离心率取值范围求法大放送

离心率问题的7种题型和15种方法离心率（eccentricity）是描述椭圆轨道形状的一个重要参数，它的大小决定了行星或卫星轨道的偏心程度。

在天文学、航天学等相关领域，经常需要解决各种与离心率相关的问题，下面我们将介绍离心率问题的7种常见题型和15种解题方法。

一、离心率的定义及性质离心率是描述椭圆轨道形状的一个参数，它等于椭圆长半轴和短半轴之差的一半与长半轴的比值。

离心率的取值范围为0到1之间，当离心率为0时，椭圆变成了一个圆，当离心率为1时，椭圆变成了一条直线。

离心率越大，椭圆的形状越扁平，轨道越偏心。

二、离心率问题的7种题型1. 求给定离心率的椭圆的半长轴和半短轴长度；2. 已知椭圆的长半轴和离心率，求短半轴长度；3. 已知椭圆的长半轴和短半轴长度，求离心率；4. 求给定行星或卫星的轨道离心率；5. 已知行星或卫星轨道的离心率和半长轴长度，求轨道的半短轴长度；6. 已知行星或卫星的轨道离心率和半短轴长度，求轨道的半长轴长度；7. 求给定行星或卫星的轨道周期。

三、离心率问题的15种解题方法1. 利用椭圆轨道的定义和性质，直接计算出椭圆的长短半轴；2. 利用椭圆的面积和周长公式计算出椭圆的长短半轴；3. 利用行星或卫星的轨道速度和距离公式计算出轨道离心率；4. 利用行星或卫星的轨道周期和距离公式计算出轨道离心率；5. 利用行星或卫星的轨道半径和速度公式计算出轨道离心率；6. 利用行星或卫星在轨道上的最高点和最低点的距离差和总距离计算出轨道离心率；7. 利用行星或卫星的轨道焦点距离和长轴长度计算出轨道离心率；8. 利用行星或卫星的轨道高度、速度和引力公式计算出轨道离心率；9. 利用行星或卫星的轨道高度、周期和引力公式计算出轨道离心率；10. 利用行星或卫星的轨道高度、半径和引力公式计算出轨道离心率；11. 利用行星或卫星的轨道平均速度和最高、最低速度之比计算出轨道离心率；12. 利用行星或卫星在轨道上的最高点和最低点速度之比计算出轨道离心率；13. 利用行星或卫星在轨道上的最高点和最低点的动能之比计算出轨道离心率；14. 利用行星或卫星在轨道上的最高点和最低点的势能之比计算出轨道离心率；15. 利用行星或卫星的轨道半径、质量和速度计算出轨道离心率。

