高考数学复习-指数函数

高考数学专题复习题：指数函数一、单项选择题（共8小题）1．若命题“,a b ∀∈R ，22b a a b -<-”为真命题，则a ，b 的大小关系为（）A ．a b <B ．a b >C ．a b≤D ．a b ≥2．已知函数()2121x f x =-+，则对任意实数x ，有（）A ．()()0f x f x -+=B ．()()0f x f x --=C ．()()2f x f x -+=D ．()()2f x f x --=3．已知()e e x x x f x a -=+是偶函数，则a =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．24．设函数2()21x f x =+，求得(5)(4)(0)(4)(5)f f f f f -+-+++++ 的值为（）A ．9B ．11C ．92D ．1125．如果定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，且当0x ≤时，()22x a f x =+，那么()1f =（）A ．2B ．4C ．2-D ．4-6．函数2()2|e 1|x x f x =-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．7．设函数()()12x x a f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间0,1单增，则a 的取值范围是（）A ．(],2∞--B ．[)2,0-C ．(]0,2D ．[)2,+∞8．已知函数()20252025x x f x -=-，若0a >，0b >，且()()20f a f b -+=，则3111a b +++的最小值为（）AB ．1C ．1D ．二、多项选择题（共2小题）9．已知函数()312x f x x +=-，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的值域是{}2y y ≠B ．()f x 图象的对称中心为()2,3C ．()()202620226f f +-=D ．()2x f -的值域是14,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭10．已知函数e 1()e 1x x f x +=-，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 的定义域为RB ．函数()f x 的值域为(,1)(1,)-∞-+∞C ．()()0f x f x +-=D ．函数()f x 为减函数三、填空题（共2小题）11．设函数()331x f x =+，则()()()()()54045f f f f f -+-+++++= ________．12．函数2x y m m =-+在(],2-∞上的最大值为4，则m 的取值范围是________．四、解答题（共2小题）13．已知函数2()12x xb f x a +=+⋅，若()f x 是定义域为R 的奇函数．（1）求出函数()f x 的解析式；（2）求不等式2(1)(35)0f x f x ++-<的解集．14．已知函数11()22x x f x a -=⋅+是定义域为R 的偶函数．（1）求实数a 的值；（2）若对任意x ∈R ，都有(2)()f x kf x ≥成立，求实数k 的取值范围．。

