北京三十五中高一年级数学月考2010[1].10.08

2024北京三十五中初三10月月考数 学一、选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个选项符合题意．共16分，每小题2分）1. 二次函数()213y x =−−的最小值是（ ） A. 3− B. 2−C. 1−D. 1 2. 中秋节是中国的传统节日，有“团圆”、“丰收”的寓意．月饼是首选传统食品，不仅美味，而且设计多样．下列月饼图案中，为中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 3. 将抛物线22y x =平移，得到抛物线22(4)1y x =−+，下列平移方法正确的是（ ）A. 先向左平移4个单位，在向上平移1个单位B. 先向左平移4个单位，在向下平移1个单位C. 先向右平移4个单位，在向上平移1个单位D. 先向右平移4个单位，在向下平移1个单位4. 如图，一块含30°角的直角三角板ABC 绕点C 顺时针旋转到A B C ''△，当B ，C ，A '在一条直线上时，三角板ABC 的旋转角度为（ ）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150° 5. 关于x 的一元二次方程()25410a x x −−−=有实数根，则a 满足（ ）A. a ≥1B. 1a >且5a ≠C. a ≥1且5a ≠D. 5a ≠ 6. 抛物线y ＝223ax ax a −−的对称轴是（ ）A. 直线 x a =B. 直线2x a =C. 直线1x =D. 直线1x =− 7. 已知函数2y x bx c =−++，其中00b c ＞，＜，此函数的图象可以是（ ）A. ．B. ．C. ．D. 8. 如图，在ABC 中，90C ∠=︒，5AC =，10BC =，动点M ，N 分别从A ，C 两点同时出发，点M 从点A 开始沿边AC 向点C 以每秒1个单位长度的速度移动，点N 从点C 开始沿CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度移动，设运动时间为t ，点M ，C 之间的距离为y ，MCN △的面积为S ，则y 与t ，S 与t 满足的函数关系分别是（ ）A. 正比例函数关系，一次函数关系B. 正比例函数关系，二次函数关系C. 一次函数关系，正比例函数关系D. 一次函数关系，二次函数关系二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 已知关于x 的一元二次方程240x ax ++=有一个根为1，则a 的值为________．10. 写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与y 轴交于点（0，2），这个二次函数的解析式可以是______．11. 反比例函数()0k y k x=>的图象经过点()2,a −，()1,b −，()3,c ，则a ，b ，c 的大小关系为__________．12. 如图，抛物线2(0)y ax a =≠与直线(0)y bx c b =+≠的两个交点坐标分别为(1,1)A −，(2,4)B ，则使得关于x 的不等式2ax bx c <+成立的x 的取值范围是________.13. 抛物线y ＝x 2+6x +m 与x 轴只有一个公共点，则m 的值为_____．14. 已知二次函数()214y x =+−，当02x ≤≤时，函数值y 的取值范围为__________15. 已知A （12−，1y ），B （1，2y ），C （4，3y ）三点都在二次函数()22y x k =−−+的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系为_______．16. 如图为二次函数2y ax bx c =++的图象，此图象与x 轴的交点坐标分别为()1,0−、()3,0．下列说法：①0abc >；②方程20ax bx c ++=的根为11x =−，23x =；③当1x >时，y 随着x 的增大而增大；④420a b c ++<．正确序号是____________．三、解答题（本题共68分，第17、18、19题每题各8分；第20、21、22、23、27题，每小题5分；第24题7分；第25、26题，每小题6分）17. 解方程：（1）2280x x +−=；（2）2410x x −−=．18. 将下列函数表达式利用配方转化为()2y a x h k =−+的形式，并写出图象的开口方向和顶点坐标． （1）224y x x =++；（2）21432y x x =−+． 19. 已知二次函数223y x x =−−+．（1）将二次函数化成()2y a x h k =−+的形式____________；（2）写出该二次函数图象的对称轴是____________；顶点坐标是____________；（3）写出该函数图象与x 轴的交点坐标是____________，与y 轴的交点坐标是____________；（4）用五点法在平面直角坐标系中画出223y x x =−−+的图象；（5）结合函数图象，直接写出0y >时x 的取值范围____________．