数列求和方法例题变式解析答案——强烈推荐

七、数列求和专题1．公式法等差数列求和公式： 11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+． 等比数列求和公式：111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩．常用求和公式：1123(1)2n n n ++++=+L22221123(1)(21)6n n n n ++++=++L333321123[(1)]2n n n ++++=+L2．分组求和法如果一个数列的通项可以写成n n n c a b =±的形式，而数列{}n a ，{}n b 是等差或等比数列或可转化为能够求和的数列，可采用分组求和法．3．错位相减法{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和时，采用错位相减法求解，在等式的两边同乘以{}n b 的公比，然后错位一项与{}n n a b ⋅的同次项对应相减，转化为特殊数列求和问题．需注意{}n b 共比为参数字母时，要对公比是否为1做讨论．它是等比数列前n 项和公式的推导方法．4．裂项相消法将数列每一项拆成两项或若干项，使得相加后有一些项可以相互抵消，从而求得其和．一般未被消去的项有前后对称的特点．常见裂项方法：①111(1)1n n n n=-++②1111()()n n k k n n k=-++③1111()(21)(21)22121n n n n=--+-+④1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n=-+++++1k=⑥1log(1)log(1)logaa an nn+=+-注：（1）裂项常见公式没有必要死记硬背，例如对1(5)n n+裂项，可直接把分式从中间截断，变为115n n-+，再通分求得1155(5)n n n n-=++，与原式比较分母变为5倍，则把裂项后的结果115n n-+前面乘以15就变为与原式相等的裂项，即1111()(5)55n n n n=-++．（2）分母为根式相加形式的裂项，本质就是对分母有理化，即=1k=．（3）对数形式的裂项，考察的是对数的基本计算，利用对数性质巧妙构造相消项，如11log(1)log()log(1)loga a a ann nn n++==+-．5．倒序相加法一个数列中，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，那么把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法．它是等差数列前n 项和公式的推导方法．6．并项求和法一个数列的前n 项和中，若项与项之间能两两结合求解，则称为并项求和．形如(1)()n n a f n =-的数列，可用此法．7．含有绝对值的求和关键找到正负转折项进行分类讨论.练习题：答案解析：1n=也适合上式，故3104na n=-+令31040na n=-+≥，解得34.7n≤即当34n≤时，0na>；当35n≥时，0na<（1）当34n≤时，12||||||n nT a a a=+++L12na a a=+++L2320522nS n n==-+（2）当35n≥时，12||||||n nT a a a=+++L12343536()()na a a a a a=+++-+++L L342nS S=-23205350222n n=-+综上：223205(34)2232053502(35)22nnn nTnn n⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩数学浪子整理制作，侵权必究。

数列求和的八种方法及题型1、抽象加法法：把等差数列的元素抽象为某一个相同的数值（称为项数，式子为S），通过加法求出所求等差数列的和。

例题：这样一个等差数列：2、4、6、8……100，求这一数列的和是多少？答案：抽象加法法：元素个数n = 99，公差d = 2，首项a = 2。

由公式S=n*（a+l）/2可得：S = 99*（2+100）/2 = 99*102/2 = 4950。

2、数值加法法：直接对元素逐一加法求和。

例题：计算这一等差数列的和：1、3、5、7……99？答案：数值加法法：元素个数n = 49，即：1+3+5+7+...+99=49*100/2=4900。

3、改编组合法：将数列改编为组合形式，将大式化简，从这个组合计算其和。

例题：求这一等差数列的和：2、5、8、11……99？答案：改编组合法：元素个数n = 48，公差d = 3，首项a = 2。

将其转换为组合：2+48d ，即2+(48*3)=150，由公式S=n*（a+l）/2可得：S = 48*（2+150）/2 = 48*152/2 = 7344。

4、数表法：把数列列成表，统计其和。

例题：求这一等差数列的和：3、5、7、9……99？答案：数表法：数列：3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99和：3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25+27+29+31+33+35+37+39+41+43+ 45+47+49+51+53+55+57+59+61+63+65+67+69+71+73+75+77+79+81+83 +85+87+89+91+93+95+97+99=24505、立方法：一种特殊情形——这一数列两个元素的值等于这两个元素之间的位数的立方和。

数列专项之求和-4（一）等差等比数列前n 项求和1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nnn 项求和② 数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，则数列{}n n a b ⋅的求和就要采用此法. ②将数列{}n n a b ⋅的每一项分别乘以{}n b 的公比，然后在错位相减，进而可得到数列{}n n a b ⋅的前n 项和.此法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法.例23. 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S )0(≠x例24.求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和.一般地，当数列的通项12()()n ca anb an b =++ 12(,,,a b b c 为常数）时，往往可将na 变成两项的差，采用裂项相消法求和.可用待定系数法进行裂项：设12n a an b an b λλ=-++，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得21cb b λ=-，从而可得12211211=().()()()c c an b an b b b an b an b -++-++常见的拆项公式有： ①111(1)1n n n n =-++； ②1111();(21)(21)22121n n n n =--+-+③1a b=-- ④11;m m mn n n C C C -+=- ⑤!(1)!!.n n n n ⋅=+- ⑥])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-n n n n n n n…… 例25. 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.例26. 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组.例27. 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和. 例28. 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n如果一个数列{}n a ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。