高中数学高考总复习指数与指数函数习题及详解一、选择题1．(2010·陕西文)下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是( )A ．幂函数B ．对数函数C ．指数函数D ．余弦函数[答案] C[解析] ∵(x ＋y )α≠x α·y α，log a (x ＋y )≠log a x ＋log a y ，a x ＋y ＝a x ·a y ，cos(x ＋y )＝cos x cos y －sin x sin y ≠cos x cos y ，∴选C.2．(2010·南充市)若A ＝{x ∈Z |2≤22－x <8}，B ＝{x ∈R ||x －1|>1}，则A ∩(∁R B )的元素个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] 由2≤22－x <8得，1≤2－x <3，∴－1<x ≤1，∵x ∈Z ，∴x ＝0或1，∴A ＝{0,1}； 由|x －1|>1得，x >2或x <0，∴B ＝{x |x >2或x <0}，∴∁R B ＝{x |0≤x ≤2}， ∴A ∩∁U B ＝{0,1}．3．(文)(2010·北京崇文区)设a ＝⎝⎛⎭⎫120.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a <b <cC ．b <a <cD ．a <c <b[答案] C[解析] y ＝x 0.5在(0，＋∞)上是增函数，1>12>0.3，∴1>a >b ，又y ＝log 0.3x 在(0，＋∞)上为减函数， ∴log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1，∴b <a <c .(理)(2010·重庆诊断)设0<b <a <1，则下列不等式成立的是( ) A ．ab <b 2<1 B.12<⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b C ．a 2<ab <1D ．log 12b <log 12a <0[答案] B[解析] 依题意得ab －b 2＝b (a －b )>0，∴ab >b 2，因此A 不正确；同理可知C 不正确；由函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在R 上是减函数得，当0<b <a <1时，有⎝⎛⎭⎫120>⎝⎛⎭⎫12b >⎝⎛⎭⎫12a >⎝⎛⎭⎫121，即12<⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b ，因此B 正确；同理可知D 不正确．综上所述，选B.[点评] 可利用a ，b 取值的任意性取特值检验，令b ＝14，a ＝12可得，14>18>116，∴a 2>ab >b 2，排除A 、C ；log 1214＝2，log 1212＝1，∴log 12b >log 12a ，排除D ，故选B.4．(文)(2010·泰安质检)某钢厂的年产量由1990年的40万吨增加到2000年的50万吨，如果按照这样的年增长率计算，则该钢厂2010年的年产量约为( )A ．60万吨B ．61万吨C ．63万吨D ．64万吨[答案] C[解析] 设年增长率为x ，则由题意知40(1＋x )10＝50，∴(1＋x )10＝54，∴2010年的年产量为40(1＋x )20＝40×⎝⎛⎭⎫542＝2504≈63万吨．(理)(2010·安徽安庆联考)如图是一个算法的程序框图，当输入x 的值为3时，输出y 的结果恰好为13，则？处的关系式是( )A ．y ＝log 9xB ．y ＝3xC ．y ＝3－xD ．y ＝x 13[答案] B[解析] 输入x ＝3≤0不成立，故x ＝3－2＝1,1≤0不成立，故x ＝1－2＝－1，－1≤0成立，执行？后输出y ＝13，故选B.5．(2010·安徽理，6)设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )[答案] D[解析] 若a <0，则只能是 A 或B 选项，A 中－b2a <0，∴b <0，从而c >0与A 图不符；B 中－b2a >0，∴b >0，∴c <0与B 图也不符；若a >0，则抛物线开口向上，只能是C 或D 选项，则当b >0时，有c >0与C 、D 不符．当b <0时，有c <0，此时－b2a >0，且f (0)＝c <0，故选D.6．(文)(2010·山东理，4)设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )A ．3B ．1C ．－1D ．－3[答案] D[解析] ∵f (x )是奇函数，∴f (0)＝0，即0＝20＋b ，∴b ＝－1，故f (1)＝2＋2－1＝3，∴f (－1)＝－f (1)＝－3.(理)(2010·辽宁省实验中学)已知函数f (x )＝2x －1，对于满足0<x 1<x 2<2的任意实数x 1，x 2，给出下列结论：(1)(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]<0； (2)x 2f (x 1)<x 1f (x 2)； (3)f (x 2)－f (x 1)>x 2－x 1； (4)f (x 1)＋f (x 2)2>f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22. 其中正确结论的序号是( ) A ．(1)(2) B ．(1)(3) C ．(2)(4)D ．(3)(4)[答案] C[解析] ∵f (x )为增函数，x 1<x 2，∴f (x 1)<f (x 2)，∴(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]>0，故(1)错； 排除A 、B ；A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是f (x )＝2x －1在(0,2)上任意两点，则k AB ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1不总大于1，故(3)错，排除D ，选C.7．(文)(2010·重庆南开中学)已知f (x )＝a x ，g (x )＝b x ，当f (x 1)＝g (x 2)＝3时，x 1>x 2，则a 与b 的大小关系不可能成立．．．．．的是( ) A ．b >a >1 B ．a >1>b >0 C ．0<a <b <1D ．b >1>a >0[答案] D[解析] ∵f (x 1)＝g (x 2)＝3，∴ax 1＝bx 2＝3， ∴x 1＝log a 3，x 2＝log b 3，当b >1>a >0时，x 1<0，x 2>0不满足x 1>x 2.(理)(2010·辽宁文，10)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( )A.10 B ．10 C ．20D ．100[答案] A[解析] ∵2a ＝5b ＝m ∴a ＝log 2m b ＝log 5m ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2 ∴m ＝10 选A.8．(文)(2010·吉林市质检、上海松江市模拟)若函数f (x )＝(k －1)a x －a －x (a >0且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是( )[答案] A[解析] ∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，∴k ＝2，f (x )＝a x －a －x ，又f (x )为减函数，∴0<a <1， ∴g (x )＝log a (x ＋2)的图象为A.(理)(2010·烟台中英文学校质检、海淀期中)在同一坐标系中画出函数y ＝log a x ，y ＝a x ，y ＝x ＋a 的图象，可能正确的是( )[答案] D[解析] 对于A ，y ＝x ＋a 中，0<a <1，故y ＝log a x 单减，与图象不符，排除A ；对于B 、C 由y ＝x ＋a 知，a >1，∴y ＝log a x 单调增，与图象不符，排除B 、C ，因此选D.9．(2010·深圳市调研)已知所有的点A n (n ，a n )(n ∈N *)都在函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象上，则a 3＋a 7与2a 5的大小关系是( )A ．a 3＋a 7>2a 5B ．a 3＋a 7<2a 5C ．a 3＋a 7＝2a 5D ．a 3＋a 7与2a 5的大小关系与a 的值有关 [答案] A[解析] 因为所有的点A n (n ，a n )(n ∈N *)都在函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象上，所以有a n＝a n ，故a 3＋a 7＝a 3＋a 7，由基本不等式得：a 3＋a 7>2a 3·a 7＝2a 10＝2a 5，∴a 3＋a 7>2a 5(因为a >0，a ≠1，从而基本不等式的等号不成立)，故选A.10．(文)(2010·青岛市质检)过原点的直线与函数y ＝2x 的图象交于A ，B 两点，过B 作y 轴的垂线交函数y ＝4x 的图象于点C ，若直线AC 平行于y 轴，则点A 的坐标是( )A ．(1,2)B ．(2,4)C ．(12，2)D ．(0,1) [答案] A[解析] 设A (x 0，y 0)，则y 0＝2x 0，由条件知C (x 0,4x 0)，∴y B ＝4x 0＝22x 0，∴B (2x 0,22x 0)，∵直线AB 过原点，∴k OA ＝k OB ，∴22x 02x 0＝2x 0x 0，∴x 0＝1，∴A (1,2)．(理)(2010·湖南八校联考)已知函数f (x )＝log 12(4x －2x ＋1＋1)的值域是[0，＋∞)，则它的定义域可以是( )A ．(0,1]B ．(0,1)C ．(－∞，1]D ．(－∞，0] [答案] A[解析] 由题意知，log 12(4x －2x ＋1＋1)≥0，则有0<4x －2x ＋1＋1≤1，解得x ≤1且x ≠0，排除C 、D.