电子课件 [数学物理方法与仿真(第3版)][杨华军][电子教案(PPT版本)]chapter15

（１） 速度势
圆柱的绕流的流场等价于均匀 流与偶极的叠加场：
y
v0
a
r
θ
x
M cos θ ϕ = v0 r cos θ + 2π r
这里不必去直接求解拉氏方程。式中的偶极强度M为未知量，可 用边界条件求出。 速度势应满足的边界条件：
∂ϕ =0 ∂r
（圆柱表面上r = a）
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ = v0 cosθ， = −v0 sinθ 或 = v0 （无穷远处） ∂r r∂θ ∂x
有环量是指圆柱作等速直线运动的同时，绕自身轴心转动。圆柱转 动时，由于粘性作用，会诱导周围流体随之转动。当忽略粘性作为理想 流体处理时，这种诱导效应不能忽略。 圆柱旋转的诱导作用等同于圆心处一个平面点涡的作用。也就说， 可以用一个平面点涡代替圆柱的旋转。设圆柱的旋转角速度为ω，点涡的 涡强要满足圆柱表面速度为aω ，所以点涡强度应为：
平面势流的基本解的叠加均匀流和点源的叠加速度势流函数和复势均具有叠加性利用这一性质通过基本解叠加可以构造出复杂流动的解称为基本解叠加法也称奇点叠加法
第15讲 势流理论(2)
(Potential Flow Theory)
主要内容： 1.平面势流的基本解的叠加
速度势、流函数和复势均具有叠加性，利用这一性质，通过基本解叠 加可以构造出复杂流动的解，称为基本解叠加法，也称 奇点叠加法。
解得流线方程：
θ = 0 或 θ =π,
M r = = a2 2πv0
2
过驻点的流线有两条，一条是x轴，一条是以a为半径的圆。均匀流与 偶极的叠加可以模拟流体绕流圆柱的流动。 上述三种叠加流场的分析表明，奇点的适当叠加可以模拟流体绕流物 体的流动。
4 绕圆柱体无环量流动

仿真实验第一部分：计算机仿真在复变函数中的应用仿真实验1： 绘出对数函数Ln z 的图形.【Matlab 源程序】z=cplxgrid(20); w=log(z); for k=0:3 w=w+i*2*pi;surf(real(z),imag(z),imag(w),real(w)); hold on title('Lnz')endview(-75,30)仿真实验2：若 (1,2,,)k z k n =⋅⋅⋅对应为10nz -=的根，其中2n ≥且取整数.试用计算机仿真编程验证下列数学恒等式 11()10,()nnk k m m m k z z ==≠=-∑∏成立.【Matlab 源程序】n=round(1000*random('beta',1,1))+1 % n=input('please enter n=') su=1; sum=0; for s=1:nN(s)=exp(i*2*s*pi/n); endfor k=1:n for s=1:n if s~=ksu=1/(N(k)-N(s))*su; end endsum=sum+su; su=1; end sum%仿真验证结果为：n =735 sum =2.2335e-016 -5.1707e-016i仿真实验3： 对于复变函数sin ()z f z z=，用Mtlab 仿真计算极限0lim ()z f z →，1lim ()z i f z →+.【Matlab 源程序】clear syms zf=sin(z)/z; limit(f,z,0)%仿真结果为ans=1 limit(f,z,1+i) %仿真结果为ans=1/2*sin(1)*cosh(1)-1/2*i*sin(1)*cosh(1)+1/2*i*cos(1)*sinh(1)+1/2*cos(1)*sinh(1)仿真实验5： 研究电偶极子(Diploe)所产生的电势和电场强度【2】.设在(,)a b 处有电荷q +,在(,)a b --处有电荷q -.则在电荷所在平面上任何一点的电势为011()2πq V r r ε+-=-,其中91,,910,4πr r ε+-===⨯6210, 1.5, 1.5q a b -=⨯==-【Matlab 源程序】根据解析函数理论中求复势的方法,可由等势线求出电力线方程.下面给出计算机仿真方法求解：仿真(MATLAB)程序和仿真结果clear ;clf;q=2e-6;k=9e9;a=1.5;b=-1.5;x=-6:0.6:6;y=x; [X,Y]=meshgrid(x,y);rp=sqrt((X-a).^2+(Y-b).^2); rm=sqrt((X+a).^2+(Y+b).^2);V=q*k*(1./rp-1./rm); % 计算电势 [Ex,Ey]=gradient(-V); %计算电场强度AE=sqrt(Ex.^2+Ey.^2);Ex=Ex./AE;Ey=Ey./AE; %场强归一化cv=linspace(min(min(V)),max(max(V)),49); %用黑实线绘等势线contour (X,Y,V,cv,'k-') %axis('square')title('\fontname{宋体}\fontsize{22}电偶极子的场和等势线'),hold on quiver(X,Y,Ex,Ey,0.7) plot(a,b,'wo',a,b,'w+') plot(-a,-b,'wo',-a,-b,'w-')xlabel('x'); ylabel('y'),hold off说明：图21.5中黑实线代表等势线，箭头构成电力线．根据题中电荷的位置，不难看出图中右下方为正电荷，左上方为负电荷． 仿真实验6： 求积分 π6i ix1=ch3zdz; x2(1)d zz e z-=-⎰⎰.【Matlab 源程序】syms zx1=int(cosh(3*z),z,pi/6*i,0) x2=int((z-1)*exp(-z),z,0,i) %仿真结果为：x1 = -1/3*i x2 = -i/exp(i)仿真实验7：求函数112++z z 在奇点处的留数． 【Matlab 源程序】[R,P,K]= residue ([1,0,1],[1,1])%仿真结果为： R= 2 P = -1 K = 1 -1图 21.5电偶极子的场和等势线仿真实验8：求函数222(,)(2)x y xyz f x y x x e---==-在原点(0，0)，以及（1，a）点处的Taylor展式．【Matlab源程序】syms x y; f=(x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y);F=maple('mtaylor',f,'[x,y]',8) %在(0,0)点处的泰勒级数展开latex(collect(F,x))syms a;F=maple('mtaylor',f,'[x=1,y=a]',3); %在(1,a)点处的泰勒级数展开F=maple('mtaylor',f,'[x=a]',3); %对单变量展开, 且x=a仿真实验8：求1()f tt=的Fourier变换．【Matlab源程序】syms t vfourier(1/t)%仿真结果为: ans = i*pi*(1-2*heaviside(w))仿真实验9：求3w(w)w heaviside(w)F e-=的Fourier逆变换．【Matlab源程序】syms t u wifourier(w*exp(-3*w)*sym('Heaviside(w)'))%仿真结果为: ans =1/2/(-3+i*x)^2/pi仿真实验10：求1()1F ss=-的Laplace逆变换．【Matlab源程序】syms s t wF=ilaplace(1/(s-1))%仿真结果为: F=exp(t)。