数列专题 数列求和常用方法一、公式法例1在数列{a n }中，2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，且a 2＝10，a 5＝－5．(1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 的最大值．解： (1)因为2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，所以a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2)，所以数列{a n }为等差数列，设首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a 1＋d ＝10，a 5＝a 1＋4d ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝15，d ＝－5， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝15－5(n －1)＝－5n ＋20．(2)由(1)可知S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ＝－52n 2＋352n ，因为对称轴n ＝72， 所以当n ＝3或4时，S n 取得最大值为S 3＝S 4＝30． 跟踪练习1、已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5. (1)求{a n }的通项公式； (2)求b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 1＝1，a 2＋a 4＝10， 所以2a 1＋4d ＝10， 解得d ＝2. 所以a n ＝2n －1.(2)设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2b 4＝a 5， 所以b 1q ·b 1q 3＝9. 又b 1＝1，所以q 2＝3.所以b 2n －1＝b 1q 2n －2＝3n －1.则b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n －12.二、分组转化法例2、已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝20，a 3是a 2，a 5的等比中项，数列{b n }满足对任意的n ∈N *，S n ＋b n ＝2n 2．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝{b n −n 2，n 为偶数2a n，n 为奇数，求数列{c n }的前2n 项的和T 2n ．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝20，(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋4d )，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝4，a 1d ＝0， 因为d ≠0，所以a 1＝0，d ＝2，所以a n ＝2n －2(n ∈N *)，S n ＝n 2－n ，n ∈N *， 因为S n ＋b n ＝2n 2，所以b n ＝n 2＋n (n ∈N *)．(2)由(1)知，c n ＝{b n −n 2，n 为偶数2a n ，n 为奇数＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为偶数，4n －1，n 为奇数，所以T 2n ＝c 1＋c 2＋c 3＋c 4＋…＋c 2n －1＋c 2n ＝(2＋4＋…＋2n )＋(40＋42＋…＋42n －2) ＝n (2＋2n )2＋1－16n 1－16＝n (n ＋1)＋115(16n －1)．跟踪练习1、已知在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，且a 3＝5，S 7＝49. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2n a＋a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ≥1 000，求n 的取值范围． 解 (1)由等差数列性质知，S 7＝7a 4＝49，则a 4＝7， 故公差d ＝a 4－a 3＝7－5＝2， 故a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n －1.(2)由(1)知b n ＝22n －1＋2n －1， T n ＝21＋1＋23＋3＋…＋22n －1＋2n －1 ＝21＋23＋…＋22n －1＋(1＋3＋…＋2n －1) ＝21－22n ＋11－4＋n (1＋2n －1)2＝22n ＋13＋n 2－23.易知T n 单调递增，且T 5＝707<1 000，T 6＝2 766>1 000， 故T n ≥1 000，解得n ≥6，n ∈N *.三、并项求和法例3、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝9，S 5＝25. (1)求数列{a n }的通项公式及S n ；(2)设b n ＝(－1)n S n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由S 5＝5a 3＝25得a 3＝a 1＋2d ＝5， 又a 5＝9＝a 1＋4d ，所以d ＝2，a 1＝1， 所以a n ＝2n －1，S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2.(2)结合(1)知b n ＝(－1)n n 2，当n 为偶数时， T n ＝(b 1＋b 2)＋(b 3＋b 4)＋(b 5＋b 6)＋…＋(b n －1＋b n )＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋(－52＋62)＋…＋[－(n －1)2＋n 2]＝(2－1)(2＋1)＋(4－3)(4＋3)＋(6－5)(6＋5)＋…＋[n －(n －1)][n ＋(n －1)] ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当n 为奇数时，n －1为偶数， T n ＝T n －1＋(－1)n·n 2＝(n －1)n 2－n 2＝－n (n ＋1)2. 综上可知，T n ＝(－1)n n (n ＋1)2.四、裂项相消法例4、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －3(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1log 3a n ·log 3a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n ．解：(1)当n ＝1时，2a 1＝3a 1－3，解得a 1＝3；当n ≥2时，2a n ＝2S n －2S n －1＝3a n －3－3a n －1＋3＝3a n －3a n －1，得a n ＝3a n －1， 因为a n ≠0，所以a na n －1＝3，因为a 1＝3， 所以数列{a n }是以3为首项，3为公比的等比数列，所以a n ＝3n ． (2)因为log 3a n ＝log 33n ＝n ，所以b n ＝1log 3a n ·log 3a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝⎝⎛⎭⎫11－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1． 