经检验，当x ∈(0,1]时，f (x )的值域是[0，＋∞)．故选A.[点评] 由函数f (x )的值域为[0，＋∞)知，令u ＝4x －2x ＋1＋1，则log 12u ≥0，∴0<u ≤1，而u ＝(2x －1)2，∴x ≤1且x ≠0，而当x ＝1时，u ＝1，当x ＝0时，u ＝0，故0<x ≤1时，0<u ≤1，因此集合{x |x ≤1且x ≠0}的所有包含{x |0<x ≤1}的子集都可以取作该函数的定义域．二、填空题11．(文)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x x ∈[－1，0]3x x ∈(0，1]，则f ⎝⎛⎭⎫log 312＝________. [答案] 2[解析] ∵－1<log 312<0，∴f (log 312)＝⎝⎛⎭⎫13log 312＝(3log 312)－1＝2. (理)(2010·北京东城区)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x x ≤0f (x －1)－f (x －2) x >0，则f (－1)＝______，f (33)＝________.[答案] 4，－2 [解析] f (－1)＝21－(－1)＝4，f (33)＝f (32)－f (31)＝f (31)－f (30)－f (31)＝－f (30)，同理f (30)＝－f (27)，∴f (33)＝f (27)，∴f (33)＝f (3)＝－f (0)＝－2.12．(文)(2010·常德市检测)定义区间[x 1，x 2]的长度为x 2－x 1，已知函数f (x )＝3|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,9]，则区间[a ，b ]的长度的最大值为________，最小值为________．[答案] 4 2[解析] 由3|x |＝1得x ＝0，由3|x |＝9得x ＝±2，故f (x )＝3|x |的值域为[1,9]时，其定义域可以为[0,2]，[－2,0]，[－2,2]及[－2，m ]，0≤m ≤2或[n,2]，－2≤n ≤0都可以，故区间[a ，b ]的最大长度为4，最小长度为2.(理)(2010·柳州市模考)已知⎝⎛⎭⎫2x －229的展开式的第7项为214，则x 的值为________．[答案] －13[解析] T 7＝C 96(2x )3·⎝⎛⎭⎫－226＝212×8x ＝214， ∴3x ＝－1，∴x ＝－13.13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x x ≤1log 2(x －1) x >1，则f (x )≤12的解集为________．[答案] [1，2＋1] [解析] 由f (x )≤12得，⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ≤12x ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x －1)≤12x >1， ∴x ＝1或1<x ≤2＋1，∴1≤x ≤2＋1，故解集为[1，2＋1]．14．函数f (x )的定义由程序框图给出，程序运行时，输入h (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，φ(x )＝log 2x ，则f (12)＋f (4)的值为________．[答案] －1516[解析] 由程序框图知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧φ(x ) h (x )>φ(x )h (x ) h (x )≤φ(x )，∵h ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫1212＝22，φ⎝⎛⎭⎫12＝－1，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝－1， ∵h (4)＝116，φ(4)＝2，∴f (4)＝116，∴f ⎝⎛⎭⎫12＋f (4)＝－1＋116＝－1516. 三、解答题15．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x 4x ＋1.(1)求f (x )在(－1,1)上的解析式； (2)证明：f (x )在(0,1)上是减函数．[解析] (1)∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0， 又当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)， ∴f (－x )＝2－x4－x ＋1＝2x1＋4x，∵f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－2x1＋4x ，∴f (x )在(－1,1)上的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧2x4x ＋1x ∈(0，1)－2x 4x＋1 x ∈(－1，0)0 x ＝0.(2)当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.设0<x 1<x 2<1， 则f (x 1)－f (x 2)＝2x 14x 1＋1－2x 24x 2＋1＝(2x 2－2x 1)(2x 1＋x 2－1)(4x 1＋1)(4x 2＋1)，∵0<x 1<x 2<1，∴2x 2－2x 1>0,2x 1＋x 2－1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 故f (x )在(0,1)上是减函数．16．已知关于x 的方程9x －2×3x ＋(3k －1)＝0有两个实数根，求实数k 的取值范围． [解析] 令3x ＝t ，则方程化为t 2－2t ＋(3t －1)＝0，①要使原方程有两个实数根，方程①必须有两个正根 所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(－2)2－4(3k －1)≥0t 1t 2＝3k －1>0t 1＋t 2＝2>0解得13<k ≤23.[点评] ∵t ＝3x >0，∴原方程有两个实数根x 1、x 2，则对应的方程①应有两个正根t 1＝3x 1，t 2＝3x 2，而不是两个任意实数根．17．(文)(2010·辽宁省锦州市通考)已知函数f (x )＝m ·2x ＋t 的图象经过点A (1,1)，B (2,3)及C (n ，S n )，S n 为数列{a n }的前n 项和．(1)求a n 及S n ；(2)若数列{c n }满足c n ＝6na n －n ，求数列{c n }的前n 项和T n . [解析] (1)∵函数f (x )＝m ·2x ＋t 的图象经过点A 、B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋t ＝14m ＋t ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1t ＝－1，∴f (x )＝2x －1， ∴S n ＝2n －1，∴a n ＝2n －1.(2)c n ＝3n ·2n －n ，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝3×(1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n )－(1＋2＋…＋n )，令P n ＝1×2＋2×22＋…＋n ·2n ① 则2P n ＝1×22＋2×23＋…＋n ·2n ＋1② ①－②得－P n ＝2＋22＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝2×(2n －1)2－1－n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1，∴P n ＝(n －1)2n ＋1＋2， ∴T n ＝3(n －1)2n ＋1＋6－n (n ＋1)2.(理)(2010·浙江台州模拟)定义在D 上的函数f (x )，如果满足：对任意x ∈D ，存在常数M >0，都有|f (x )|≤M 成立，则称f (x )是D 上的有界函数，其中M 称为函数f (x )的上界．已知函数f (x )＝1＋a ·⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫14x . (1)当a ＝1时，求函数f (x )在(－∞，0)上的值域，并判断函数f (x )在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由；(2)若函数f (x )在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围． [解析] (1)当a ＝1时，f (x )＝1＋⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫14x . 因为f (x )在(－∞，0)上递减，所以f (x )>f (0)＝3，即f (x )在(－∞，0)上的值域为(3，＋∞)．故不存在常数M >0，使|f (x )|≤M 成立． 所以函数f (x )在(－∞，0)上不是有界函数． (2)由题意知，|f (x )|≤3在[0，＋∞)上恒成立． ∴－3≤f (x )≤3，即－4－⎝⎛⎭⎫14x≤a ·⎝⎛⎭⎫12x ≤2－⎝⎛⎭⎫14x ， ∴－4·2x －⎝⎛⎭⎫12x≤a ≤2·2x－⎝⎛⎭⎫12x 在[0，＋∞)上恒成立， 设2x ＝t ，h (t )＝－4t －1t ，p (t )＝2t －1t ，由x ∈[0，＋∞)得t ≥1，设1≤t1<t2，h(t1)－h(t2)＝(t2－t1)(4t1t2－1)t1t2>0p(t1)－p(t2)＝(t1－t2)(2t1t2＋1)t1t2<0所以h(t)在[1，＋∞)上递减，p(t)在[1，＋∞)上递增，h(t)在[1，＋∞)上的最大值为h(1)＝－5，p(t)在[1，＋∞)上的最小值为p(1)＝1，所以实数a的取值范围为[－5,1]．。