20. 画出反比例函数4y x=−的大致图象，结合图象回答： （1）当2x =时，y 的值；（2）当14x <≤时，y 的取值范围；（3）当y −≤<14且0y ≠时，x 的取值范围．21. 若二次函数24y ax x a =++的最大值是3，求a 的值．22. 已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +k +3＝0有两个不相等的实数根（1）求k 的取值范围；（2）若k 为大于3的整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．23. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：1y x =−与双曲线k y x=相交于点(2,)A m . （1）求点A 坐标及反比例函数的表达式；（2）若直线l 与x 轴交于点B ，点P 在反比例函数的图象上，当OPB △的面积为1时，求点P 的坐标.24. 已函数21y x x=+，请结合学习函数的经验，探究它的相关性质： （1）自变量x 的取值范围是________；（2）x 与y 的几组对应值如下表，请补全表格：（3）下图中画出了函数的一部分图象，请根据上表数据，用描点法补全函数图象；（4）请写出这个函数的一条性质：________________________；（5）结合图象，直接写出方程2120x x x−+=的所有实根：________.25. 如图，已知BD 是矩形ABCD 的一条对角线，点E 在BA 的延长线上，且AE ＝AD ．连接EC ，与AD 相交于点F ，与BD 相交于点G ．（1）依题意补全图形；（2）若AF ＝AB ，解答下列问题：①判断EC 与BD 的位置关系，并说明理由；②连接AG ，用等式表示线段AG ，EG ，DG 之间的数量关系，并证明．26. 已知抛物线2y x bx =−+．（1）点()11,A y −，()22,B y −在抛物线上，总有12y y <，求b 的取值范围；（2）点()11,P y −，()2,Q m y 在抛物线上，当12m <<时，总有12y y <，求b 的取值范围．27. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线222y x mx m m =−+−+的顶点为A（1）求抛物线的顶点坐标（用m 表示）；（2）若点A 在第一象限，且OA =，求抛物线的解析式；（3）已知点(1,2)B m m −−，(2,2)C ，若抛物线与线段BC 有公共点，结合函数图象，直接写出m 的取值范围参考答案一、选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个选项符合题意．共16分，每小题2分）1. 【答案】A【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的性质和顶点坐标可得结论．【详解】解：∵二次函数()213y x =−−中，10a =>，顶点坐标为()1,3−， ∴该二次函数的图象开口向上，∴当1x =时，二次函数有最小值3−．故选：A ．2. 【答案】B【分析】根据中心对称图形的概念逐项分析即可中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180︒，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．【详解】A.不是中心对称图形，故该选项不符合题意；B.是中心对称图形，故该选项符合题意；C.不是中心对称图形，故该选项不符合题意；D.不是中心对称图形，故该选项不符合题意；故选B【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．3. 【答案】C【分析】先利用顶点式得到两抛物线的顶点式，然后通过点平移的规律得到抛物线平移的情况．【详解】解：抛物线y=2x 2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=2（x-4）2+1的顶点坐标为（4，1），而点（0，0）先向右平移4个单位，再向上平移1个单位可得到点（4，1），所以抛物线y=2x 2先向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到抛物线y=2（x+4）2+1． 故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．4. 【答案】D【分析】此题主要考查了旋转的性质，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，正确得出对应边是解题关键．直接利用旋转的性质得出对应边，再根据三角板的内角的度数得出答案．【详解】解：∵将一块含30°角的直角三角板ABC 绕点C 顺时针旋转到A B C ''△，∴BC 与B C '是对应边，∴旋转角18030150BCB '∠=︒−︒=︒．故选：D ．5. 