跟踪练习1、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －1，数列{b n }是等差数列，且b 1＝a 1，b 6＝a 5．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若c n ＝1b n b n ＋1，记数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：3T n ＜1．解： (1)由S n ＝2a n －1，可得n ＝1时，a 1＝2a 1－1，解得a 1＝1；n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1，又S n ＝2a n －1，两式相减可得a n ＝S n －S n －1＝2a n －1－2a n －1＋1，即有a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n ＝2n －1．设等差数列{b n }的公差为d ，且b 1＝a 1＝1，b 6＝a 5＝16，可得d ＝b 6－b 16－1＝3，所以b n ＝1＋3(n －1)＝3n －2．(2)证明：c n ＝1b n b n ＋1＝1(3n －2)(3n ＋1)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1，所以T n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋14－17＋17－110＋…＋13n －2－13n ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＋1<13，则3T n ＜1．2、设{a n }是各项都为正数的单调递增数列，已知a 1＝4，且a n 满足关系式：a n ＋1＋a n ＝4＋2a n ＋1a n ，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n －1，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)因为a n ＋1＋a n ＝4＋2a n ＋1a n ，n ∈N *，所以a n ＋1＋a n －2a n ＋1a n ＝4，即(a n ＋1－a n )2＝4，又{a n }是各项为正数的单调递增数列， 所以a n ＋1－a n ＝2，又a 1＝2，所以{a n }是首项为2，公差为2的等差数列， 所以a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，所以a n ＝4n 2.(2)b n ＝1a n －1＝14n 2－1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.3、已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n . (1)求{a n }的通项公式； (2)若b n ＝log 2a n ，T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n . 解 (1)由已知得a n ＋1－a n ＝2n ，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2＋2＋22＋…＋2n －1＝2＋2(1－2n －1)1－2＝2n .又a 1＝2，也满足上式，故a n ＝2n . (2)由(1)可知，b n ＝log 2a n ＝n ， 1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1，故T n ＝nn ＋1.五、错位相减法例5、在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n －2a n a n ＋1． (1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝3na n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．解：(1)∵a 1＝1，a n ＋1＝a n －2a n a n ＋1，∴a n ≠0，∴1a n ＝1a n ＋1－2⇒1a n ＋1－1a n ＝2，又∵1a 1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴1a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴a n ＝12n －1(n ∈N *)． (2)由(1)知：b n ＝(2n －1)×3n ，∴S n ＝1×3＋3×32＋5×33＋7×34＋…＋(2n －1)×3n ， 3S n ＝1×32＋3×33＋5×34＋7×35＋…＋(2n －1)×3n ＋1，两式相减得－2S n ＝3＋2×32＋2×33＋2×34＋…＋2×3n －(2n －1)×3n ＋1 ＝3＋2(32＋33＋34＋…＋3n )－(2n －1)×3n ＋1 ＝3＋2×32(1－3n －1)1－3－(2n －1)×3n ＋1＝3＋3n ＋1－9－(2n －1)×3n ＋1＝2(1－n )×3n ＋1－6 ∴S n ＝(n －1)×3n ＋1＋3． 跟踪练习1、已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋n －1．(1)证明：数列{a n ＋n }是等比数列并求数列{a n }的前n 项和S n ； (2)设b n ＝(2n －1)·(a n ＋n )，求数列{b n }的前n 项和T n ．解： (1)因为a n ＋1＝2a n ＋n －1，所以a n ＋1＋(n ＋1)＝2a n ＋2n ，即a n ＋1＋(n ＋1)a n ＋n＝2，又a 1＋1＝2，所以数列{a n ＋n }是以2为首项2为公比的等比数列， 则a n ＋n ＝2·2n －1＝2n ，故a n ＝2n －n ，所以S n ＝(2＋22＋…＋2n )－(1＋2＋…＋n )＝2·(1－2n )1－2－n (1＋n )2＝2n ＋1－2－n (1＋n )2．(2)由(1)得，b n ＝(2n －1)·(a n ＋n )＝(2n －1)·2n ， 则T n ＝2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －1)·2n ，①2T n ＝22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)·2n ＋(2n －1)·2n ＋1，②①－②得－T n ＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n －1)·2n ＋1＝2×(2＋22＋…＋2n )－2－(2n －1)·2n ＋1＝－(2n －3)·2n ＋1－6，所以T n ＝(2n －3)·2n ＋1＋6．2、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意正整数n ，均有S n ＋1＝3S n －2n ＋2成立，a 1＝2．(1)求证：数列{a n －1}为等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．