指数函数判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)n a n ＝(na )n ＝a .( )(2)分数指数幂m na 可以理解为mn个a 相乘．( )(3)(－1)24＝(－1)12＝－1.( ) (4)函数y ＝a －x 是R 上的增函数．( ) (5)函数21x y a +=(a >1)的值域是(0，＋∞)．( )(6)函数y ＝2x －1是指数函数．( )无题型一 指数幂的运算 例1 化简下列各式：(1)[(0.06415)－2.5]23－3338－π0； (2)a 43－8a 13b4b 23＋23ab ＋a23÷(a23-－23b a )×a ·3a 25a ·3a.化简(14)12-·(4ab －1)3(0.1)－1·(a 3·b －3)12＝________. 题型二 指数函数的图象及应用例2 (1)已知实数a ，b 满足等式2 017a ＝2 018b ，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( )A．1个B．2个C．3个D．4个(2)已知函数f(x)＝|2x－1|，a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是()A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0C．2－a<2c D．2a＋2c<2(1)已知函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象可能是()(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．题型三指数函数的性质及应用命题点1指数函数单调性的应用例3(1)下列各式比较大小正确的是()A．1.72.5>1.73B．0.6－1>0.62C．0.8－0.1>1.250.2D．1.70.3<0.93.1(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________．命题点2 复合函数的单调性例4 (1)已知函数f (x )＝22x m-(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．(2)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12221x x -+-的单调减区间为_____________________________________． 引申探究函数f (x )＝142x x +-的单调增区间是________．例5 (1)函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x ＋1在区间[－3,2]上的值域是________．(2)如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，且a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a 的值为________．(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(12)x ，a ≤x ＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8,1]，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[－3,0)C ．[－3，－1]D ．{－3}(2)已知函数f (x )＝2x －12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x <0，则函数g (x )的最小值是________．1．分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是m na ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．于是，在条件a >0，m ，n ∈N *，且n >1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定m na-＝1m na(a >0，m ，n ∈N *，且n >1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ，(a r )s ＝a rs ，(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q . 2．指数函数的图象与性质典例 已知函数y ＝b ＋22x xa+(a ，b 为常数，且a >0，a ≠1)在区间[－32，0]上有最大值3，最小值52，则a ，b 的值分别为________．1．已知函数f (x )＝a x －2＋2的图象恒过定点A ，则A 的坐标为( ) A ．(0,1) B ．(2,3) C ．(3,2) D ．(2,2)2．已知a ＝(35)13-，b ＝(35)14-，c ＝(32)34-，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <a <b ．a <b <c C ．b <a <c．c <b <a3．计算：⎝⎛⎭⎫3213-×⎝⎛⎭⎫－760＋814×42________. 4．函数y ＝8－23－x (x ≥0)的值域是________． 1．设2x ＝8y＋1,9y ＝3x －9，则x ＋y 的值为( )A ．18B ．21C ．24D ．27 2．函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )3．已知a ＝40.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.8，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >bD ．b >c >a4．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域为( ) A ．[9,81] B ．[3,9] C ．[1,9]D ．[1，＋∞)5．若函数f (x )＝2x ＋12x －a 是奇函数，则使f (x )＞3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)*6.已知g (x )＝ax ＋1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，0≤x ≤2，－x 2，－2≤x <0，对任意x 1∈[－2,2]，存在x 2∈[－2,2]，使g (x 1)＝f (x 2)成立，则a 的取值范围是( ) A ．[－1，＋∞) B ．[－1,1] C ．(0,1]D ．(－∞，1]7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．8．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________． 9．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数且当x ≥0时，f (x )＝－14x ＋12x ，则此函数的值域为________．10．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 11．已知函数f (x )＝(23)|x |－a .(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最大值等于94，求a 的值．12．已知函数f (x )＝2431()3ax x -+.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．*13.已知函数f (x )＝14x －λ2x －1＋3(－1≤x ≤2)．(1)若λ＝32，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )的最小值是1，求实数λ的值．指数函数判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)nan＝(na)n＝a.(×)(2)分数指数幂可以理解为mn个a相乘．(×)(3)(－1) ＝(－1) ＝－1.(×)(4)函数y＝a－x是R上的增函数．(×)(5)函数(a>1)的值域是(0，＋∞)．(×)(6)函数y＝2x－1是指数函数．(×)无题型一指数幂的运算例1化简下列各式：(1)[(0.064 )－2.5] －3338－π0；(2)a －8a b4b ＋23ab＋a ÷(a －23ba)×a•3a25a•3a.解(1)原式＝{[(641 000) ] } －(278) －1＝[(410)3] －[(32)3] －1＝52－32－1＝0.(2)原式＝a [ a 3－2b 3] a 2＋a •2b ＋2b 2÷a －2b a×a•a a •a＝a (a －2b )×aa －2b ×a a＝a ×a×a ＝a2.思维升华(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．化简(14) •4ab－130.1－1•a3•b－3＝________.答案85解析原式＝2×23•a •b 10•a •b ＝21＋3×10－1＝85.题型二指数函数的图象及应用例2(1)已知实数a，b满足等式2 017a＝2 018b，下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有()A．1个B．2个C．3个D．4个(2)已知函数f(x)＝|2x－1|，a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是()A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0C．2－a<2c D．2a＋2c<2答案(1)B(2)D解析(1)如图，观察易知，a，b的关系为a<b<0或0<b<a或a＝b＝0.(2)作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，∵a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，结合图象知，0<f(a)<1，a<0，c>0，∴0<2a<1.∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，∴f(c)<1，∴0<c<1.∴1<2c<2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1，又∵f(a)>f(c)，∴1－2a>2c－1，∴2a＋2c<2，故选D.思维升华(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．(1)已知函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象可能是()(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．答案(1)A(2)[－1,1]解析(1)由f(x)的单调性知0<a<1，又x＝0时，a－b>1，x＝1时，a1－b<1，∴0<b<1，对照图象知g(x)的图象可能是A.(2)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．题型三指数函数的性质及应用命题点1指数函数单调性的应用例3(1)下列各式比较大小正确的是()A．1.72.5>1.73 B．0.6－1>0.62C．0.8－0.1>1.250.2 D．1.70.3<0.93.1(2)设函数f(x)＝12x－7，x<0，x，x≥0，若f(a)<1，则实数a的取值范围是________．答案(1)B(2)(－3,1)解析(1)选项B中，∵y＝0.6x是减函数，∴0.6－1>0.62.(2)当a<0时，不等式f(a)<1可化为(12)a－7<1，即(12)a<8，即(12)a<(12)－3，∴a>－3.又a<0，∴－3<a<0.当a≥0时，不等式f(a)<1可化为a<1.∴0≤a<1，综上，a的取值范围为(－3,1)．命题点2复合函数的单调性例4(1)已知函数f(x)＝2 (m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．(2)函数f(x)＝12 的单调减区间为_____________________________________．答案(1)(－∞，4](2)(－∞，1]解析(1)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间[m2，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，m2]上单调递减．而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2 在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．