专題5」求解曲找的离心率的值或范围问JK 一.方法综述离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：2 2 2①根据题意求出a,b,c的值，再由离心率的定义椭圆e2二笃二邑亠=1 （b）2、a a ac 2a2b2b双曲线e2二-y二 ---- 2—=1 （一）2直接求解；a a a②由题意列出含有a, b,c的方程（或不等式），借助于椭圆b2= a2—c2、双曲线b2= c2- a2消去一构造a,c 的齐次式，求出e ；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解.解题时要注意椭圆本身所含的一些范围的应用，如椭圆上的点的横坐标 a x0a等.二.解题策略类型一直接求出a,c或求出a与b的比值，以求解e【例1】【2019年4月28日三轮《每日一题》】已知双曲线•一的右焦点为抛物线Q.J必丄说讲咋的焦点，且点到双曲线的一条渐近线的距离为—，若点逬驚点育在该双曲线上，则双曲线的离心率为（）【答案】B【解析】_P设F0』），则"2,所以抛物线Q的方程为= 4曲. 因为点到双曲线的一条渐近线的距离为一，by--x亦不妨设这条渐近线的方程为口，即b兀一口丁二Q，则= b二區,又点嘗亦陆在双曲线上，所以一一-，解得，故, —- ，即—''宀.a Z故选B.【指点迷津】求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出久］的值，可得町；（2）建立W：的齐次关系式，将用•表示，令两边同除以忖或化为的关系式，解方程或者不等式求值或取值范围.【举一反三】1.【广西桂林市2019届高三4月（一模】设抛物线> 0）的焦点为尸，其准线与双曲线的两个交点分别是5，若存在抛物线卜；|使得_ =-二是等边三角形，则双曲线的离心率的取值范围是（）A •農 TB —C •管畀 T：D •一【答案】A【解析】因为抛物线所以沖t越，准线为:,将卜-「代入匚一严—］得护-"匸门.#扩），不妨设为右支上的点，贝则石*：- ：一； .「1；因为_匚-.匸是等边三角形贝呦〜牌出*，即•・£沁』1仁存所以」7,因此双曲线的离心率为故选A 2.【四川省广元市2019届高三第二次高考适应】平面直角坐标系xOy中，双曲线"_ :. ：一士厂、；刊、电飞、匕\ 的两条渐近线与抛物线C:沙一和v" >心交于O, A , B三点，若_ U 的垂心为__的焦点，则一 _的离心率为IdA .B . ' C. 2 D .'毘J【答案】B【解析】解：联立渐近线与抛物线方程得，抛物线焦点为由三角形垂心的性质，得订…,即一；一一,所以'-，所以r;- "■，V4b a/ a H所以-•，所以一的离心率为■.2 -1 2故选：B.类型二构造a, c的齐次式，解出e【例2】【江苏省扬州中学2019届高三下学期3月月考】已知双曲线' （a>0，b>0）的左、右焦点a* 2分别为Fi、F2,直线MN过F2,且与双曲线右支交于M、N两点，若cos/ FiMN = cos/ F1F2M，— -，IFiKl 1则双曲线的离心率等于______________ .【答案】2【解析】如图，由 \ \ '可得\ ■，〔一： | —一，|：汕* —一一I —，由双曲线的定义可得.-一. 一.，妙远-二-，•••册-:...在」厂中由余弦定理得3c2— 6czc +Za2在一.中由余弦定理得(a(ae-2 a-[2e]1_ e-n—9f. 讦一£3*|■加_b*—a整理得加X .-——.，•••：，-，--,，解得-二-或 -（舍去）.•双曲线的离心率等于2.故答案为：2.然后根据余弦定理建立起•-间的关系式，再根据离心率的定义求解即可 •对待此类型的方程常见的方法就是 方程左右两边同除一个参数的最高次项即可转化成一个一元二次方程, 关键•【举一反三】已知椭圆和双曲线有共同焦点F J ,F 2， P 是它们的一个交点，且 F J PF 2，记椭圆和双31曲线的离心率分别为 e,e 2，则 丄的最大值是（）ee 2【答案】A解题的关键是把题中的信息用双曲线的基本量化简整理的运算能力是解决此题的A. 2 .3 3C. 2D. 3设椭圆的长半轴长为％,双曲线的半实轴畑曲，则根据椭圆■&双曲线的定义：|昭出閃| = 2% |昭|-朋1=2包二『耳|二口1+口二"|^2）=^1 ~a l设応刃二如/耳舉二?