解：(1)当n ≥2时，S n ＝3S n －1－2(n －1)＋2，又S n ＋1＝3S n －2n ＋2， 两式相减可得S n ＋1－S n ＝3S n －3S n －1－2，即a n ＋1＝3a n －2， 即有a n ＋1－1＝3(a n －1)，令n ＝1，可得a 1＋a 2＝3a 1，解得a 2＝2a 1＝4，也符合a n ＋1－1＝3(a n －1)， 则数列{a n －1}是首项为1，公比为3的等比数列， 则a n －1＝3n －1，故a n ＝1＋3n －1． (2)由(1)知b n ＝na n ＝n ＋n ·3n －1，则T n ＝(1＋2＋…＋n )＋(1·30＋2·31＋3·32＋…＋n ·3n －1)， 设M n ＝1·30＋2·31＋3·32＋…＋n ·3n －1， 3M n ＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n ·3n ，两式相减可得－2M n ＝1＋3＋32＋…＋3n －1－n ·3n ＝1－3n1－3－n ·3n ， 化简可得M n ＝(2n －1)·3n ＋14．所以T n ＝12n (n ＋1)＋(2n －1)·3n ＋14．3、设{a n }是公比不为1的等比数列，a 1为a 2，a 3的等差中项． (1)求{a n }的公比；(2)若a 1＝1，求数列{na n }的前n 项和． 解 (1)设{a n }的公比为q ， ∵a 1为a 2，a 3的等差中项， ∴2a 1＝a 2＋a 3＝a 1q ＋a 1q 2，a 1≠0， ∴q 2＋q －2＝0， ∵q ≠1，∴q ＝－2.(2)设{na n }的前n 项和为S n ， a 1＝1，a n ＝(－2)n －1，S n ＝1×1＋2×(－2)＋3×(－2)2＋…＋n (－2)n －1，①－2S n ＝1×(－2)＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋(n －1)·(－2)n －1＋n (－2)n ，② ①－②得，3S n ＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n －1－n (－2)n ＝1－(－2)n 1－(－2)－n (－2)n ＝1－(1＋3n )(－2)n3，∴S n ＝1－(1＋3n )(－2)n9，n ∈N *.4、设数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝3a n －4n . (1)计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式； (2)求数列{2n a n }的前n 项和S n .解 (1)由题意可得a 2＝3a 1－4＝9－4＝5， a 3＝3a 2－8＝15－8＝7，由数列{a n }的前三项可猜想数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列，即a n ＝2n ＋1. (2)由(1)可知，a n ·2n ＝(2n ＋1)·2n ，S n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n －1)·2n －1＋(2n ＋1)·2n ，①2S n ＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n －1)·2n ＋(2n ＋1)·2n ＋1，② 由①－②得，－S n ＝6＋2×(22＋23＋…＋2n )－(2n ＋1)·2n ＋1 ＝6＋2×22×(1－2n －1)1－2－(2n ＋1)·2n ＋1＝(1－2n )·2n ＋1－2， 即S n ＝(2n －1)·2n ＋1＋2.5、已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2n ＋1＝2S n ＋n ＋1，a 2＝2. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若b n ＝a n ·2n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求使T n >2 022的最小的正整数n 的值． 解 (1)当n ≥2时，由a 2n ＋1＝2S n ＋n ＋1，a 2＝2， 得a 2n ＝2S n －1＋n －1＋1，两式相减得a 2n ＋1－a 2n ＝2a n ＋1， 即a 2n ＋1＝a 2n ＋2a n ＋1＝(a n ＋1)2.∵{a n }是正项数列，∴a n ＋1＝a n ＋1. 当n ＝1时，a 22＝2a 1＋2＝4， ∴a 1＝1，∴a 2－a 1＝1，∴数列{a n }是以a 1＝1为首项，1为公差的等差数列，∴a n ＝n . (2)由(1)知b n ＝a n ·2n ＝n ·2n ，∴T n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ， 2T n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1， 两式相减得－T n ＝2·(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2， ∴T n ＝(n －1)2n ＋1＋2.∴T n －T n －1＝n ·2n >0， ∴T n 单调递增．当n ＝7时，T 7＝6×28＋2＝1 538<2 022， 当n ＝8时，T 8＝7×29＋2＝3 586>2 022， ∴使T n >2 022的最小的正整数n 的值为8.6、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－94，且4S n ＋1＝3S n －9(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足3b n ＋(n －4)a n ＝0(n ∈N *)，记{b n }的前n 项和为T n .若T n ≤λb n ，对任意n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围．解 (1)因为4S n ＋1＝3S n －9，所以当n ≥2时，4S n ＝3S n －1－9，两式相减可得4a n ＋1＝3a n ，即a n ＋1a n ＝34.当n ＝1时，4S 2＝4⎝⎛⎭⎫－94＋a 2＝－274－9，解得a 2＝－2716， 所以a 2a 1＝34.所以数列{a n }是首项为－94，公比为34的等比数列，所以a n ＝－94×⎝⎛⎭⎫34n －1＝－3n＋14n .(2)因为3b n ＋(n －4)a n ＝0， 所以b n ＝(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n.所以T n ＝－3×34－2×⎝⎛⎭⎫342－1×⎝⎛⎭⎫343＋0×⎝⎛⎭⎫344＋…＋(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n ，① 且34T n ＝－3×⎝⎛⎭⎫342－2×⎝⎛⎭⎫343－1×⎝⎛⎭⎫344＋0×⎝⎛⎭⎫345＋…＋(n －5)×⎝⎛⎭⎫34n ＋(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n ＋1，② ①－②得14T n ＝－3×34＋⎝⎛⎭⎫342＋⎝⎛⎭⎫343＋…＋⎝⎛⎭⎫34n －(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n ＋1 ＝－94＋916⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫34n －11－34－(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n ＋1 ＝－n ×⎝⎛⎭⎫34n ＋1，所以T n ＝－4n ×⎝⎛⎭⎫34n ＋1.因为T n ≤λb n 对任意n ∈N *恒成立，所以－4n ×⎝⎛⎭⎫34n ＋1≤λ⎣⎡⎦⎤(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n 恒成立，即－3n ≤λ(n －4)恒成立， 当n <4时，λ≤－3n n －4＝－3－12n －4，此时λ≤1； 当n ＝4时，－12≤0恒成立，当n >4时，λ≥－3n n －4＝－3－12n －4，此时λ≥－3. 所以－3≤λ≤1.。