(2)设u＝－x2＋2x＋1，∵y＝12u在R上为减函数，∴函数f(x)＝的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，∴f(x)的减区间为(－∞，1]．引申探究函数f(x)＝的单调增区间是________．答案[0，＋∞)解析设t＝2x，则y＝t2－2t的单调增区间为[1，＋∞)，令2x≥1，得x≥0，∴函数f(x)＝的单调增区间是[0，＋∞)．命题点3函数的值域(或最值)例5(1)函数y＝14x－12x＋1在区间[－3,2]上的值域是________．(2)如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a的值为________．答案(1)34，57(2)13或3解析(1)令t＝12x，因为x∈[－3,2]，所以t∈14，8，故y＝t2－t＋1＝t－122＋34.当t＝12时，ymin＝34；当t＝8时，ymax＝57.故所求函数的值域为34，57.(2)令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.当a>1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈[1a，a]，又函数y＝(t＋1)2－2在1a，a上单调递增，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去)．当0<a<1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈[a，1a]，又函数y＝(t＋1)2－2在[a，1a]上单调递增，则ymax＝(1a＋1)2－2＝14，解得a＝13(负值舍去)．综上，a＝3或a＝13.思维升华(1)在利用指数函数性质解决相关综合问题时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，要化归于指数函数来解．(1)已知函数f(x)＝－12x，a≤x＜0，－x2＋2x，0≤x≤4的值域是[－8,1]，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－3] B．[－3,0)C．[－3，－1] D．{－3}(2)已知函数f(x)＝2x－12x，函数g(x)＝f x，x≥0，f－x，x<0，则函数g(x)的最小值是________．答案(1)B(2)0解析(1)当0≤x≤4时，f(x)∈[－8,1]，当a≤x＜0时，f(x)∈[－(12)a，－1)，所以[－12a，－1)[－8,1]，即－8≤－12a＜－1，即－3≤a＜0，所以实数a的取值范围是[－3,0)．(2)当x≥0时，g(x)＝f(x)＝2x－12x为单调增函数，所以g(x)≥g(0)＝0；当x<0时，g(x)＝f(－x)＝2－x－12－x为单调减函数，所以g(x)>g(0)＝0，所以函数g(x)的最小值是0.1．分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是＝nam(a>0，m，n∈N*，且n>1)．于是，在条件a>0，m，n∈N*，且n>1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定＝1 (a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 2．指数函数的图象与性质y＝ax a>1 0<a<1图象定义域(1)R值域(2)(0，＋∞)性质(3)过定点(0,1)(4)当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1 (5)当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1(6)在(－∞，＋∞)上是增函数(7)在(－∞，＋∞)上是减函数典例已知函数y＝b＋(a，b为常数，且a>0，a≠1)在区间[－32，0]上有最大值3，最小值52，则a，b的值分别为________．错解展示解析令t＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，∵－32≤x≤0，∴－1≤t≤0.∵1a≤at≤1，∴b＋1a≤b＋at≤b＋1，由b＋1a＝52，b＋1＝3，得a＝2，b＝2.答案2,2现场纠错解析令t＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，∵x∈[－32，0]，∴t∈[－1,0]．①若a>1，函数f(x)＝at在[－1,0]上为增函数，∴at∈[1a，1]，b＋∈[b＋1a，b＋1]，依题意得b＋1a＝52，b＋1＝3，解得a＝2，b＝2.②若0<a<1，函数f(x)＝at在[－1,0]上为减函数，∴at∈[1，1a]，则b＋∈[b＋1，b＋1a]，依题意得b＋1a＝3，b＋1＝52，解得a＝23，b＝32.综上①②，所求a，b的值为a＝2，b＝2或a＝23，b＝32. 答案2,2或23，32纠错心得与指数函数、对数函数的单调性有关的问题，要对底数进行讨论. 1．已知函数f(x)＝ax－2＋2的图象恒过定点A，则A的坐标为() A．(0,1) B．(2,3) C．(3,2) D．(2,2)答案 B解析由a0＝1知，当x－2＝0，即x＝2时，f(2)＝3，即图象必过定点(2,3)．2．已知a＝(35) ，b＝(35) ，c＝(32) ，则a，b，c的大小关系是()A．c<a<b ．a<b<cC．b<a<c ．c<b<a答案 D解析∵y＝(35)x是减函数，∴(35) >(35) >(35)0，即a>b>1，又c＝(32) <(32)0＝1，∴c<b<a.3．计算：32 ×－760＋8 ×42－＝________.答案 2解析原式＝23 ×1＋2 ×2 －23 ＝2.4．函数y＝8－23－x(x≥0)的值域是________．答案[0,8)解析∵x≥0，∴－x≤0，∴3－x≤3，∴0<23－x≤23＝8，∴0≤8－23－x<8，∴函数y＝8－23－x的值域为[0,8)．1．设2x＝8y＋1,9y＝3x－9，则x＋y的值为()A．18 B．21 C．24 D．27答案 D解析∵2x＝8y＋1＝23(y＋1)，∴x＝3y＋3，∵9y＝3x－9＝32y，∴x－9＝2y，解得x＝21，y＝6，∴x＋y＝27.2．函数f(x)＝2|x－1|的图象是()答案 B解析∵|x－1|≥0，∴f(x)≥1，排除C、D.又x＝1时，|f(x)|min＝1，排除A.故选B.3．已知a＝40.2，b＝0.40.2，c＝0.40.8，则()A．a>b>c B．a>c>bC．c>a>b D．b>c>a答案 A解析由0.2<0.8，底数0.4<1知，y＝0.4x在R上为减函数，所以0.40.2>0.40.8，即b>c.又a＝40.2>40＝1，b＝0.40.2<1，所以a>b.综上，a>b>c.4．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为() A．[9,81] B．[3,9]C．[1,9] D．[1，＋∞)答案 C解析由f(x)过定点(2,1)可知b＝2，因为f(x)＝3x－2在[2,4]上是增函数，所以f(x)min＝f(2)＝1，f(x)max＝f(4)＝9.故选C.5．若函数f(x)＝2x＋12x－a是奇函数，则使f(x)＞3成立的x的取值范围为() A．(－∞，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1，＋∞)答案 C解析∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即2－x＋12－x－a＝－2x＋12x－a，整理得(a－1)(2x＋1)＝0，∴a＝1，∴f(x)＞3即为2x＋12x－1＞3，当x>0时，2x－1>0，∴2x＋1>3•2x－3，解得0<x<1；当x<0时，2x－1<0，∴2x＋1<3•2x－3，无解．∴x的取值范围为(0,1)．*6.已知g(x)＝ax＋1，f(x)＝2x－1，0≤x≤2，－x2，－2≤x<0，对任意x1∈[－2,2]，存在x2∈[－2,2]，使g(x1)＝f(x2)成立，则a的取值范围是()A．[－1，＋∞) B．[－1,1]C．(0,1] D．(－∞，1]答案 B解析由题意可得g(x)，x∈[－2,2]的值域为f(x)，x∈[－2,2]的值域的子集．经分析知f(x)，x∈[－2,2]的值域是[－4,3]，当a＝0时，g(x)＝1，符合题意；当a>0时，g(x)，x∈[－2,2]的值域是[－2a＋1,2a＋1]，所以－2a＋1≥－4，2a＋1≤3，则0<a≤1；当a<0时，g(x)，x∈[－2,2]的值域是[2a＋1，－2a＋1]，所以2a＋1≥－4，－2a＋1≤3，则－1≤a<0.综上可得－1≤a≤1.7．设函数f(x)＝ex－1，x<1，x ，x≥1，则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．答案(－∞，8]解析当x<1时，由ex－1≤2，得x≤1＋ln 2，∴x<1时恒成立；当x≥1时，由x ≤2，得x≤8，∴1≤x≤8.综上，符合题意的x的取值范围是(－∞，8]．8．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．答案(0，12)解析(数形结合法)由图象可知0<2a<1，∴0<a<12.9．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数且当x≥0时，f(x)＝－14x＋12x，则此函数的值域为________．答案[－14，14]解析设t＝12x，当x≥0时，2x≥1，∴0<t≤1，f(t)＝－t2＋t＝－(t－12)2＋14.∴0≤f(t)≤14，故当x≥0时，f(x)∈[0，14]．∵y＝f(x)是定义在R上的奇函数，∴当x≤0时，f(x)∈[－14，0]．故函数的值域为[－14，14]．10．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)•4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是________．答案(－1,2)解析原不等式变形为m2－m<12x，因为函数y＝12x在(－∞，－1]上是减函数，所以12x≥12－1＝2，当x∈(－∞，－1]时，m2－m<12x恒成立等价于m2－m<2，解得－1<m<2.11．已知函数f(x)＝(23)|x|－a.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的最大值等于94，求a的值．解(1)令t＝|x|－a，则f(x)＝(23)t，不论a取何值，t在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又y＝(23)t是单调递减的，因此f(x)的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞)．(2)由于f(x)的最大值是94，且94＝(23)－2，所以g(x)＝|x|－a应该有最小值－2，即g(0)＝－2，从而a＝2.12．已知函数f(x)＝.(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值．解(1)当a＝－1时，f(x)＝，令t＝－x2－4x＋3，由于t在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝13t在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝13g(x)，由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，因此必有a>0，3a－4a＝－1，解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1.*13.已知函数f(x)＝14x－λ2x－1＋3(－1≤x≤2)．(1)若λ＝32，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)的最小值是1，求实数λ的值．解(1)f(x)＝14x－λ2x－1＋3＝(12)2x－2λ•(12)x＋3(－1≤x≤2)．设t＝(12)x，得g(t)＝t2－2λt＋3(14≤t≤2)．当λ＝32时，g(t)＝t2－3t＋3＝(t－32)2＋34(14≤t≤2)．所以g(t)max＝g(14)＝3716，g(t)min＝g(32)＝34.所以f(x)max＝3716，f(x)min＝34，故函数f(x)的值域为[34，3716]．(2)由(1)得g(t)＝t2－2λt＋3＝(t－λ)2＋3－λ2(14≤t≤2)．①当λ≤14时，g(t)min＝g(14)＝－λ2＋4916，令－λ2＋4916＝1，得λ＝338>14，不符合，舍去；②当14<λ≤2时，g(t)min＝g(λ)＝－λ2＋3，令－λ2＋3＝1，得λ＝2(λ＝－2<14，不符合，舍去)；③当λ>2时，g(t)min＝g(2)＝－4λ＋7，令－4λ＋7＝1，得λ＝32<2，不符合，舍去．综上所述，实数λ的值为2.。