则在迅PF）中根据余弓疑理可得到齐 1 _1 7T牡工=（%+旳）十｛马一巧）-2（场+勺）（珂-<Jj）«>3—二优简得:M +3oJ 二4c2、 1 3该式可变成：—+ — -二4十彳=耳工二丄兰塑,古攵选*■S］E~~r 点［也］3【指点迷津】本题综合性较强，难度较大，运用基本知识点结合本题椭圆和双曲线的定义给出印、a2与PF1、PF?的数量关系，然后再利用余弦定理求出与c的数量关系，最后利用基本不等式求得范围^类型三寻找特殊图形中的不等关系或解三角形【例3】【北京市首都师范大学附属中学2019届高三一模】椭圆「.： ............... 的左、右焦点分别为，：，匸为椭圆二上任一点，且i 的最大值的取值范围是其中；"_】：,• 〔■•，则椭圆耐的离心率日的取值范围是____________ .【答案】": 【解析】7 |P% | * | = (tz-I- ffij(a - ea) =■ a2 - e2x2 < a2----的最大值为t■屮,・由题意知碍二.：_ ;;：二• _V3 V2故椭圆.1的离心率=的取值范围兰〔亡|本题正确结果：【指点迷津】（1）解决圆锥曲线问题时要注意常见结论的运用，如椭圆的通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦）长的结论.（2）图象特征的运用，本题根据题意，从—〔「1的最大值为丁，由题意知.、二，由此能够导出椭圆二的离心率，的取值范围•【举一反三】1.【2019年4月27日三轮《每日一题》】•已知耳，与分别为双曲线令—首二1）的左、右焦点，二是双曲线右支上一点，线段 -「与以该双曲线虚轴为直径的圆相切于点’•'，且切点二为线段「匚的中点，则该双曲线的离心率为（）A .一B • 5 C. 一 D • 3Z【答案】A【解析】如图，由题意知脸號牛」，且卅丄邓总,又二为线段一二的中点，贝U |打=「，二丄…由双曲线的定义知|二—| 一-_ ,••• |二|=：.—・：，又宀:卩+|々］「：=讥气「，即:.2. !./■ 二一，即•：一「：=「=：—「一：「• 一•：，即匚=:,• ” ： = ：• + ■■■'=::,•双曲线的离心率为"破懐，故选：A .2.【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》】已知二是椭圆匚亠二广.1“ ＞心二（：；；!的右焦点，.-是椭圆短轴的一个端点，若「为过-匚的椭圆的弦的三等分点，则椭圆的离心率为（）1 1A .耳B . —C.㊁ D .—3 Z【答案】B【解析】延长交椭圆于点三，设椭圆右焦点为7，连接-丁匸根据题意—•屛吃…朋一叽，―竝根据椭圆定义V -〒二X，所以…-.在-二丁匚中，由余弦定理得所以亠^ —,解得;：一-,-a所以椭圆离心率为- ”'在中，由余弦定理得CCSA F1AF=【指点迷津】根据椭圆几何性质可把椭圆内每条线段的长度用形里分别表示同一角的余弦，得到 .：「关系，求出离心率.表示，然后利用余弦定理，在两个三角类型四利用圆锥曲线性质【例4】已知Fi, F2是椭圆和双曲线的公共焦点,曲线的离心率分别为 e , e2，则e , e的关系为（1 1 . 1 3_A. 0 仓B. e 一e? 4C.T3 3 e e P是它们的一个公共点，且RPF2 ，设椭圆和双3）4 D. e2站42P r A-^S 故选B项.【答案】C［解析】设梆圆与双曲线的方程分别为3十益二1=刍-刍二1满足帚-冒二止十皆二X 代X a?甘 由焦点三角形的面积公式得①时二击皆一有=3时二审-于=3伊一山）浙以卧+3右=E 故 3丄T 十二T 二斗』古bi 先C. % 科【指点迷津】解决圆锥曲线问题时要注意常见结论的运用，如椭圆的通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的 弦）长的结论、焦点三角形的面积公式等【答案】因此e^3，故选A .2类型五利用平面几何性质【例5】【湖南省永州市2019届高三第三次模】过双曲线'1：电>讥盖 > “左焦点F 的直线I 与-一交于扯F 两点，且f.'V -订*，若则「的离心率为（）A . -B •屈 C. 1 D .—【答案】B 【解析】设双曲线右焦点为.■，取注罪中点二，连接如下图所示:【举一反三】已知椭圆 E :2 2xy彳~~21 ab 0的短轴的两个端点分别为A ,B ，点C 为椭圆上异于 A ,B 的一点，直线 AC 与直线 BC 的斜率之积为1，则椭圆的离心率为4Ad2B..3 41c.—2D._2 4【解析】C （xo ，y o ）， A （0，b ）， B （0，- b ）, 2Xo~2a2 y 0T1 •故 x ： ba 2b 2又 k AC k BC =2 2y 。