数列的求和数列求和主要思路：1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3．转化思想的运用； 数列求和的常用方法一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 11123(1)2nn k S k n n n ===+++++=+∑… 4、2222211123(1)(21)6nn k S k n n n n ===++++=++∑5、 2333331(1)1232nn k n n S kn =+⎡⎤===++++=⎢⎥⎣⎦∑ 公式法求和注意事项（1）弄准求和项数n 的值；（2）等比数列公比q 未知时，运用前n 项和公式要分类。

例1．求和221-++++n xx x (0,2≠≥x n )二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 例2．求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S例3．求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和. 三、倒序相加法如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列前n 项和即可用倒序相加发，如等差数列的前n 项和就是此法推导的例4．求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值例4变式训练1：求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值. 例4变式训练2： 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.例4变式训练3：在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例5．已知数列{}n a 的通项公式321n n a n =+-，求数列{}n a 的前n 项和n S 。

数列求和一、直接求和法（或公式法）掌握一些常见的数列的前n 项和：，1+3+5+……+(2n-1)= ，等. 例1 求2222222212345699100-+-+-+--+．解：原式22222222(21)(43)(65)(10099)3711199=-+-+-++-=++++．由等差数列求和公式，得原式50(3199)50502⨯+==．变式练习：已知3log 1log 23-=x ，求............32+++++n x x x x 的前n 项和.二、倒序相加法此方法源于等差数列前n 项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和.例2 求222222222222123101102938101++++++++的和． ．三、裂项相消法 常见的拆项公式有：， ，等.123+++……+n=(1)2n n +2n 2222123+++……+n =(1)(21)6n n n ++3333123+++……+n =2(1)2n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦1()n n k =+111()k n n k -+=1k1(21)(21)n n =-+111()22121n n --+例3 已知222112(1)(21)6n n n n +++=++，求 22222222235721()11212312n n n *+++++∈++++++N 的和．小结：如果数列{}n a 的通项公式很容易表示成另一个数列{}n b 的相邻两项的差，即1n n n a b b +=-，则有11n n S b b +=-.这种方法就称为裂项相消求和法.变式练习：求数列，，，…，，…的前n 项和S.311⨯421⨯531⨯)2(1+n n四、错位相减法源于等比数列前n 项和公式的推导，对于形如{}n n a b 的数列，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，均可用此法. 例4 求2335(21)n x x x n x ++++-的和．小结：错位相减法的步骤是：①在等式两边同时乘以等比数列{}n b 的公比；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n 项和公式求和.变式练习：求数列a,2a 2,3a 3,4a 4,…,na n , …(a 为常数)的前n 项和。

