辅助线的作法
一、倍长中线：
题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。
二、角平分线问题的作法
角平分线具有两条性质：
A.对称性，作法是在一侧的长边上截取短边；
B.角平分线上的点到角两边的距离相等，作法是从角平分线上的点向角两边作垂线段。
1 如图，AB=6，AC=8，D 为 BC 的中点，求 AD 的取值范围。
A
6 8
B D C
2 如图，AB=CD，E 为 BC 的中点，∠BAC=∠BCA，求证：AD=2AE。
A
B E C D
3 如图，AB=AC，AD=AE，M 为 BE 中点，∠BAC=∠DAE=90°。求证：AM⊥DC。
A
B M C
D
4 如图，AB>AC, ∠1=∠2，求证：AB－AC>BD－CD。
E C
A 1 2 D
B
5 如图，BC>BA，BD 平分∠ABC，且 AD=CD，求证：∠A+∠C=180。
A
B D
C
6 如图，AB∥CD，AE.DE 分别平分∠BAD 各∠ADE，求证：AD=AB+CD。
D C
E
A B
7．已知：如图 AD 为△ABC 的中线，求证：AB﹢AC＞2AD A
B D C
8. 已知，如图，∠C=2∠A，AC=2BC。求证：△ABC 是直角三角形。
9．已知：如图 ACED 和 BCFG 都是正方形，CM 是△CEF 的中线，求证：AB=2CM
B
10．已知：如图 AD 为△ABC 的中线，AE=EF，求证：BF=AC
A
F
G
E
F C A
M E D
B D C
11．已知：如图，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，求证：DC⊥AC A
1 2 C
B D
12．已知 CE.AD 是△ABC 的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+CD
A
E
- 1 - 全等三角形问题中常见的辅助线的作法
总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造两条边之间的相等，构造两个角之间的相等
1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题
2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形
3. 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质.
4.垂直平分线联结线段两端
5.用“截长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，
6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造两条边之间的相等，两个角之间的相等。
1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．
2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．
3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。
（4） 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．
（5） 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连
1 / 1 全等三角形问题中常见的辅助线的作法
总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造两条边之间的相等，构造两个角之间的相等
1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题
2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形
3. 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质.
4.垂直平分线联结线段两端
5.用“截长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，
6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造两条边之间的相等，两个角之间的相等。
1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．
2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．
3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。
（4） 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．
1 / 1 DCBAEDFCBA（5） 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。
解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法
――形成精准思维模式，快速解题
♦类型一利用“三线合一”作辅助线
一、已知等腰作垂线（或中线、角平分线）
1.如图，在△ ABC中, A吐 AC, AEL BE于点 E,且/ ABEFZ ABC若 BE^ 1, 则BC的长为 __________ .
2.如图，在△ ABC中，AO2AB AD平分/ BAC交BC于点D, E是AD上 点，且E心EC,连接EB 求证：EB丄AB.
、构造等腰三角形
D. 6
4.如图，已知△ ABC是等腰直角三角形，/ A= 90°, BD平分/ ABC交AC
于点D, CEL BD交BD的延长线于点E.求证：BD= 2CE./ BAC,且
面积为2,则 3.如图,在厶ABC中,BP平分
C. 5
♦类型二 巧用等腰直角三角形构造全等
在厶 ABC中, AO BQ / C= 90°, D是 AB的中点，DEI DF,点 E,
♦类型三 等腰（边）三角形中截长补短或作平行线构造全等
6. （2017 •郑州校级月考）如图，过等边厶ABC的边AB上 一点P,作PEL AC
于点E, Q为BC延长线上
于点D.若厶ABC的边长为
A. 2
B. 3
C. 4
D. 不能确定 F分别在AC, BC 上.求证：DE^ DF. 5•如图,
一点，且P心CQ连接PQ交AC
6,则DE的长为【方法8】（ ）
BD平分/ ABC交AC于点D. 7.如图，在△ ABC中，AB= AC
/ A= 108°,
求证：BO AB+ CD.A
B C参考答案与解析
1. 2
2. 证明：过点 E作 EF丄AC于点 F. T E心 EC,二 AF= FO^AC.t AO 2AB
••• AF= AB.T AD平分/ BAC •••/ BAE=Z FAE又 v AE= AE, ：■△ ABE^A
AFE(SAS) •••/ ABE=Z AFE= 90°,二 EB丄 AB.
