对值不等式的定义
含绝对值符号的不等式，表示一个数 距离0的大小关系。
绝对值的定义
对于任意实数x，其绝对值表示为|x|， 若x≥0，则|x|=x；若x<0，则|x|=-x 。
绝对值不等式的解法
零点分段法
将数轴分为若干区间，分别去掉绝对值符号 ，转化为若干个不带绝对值符号的一元一次 不等式组进行求解。
$
f(x)| geq g(x)$：表示函数$f(x)$的绝对值大于或等于函 数$g(x)$，其中$f(x)$和$g(x)$是两个函数。
01
$
f(x)| < g(x)$：表示函数$f(x)$的绝对值 小于函数$g(x)$，其中$f(x)$和$g(x)$ 是两个函数。
02
03
$
f(x)| leq g(x)$：表示函数$f(x)$的绝 对值小于或等于函数$g(x)$，其中 $f(x)$和$g(x)$是两个函数。
05
含绝对值不等式的变种与 推广
变种形式的不等式
$
01
x| geq a$：表示$x$的绝对值大于或等于$a$，其中$a$是一个
常数。
$
02
x| < a$：表示$x$的绝对值小于$a$，其中$a$是一个常数。
$
03
x| leq a$：表示$x$的绝对值小于或等于$a$，其中$a$是一个

方法技巧
1.形如|ax+b|≤c(≥c)(c>0)的三种解法 解法一:等价法 |ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c. (|ax+b|≥c⇔ax+b≤-c或ax+b≥c) 解法二:分类讨论法
|ax+b|≤c⇔aaxx
b b
0, c
或ax(axbb)0,
c.
解法三:平方法
|ax+b|≤c⇔(ax+b)2≤c2. 2.形如|x+a|+k|x+b|≤c(≥c)的解法
x
|
x
5 2
或x
7 2
.
(2)解法一:因为|x+1|+|m-x|≥|x+1+m-x|=|m+1|,
由题意得|m+1|≥6,
即m+1≥6或m+1≤-6,
解得m≥5或m≤-7,
即m的取值范围是(-∞,-7]∪[5,+∞).
2x m 1, x m,
解法二:①当m<-1时, f(x)=m 1, m x 1,
2
围.
解析 令f(x)=|2x-1|+|x+2|,
易求得f(x)min=
5 2
,
依题意得a2+ 1 a+2≤ 5 ⇔-1≤a≤1 .
2
2
2
考点突破
考点一 绝对值不等式的解法
典例1 解不等式:|x-1|-|x-5|<2. 解析 ①当x<1时,原不等式等价于1-x-(5-x)<2,即-4<2,不等式恒成立, ∴x<1. ②当1≤x≤5时,原不等式等价于x-1-(5-x)<2,即x<4, ∴1≤x<4. ③当x>5时,原不等式等价于x-1-(x-5)<2,即4<2,无解. 综合①②③知原不等式的解集为(-∞,4).

3
最大值为 内接圆柱的体积V取得最大，
.
15. 已知 求证： h

a 0 , b 0 , 且 h m in { a ,
2 2 .
b a b
2 2
},
证明： a 2 b 2 2 a b ,
ab a b
2 2

1 2
,
即 a
b
2
b a b
2
2
2

1 2
,
由于
0 h m in { a , 0 h m in { a ,
a b 时取“ ”号） . ab 基本不等式2： 如果 a ， R ， b 那么 ab 2 （当且仅当 a b 时取“ ”号） . （当且仅当
注意：两个基本不等式的不同点和相同点: ① 两个不等式的适用范围不同； ② 等号成立的条件相同. ③ 基本不等式2可推广到有限个，如
又 ab
a b
2
2

d
2
2
最大值为 故当矩形是正方形时,面积取得最大值，
, 当且仅当 a＝b时，等号成立. 2 d
2
.
2
14. 已知球的半径为R，球内接圆柱的底面半径为r， 高为h，则r和h为何值时，内接圆柱的体积最大？ 解： 圆 柱 r h , r ( ) 2 R 2 , 4 r 2 h 2 4 R 2 , V
y r ( 4 R 4 r ) 4 ( R r r ),
2 4 2 2 2 2 4 6
由 y ' 4 ( 4 R r 6 r ) 0 得
2 2 3 5
O
h 2
R r
r
6 3

绝对值不等式的解法
一、知识联系
1、绝对值的定义 x ,x>0
|x|= 0 ,x=0 －x ,x<0
2、绝对值的几何意义 |x|
x
0
|x－x1|
x
x1
3、函数y＝|x|的图象
x ,x>0
y=|x|= 0 ,x=0
y
－x ,x<0
1
－1 o 1
x
1
二、探索解法
2
探索：不等式|x|<1的解集。
3 4
y=|x|的图象位于函数y=1的图象下方的部分对
应的x的取值范围。
y
所以，不等式|x|<1的 解集为{x|-1<x<1}
1
y=1
－1 o 1
x
②
①
②
-c
0
c
题型1: 如果 c 是正数，那么
① x c x 2 c 2 c x c
② x c x 2 c 2 x c ,或 x c
【解】 (1)问题可转化为对一切x∈R恒有 a<f(x)⇔a<f(x)min， ∵f(x)＝|x－3|＋|x＋2|≥|(x－3)－(x＋2)|＝5， 即f(x)min＝5，∴a<5.
(2)问题可转化为a>f(x)的某些值，由题意a>f(x)min， 同上得a>5.
(3)问题可转化为对一切x∈R恒有 a≤f(x)⇔a≤f(x)min，可知a≤5.
(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想, 理解绝对值的几何意义,给绝对值不等式以准确的几何解释. (2)以绝对值的零点为分界点,将数轴分为几个区间,利用“零 点分段法”求解，体现分类讨论的思想.确定各个绝对值符号 内多项式的_正__、__负__性，进而去掉绝对值符号. (3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程 的思想.正确求出函数的_零__点__并画出函数图象(有时需要考查 函数的增减性)是关键.

x2
1
，即 log
2 x1 x2
0
x 2 1 当 x 2 1时，得 2x 1 1，解得 x 1 ；
0 x 2 1 当 0 x 2 1时，得 0 2x 1 1 ，无解
所以原不等式的解集为 M x x 1。
初等数学研究
一元n 次不等式的解法
一元 n 次不等式的标准形式
一元 n 次不等式的标准形式是
f x an xn an1xn1 a1x a0 0
其中 an 0, n 2 ， f x 是实数集上的n 次多项式。
一元 n次不等式的解法
在实数集内，多项式 f x 总可以分解为一 次因式和二次不可约因式
b2 4ac 0 的积： f x an x x1 m1 x x2 m2 x xk mk x2 p1x q1 t1 x2 pr x qr tr
当
x
2
时，有
-
x
2
3
x
4
，解得
x
1 2
，得解集
M1
x
x
1 2
；
当 2 x 3 时，有x - 2 3 x 4 ，解得1 4 ，得解集 M2 ；
例题讲解
当
x
3
时，有 x
-
2-
3
x
4
，解得
x
9 2
，得解集
M3
x
x
9
2
；
所以，原不等式的解集为 M
M1
M2
M3
x
x
1 或x 2
9 2
初等数学研究
含有绝对值的不等式
含有绝对值的不等式
定义 绝对值符号内含有未知数的不等式叫做绝对值不等式。 解绝对值不等式的主要依据是绝对值的概念和基本性质，பைடு நூலகம்本方法 是将其化为不含绝对值符号的不等式或不等式组求解。