数学物理方法（第四版）梁昆淼 编（高等教育出版社）主讲教师：张华永参考教材：1. 数学物理方法(第三版)，汪德新 编，科学出版社，2007年4月.2. 数学物理方法与计算机仿真，杨华军 编，电子工业出版社，2006年7月.3. 复变函数论方法（第六版）， 拉夫连季耶夫 等 编，高等教育出版社， 2006年1月4. 特殊函数论，王竹溪，郭敦仁 编， 北京大学出版社第一章：复变函数§1.1 复数与复数运算1. 复数的基本概念● 复数的定义：形如iy x +的数称为复数（complex number ），记做iy x z +=，其中实数x 和y 分别称为复数z 的实部(real part)和虚部(imaginary part)，记作)Re(z x =，)Im((z y =。

当0=x 时，iy z =称为纯虚数；当0=y 时，x z =为实数；0==y x 时，0=z 称为复数0，它既是实数又是纯虚数。

● 复数平面：在直角坐标平面xOy 上，把复数iy x z +=用坐标为),(y x 的点来表示，这个直角坐标平面xOy 叫做复数平面。

图1-1如图1-1，复数平面上的x 轴和y 轴分别叫做实轴和虚轴。

复数iy x z +=与复数平面上的点),(y x 一一对应。

● 复数的矢量表示：如图1-1，在复数平面上作矢量→Oz ，矢量→Oz 与复数iy x z +=一一对应，复数iy x z +=可用复数平面上的矢量→Oz 来表示。

复数iy x z +=的实部x 和虚部y 分别为矢量→Oz 的直角坐标分量。

● 复数在极坐标系中的表示：如图1-1，在复数平面上建立极坐标系，取x 轴的正半轴为极轴，坐标原点为极点，则可得复数iy x z +=的对应点),(y x 的极坐标，包括极径ρ和极角ϕ。

复数的模：复数iy x z +=对应点),(y x 的极坐标的极径或矢量→Oz 的长度ρ称为复数z 的模，记做22y x z +==ρ。

z0 | z |
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复变函数的连续性
称函数w=f(z)在z=z0点连续，如果
1.
f(z0)存在；2.
lim
zz0
f
(z)存在;
3. lim理
设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，z=x0+iy0，那么f(z)在 z=z0点连续的充分必要条件是函数u(x,y)和 v(x,y)皆在(x0,y0)点连续。
举例
0， z 0
讨论函数
f
(z)
Re | z
z |
,
的连续性 z0
作业：P14 1，2，4
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感谢观看！
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无穷远点
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复数的代数运算
运算
加减法
(x1+ iy1)±(x2+ iy2) = (x1±x2) + i(y1±y2) 由几何图形可知 | z1 | | z2 || z1 z2 |
乘除法
|| z1 | | z2 ||| z1 z2 |
r1eiφ1× r2eiφ2 = r1r2 ei(φ1+φ2) r1eiφ1/ [r2eiφ2] =( r1/r2 )ei(φ1 -φ2)
有| f(z)-A |< ，则称A为f(z)当z趋向于z0时的极限，
记为
lim f (z) A
zz0
注意 与实函数的差别?
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例
证明极限
z lim z0 | z |
不存在.
【 证 明 】 令 z x iy ， 则 沿 正 实 轴 趋 于 零 时 ， lim z lim x 1 ； 而 沿 负 实 轴 趋 于 零 时 ， z0 | z | x x0 lim z lim x 1 ；不同的趋向得到不同的极限值，故原极 z0 | z | x0 (x) 限 lim z 不存在.