1绪论
1.1断裂力学的研究意义
断裂是一种失效模式。在各种工程领域中，经常发生起源于断裂或者终结于裂纹扩展的灾难性破坏事故，如地震引起的地质构造开裂和结构工程垮塌、碰撞引起的交通运载工具损坏、压力管道的裂纹失稳扩展和机械构件的断裂等，这些事故对人民的生命和财产造成了重大损失。由于起裂的原因难以量化确定，因此，起裂后的裂纹能否继续扩展或者发生止裂的断裂力学研究具有十分重要的理论意义和应用前景。
当代断裂力学的繁荣和它在未来的生命力正是缘于它已深深地根植于现代高科技领域和工程应用之中。例如，大型计算机的硬件条件使我们有可能对复杂的断裂过程进行数值模拟，现代物理学提供的新的实验手段，如高倍电子显微镜、表面分析、高速摄影等观测和测量技术使我们能够更深入地研究宏观、细观乃至微观的断裂过程。正是这种对于断裂基本规律的深入认识，有助于发挥断裂力学在工程应用中的理论指导作用。例如，材料增韧和新材料的研制、生物和仿生材料的开发、建筑和核反应堆等结构的抗震设计和建造、微电子元器件的研究和制备、地质力学与地震预报、油气开采和储运、航空航天的新飞行器设计等。断裂力学与现代科学和高技术成果的有机结合，使其呈现出崭新的面貌。
现实中的裂纹一般都是三维的，并且具有复杂的形状和任意扩展的路径。长期以来，在三维结构中裂纹沿曲线或曲折路径扩展是一个棘手的力学难题，传统断裂力学中对裂纹是平直的假设不再成立，因此理论的研究手段显得束手无策，对它的研究更多地是从实验方面展开，唯象的经验性的结果占据多数，而且是以平面裂纹为主。近几十年来，计算机技术的发展为数值模拟奠定了基础，有限元等计算力学方法的提出和发展也为用数值方法解决这一难题提供了条件，应用计算力学的方法对裂纹在三维实体和曲面中任意扩展进行模拟分析已成为这个领域的研究热点。目前常用的断裂力学计算方法有传统有限元＋自适应网格(Miehe和Gürses，2007)、节点力释放方法(Zhuang和O’Donoghue，2000)、单元间内聚力模型(Xu和Needleman，1994)及嵌入不连续模型(Belytschko等，1988)等。在处理复杂形状裂纹时这些方法都有着一定的局限性，比如裂纹扩展路径必须预先给定、裂纹只能沿单元边界扩展、计算成本偏高等。为了更好地解决这些问题，扩展有限单元法应运而生，成为解决复杂断裂问题的最有效方法之一。
1.2扩展有限元介绍
科学家在20世纪对人类最伟大的贡献之一是发明了计算机，这一发明极大地推动了相关科学学科研究和产业的发展。以力学学科的计算力学为例，随之诞生和发展的有限元、有限体积和有限差分等方法，使传统的繁杂的力学问题得以进行数值模拟和计算分析，更关键的是解决了大量的工程和科学仿真问题。在现代信息技术和各种计算科学高度发展的今天，基于仿真的工程与科学
（simulation-based engineering and science）已经成为科学家探索科学奥秘
的得力助手，成为工程师们实施工程创新或产品开发，并确保其可靠性的有效工具。而有限元及其计算程序正是我们实现工程与科学仿真的工具之一。
自20世纪50年代中期第一篇有关有限元的文章问世以来，发表了大量的有限元文章和出版了许多专著，其中一些成功的实验报道和专题文章，对有限元的发展做出了重要贡献。直到60年代，有限元软件的开发和迅速应用，对工程分析造成了巨大冲击，顺应了蓬勃兴起的有限元数值计算环境，满足了基于仿真的工程与科学的大量需求。如果把有限元比作一棵大树，正是它的几个重要分支的兴起与发展，如杂交元、边界元、无网格、扩展有限元等，才使得有限元这棵参天大树扶摇直上，枝繁叶茂。