数列求和一、公式法(1)等差数列的前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .(2)等比数列的前n 项和公式①当q ＝1时，S n ＝na 1；②当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝5a 1－a n q1－q .还要记住一些正整数的幂和公式22233332222)1(41]2)1([321)12)(1(61321+=+=++++++=++++n n n n n n n n n 例1 已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足12111==3n n n n b b a b b nb +++=1，，． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}n b 的前n 项和． 解 (1)在11n n n n a b b nb +++=中选1n =，得1221a b b b +=，即11111,233a a +==． 又因为{}n a 是公差为3的等差数列，所以23(1)31n a n n =+-=-． （2）由（1）得()1131n n n n b b nb ++-+=，即113n n b b +=，得{}n b 是以1为首项，13为公比的等比数列，得113n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭.所以{}n b 的前n 项和111313122313n n n S --==-⋅-． 练习1 (1) 等差数列{a n }中，a 6 + a 35 = 10，则S 40 =_________. 200 (2） 等比数列{a n }中，a 1 = 2 , a 2a 6 = 256，则S 5 =_________. 62或22 二、倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和即是用此法推导的． 例2 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值 答案：289 练习2（选做） 求正整数m 与()n m n <之间的分母为3的所有既约分数的和S ．解 显然，这些既约分数为31,32,34,,34,32,31---+++n n n m m m有 )31()32()34()34()32()31(-+-+-++++++=n n n m m m S也有 )31()32()34()34()32()31(++++++-+-+-=m m m n n n S所以 2222),(2)(2)(2m n S m n m n n m S -=-=-⋅+= 三、分组求和法把一个数列分成几个可以直接求和的数列．一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减．例3 (1) 求和：112＋2122＋3123＋…＋⎝⎛⎭⎫n ＋12n . (2) 求和：S n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 22＋…＋⎝⎛⎭⎫x n ＋1x n 2(x ≠0). 解析： (1) 求和：112＋2122＋3123＋…＋⎝⎛⎭⎫n ＋12n . 答案 112＋2122＋3123＋…＋⎝⎛⎭⎫n ＋12n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋⎝⎛⎭⎫12＋122＋123＋…＋12n ＝n (n ＋1)2＋12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝n (n ＋1)2＋1－12n . 梳理 分组分解求和的基本思路：通过分解每一项重新组合，化归为等差数列和等比数列求和. (2) 求和：S n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 22＋…＋⎝⎛⎭⎫x n ＋1x n 2(x ≠0). 解 当x ≠±1时，S n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 22＋…＋⎝⎛⎭⎫x n ＋1x n 2 ＝⎝⎛⎭⎫x 2＋2＋1x 2＋⎝⎛⎭⎫x 4＋2＋1x 4＋…＋⎝⎛⎭⎫x 2n ＋2＋1x 2n ＝(x 2＋x 4＋…＋x 2n )＋2n ＋⎝⎛⎭⎫1x 2＋1x 4＋…＋1x 2n ＝x 2(x 2n －1)x 2－1＋x －2(1－x －2n )1－x －2＋2n ＝(x 2n －1)(x 2n ＋2＋1)x 2n (x 2－1)＋2n ；当x ＝±1时，S n ＝4n . 综上知，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4n ，x ＝±1，(x 2n －1)(x 2n ＋2＋1)x 2n (x 2－1)＋2n ，x ≠±1且x ≠0.反思与感悟 某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和. 练习3 (1) 求数列{1＋2n －1}的前n 项和 . 解析 ∵a n ＝1＋2n －1，∴S n ＝n ＋1－2n 1－2＝n ＋2n －1.(2) 已知数列{a n }是3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{a n }的通项公式并求其前n 项和S n .解 由数列的前几项可归纳出a n ＝3n ＋2n －1，∴S n ＝(3＋2－1)＋(6＋22－1)＋(9＋23－1)＋...＋(3n ＋2n －1) ＝(3＋6＋9＋...＋3n)＋(2＋22＋...＋2n )－(1＋1＋ (1)＝n (3＋3n )2＋2(2n －1)2－1－n ＝3n 2＋n 2＋2n ＋1－2.(3) 已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝2⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2，a 3＋a 4＋a 5＝64⎝⎛⎭⎫1a 3＋1a 4＋1a 5①求{a n }的通项公式；①设b n ＝⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n 2，求数列{b n }的前n 项和T n . [思路探索] (1)设出公比q ，根据条件列出关于a 1与q 的方程(组)，求得a 1与q ，可求得数列的通项公式．(2)由(1)中求得的数列通项公式，可求出{b n }的通项公式，由其通项公式可知其和可分成两个等比数列与一常数列分别求和．解 ①设公比为q ，则a n ＝a 1q n －1.由已知得⎩⎨⎧a 1＋a 1q ＝2⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 1q ，a 1q 2＋a 1q 3＋a 1q 4＝64⎝⎛⎭⎫1a 1q 2＋1a 1q 3＋1a 1q 4.化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 21q ＝2，a 21q 6＝64.又a 1＞0，故q ＝2，a 1＝1，所以a n ＝2n －1.②由①知，b n ＝⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n 2＝a 2n ＋1a 2n ＋2＝4n －1＋14n －1＋2， 所以数列{b n }的前n 项和T n ＝(1＋4＋ (4)－1)＋⎝⎛⎭⎫1＋14＋…＋14n －1＋2n ＝4n －14－1＋1－14n 1－14＋2n ＝13(4n －41－n )＋2n ＋1.(3) 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.答案：n n n a n ++=23322)2()1()321()321(3)321(2222223333++=++++++++++++++=n n n n n n S（4）数列{a n }中，a 1 = 1 , a 2 = 2 , a n+2 – a n = 1 + (–1)n ，则S 100 =__________。

详解数列求和的⽅法+典型例题详解数列求和的常⽤⽅法数列求和是数列的重要内容之⼀，除了等差数列和等⽐数列有求和公式外，⼤部分数列的求和都需要⼀定的技巧。

第⼀类：公式法利⽤下列常⽤求和公式求和是数列求和的最基本最重要的⽅法。

1、等差数列的前n 项和公式2)1(2)(11dn n na a a n S n n -+=+=2、等⽐数列的前n 项和公式≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n3、常⽤⼏个数列的求和公式（1）、)1(213211+=+?+++==∑=n n n k S nk n （2）、)12)(1(61321222212++=+?+++==∑=n n n n k S nk n （3）、2333313)]1(21[321+=+?+++==∑=n n n k S nk n第⼆类：乘公⽐错项相减（等差?等⽐）这种⽅法是在推导等⽐数列的前n 项和公式时所⽤的⽅法，这种⽅法主要⽤于求数列}{n n b a ?的前n 项和，其中}{n a ，}{n b 分别是等差数列和等⽐数列。

例1：求数列}{1-n nq(q 为常数)的前n 项和。

解：Ⅰ、若q =0，则n S =0Ⅱ、若q =1，则)1(21321+=+?+++=n n n S n Ⅲ、若q ≠0且q ≠1，则12321-+?+++=n n nqq q S ①n n nq q q q qS +?+++=3232 ②①式—②式：n n n nq qq q q S q -+?++++=--1321)1()1(11132n n n nq q q q q qS -+?++++-=- ?)11(11n nn nq q q q S ----=q nq q q S nn n ----=1)1(12综上所述：≠≠----=+==)10(1)1(1)1)(1(21)0(02q q q nq q q q n n q S nn n 且解析：数列}{1-n nq是由数列{}n 与{}1-n q 对应项的积构成的，此类型的才适应错位相减，（课本中的的等⽐数列前n 项和公式就是⽤这种⽅法推导出来的），但要注意应按以上三种情况进⾏分类讨论，最后再综合成三种情况。