专题6 圆锥曲线离心率及范围问题离心率在圆锥曲线问题中有着重要应用，它的变化会直接导致曲线类型和形状的变化，同时它又是圆锥曲线统一定义中的三要素之一．有关求解圆锥曲线离心率的试题在历年高考试卷中均有出现．关于圆锥曲线离心率（范围）问题处理的主体思想是：建立关于一个,,a b c的方程（或不等式），然后再解方程或不等式，要注意的是建立的方程或不等式应该是齐次式．一般建立方程有两种办法：○1利用圆锥曲线的定义解决；○2利用题中的几何关系来解决问题。

另外，不能忽略了圆锥曲线离心率的自身限制条件(椭圆、双曲线离心率的取值范围不一致)，否则很容易产生增根或者扩大所求离心率的取值范围．一、圆锥曲线的离心率方法1：利用定义法求离心率知识储备：椭圆和双曲线的第一定义。

方法技巧：一般情况题中出现圆锥曲线上的点与焦点联系在一起时，尽量转化为定义去考虑，会更简单！例1.（2015年浙江15题）椭圆22221x ya b+=（0a b>>）的右焦点(),0F c关于直线by xc=的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是．法一：（当时网上的主流解法）大家上网看到的基本上就是这种解法，此方法入手很容易，但是后期的运算量会很大，并且此题高次方程的因式分解要求很高（对大部分学生来说高次方程分解本来就是一个盲区）。

【解析】设左焦点为1F ，由F 关于直线by x c=的对称点Q 在椭圆上， 得到OM QF ⊥且M 为QF 中点，又O 为F 1F 的中点，所以OM 为中位线，且1F Q QF ⊥。

由点到线的距离公式计算得到:,bc MF a=再由tan b FOM c ∠=得到：2c OM a =. 所以2,bcQF a=212c QF a =, 据椭圆定义：12QF QF a +=得到：2222bc c a a a+=，化简得： b c =，即22e =．通过比较我们发现法二（定义法）计算过程更加简洁，不易出错。