指数函数高考知识点总结指数函数是高中数学中的重要内容，也是高考数学考试中经常涉及到的知识点之一。

指数函数是指以常数 e（自然对数的底数）为底数的函数，其形式可以写作 f(x) = a^x，其中 a 是一个大于 0 且不等于 1 的实数，x 是变量。

一、指数函数的定义和性质指数函数的定义是 f(x) = a^x，其中 a 是底数，x 是指数。

它的定义域是实数集，值域是正实数集。

指数函数的图像随着底数的不同而变化，底数 a 大于 1 时，图像呈现上升趋势；底数是 (0, 1) 之间的小数时，图像呈现下降趋势。

指数函数具有以下性质：1. 指数函数的导数等于其本身乘以常数 ln(a)（自然对数的底）。

2. 指数函数的导数在正实数上是严格递增的。

3. 当底数 a 大于 1 时，指数函数是增函数且过点 (0, 1)；当底数 a 是 (0, 1) 之间的小数时，指数函数是减函数且过点 (0, 1)。

4. 指数函数是奇函数，即 f(-x) = 1 / a^x，其图像关于 y 轴对称。

5. 指数函数的图像在横轴上的渐近线为 y = 0，即当 x 趋近负无穷时，函数值趋近于 0。

二、指数函数的特殊情况1. 当底数 a 等于 e（自然对数的底数）时，指数函数称为自然指数函数，记作 f(x) = e^x。

自然指数函数具有特殊的性质，其导数和原函数等于它本身，即 f'(x) = e^x，∫ e^x dx = e^x + C。

2. 当指数 x 为 0 时，任何底数的指数函数的值都等于 1，即 a^0 = 1。

三、指数函数的应用指数函数广泛应用于各个领域，以下列举几个常见的应用：1. 经济增长模型：指数函数可以描述经济增长模型中的指数增长。

在经济学中，常用指数函数来预测人口增长、物价上涨以及国内生产总值的增长等。

2. 物质衰变模型：指数函数可以用来描述放射性物质的衰变过程。

放射性衰变的速率与剩余物质的量成正比，因此可以用指数函数来描述物质衰变的速度。

高考数学二轮复习 指数函数和对数函数一．知识整理： 基本概念及相关知识点：1、对数、对数的底数、真数：一般地，如果a （a >0，a ≠1）的b 次幂等于N ，就是a b＝N ，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记为log a N =b ．a 叫做对数的底数．N 叫做真数．负数和零没有对数．2、常用对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数．3、自然对数：以e 为底的对数叫自然对数，N 的自然对数log a N 简记作ln N ．4、对数的运算性质：如果a ＞0，a ≠1，M >0，N >0，那么（1）log a （MN ）=log a M ＋log a N ； （2）NMa log =log a M －log a N ； （3）log a M n=n log a M （n ∈R ）． 5、对数换底公式： bNN a a b log log log(a >0，a ≠1，b >0，b ≠1，N >0)6、指数函数：函数y =a x（a >0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量,函数的定义域是R ． 7、指数函数的图象与性质：a ＞1 0＜a ＜1图 像（1）定义域：R （2）值域：（0+∞）（3）过点（0，1），即x =0时，y =1 (4)在R 上是增函数（4）在R 上是减函数8、对数函数：函数y = log a x （a >0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0,+∞）． 9、对数函数的图象与性质：a >1 0＜a ＜1图 像性 质（1）定义域：（0，+∞） （2）值域：R（3）过点（1，0），即x ＝1时，y ＝0 (4)在（0，+∞）上是增函数（4）在（0，+∞）上是减函数10、指数方程与对数方程：在指数里含有未知数的方程叫做指数方程．在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程．它们都属于超越方程，一般不可用初等方法求解． 11、最简单的指数方程：xa ＝b (a ＞0,a ≠1,b ＞0)，它的解是x ＝a log b 12、最简单的对数方程：a log x ＝b (a ＞0,a ≠1)，它的解是x ＝ba 概念辨析： 1．指数函数(1) 指数函数的定义：函数y =a x叫做指数函数，其中a 是一个大于零且不等于1的常量．函数的定义域是实数集R ．在定义中，必须注意：①指数函数的形状，例如y =－2x，121+⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y 都不能认为是指数函数，它们都是有关指数函数的复合函数；②指数函数的底在应用时的范围；③指数函数的定义域在求复合函数定义域的应用．(2) 在函数y =a x中规定底数a >0且a ≠1的理由：如果a =0，则当x >0时，a x恒等于0；当x ≤0时，a x无意义． 如果a <0，比如y =(－4)x ，这时对于41=x ，21=x ，等等，在实数范围内，函数值不存在． 如果a =1，y =1x=1是一个常量，对它就没有研究的必要．为了避免上述情况，所以规定底数a >0且a ≠1．(3) 指数函数y =a x在其底数a >1及0<a <1这两种情况下图象特征和性质如下：底数a >1 0<a <1图象xyOy=1y=a x (a>1)xyOy=1y=a x (0<a<1)性质①定义域 (－∞，+∞)②值域 (0，+∞)．图象都位于x 轴上方且以x 轴为渐近线函数值的分布情况 ③当时x =0，y =1．图象都经过点(0，1) ．④当x >0时，y >1当x <0时，0<y <1 ④当x >0时，0<y <1 当x<0时，y >1单调性⑤在(－∞，+∞)上是增函数⑤在(－∞，+∞)上是减函数注：① 注意根据图象记忆和应用性质：② 性质④可表述为：若(a －1)x >0，则a x>1；若(a －1)x <0，则0<a x<1． ③ 性质③实际上是性质④与性质②的推论． 2．对数(1) 对数的定义：如果a (a >0且a ≠1)的b 次幂等于N ，就是a b=N ，那么数b 就叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，log a N 也叫做对数式．(2) 指数式与对数式的互化a b =N b =log a N (a >0且a ≠1，N >0)(3) 对数恒等式：N a Na =log (a >0，a ≠1，N >0)(4) 对数的性质：① 负数和零没有对数． ② 1的对数是零，即log a 1=0． ③ 底的对数等于1，即log a a =1． (5) 对数运算法则(a >0且a ≠1，M >0，N >0)① log a (MN )= log a M +log a N ② N M NMa a alog log log -=③ M n M a na log log =(n ∈R ) ④M nM a nalog 1log =(n ∈R ，n ≠0) (6) 对数换底公式：bNN a a b log log log =(a >0，a ≠1，b >0，b ≠1，N >0)推论：ab b a log 1log =b mnb a n a m log log =(7) 常用对数与自然对数．