【答案】C【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根与24b ac ∆=−有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当0∆<时，方程无实数根．利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到得50a −≠且()()()2Δ44510a =−−−⨯−≥，然后求出两不等式的公共部分即可．【详解】解：根据题意得50a −≠且()()()2Δ44510a =−−−⨯−≥，解得a ≥1且5a ≠．故选：C ．6. 【答案】C【分析】直接利用y ＝223ax ax a −−图象的性质得出其对称轴．【详解】解：抛物线y ＝223ax ax a −−的对称轴是直线1x =故选：C【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握简单二次函数的图象是解题关键．7. 【答案】D【分析】根据系数与图象的关系解答即可．【详解】解：由2y x bx c =−++得10a =−<，∴图象开口向下，故A 选项错误；∵00b c ＞，＜，∴抛物线的对称轴在y 轴右侧，且图象与y 轴交于负半轴，故B 、C 选项错误，D 选项正确；故选：D ．【点睛】此题考查了抛物线2y ax bx c =++的图象与字母系数的关系，a 决定抛物线的开口方向及大小；a 、b 的符号决定抛物线的对称轴位置：左同右异；c 决定抛物线与y 轴交点位置，熟记各字母系数与图象的关系是解题的关键．8. 【答案】D【分析】本题考查一次函数和二次函数的几何应用，根据题意，结合图形，列出y 与t ，S 与t 满足的函数关系式，根据一次函数和二次函数的定义判断即可．【详解】解：由题意，AM t =，2CN t =，则5CM AC AM t =−=−，则5y t =−+，()21125522S CN CM t t t t =⋅=⨯⨯−=−+， ∴y 与t 满足一次函数关系，S 与t 满足二次函数关系，故选：D ．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 【答案】5−【分析】将1x =代入方程240x ax ++=，解方程即可得到a 的值．【详解】∵关于x 的一元二次方程240x ax ++=有一个根为1，∴将1x =代入方程240x ax ++=，得140a ++=，解得：5a =−，故答案为：5−【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，理解一元二次方程的解是使得方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．10. 【答案】22y x =−+（答案不唯一）【分析】根据抛物线开口方向得出a 的符号，进而得出c 的值，即可得出二次函数表达式.【详解】解：∵图象为开口向下，并且与y 轴交于点（0，2），∴a ＜0，c=2，∴二次函数表达式为：y=-x 2+2（答案不唯一）．故答案为y=-x 2+2（答案不唯一）．【点睛】本题考查了二次函数的图像特征及性质，掌握二次函数的图像特征及性质是解题的关键. 11. 【答案】c a b >>【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据反比例函数图象所在象限以及增减性判断即可． 【详解】解：由题意，反比例函数()0k y k x =>的图象位于第一、三象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而减小， ∵反比例函数()0k y k x=>的图象经过点()2,a −，()1,b −，()3,c ，2103−<−<<， ∴0c a b >>>，故答案为：c a b >>．12. 【答案】12x −<<【分析】由2ax bx c <+可得：二次函数值小于一次函数值，可得二次函数的图像在一次函数图像的下方，结合函数的图像与交点坐标，从而可得答案．【详解】解：由2ax bx c <+可得：二次函数值小于一次函数值，∴ 二次函数的图像在一次函数图像的下方， 又 交点坐标分别为(1,1)A −，(2,4)B ，所以：结合图像可得：12x −<<，故答案为：12x −<<．【点睛】本题考查的是利用二次函数与一次函数的图像解一元二次不等式，掌握数形结合的思想是解题的关键．13. 【答案】9【分析】由题意可得240b ac ∆=−=，即可得到关于m 的方程，解出即可．【详解】解：∵抛物线y ＝x 2+6x +m 与x 轴只有一个公共点，∴224046m b ac −=−∆==，解得：9m =．故答案为：9．【点睛】此题考查了抛物线与x 轴的交点问题，解题的关键是熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系．抛物线与x 轴交点个数由△决定：Δ＝b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；Δ＝b 2﹣4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；Δ＝b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．