我在给学生讲题的时候学生经常会问我，哪个时候用定义法，其实大家只要看到有曲线上的点和焦点有联系时，就可以往定义法多思考一些。

重点辅导Җ㊀云南㊀武增明㊀㊀圆锥曲线离心率取值范围问题是圆锥曲线中的一类重要问题,这类问题涉及的知识点多,综合性强,解法灵活且多种多样,所以学生在解答这类问题时,常常会不知从何入手．笔者探究发现这类问题主要涉及函数与方程㊁数形结合㊁转化与化归等数学思想,解决这类问题的关键是挖掘寻找问题中的不等关系,构造出关于a ,b ,c 的不等式;挖掘寻找问题中的变量,建立离心率e 关于题设中变量的函数．故本文试图通过实例对如何构造出关于a ,b ,c 的不等式和建立离心率e 关于题设中变量的函数,将问题转化为求解关于离心率e 的不等式,求解以离心率e 为函数的值域问题．通过归纳㊁总结,给出圆锥曲线离心率取值范围问题的求解方法,抛砖引玉,希望对同学们有所启示和帮助．１㊀利用圆锥曲线的范围运用方程思想,用a ,b ,c 表示出圆锥曲线上点的横坐标或纵坐标,然后利用圆锥曲线的范围建立关于a ,b ,c 的不等式,进而将问题转化为关于离心率e的不等式,求解此不等式,问题即可获解．例１㊀设椭圆x ２a ２＋y ２b ２＝１(a ＞b ＞０)的左顶点为A ,若椭圆上存在一点P ,使øO P A ＝π２(O为坐标原点),则椭圆离心率的取值范围为．设点P (x ０,y ０),则由O P ʅP A ,可得O P ң P A ң＝０,从而(x ０,y ０) (－a －x ０,－y ０)＝０,即x ２０＋y ２０＋a x ０＝０．又b ２x ２０＋a ２y ２０－a ２b ２＝０,两式联立,消去y ０,得c ２x ２０＋a ３x ０＋a ２b ２＝０,即(x ０＋a )(c ２x ０＋a b ２)＝０,所以x ０＝－a (舍去)或x ０＝－a b２c ２．因为－a ＜x ０＜０(如图１),所以－a ＜－a b ２c２＜０,故c a ＞２２,即e ＞２２,又０＜e ＜１,故椭圆离心率的取值范围为(２２,１)．图１此题运用椭圆的参数方程引入点P 的坐标,结合三角函数的有界性也可进行解答．具体是,设P (a c o s θ,b s i n θ),由øO P A ＝π２,可得c o s θ＝b２a ２－b ２,再由三角函数的有界性并结合题设条件,可知－１＜c o s θ＜１,从而－１＜b２a ２－b２＜１,由此解得e ɪ(２２,１)．２㊀利用已知条件中的参数利用已知条件中的参数表示出圆锥曲线的离心率,即将离心率转化为含参数的函数,进而将问题转化为求函数的值域问题．利用参数的范围,求出函数的值域,从而问题获解．例２㊀设a ＞１,则双曲线x ２a ２－y ２(a ＋１)２＝１的离心率e 的取值范围是．根据题设条件,可知e ２＝a ２＋(a ＋１)２a ２,即e ２＝１a ２＋２a＋２．因为a ＞１,所以０＜１a＜１,从而问题转化为求函数f (a )＝１a ２＋２a ＋２(a ＞１)的值域．易知２＜e ２＜５,因此,２＜e ＜５,即双曲线的离心率e 的取值范围是(２,５)．求解函数值域的方法有很多,将问题转化为求解函数值域,可使问题快速获解．３㊀利用三角函数的范围利用a ,b ,c 表示出变量角α的正弦或余弦,然后利用三角函数的范围(有界性)建立关于a ,b ,c 的不等式,进而将问题转化为关于离心率e 的不等式,求解此不等式,问题即可获解．例３㊀如图２所示,已知椭圆C :x ２a ２＋y ２b２＝１７重点辅导(a ＞b ＞０),焦距为２c ,离心率为e ,以原点为圆心,c 为半径作圆,圆与椭圆C 交于A ,B ,C ,D 四点,若øA O D ɪ[π３,π２),则e 的取值范围是．图２设øA O x ＝α(αɪ[π６,π４)),则A (c c o s α,c s i n α),把点A 代入椭圆方程,可得(c c o s α)２a ２＋(c s i n α)２b２＝１,化简整理,得c o s ２α＝２e ２－１e４．因为２２＜c o s αɤ３２,所以２２＜２e ２－１e４ɤ３２,解此不等式,得２－２＜e ɤ６３,即椭圆的离心率的取值范围为(２－２,６３]．利用三角函数的有界性可建立关于离心率e的不等式,从而求得离心率的取值范围．４㊀利用已知条件中的不等式或范围充分考虑已知条件中的不等式或范围与a ,b ,c的关系,由此建立关于a ,b ,c 的不等式,进而将问题转化为关于离心率e 的不等式,求解此不等式,问题即可获解．例４㊀设椭圆x ２a ２＋y ２b２＝１(a ＞b ＞０)的左㊁右焦点分别为F １,F ２,P 为椭圆上任意一点,且P F １ң P F ２ң的最大值的取值范围是[c ２,３c ２],其中c ＝a ２－b２,则椭圆的离心率的取值范围是．设P (x ,y ),则x ２a ２＋y ２b２＝１,由此可得y ２＝b ２－b２a ２x ２,且知P F １ң P F ２ң＝x ２＋y ２－c ２＝(１－b ２a２)x ２＋b ２－c ２．因为０ɤx ２ɤa ２,所以当x ２＝a ２时,P F １ң P F ２ң取得最大值b ２．从而结合题意,可得c ２ɤb ２ɤ３c２,因此１４ɤe２ɤ１２,所以１２ɤe ɤ２２,故椭圆的离心率的取值范围是[１２,２２]．