样本及抽样分布习题

.
(5)样本 k 阶中心矩:
Bk
1n n i1 ( X i
X )k
,k
2, 3,
.
常用统计量的分布(一)
2分布
设 X1, X2 , , Xn 是来自总体N (0, 1) 的样
本, 则称统计量

2＝X
2 1

X
2 2


X
2 n
服从自
由度为 n 的 2 分布, 记为 2 ~ 2(n).
P
2

2

1 n
n i 1
(Xi


)2

2
2



P
8

1
2
16
(Xi
i 1
)2

32
P{8 2(16) 32}
P{ 2(16) 32} P{ 2(16) 8}
[1 P{ 2(16) 32}][1 P{ 2(16) 8}]
2
2
n2

n1 n2
n2 2

1


n1
2
n1 n2
n1 1
y2
n1n2 2
y

,
y 0,

0,
其他.
常用统计量的分布的分位点
2 分布的分位点
对于给定的正数 , 0 1, 称满足条件
P{ 2 2 (n)}
F1
( n1 ,
n2 )

F
1 (n2 ,
. n1 )
关于正态总体的样本和方差的定理
定理一
设 X1, X2 , , Xn 是来自正态总体N ( , 2 ) 的样本, X 是样本均值, 则有 X ~ N ( , 2 / n).
定理二
设 X1, X2 , , Xn 是总体 N ( , 2 ) 的样本,
常用统计量的分布(二)
t 分布 设 X ~ N (0, 1), Y ~ 2(n), 且 X , Y 独立, 则称随机变量t X 服从自由度为n 的 t
Y /n 分布, 记为 t ~ t(n).
t 分布又称学生氏(Student)分布.
常用统计量的分布(三)
F分布
设U ~ 2(n1 ), V ~ 2(n2 ), 且U , V 独立,
第六章 样本及抽样分布 习题课
一、重点与难点 二、主要内容 三、典型例题
一、重点与难点
1.重点
(1) 正态总体某些常用统计量的分布. (2) 临界值的查表计算.
2.难点
(1) 几个常用统计量的构造. (2) 标准正态分布和F分布临界值的查表计算.
二、主要内容
总体
个体 常 用
统
样本
统计量
计 量
的
常用统计量
n1 i 1
(Xi

X
)2
,
S22

1 n2 1
n2 i 1
(Yi
Y
)2
分别是这两个样本的方差, 则有
(1)
S12 / S22

2 1
/

2 2
~
F (n1 1, n2 1);
(2)
当
2 1


2 2
2 时,
(
X
Y Sw
)
(1
11 n1 n2
2
)
~
t ( n1
试决定常数C , 使得 CY 服从 2 分布.
解 根据正态分布的性质, X1 X2 X3 ~ N (0,3), X4 X5 X6 ~ N (0,3),
则 X1 X2 X3 ~ N (0,1), 3
X4 X5 X6 ~ N (0,1), 3
故

X1

X2 3
t(n) 分布的概率密度函数为
h(t)


n
2
πn
1 n

1

t2 n


n1 2
,
2
t .
常用统计量的概率密度函数
F (n1, n2 )分布的概率密度为

(
y)





n1

n1

n2

2),
其中
S
2 w
(n1 1)S12 (n2 1)S22 , n1 n2 2
Sw
Sw2 .
三、典型例题
例1 设 X 服从 N (0,1), ( X1, X 2 , , X6 )为来自总 体 X 的简单随机样本,
Y ( X1 X2 X3 )2 ( X4 X5 X6 )2
~
N


,
2
n
,
X2
~
N
, 2
n
,
则
X1 X2
~
N

0,
2
n
2
,
P{ X1 X2


}
P

X
1 X2
2 / n

n
2

1
P

X
1 X2
2 / n

n
2


1



n
S/ n
定理四
设
X1,
X2,
,
X
与
n1
Y1
,
Y2
,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