① 常用对数既是以10为底的对数，简记为lg N (N >0)．② 自然对数即是以无理数e =2.71828…为底的对数，简记为ln N (N >0)． (8)对可化为形如)(x f a＝)(x g a(a ＞0,a ≠1)的指数方程，可转化为它的同解方程f (x )＝g (x )求解；因为当且仅当幂指数相等时同底的幂相等．而对可化为形如a log f (x )＝ a log g (x )(a ＞0,a ≠1)的对数方程，在转化为方程f (x )＝g (x )求解时，必须把所得的解代回原方程检验；因为从前者变为后者时，x 的取值范围可能扩大，有可能产生增根．某些指数方程与对数方程可以分别化为关于xa 与a log x 的可解方程，这时可用换元法先求出xa 与a log x 的值，再求x 的值；特别对形如x a2＋b ·xa ＋c ＝0，可用换元法化为二次方程，先求出xa 或a log x ，再求x ．但解对数方程时，始终要注意变形的同解性． 二．课堂练习：1．设a ，b ，c 都是正数，且3a=4b =6c ，那么 [ ]2．已知1＜x ＜d ， 令a=(x d log )2， b=2log x d ， c=()x d d log log ，则[ ]．A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b3．已知y=loga(2-ax)在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是 [ ]．A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(0，2)D ．(2，+∞)4 定义在(－∞,+∞)上的任意函数f (x )都可以表示成一个奇函数g (x )和一个偶函数h (x )之和，如果f (x )=lg(10x+1),其中x ∈(－∞,+∞),那么( )A g (x )=x , h (x )=lg(10x +10－x+2)B g (x )=21［lg(10x +1)+x ］,h (x )= 21［lg(10x+1)－x ］ C g (x )=2x ,h (x )=lg(10x +1)－2x D g (x )=－2x ,h (x )=lg(10x+1)+2x5 当a >1时，函数y =log a x 和y =(1－a )x 的图象只可能是( )A1oyx B1oyx C1oy x D1oyx6．若函数 a x f x+-=131)(（a ≠0）是奇函数，则满足65)(=x f 的x 的取值集合为（ ）． (A) { log 32 } (B) { 1 } (C) {2 log 32 }(D) φ７．已知函数f ( x )的图象关于坐标原点成中心对称图形，且x < 0时，xx f ⎪⎭⎫⎝⎛=31)(，那么⎪⎭⎫⎝⎛21f 的值等于（ ）． (A)33(B) 3- (C) 3(D) 33-８．若2145-⎪⎭⎫⎝⎛=m ，3156-⎪⎭⎫ ⎝⎛=n ， 2156-⎪⎭⎫⎝⎛=p ，则（ ）． (A) m < p < n (B) n < m < p (C) p < m < n(D) n < p < m9．函数y = log 2x 与)4(log 21x y =的图象（ ）．（A ）关于直线x = 1对称 （B ）关于直线y = x 对称 （C ）关于直线y =－1对称 （D ）关于直线y = 1对称10．函数5log log 2241++⎪⎪⎭⎫⎝⎛=x x y 在区间[2，4]上的最大值是( )(A) 4(B) 7(C)423 (D)4111．已知 -1≤x ≤2，则函数f(x)=3+2·3x+1-9x 的最大值为 最小值为 ； 12．方程 9－x－2·31－x= 27的解集为_____________________________．13．方程 log x (3x +4)=2的解集为__________________________．14．函数⎪⎭⎫⎝⎛-=12log 2x y 的反函数是________． 15．已知函数f (x )=log a (2－ax )在[0，1]上是x 的减函数，则实数a 的取值范围是____________． 16．方程log 2(9－2x)=3－x 的解集是__________． 17．已知函数()()0,1,022log <≠>-+=b a a bx bx x f a(1)求函数f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由； (3)指出函数f(x)的单调区间； (4)求函数f(x)的反函数f-1(x)．18．设10<<a ，函数()33log +-=x x x f a的定义域为[]n m ,，值域为[()1log -n a ， ()1log -m a ]． (1)求证： m ＞3；(2)求a 的取值范围．19．已知函数f(x)=lg(ax-b x )(a ＞1＞b ＞0)．(1)求y=f(x)的定义域；(2)在函数y=f(x)的图象上是否存在不同的两点，使过这两点的直线平行于x 轴．20．函数f(x)=x a log 在区间[2，+∞)上总有|f(x)|＞1成立，求实数a 的取值范围．21．已知函数f(x)=()12log 22++x ax ． (1)若f(x)的定义域是R ，求实数a 的取值范围； (2)若f(x)的值域为R ，求实数a 的取值范围．22．已知函数()()()1,01log 2≠>--=a a x x x f a(1)求f(x)的定义域； (2)指出f(x)的单调性，并证明你的结论； (3)求满足f(x)＜2的x 的取值范围．三．课后练习：1．设5x=1.5，(0.5)y =0.75，则x ，y 满足 [ ]． A ．x ＞0，y ＞0 B ．x ＜0，y ＜0 C ．x ＞0，y ＜0 D ．x ＜0，y ＞0 2．若loga2＜logb2＜0，则正确的大小关系是 [ ]． A ．0＜a ＜b ＜1 B ．0＜b ＜a ＜1 C ．a ＞b ＞1 D ．b ＞a ＞1 3．如果0＜a ＜1，且x ＞y ＞1，则下列不等式中正确的是 [ ]．A ．a x ＜a yB ．x a log ＞y a logC ．x a -＞y a -D ．xa ＞y a4．函数()x f 的定义域是[]1,1-，那么函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x f 21log 的定义域是 [ ]A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21B ．(0，2]C ．[2，+∞)D ．⎥⎦⎤⎝⎛21,05．若0＜a ＜1， 则函数f(x)=loga(x+4)的图象一定不通过 [ ]． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限6．使函数y=log2(x2-2|x|)的单调递增的区间是 [ ]． A ．(-∞，-2) B ．(0，1) C ．(0，2) D ．(2，+∞)7．