求解这类问题时要善于在题目中寻找可用的条件,并合理构建不等式．５㊀利用判别式若直线与圆锥曲线有两个不同的交点,则将直线与圆锥曲线方程联立后,根据判别式大于零建立关于a ,b ,c 的不等式,进而将问题转化为关于离心率e 的不等式,求解此不等式,问题即可获解．例５㊀斜率为２的直线l 过双曲线x ２a ２－y ２b２＝１(a ＞０,b ＞０)的右焦点,若l 与双曲线的两个交点分别在左㊁右两支上,则双曲线离心率的取值范围是(㊀㊀)．A㊀e ＞２;㊀㊀㊀㊀B ㊀１＜e ＜３;C ㊀１＜e ＜５;D㊀e ＞５双曲线右焦点为F (c ,０),直线l 的方程为y ＝２(x －c ),故由y ＝２(x －c ),x ２a ２－y ２b２＝１,ìîíïïï可得(b ２－４a ２)x ２＋８a ２c x －a ２(４c ２＋b ２)＝０．根据题意得Δ＞０,x １x ２＜０,{即１６a ４c ２＋a ２(b ２－４a ２)(４c ２＋b ２)＞０,－a ２(４c ２＋b２)b ２－４a ２＜０,ìîíïïï则b ２－４a ２＞０,b ２－５a ２＞０,即e ＞５,故选D ．此题还有一种很简捷的解法,即数形结合法,根据题意可得ba＞２,由此也可求得e ＞５．６㊀利用均值不等式利用均值不等式,建立关于a ,b ,c 的不等式,进而得到关于离心率e 的不等式,问题即可获解．例６㊀已知椭圆x ２a ２＋y ２b２＝１(a ＞b ＞０)的两个焦点为F １,F ２,若椭圆上存在一点P ,使øF １P F ２＝１２０ʎ,则椭圆离心率e 的取值范围为．设|P F １|＝m ,|P F ２|＝n ,如图３所示,则在әP F １F ２中,由余弦定理得４c ２＝m ２＋n ２－２m n c o s １２０ʎ＝(m ＋n )２－２m n ＋m n ＝(m ＋n )２－m n ．８重点辅导图３由椭圆的第一定义,可知m ＋n ＝２a ,则４a ２－４c ２＝m n ɤ(m ＋n２)２＝a ２,所以３a ２ɤ４c ２,e ȡ３２,即椭圆离心率e ɪ[３２,１)．解答本题的关键是利用均值不等式,寻找到a,b ,c 之间的不等关系．７㊀利用三角形性质利用三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边的性质,建立关于a ,b ,c 的不等式,进而将问题转化为关于离心率e 的不等式,求解此不等式,问题即可获解．例７㊀已知双曲线x ２a ２－y ２b２＝１(a ＞０,b ＞０)的左㊁右焦点分别为F １(－c ,０),F ２(c ,０),若双曲线上存在点P ,使s i n øP F １F ２s i n øP F ２F １＝ac,则该双曲线离心率的取值范围是．设|P F １|＝m ,|P F ２|＝n ,则由正弦定理得m n ＝si n øP F ２F １s i n øP F １F ２．因为s i n øP F ２F １s i n øP F １F ２＝e ,所以mn＝e ,即m ＝e n ．①㊀㊀因为e ＞１,所以点P 在双曲线的右支上(如图４),于是根据双曲线的第一定义得m －n ＝２a ．②图４由①②解得m ＝２a e e －１,n ＝２ae －１,因为m ＋n ＞２c ,所以２a e e －１＋２a e －１＞２c ,化简得e ２－２e －１＜０,又e ＞１,所以１＜e ＜２＋１,于是双曲线离心率的取值范围是e ɪ(１,２＋１)．根据三角形中 两边之和大于第三边这一简单的性质,建立a ,b ,c 之间的不等关系式是解题的关键,求解时要注意等号是否成立．８㊀利用渐近线的性质利用几何方法㊁渐近线的几何特性,建立关于a ,b ,c 的不等式,进而将问题转化为离心率e 的不等式,求解此不等式,问题即可获解．例８㊀已知双曲线x ２a ２－y ２b２＝１(a ＞０,b ＞０)的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为６０ʎ的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是(㊀㊀)．A㊀(１,２];㊀㊀㊀㊀B ㊀(１,２);C ㊀[２,＋ɕ);D㊀(２,＋ɕ)此题可以用代数方法求解,即将直线与双曲线方程联立,根据判别式就可确定离心率的取值范围,但计算比较烦琐,因此考虑用几何方法,利用渐近线的几何特性,去求离心率的取值范围．因为过点F 且倾斜角为６０ʎ的直线与双曲线的右支有且仅有一个交点,如图５所示,所以渐近线y ＝bax 的斜率不小于过点F 且倾斜角为６０ʎ的直线的斜率,即b aȡ３,解得e ȡ２,故选C ．图５渐近线控制着双曲线的形状,这与离心率控制着双曲线的形状有着相似之处,知道了这一点,许多求双曲线离心率取值范围的问题就可以利用渐近线的性质来轻松地解决了．求解圆锥曲线离心率的取值范围问题,并非仅有上面介绍的８种方法,这８种方法仅是基本的㊁重要的㊁常见的方法,除此之外还有数形结合法㊁参数法等,并且这些方法并非彼此孤立的,在很多时候需要综合运用才能解决问题．限于篇幅,其他方法在此不再赘述,留给读者在学习中探究．(作者单位:云南省玉溪第一中学)９。