传统的有限元方法是将一个物理实体模型离散成为一组有限个、且按一定方式相互连接在一起的单元组合体，但是在剖分单元网格的时候必须考虑物体内部的缺陷，如界面、裂纹、孔洞和夹杂等，使单元边界与几何界面一致，这就难免形成局部网格加密，而其余区域稀疏的非均匀网格分布。在网格中单元的最小尺寸决定了显式计算时间增量的临界步长，这无疑增加了计算成本；再是裂纹扩展路径必须预先给定，裂纹只能沿单元边界扩展，难以形成任意裂纹路径。针对有限单元法处理裂纹等非连续界面问题存在的弊端，1999年，美国西北大学的Belytschko和Moёs提出了一种新的计算方法——扩展有限单元法(Belytschko 和Black，1999；Moёs等，1999)，在传统有限单元法的基础上进行了重要的改进。近十年来扩展有限单元法不断完善并发展，逐渐成为了一种处理非连续场、局部变形和断裂等复杂力学问题的功能强大、极具应用前景的新方法，在土木工程、航天航空、材料科学等诸多领域得到了广泛应用。
扩展有限元的核心思想是用扩充的带有不连续性质的形函数基来代表计算域内的间断，因此在计算过程中，不连续场的描述完全独立于网格边界，这使其在处理断裂问题上具有得天独厚的优势。图1-1所示为三维断裂的扩展有限元模拟结果(Areias 和 Belytschko，2005)。从图中可以看到裂纹面和裂纹前沿完全独立于网格。利用扩展有限元，还可以方便地模拟裂纹沿任意路径扩展，图1-2所示为应用扩展有限元模拟裂纹分叉扩展(Belytschko等，2003)。
图1-1三维断裂XFEM模拟：位移扩大200倍
(Areias和Belytschko，2005)
图1-2扩展有限元模拟分叉裂纹(Belytschko等，2003)
扩展有限元不仅可以模拟裂纹，还可以用来模拟含孔洞和夹杂的非均质材料(Belytschko等，2003； Sukumar等，2001)。
图1-3碳纳米管复合材料模拟
(Belytschko等，2003)
在裂纹两侧间断的是位移，而在夹杂和两相材料边缘两侧间断的是应变——位移的空间导数。这两种情况分别被定义为强间断（位移场不连续）和弱间断（位移场导数不连续），在扩展有限元计算时只要采用不同形式的扩充形函数即可对它们进行精确捕捉。图1-3是应用扩展有限元研究碳纳米管复合材料胞元的有效模量的算例(Belytschko等，2003)，由于网格边界不必与材料界面重合，模拟中完全使用六面体结构单元对代表体积单元（RVE）进行网格划分，极大地提高了建模效率。
扩展有限元的另一个优点是可以充分利用已知解析解答构造形函数基，在较粗网格上即能得到较精确解答。在使用传统有限元方法模拟奇异场时必须局部加密网格，如裂纹尖端或位错核附近的应力场，而在扩展有限元中则可以通过把已知的裂纹或位错的位移场渐进解引入扩充形函数中，使用较粗网格即可得到满意解答。图1-4所示为一边含有裂纹的有限大板，改变裂纹长度可以得到一组应力强度因子。XFEM模拟中无须对裂纹尖端进行网格细化，使用41×41四边形网格即可得到与解析解吻合较好的结果。
图1-4有限大板内静止裂纹尖端应力强度因子
值得指出的是，边界元法（boundary element method）及无网格法（element free method）也在处理裂纹等不连续问题中有着重要的应用(Blandford等，1981；Belytschko等，1994)，但是由于这些方法一些固有的缺陷限制了它们的推广，如：边界元法不便于处理非线性、多介质等复杂问题；无网格法缺少坚实的理论基础和严格的数学证明，存在一些未确定的参数如插值域大小、背景积分域大小等；没有成熟的商业软件包。而扩展有限元在标准有限元框架内研究问题，保留了传统有限元的所有优点，目前一些商业有限元软件如ABAQUS、LS-DYNA
等已经初步具备了XFEM的断裂分析模块。
综上所述，XFEM的优越性可以归结为以下几点：
（1）允许裂纹在单元内部和穿过单元，可以在规则网格上计算复杂形状裂纹，模拟裂纹扩展时，不需要对网格进行重新剖分，节省了计算成本；
（2）在裂纹面和裂纹尖端采用增强函数构造非连续性，对裂纹面和裂纹尖端附近的单元节点增加附加自由度，通过满足适当性质的形函数来捕捉裂纹尖端奇异场，可以在粗网格上获得精确解答；
（3）与连续剖分的有限元比较，在不同的剖分单元之间不需要那么多的映射；（4）与边界元相比，它适用于各种材料性质和多介质问题，更适用于几何和接触非线性问题；
（5）可以用于大型有限元并行计算技术，其程序可以写入商用有限元软件。这些优势是其能够得到成功推广和应用的重要原因。