求数列前n项和题型方法总结1、考纲解读（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）。

（2）了解数列是自变量为正整数的一类函数。

（3）理解等差数列、等比数列的概念。

（4）掌握等差数列、等比数列通项公式和前n项和公式。

（5）能在具体的问题情境中识别等差关系或等比关系，并能利用有关知识解决问题。

（6）了解等车数列与一次函数，等比数列与指数函数的关系。

常考题型：填空题，选择题，解答题占分比重：10~17分二、考点梳理（命题特点）&考试趋势2.1.数列的概念与简单表示法2.2.等差数列2.3.等比数列2.4.数列求和、数列的综合应用三、题型讲解3.1解题技巧归纳（提分秘笈）3.1.1公式法公式法：直接利用等差等比数列的前n项和公式.q q a a q q a S q na S q n dn n na a a n S n nn n n n n n --=--=≠==-+=+=11)1(,1.b 1.a 2)1(2)(11111时当；时，当项和公式②等比数列的前项和公式①等差数列的前例1{}.6-3942的值，求项和，且为其前为等差数列，若数列s a a n s a n n =答案 27 解析:{}()272292)(9,346-3359195111=⨯=+===++=+a a a S a d a d a d a d a n ，得，有的公差为设数列【注意事项】（1）善于识别题目类型，确定是等差数列还是等比数列. （2）等比数列中要注意公比为1的情况.3.1.2分组求和分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列例2{}{}{}.)2(2)1(.4-2n n n n n n n T n s n s n a s n a s 项和的前求数列为等比数列；证明：项和，且满足的前是数列已知+-=-答案 （1）见解析；（2）283223--++n n n解析:()[]()()()()283222)1(212142212222-2,2212.24}2{421,3,2122,424)(212313211111-11--+=-++--=-+++++++=+==+-+-=+-=+--=+-+-=-=--++++--n n n n n n n T n S n S n S S a n S n S n S S n S S Sn n n n n n n n n n n n n n n n于，所以）知由（的等比数列，公比为是首项首所以，所以又易知）（所以，即已知【注意事项】（1）数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项.（2）将通项分解成一些等差和等比数列或可直接求和的数列再进行求和.补充：常见数列的前n 项和()()()()()2333322222221321612132112531264221321⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++++++=++++=-+++++=+++++=++++n n n n n n n n n nn n n n n3.1.3裂项相消裂项相消法：把一个数列的通项分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩有限项再求和.常见裂项公式{}()()().10log 1log 11log )4(;111)3(;1111)2();11(11),0(0)1(11≠>-+=⎪⎭⎫⎝⎛+-+=+-⎪⎭⎫⎝⎛+-=+-=⋅≠++a a n n n n n n n k n n d k n n a a d a a d d a a a a n n n n n 且则的等差数列，公差为为各项都不为若例3{}{}{}.,)2()1(.240,110111510n n n nn n n n n n T n b a a a a b a s s n a s 项和的前求数列令的通项通项公求数列项和，且满足的前是等差数列设+++===答案()()nn nT nan n21221++== 解析:()()nn nn n n T n n n n n n n n n n b na d a d a d a d n n n 21211141313121211,21111122222222,222402141515110291010,1111++=++-++-+-+-=++-=+++=+++====⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+=⨯+ ，解得则有设公差为【注意事项】（1）对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项相消法”，分式型数列的求和多用此法.（2）利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前边剩两项，后边也剩两项.（3）有些情况下，裂项时需要调整前面的系数，使裂开后的两项之差和系数之积与原项相等.3.1.4错位相减错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.例4{}{}{}.,)2()1(.2,22,04322n n nn n n n T n b a nb a a s a s q s n a 项和的前求数列设的通项求数列，公比项和为的前已知等比数列=-=-=>答案()()nn nnn T a222221+-==解析:()()()nn n n n n n n n n n n n n n n n nn n T n n n T n n T n n T n ba a q a q a a a a a a S q q q q a a a a S a S222221122112112122121212121,22122212122123222121222,22,2222.2,0,02222211113213213211112212222434322+-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-++++=-+-+++=+-++++===∴=∴-=+∴-=+∴-==>=---=--=-=++++-则②得①②①，知，由所以又因为，则①得，②②，①，已知【注意事项】（1）善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形.（2）在写出“Sn ”与“qSn ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确写出“Sn-qSn ”的表达式.（3）应用等比数列求和公式必须注意公比q 时候等于1，如果不能确定公比q 是否为1，应分两种情况进行讨论，这在以前的高考中经常会考查.3.1.5倒序相加倒序相加法：把数列正着写和倒着写再相加，例如等差数列前n 项和公式的推导方法.例5()()()()().,lg lg lg lg lg ,12lg ,1,1,lg 1221S y xyy x y x x S b a y b x a nn n n n 求且满足已知平面向量+++++==⋅==---答案()16+=n n S解析:()()()()()()()()()()()[]()()[]()n n n n n n n n nn n n nn n n n n x y y x xy xy y x y x S x y x y xxyy S y xy y x y x x S xy y x b a y b x a lg lg lg lg lg lg lg lg 2lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg .12)lg(,12lg lg 12lg ,1,1,lg 111112211221++++++++=+++++=+++++===+=⋅==---------- 两式相加得，，所以，因为即所以，满足因为为平面向()()()()()()[]()()()()16S 112lg 1lg lg lg lg lg lg 11+=+=+=+++=++⋅+=--n n n n xy n n xy xy xy n x y xy y x y x n n n n n n 所以【注意事项】（1）数列特征是“与首末两项等距离的两项之和相等”（2）把数列正着写和倒着写再相加,，即可求出该数列前n 项和的2倍，不要忘记除以 2.3.1.6合并求和合并求和法：针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在数列求和时，可将这些项放在一起先求和，在求Sn.例7{}.log log log 9103231365的值，求中，数列在各项各项均为正数的a a a a a a n +++=答案 10解析:{}109log )(log )(log log log log 95365921013109321310323136592101==⨯⨯⨯==+++====a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n 所以，是等比数列，所以因为为数【注意事项】（1）善于发现数列的特殊性质，如对数指数的运算等. （2）计算时不要出现错误.3.1.7构造法构造法：先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求和.例8 之和求个11111111111n ++++ 答案81109101--+n n解析:()()()()()()()[]()()811091091011011091910101010911101101109111111*********199999111111109199991111,11091999111,110919911132121191321--=---⨯=-++++⨯=-++-+-⨯=++++-⨯=⨯=-⨯=⨯=-⨯=⨯=-⨯=⨯=+n n n n n nnn nn n 个个个所以【注意事项】（1）善于发现数列的规律，并能找出其通项.（2）计算时不要出现错误.3.2易错易混归纳3.2.1裂项时不注意系数例1{}{}.611)2()1(.,2,12<⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=+*n n n n n n n n T T n a a a N n n n S S n a ，求证项和为的前设数列的通项求数列且项和为的前已知数列答案见解析）（)2(121+=n a n解析:（1）;（2）()()()()()()()()()613121321-3121321-1217151513121321-12121321211122121121212122,311112211=⋅<⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=++=+=+=+⨯=+=----+=-=≥==+-n n n T n n n n a a n an a a n n n n n S S a n an n n n nn n n n 则所以，因为所以且时，当时，当3.2.2通项公式与n 为奇数有关时，需要分情况讨论例2{}{}{}.,log )2()1(.21n 2n 1n n 1n n n n n S n b a b a a a a a 项和的前求数列若的通项通项公求数列，中，已知在数列===+答案⎪⎩⎪⎨⎧-=⎪⎩⎪⎨⎧=-为偶数，为奇数）（为偶数，为奇数）（n n n n S n n a n nn n 4,4122,2122221解析:{}{}⎪⎩⎪⎨⎧==⋅==⋅======≥=---++为偶数，为奇数的通项通综上，数列为偶数时，当为奇数时，所以当，，又构成等比数列的奇数项奇数项与偶数所以数列，，所以时，，所以当因为n n a a a n a n a a a a a a a a n a a nn n n n n n n n n n 22121-2n 2121n 1211-n 1n 1-n 1-n 1n n 2,2222;221221.2222)1({}⎪⎩⎪⎨⎧-==-+++=++++++=-=-++++=+++++++===+===--++为偶数，为奇数项和的前综上，数列为偶数时当为奇数时当所以，因为n n n n S n b n n b b b b b b S n n n b b b b b b b S n b n b b a b a a a n n n n n n n n n 4,41.4)1(31)()()(,;41)1(420)()()(,,0,,log ,21)2(22214321215432111n n n 2n 1n n 1１１。