离心率范围的求解探究圆锥曲线中，求一些几何量或参数的范围，是近年高考试题中的一个常考常新的问题。

而离心率范围的求解，除用求一般参数范围的方法外，还由于其与几何量a 、b 、c 的特殊关系，其范围的求解也有其特殊性。

本文就离心率范围的求解作些探究。

一、回归定义寻求不等式例1、己知椭圆22221(0)x y a b a b+=>> 的两个焦点分别为12,F F ，若椭圆上存在一点P ，使得123F PF π∠=，求椭圆离心率e 的范围。

分析：本例中∆12F PF 构成焦三角形，可考虑用椭圆定义找到关于a 、b 、c 之间的关系，尔后再利用条件构造不等式。

解：∆12F PF 中，123F PF π∠=，由椭圆定义及余弦定理可得： ()22221212121212233F F PF PF PF PF COSPF PF PF PF π=+-=+- 即：2212443c a PF PF =- 由于122PF PF a +=，故寻求用均值不等式建起不等关系：2212443a c PF PF -=≤2122332PF PF a ⎛+⎫= ⎪⎝⎭， 由此可得离心率1,12e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ 点评：本例中，不等式构建的前提条件是12PF PF +等于常数2a ，从而利用其积有最大值建立起不等式。

二、用曲线的几何性质建立不等式 例2、 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上存在一点M ，与右焦点距离和到左准线距离相等，求离心率e 的范围。

分析：利用相等条件得到等量关系后，再根据点所在位置构建不等式。

解：设右支上的点M 到右焦点2F 的距离，与到左准线2a x c=-的距离1d 相等。

则有：122PF PF a -=，11PF ed =故：11122,1a ed d a d e -==- 又点M 在右支上，故21a d a c ≥+，从而得到221a a a e c≥+-解得11e <<。

