51 如图，设F 是椭圆)0(1:22
22>>=+b a b y a x C 的左焦点，直线l 为其左准线，直线l 与
x 轴交于点P ，线段MN 为椭圆的长轴，已知
.||2||,8||MF PM MN ==且
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若过点P 的直线与椭圆相交于不同两点A 、B 求证：∠AFM=∠BFN ； （3）（理科）求三角形ABF 面积的最大值。
解（1）48||=∴=a MN
122)
(12
1
0132)(2||2||22222=-==∴==⇒=+--=-=c a b c e c e e c a a c a MF PM 舍去或即得又
1
121622=+∴y x 椭圆的标准方程为
（2）当AB 的斜率为0时，显然.0=∠=∠BFN AFM 满足题意
当AB 的斜率不为0时，设),(),,(2211y x B y x A ，AB 方程为,8-=my x 代入椭圆方程 整理得
014448)43(22=+-+my y m
则
431444
348),43(1444)48(22122122+=
⋅+=
++⨯-=∆m y y m m
y y m m
662222
112211-+
-=+++=
+∴my y my y x y x y k k BF AF
)6)(6()
(62212121=--+-=
my my y y y my
.,0BFN AFM k k BF AF ∠=∠=+∴从而
综上可知：恒有BFN AFM ∠=∠
（3）（理科）
434
72||||212212+-=-⋅=-=∆∆∆m m y y PF S S S PAF
PBF ABF
3
316
32724
164372
16
)4(34722222=⋅≤
-+
-=+--=m m m m
当且仅当3
284
1643222=
-=
-m m m 即（此时适合△＞0的条件）取得等号.
∴三角形ABF 面积的最大值是3 3
52 设椭圆方程为4
2
2
y x +=1，求点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 为坐标原点，
点P 满足→→
→
+=)(2
1OB OA OP ，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程.
解：设P （x ，y ）是所求轨迹上的任一点，①当斜率存在时，直线l 的方程为y =k x +1，A （x 1，
y 1），B （x 2，y 2），联立并消元得：（4+k 2）x 2+2k x －3=0， x 1+x 2=－
,422k k +y 1+y 2=2
48
k
+，由)(21→→→+=OB OA OP 得：（x ，y ）=21（x 1+x 2，y 1+y 2），即：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=+-=+=2212
2144242k y y y k k x x x
消去k 得：4x 2+y 2－y =0当斜率不存在时，AB 的中点为坐标原点，也适合方程
所以动点P 的轨迹方程为：4x 2+y 2－y = 0．
53 已知椭圆C:2222b
y a x +=1(0a b >>)的离心率为36
,短轴一个端点到右焦点的距离为
3.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为2
3
， 求△AOB 面积的最大值.
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c
，依题意c a a ⎧=
⎪⎨⎪=⎩
∴ 1b =，∴ 所求椭圆方程为2
213
x y +=． （Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，．
（1）当AB x ⊥
轴时，AB =
（2）当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+．
=
2
23(1)4m k =+．
把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=，
122631km
x x k -∴+=+，21223(1)31
m x x k -=+．
2
2
2
21(1)()AB k x x ∴=+-2222
222
3612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤
-=+-⎢⎥++⎣⎦
222222222
12(1)(31)3(1)(91)
(31)(31)
k k m k k k k ++-++==++ 242
22121212
33(0)34196123696k k k k k k
=+=+≠≤+=++⨯+++． 当且仅当2
219k k =
，即k =时等号成立．当0k =
时，AB = 综上所述max 2AB =．
∴ 当AB 最大时，AOB △
面积取最大值max 12S AB =
⨯=
． 54 已知向量)1,0(,)0,(21••e •••a •e ==，经过定点)0,(••
a A -且方向向量为21e e λ+-的直线与经过定点)0,
(•a •B 且方向向量为212e e +λ的直线交于点M ，其中∈λR ，常数a >0. （1）求点M 的轨迹方程； （2）若2
6
=a ，过点)0,1(••
F 的直线与点M 的轨迹交于C 、D 两点，求FD FC ∙的取值范围.
设点),(,),(,),(•y a •x ••y a •x •••y x •M -=+=则，
又∥),()(21λλ••e e a -=+-，∥)1,2()2(21••e e a λλ=+
故⎩
⎨⎧-=-=+a x ay ay a x λλ2)(，消去参数λ，整理得点Ｍ的轨迹方程为