求数列前N项和的七种方法（含例题和答案）求数列前N 项和的七种方法点拨:1. 公式法等差数列前n 项和：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+ 特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+g ，即前n 项和为中间项乘以项数。

这个公式在很多时候可以简化运算。

等比数列前n 项和： q=1时，1n S na =()1111n n a q q S q-≠=-，，特别要注意对公比的讨论。

其他公式：1、)1(211+==∑=n n k S nk n 2、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n3、213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求+++++nx x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=?-=?-=x x x由等比数列求和公式得 nn x x x x S ++++=32 （利用常用公式）＝x x x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(211++=+n n S n （利用常用公式）∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当nn 8=，即n ＝8时，501)(max =n f2. 错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+++++=………………………. ② ①－②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--++++++=--（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----?+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列,22,,26,24,2232n n前n 项的和.解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232++++=…………………………………①14322226242221+++++=n n nS ………………………………②（设制错位）①－②得1432222222222222)211(+-+++++=-n n n nS（错位相减）1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S练习：求：S n =1+5x+9x 2+·+(4n-3)x n-1解：S n =1+5x+9x 2+·+(4n-3)x n-1①①两边同乘以x ，得x S n =x+5 x 2+9x 3+·+(4n-3)x n ② ①-②得，（1-x ）S n =1+4（x+ x 2+x 3+·+n x ）-（4n-3）x n当x=1时，S n =1+5+9+·+（4n-3）=2n 2-n当x ≠1时，S n = 1 1-x [ 4x(1-x n ) 1-x +1-（4n-3）x n]3. 反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222+++++的值解：设οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222+++++=S …………. ①将①式右边反序得οοοοο1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++++=S …………..②（反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x ο①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222οοοοοο++++++=S ＝89∴ S ＝44.54. 分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例6] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-++++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+++++++++=-n aa a S n n（分组）当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S n n -+--=＝2)13(11n n a a a n -+---[例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +++++++++++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和）＝2)2()1(2++n n n练习：求数列+),21(,,813,412,211n n 的前n 项和。