14. 【答案】35y −≤≤##53x ≥≥−【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据题意得当1x >−时，y 随x 的增大而增大，求得当0x =时，=3y −；2x =时，5y =，即可求解．【详解】解：由题意得，10a =>，对称轴1x =−，∴当1x >−时，y 随x 的增大而增大，∵当0x =时，=3y −；2x =时，5y =，∴当02x ≤≤时，函数值y 的取值范围为35y −≤≤，故答案为：35y −≤≤．15. 【答案】y 1＜y 3＜y 2##y 2＞y 3＞y 1【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，然后比较三个点距离对称轴的距离，再利用二次函数的性质判断对应函数值的大小．【详解】解：∵二次函数2(2)y x k =−−+的图像开口方向向下，对称轴是x =2，∴A （12−，1y ）距对称轴的距离是52，B （1，2y ）距对称轴的距离是1，C （4，3y ）距对称轴的距离是2， ∵5212>>， ∴231y y y >>故答案为：231y y y >>．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征．解决此题的关键是能根据函数的图象理解二次函数，当a ＞0时，距离对称轴越远的点，函数值越大；当a ＜0时，距离对称轴越远的点，函数值越小．16. 【答案】①②③④【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据图象的开口方向、对称轴及y 轴的交点可得a 、b 、c 的符号，进而可判断①；根据图象与x 轴的交点可判断②；根据图象的增减项可判断③；根据当2x =时，0y <可判断④，进而可求解．【详解】解：∵该二次函数的图象开口向上，与y 轴的负半轴相交，∴0a >，0c <，∵图象与x 轴的交点坐标分别为()1,0−、()3,0， ∴对称轴为直线1312x −+==，方程20ax bx c ++=的根为11x =−，23x =，故②正确； ∴12b a−=，则20b a =−<， ∴0abc >，故①正确；∵该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线1x =，∴当1x >时，y 随x 的增大而增大，故③正确；由图象，当2x =时，0y <，∴420a b c ++<，故④正确，综上，正确的序号为：①②③④．故答案为：①②③④三、解答题（本题共68分，第17、18、19题每题各8分；第20、21、22、23、27题，每小题5分；第24题7分；第25、26题，每小题6分）17. 【答案】（1）14x =−，22x =（2）12x =−22x =+【分析】本题考查解一元二次方程，本题考查解一元二次方程，（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可．【小问1详解】解：2280x x +−=，因式分解得，()()420x x +−=，∴40x +=或20x −=，∴14x =−，22x =；【小问2详解】解：2410x x −−=，∵()241641120b ac =−=−⨯⨯−=，∴x =，∴12x =，22x =+．18. 【答案】（1）()213y x =++，开口向上，顶点坐标为()1,3−； （2）()21452y x =−−，开口向上，顶点坐标为()4,5−． 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，正确配方是解答的关键．（1）利用配方法化为顶点式，进而可求解；（2）利用配方法化为顶点式，进而可求解．【小问1详解】解：由于()222413y x x x =++=++，10a =>，∴该函数的图象开口向上，顶点坐标为()1,3−；【小问2详解】 解：由于()2211434522y x x x =−+=−−，102a =>， ∴该函数的图象开口向上，顶点坐标为()4,5−．19. 【答案】（1）()214y x =−++（2）直线1x =−；()1,4−；（3）()3,0−和()1,0；()0,3（4）见解析 （5）31x −<<【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．（1）利用配方法求解即可；（2）根据二次函数的性质可求解；（3）令0y =，解方程可得x 轴的交点坐标；令0x =，可求解y 轴坐标；（4）根据列表、描点、连线可画出函数图象；（5）根据图象，找出图象位于x 轴上方部分的点的横坐标的取值范围即可求解．【小问1详解】解：二次函数()222314y x x x =−−+=−++，故答案为：()214y x =−++；【小问2详解】解：由()214y x =−++得，该二次函数图象的对称轴是直线1x =−；顶点坐标是()1,4−； 故答案为：直线1x =−；()1,4−；【小问3详解】解：当0y =时，由2023x x =−−+得13x =−，21x =，∴该函数图象与x 轴的交点坐标是()3,0−和(1,0)；当0x =时，3y =，∴该函数图象与y 轴的交点坐标是(0,3)；故答案为：()3,0−和(1,0)；(0,3)；【小问4详解】解：列表：【小问5详解】解：如图，当31x −<<时，二次函数的图象位于x 轴的上方，故当0y >时x 的取值范围为31x −<<，故答案为：31x −<<．