,
Yn2
分别是
具有相同方差的两正态总体 N (1, 2 ), N (2 , 2 )
的样本, 且这两个样本互相独立, 设 X

1 n1
n1 i 1
Xi
,
Y

1 n2
n2
Yi
i 1
分别是这两个样本的均值,
S12

1 n1 1
0.94;
(2)因为
1
2
n
(Xi
i 1

X )2
~
2(n 1),
于是
P
2

2

1 n
n i 1
(
Xi
X )2

2
2



P
8

1
2
16
(Xi
i 1

X )2

32
P{8 2(15) 32}
P{ 2(15) 8} P{ 2(15) 32} 0.98 .
所以C 1 , CY 服从 2 分布.
3
例2 设 X1 和 X2 是来自正态总体N ( , 2 )的容量
为n的两样本( X11, X12, , X1n ) 和 ( X21, X22, , X2n ) 的样本均值, 试确定 n, 使得这两个样本均值之差超
过的概率大约为0.01.
解
X1
X , S 2 分别是样本均值和样本方差, 则有
(1)
(n 1)S 2
2
~
2(n 1);
(2) X 与 S 2 独立.
关于正态总体的样本和方差的定理
定理三 设 X1, X2 , , Xn 是总体 N ( , 2 ) 的
样本, X , S 2 分别是样本均值和样本方差, 则有
X ~ t(n 1).
(1)
2
P
2

1 n
n i 1
(Xi

)2

2
2 ;
(2)
P
2

2

1 n
n i 1
(Xi

X
)2

2
2 .
解 (1) 因为 X1, X2 , , X16 是来自正态总体的样本,
所以
1
2
n
(Xi
i 1

)2
~
2(n),
于是
统计量
设 X1, X2 , , Xn 是来自总体X 的一个样本, g( X1, X2 , , Xn )是 X1, X2 , , Xn 的函数, 若 g中 不含未知参数, 则称 g( X1, X2 , , Xn ) 是一个统 计量.
常用统计量
(1)样本平均值:
X

1 n
n i 1
Xi.

X3
2
~

2 (1),

X4

X5 3

X6
2
~

2 (1),
因为 X1, X2, , X6相互独立及 2 分布的可加性,

X1

X2 3

X3
2


X4

X5 3

X6
2

1 3
[(
X1

X2

X3 )2

(X4

X5

X6 )2]
~
2 (2),
(2)样本方差:
S2

1 n1
n i 1
(Xi

X )2
n
1
1
n i 1
X
2 i

nX
2

.
(3)样本标准差:
S
S2
1 n1
n
Xi
i 1

X 2
.
常用统计量
(4)样本 k 阶(原点)矩:
Ak

1 n
n i 1
X
k i
, k 1, 2,

f ( y)dy
2 ( n)
的点 2 (n) 为 2(n) 分布的上 分位点.
常用统计量的分布的分位点
t 分布的分位点
对于给定的 , 0 1, 称满足条件

P{t t (n)}
h(t)dt
t (n)
的点 t (n) 为 t(n) 分布的上 分位点.
常用统计量的分布的分位点
F 分布的分位点 对于给定的 , 0 1, 称满足条件

P{F F (n1, n2 )}
( y)dy
F ( n1 , n2 )
的点 F (n1, n2 ) 为 F (n1, n2 ) 分布的上 分位点.
F分布的上分位点具有如下性质:
则称随机变量F

U V
/ n1 / n2
服从 自由度 为( n1 ,
n2 )
的 F 分布, 记为 F ~ F (n1, n2 ).
常用统计量的概率密度函数
2(n)分布的概率密度为
f
(
y)



2
n 2
1

n

n1 y
y2 e 2
,
2
0
y 0, 其他.
常用统计量的概率密度函数
2 分布的性质
性质1 ( 2分布的可加性)
设

2 1
~

2(n1 ),

2 2
~

2(n2 ),
并且

2 1
,

2 2
独
立, 则

2 1


2 2
~
2(n1

n2 ).
性质2 ( 2分布的数学期望和方差)
若 2 ~ 2(n), 则 E( 2 ) n, D( 2 ) 2n.
分 布
概率密度函数
2 分布
性
质
t 分布
关 于
样
F 分布
本 和
方
差
的
分位点
定 理
总体
试验的全部可能的观察值称为总体.
个体
总体中的每个可能观察值称为个体.
样本
设 X 是具有分布函数F 的随机变量, 若 X1, X2 , , Xn 是具有同一分布函数F、相互独立的 随机变量, 则称 X1, X2 , , Xn 为从分布函数F (或总体 F、或总体 X ) 得到的容量为n 的简单 随机样本, 简称样本.
2
n 2


2

2

n 0.01, 2
有 n 0.995, 查标准正态分布表知
2
n 2.58, 2
于是 n 14.
例3 设总体 X ~ N ( , 2 ),从此总体中取一个容
量为 n 16 的样本 ( X1, X 2 , , X16 ), 求概率
备用例题