已知logab=-2，那么 a+b 的最小值是 [ ]．A ．2233B ．2323C ．233D ．3228．函数5log log 21241+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y 在区间[]4,2上的最小值是 [ ]．A ．4B ．8C ．423 D ．419．已知奇函数f(x)满足f(x-1)=f(x+2)对任意x ∈R 成立，并且当()1,0∈x 时，()13-=xx f ，那么⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛36log 31f 的值为 [ ] A ．31-B ．31C ．34D ．34- 10．函数f(x)=loga(a-ax)(a ＞0，a ≠1)的定义域为_____；值域为_____．11．若函数()1211-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+x x f 的反函数为()x g ，则()1+x g 的解析式为12．设12>>>a b a ，则a b abb a blog ,log ,log 从小到大的顺序是 13．已知0＜a ＜1，那么x 的方程x a =|x a log |的实根的个数是______．14．已知函数()x x f 3log 2+=，x ∈[1，9]，则()[]()22x f x f y +=的最大值是______．15．已知函数()()a ax x x f 3log 221+-=在区间[)+∞,2上是减函数，则实数a 的取值范围是______．17．已知实数p ，q 满足()()()1lg 2lg log lg 3++-=q q p ，试求实数p 的取值范围．18．已知函数f(x)=ax 在闭区间[-2，2]上的函数值总小于2，求实数a 的取值范围．19．设a ∈R ，试讨论关于x 的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实数解的个数．20．已知函数()()()x p x x x x f -+-+-+=222log 1log 11log (1)求f(x)的定义域；(2)求f(x)的值域．21．设0＜a ＜1，x 和y 满足3log log 3log =-+y a x x x a ．如果y 有最大值42，求这时a 和x 的值.答案提示:课堂练习:1.B2.D3.B4 解析 由题意 g (x )+h (x )=lg(10x+1) ①又g (－x )+h (－x )=lg(10－x +1) 即－g (x )+h (x )=lg(10－x+1) ②由①②得 g (x )=2x ,h (x )=lg(10x+1)－2x 答案 C 5 解析 当a >1时，函数y =log a x 的图象只能在A 和C 中选，又a >1时，y =(1－a )x 为减函数 答案 B6． C ．由 f ( x )是奇函数，故f (－1)=－f ( 1 )，即⎪⎭⎫⎝⎛+--=+--a a 1311311，解得 21=a ．于是21131)(+-=x x f ． 65)(=x f ，即6521131=+-x，化简得 3x= 4 ．因此 x =2 log 32 ． ７．B ． f ( x )为奇函数． 331212121-=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f ．８．A ．由函数 xy ⎪⎭⎫⎝⎛=56在R 上是增函数，可得 n > p ，从而否定（B ）、（D ）．又函数 21-=xy 在（0，+∞）上是减函数，可得m < p ．９．C ．在函数y = log 2x 图象上取一点P （1，0）．可求得P 点关于直线x = 1的对称点为Q 1（1，0），P 点关于直线y = x 的对称点为Q 2（0，1），P 点关于直线y =－1的对称点为Q 3（1，－2），P 点关于直线y = 1的对称点为Q 4（1，2）．经验证，其中只有Q 3点在函数)4(log 21x y =的图象上．10.D 11. 当t=3即x=1时，f(x)取最大值12，当t=9即 x=2时，f(x)取最小值-24． 12．{ －2 }．方程可化为 (3－x )2－6 (3－x)－27 = 0 ．13．{ 4 } ．解：x 2 = 3x + 4，并注意 x > 0，x ≠ 1． 14．y =2x +1+2 15．(1，2) 16．{0，3}．17. 所以f(x)的定义域为{x|x ＜2b 或x ＞-2b}．(2)对f(x)定义域内任意x ，有所以f(x)为奇函数．当a＞1时在(0，+∞)上是增函数；当0＜a＜1时，在(0，+∞)上是减函数．它的单调性直观观察可得，如图2，于是有当a＞1时，f(x)在(-∞，2b)上，在(-2b，+∞)上都是增函数，当0＜a＜1时，f(x)在(-∞，2b)上，在(-2b，+∞)上都是减函数．18.n＞m，又由函数值域可知n＞1，m＞1，所以n＞m＞3，故m＞3得证．y=logau为减函数，所以y=f(x)在[m，n]上为减函数，从而f(x)的值域为[f(n)，ax2+(2a-1)x+3-3a=019.分析此题第(2)问是从几何角度探索函数图象的特征，但此函数图象并不会画，也不易画出，因此应转化为代数角度探索该函数相关的性质．(0，+∞)．(2)先证f(x)在(0， +∞)上是增函数．任取0＜x1＜x2，由a＞1＞b＞0，知ax1＜ax2，bx1＞bx2，所以0＜ax1-bx1＜ax2-bx2．因此 lg(ax1-bx1)＜lg(ax2-bx2)，即f(x1)＜f(x2)．所以f(x)在(0，+∞)上是增函数．假设函数y=f(x)的图象上存在不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，使直线AB平行于x轴，则x1≠x2，y1=y2．这与f(x)在(0，+∞)上是增函数(y1=y2则x1=x2)相矛盾．故在函数f(x)的图象上不存在不同的两点，使过这两点的直线平行于x轴．20.解依题意f(x)=logax在[2，+∞)上总有|f(x)|＞1成立|logax|＞1对任意x∈[2，+∞)都成立logax＞1或logax＜-1对任x∈[2，+∞)总成立y=logax在[2，+∞)上的最小值大于1或y=logax在[2，+∞)的最大值小于-1．而函数y=logax(x≥2)只有a＞1有最小值loga2，只有当0＜a＜1时，有最大值loga2，于是有21.当a=0时，不等式化为2x+1＞0，显然不合题意；综上可得，当a＞1时，f(x) 的定义域是R．当a=0时，函数为u=2x+1，值域为R．符合题意；解得0＜a≤1．综上所述当0≤a≤1时，f(x)的值域为R．课后作业:1．A 2．B 3．C 4．A 5．A 6．D 7．A 8．C 9．A10．a＞1时(-∞，1)，0＜a＜1时，(1，+∞)；a＞1时(-∞，1)，0＜a＜1时，(1，+∞)．11．()12log 2-+-x 12．b a aba b blog log log << 13．2 14．13 15．-4＜a ≤420．(1)(1，p)；(2)当p ＞3时，f(x)的值域为(-∞，2log2(p+1)-2]；当1＜p ≤3时，f(x)的值域为(-∞，1+log2(p-1))。