20. 【答案】（1）2y =−；（2）41y −<≤−（3）1x <−或4x ≥【分析】作出反比例函数图象，如图所示，（1）把2x =代入反比例解析式求出y 的值即可；（2）分别求出1x =与4x =时y 的值，结合图象确定出y 的范围即可；（3）分别求出1y =−与4y =时x 的值，结合图象确定出x 的范围即可．【小问1详解】解：作出反比例函数4y x=−的图象，把2x =代入得：422y； 【小问2详解】解：当1x =时，4y =−；当4x =时，1y =−， 根据图象得：当14x <≤时，y 的取值范围为41y −<≤−；【小问3详解】解：当1y =−时，4x =；当4y =时，1x =−，根据题意得：当y −≤<14且0y ≠时，x 的取值范围为1x <−或4x ≥．【点睛】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，画反比例函数的图象，熟练掌握反函数的图象是解本题的关键．21. 【答案】1−【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的性质，当0a <时有最大值求解即可．【详解】解：∵二次函数24y ax x a =++的最大值是3， ∴0a <且224434a a−=，即2340a a −−=， 解得1a =−（正值舍去）．22. 【答案】（1）k ＜6；（2）k =5 ．【分析】（1）利用根的判别式大于0，即可得出结论；（2）利用上题的结果及题中要求的k 为大于3的整数，限定k 的取值，代入此方程中，解方程，求出满足方程的根都是整数的k 值．【详解】（1）因为若方程有两个不相等的实数根，则Δ=b 2-4ac =36-4（k +3）>0，整理：24-4k >0，解得：k ＜6，所以k 的取值范围为k ＜6；（2）因为k ＜6，且k 为大于3的整数，所以k 可以为4或5，当 k =4时，原方程为2670x x −+= ，无整数解，故舍去 ，当k =5时，原方程为2680x x −+=，解为122,4x x ==，符合题意，所以k =5．所以k 的值为5．考点：1．一元二次方程根的判别式；2．解一元二次方程．23. 【答案】（1）点(2,1)A ，反比例函数2y x=；（2）点()P 12，或（－1，－2） 【分析】（1）代入坐标点先求坐标，再求反比例函数表达式；（2）作图，根据图像求出P 点纵坐标，再代入反比例函数即可求出坐标．【详解】（1）∵A 在y=x-1上，∴当x=2时，y=1，即m=1，点(2,1)A ，再把A 的坐标代入反比例函数解得：2y x=； （2）由函数表达式可求得点(1,0)B ，∵1OPB S =△， 即12OB ||1p y =， ∴||1p y =，点()P 12，或（－1，－2）；【点睛】此题考查反比例函数与一次函数相关知识，结合图像是关键．24. 【答案】（1）0x ≠；（2）2.25，2；（3）见解析；（4）答案不唯一；（5）10.6x =−，21x =，3 1.6x =.【分析】（1）观察解析式可直接得出结果；（2）分别带入相应自变量的值即可计算出；（3）先描点，然后用平滑的曲线连接各点；（4）可根写增减性，也可写相应取值范围内的最值；（5）看作两个函数交点问题来解决即可．【详解】（1）0x ≠；（2）分别将0.5x =和1x =带入解析式，得 2.25m =，2n =；（3）如图；（4）答案不唯一，如：当0x <时，y 随x 的增大而减小；（5）对于方程2120x x x −+=，可变形为212x x x +=，求该方程的实数根，即为求函数1y 与2y 交点的横坐标，其中211y x x=+，22y x =，故在图中做出22y x =的图象，如图，直接可读出三个交点得横坐标为10.6x =−，21x =，3 1.6x =．【点睛】本题考查的是新函数探究问题，但本质上考查的是对函数的研究方法和逻辑；掌握函数求自变量取值范围，以及根据函数解析式求确定自变量时的函数值是基础；画函数图象，并且注意根据自变量的取值范围来确定图象形式是关键；利用作好的图象解决问题是此类题型考查的基本核心，注重数形结合的思想，将复杂的方程或不等式简单化，是本题的目的．25. 【答案】（1）见解析；（2）①EC ⊥BD，理由见解析；②EG DG −=，证明见解析．【分析】（1）根据题意补全图形即可； （2）①EC ⊥BD ，证明△AEF ≌△ADB （SAS ），则∠AEF ＝∠ADB ，∠GEB ＋∠GBE ＝∠ADB ＋∠ABD ＝90°，即可求解；②方法一：在线段EG 上取点P ，使得EP ＝DG ，连接AP ，证明△AEP ≌△ADG ，得到△P AG 为等腰直角三角形，故可求解；方法二：过点A 作AG 的垂线，与DB 的延长线交于点Q ，连接AQ ，BQ ，证明△AEG ≌△ADQ ，得到△GAQ 为等腰直角三角形，故可求解．【详解】解：（1）补全的图形，如图1所示：（2）①解：EC ⊥BD ．