离心率e的取值范围-回复离心率e是描述椭圆轨道的一个重要参数，用来度量椭圆形状的“挤扁”程度。

在天文学中，离心率的取值范围非常广泛，从0到1都有可能出现，甚至可以超过1。

首先，让我们从基本概念开始，解释离心率e的意义和如何计算。

离心率e是一个无单位的数值，在0到1之间，它用来衡量椭圆轨道的形状。

当e=0时，轨道是一个圆形，表示所有点距离中心点的距离都相等。

当e=1时，是一个特殊的椭圆，被称为抛物线轨道，表示一个非常狭长的椭圆，其中一半径无限大，轨道上的物体会趋近于无穷远。

当e大于1时，轨道变成一条叫做双曲线的曲线，其中一部分也趋近于无穷远。

离心率的计算方法是根据轨道上两个焦点之间的距离与纵轴长度的比值。

我们可以用以下公式来表示：e = √(1 - b²/a²)其中，a和b分别是椭圆轨道的长半轴和短半轴的长度。

根据这个公式，我们可以计算出任意椭圆轨道的离心率。

接下来，让我们来讨论一下离心率e的取值范围及其在不同天体运动中的应用。

1. 离心率e=0：当离心率为0时，轨道是一个完美的圆形。

这种情况在人造卫星的轨道或者地球绕太阳公转的轨道中是比较常见的。

例如，国际空间站绕地球的轨道就非常接近圆形，其离心率接近于0。

2. 离心率0<e<1：当离心率介于0和1之间时，轨道是一个椭圆形。

这种情况在太阳系中的行星和一些天体之间的相互作用中出现。

例如，地球绕太阳公转的轨道就是一个接近于椭圆的形状，其离心率大约为0.0167。

3. 离心率e=1：当离心率等于1时，轨道是一个特殊的椭圆，称为抛物线轨道。

这种轨道形状非常狭长，其中一半径趋近于无穷大。

抛物线轨道在一些宇宙探测器的飞行中被广泛应用，例如，旅行到近地行星或彗星的探测器会利用抛物线轨道来调整速度和方向。

4. 离心率e>1：当离心率大于1时，轨道变成一条双曲线。

这种轨道在一些天文现象中会出现，例如，彗星绕太阳的轨道就是一条双曲线。

椭圆离心率范围的求法总结
椭圆的离心率是一个描述椭圆形状的参数，它的取值范围在[0,1)之间。

下面是关于椭圆离心率范围的求法总结：
1. 椭圆离心率定义：椭圆的离心率e是焦点距离F与两个焦点连线的长度2a之比：e = F/2a。

其中F是焦点到椭圆中心点的距离，a是椭圆的半长轴长度。

2. 确定椭圆的半长轴a和焦点到椭圆中心点的距离F。

3. 计算离心率e = F/2a。

4. 判断离心率范围：离心率e的取值范围在[0,1)之间，即0 <=
e < 1。

总结起来，求解椭圆离心率的步骤包括确定椭圆的半长轴和焦点到椭圆中心点的距离，然后通过计算得到离心率，最后判断离心率是否满足取值范围。

圆锥曲线离心率的取值范围的解题方法一、利用曲线的范围，建立不等关系ﻫ例1．设椭圆的左右焦点分别为、,如果椭圆上存在点P，使，求离心率e的取值范围。

ﻫ解:设因为,所以ﻫ将这个方程与椭圆方程联立，消去y,可解得二、利用曲线的几何性质数形结合，构造不等关系例2．直线L过双曲线的右焦点,斜率k=2。

若Ｌ与双曲线的两个交点分别在左、右两支上,求双曲线离心率的取值范围。

ﻫ解：如图1,若,则L与双曲线只有一个交点；若,则L与双曲线的两交点均在右支上，ﻫ例3。

已知F１、F２分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于Ａ、B两点。

若△ＡＢＦ2是锐角三角形,求双曲线的离心率的取值范围.ﻫ解：如图２，因为△ABF2是等腰三角形,所以只要∠ＡF２B是锐角即可,即∠AF2F1＜４5°。

则ﻫ三、利用定义及圆锥曲线共同的性质，寻求不等关系ﻫ例４.已知双曲线的左右焦点分别为、,点P在双曲线的右支上,且，求此双曲线的离心率e的取值范围。

解:因为P在右支上，所以又得所以又ﻫ所以ﻫ例5．已知双曲线的左、右焦点分别是F１、F2，Ｐ是双曲线右支上一点，P到右准线的距离为d，若d、|PF２｜、|ＰF1｜依次成等比数列，求双曲线的离心率的取值范围。

ﻫ解:由题意得因为，所以，从而，。

又因为P在右支上，所以。

.。

ﻫ四、利用判断式确定不等关系例6。

例１的解法一：解：由椭圆定义知ﻫ例7。

设双曲线与直线相交于不同的点A、B.求双曲线的离心率e的取值范围。

解:..·····谢阅。

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