理由如下：由矩形性质知∠DAB ＝90°，∴∠EAF ＝90°．在△AEF 与△ADB 中，,,,AE AD E ADB AF AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEF ≌△ADB （SAS ）．∴∠E ＝∠ADB ．∴∠GEB ＋∠GBE ＝∠ADB ＋∠ABD ＝90°．∴EC ⊥BD ．②线段AG ，EG ，DG之间的数量关系：EG DG −=．证法一：如图2，在线段EG 上取点P ，使得EP ＝DG ，连接AP ．在△AEP 与△ADG 中，AE AD E ADG EP DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEP ≌△ADG （SAS ）．∴AP ＝AG ，∠EAP ＝∠DAG ．∴∠P AG ＝∠P AD +∠DAG ＝∠P AD +∠EAP ＝∠DAE ＝90°．∴△P AG 为等腰直角三角形．∴PG =．∴EG DG EG EP PG −=−==． 证法二：如图3，过点A 作AG 的垂线，与DB 的延长线交于点Q ，连接AQ ，BQ ．在△AEG 与△ADQ 中，E ADQ AE ADEAG DAQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AEG ≌△ADQ （ASA ）．∴EG ＝DQ ，AG ＝AQ ．∴△GAQ 为等腰直角三角形．∴GQ =．∴EG DG DG GQ DG −====，即EG ﹣DGAG ．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 26. 【答案】（1）3b <−（2）1b >【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握根据抛物线的函数值大小和增减性求参数取值范围是解题的关键．（1）根据二次函数的开口向下，离对称轴越远函数值越小列不等式求解即可；（2）分类讨论：当02b ≤，012b <<，12b ≥时，根据二次函数性质求解即可． 【小问1详解】解：由22224b b y x bx x ⎛⎫=−+=−−+ ⎪⎝⎭，10a =−<得抛物线的开口向下，对称轴为直线2b x =， ∵点()21,A y −，()22,B y −在抛物线上，总有12y y <，∴点B 到对称轴的距离小于点A 到对称轴的距离， ∴2122b b +<−−， 解得3b <−；【小问2详解】解：∵12m <<，∴1m −<，又抛物线的开口向下，对称轴为直线2b x =， 当02b ≤即0b ≤时，点P 到对称轴的距离小于点Q 得到对称轴的距离， ∴12y y >，不符合题意； 当012b <<即02<<b 时，点P 关于直线2b x =对称的点的坐标为()11,b y +， 当2b x >时，y 随x 的增大而减小， ∴当1m b <+即21b <+时，总有12y y <，∴1b >，即12b <<； 当12b ≥即2b ≥时，点P 到对称轴的距离大于点Q 得到对称轴的距离， ∴12y y <成立，综上，满足条件的b 的取值范围为1b >．27. 【答案】（1）(,)m m ；（2）22y x x =−+或写为：2(1)1y x =−−+；（3）2m ≤，或3m ≥. 【分析】（1）化抛物线为顶点式，即可写出顶点坐标；（2）求出点AO ，列方程求解即可；（3）考虑点C 在抛物线上时m 的值，再结合图形，分情况进行讨论．【详解】（1）∵2222()y x mx m m x m m =−+−+=−−+，∴抛物线的顶点A 坐标为(,)m m .（2）点A 在第一象限，∴OA =，∵OA =∴1m =抛物线的表达式为22y x x =−+，或写为：2(1)1y x =−−+（3）把22C （，）代入222y x mx m m =−+−+，得 22224m m m =−+−+，解得2m =或3，结合图象可得：当2m ≤时，抛物线与线段BC 有公共点，当23m ＜＜时，抛物线与线段BC 无公共点，当3m ≥时，抛物线与线段BC 有公共点；综上，当2m ≤或3m ≥时，抛物线与线段BC 有公共点．【点睛】本题考查了二次函数的综合，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．。

北京市十一学校2010届高三上学期10月月考（数学）一． 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．已知函数))(2sin()(R x x x f ∈-=π，下面结论错误．．的是（ ） A ． 函数)(x f 的最小正周期为2π B ． 函数)(x f 在区间［0，2π］上是增函数 C ．函数)(x f 的图象关于直线x ＝0对称 D ． 函数)(x f 是奇函数 2．有四个关于三角函数的命题：1p ：∃x ∈R, 2sin 2x +2cos 2x =122p : ,x y R ∃∈, sin()sin sin x y x y -=- 3p : ∀x ∈[]0,πsin x = 4p : sin cos 2x y x y π=⇒+=其中假命题的是（ ）A ． 1p ，4pB ． 2p ，4pC ．1p ，3pD ．2p ，3p 3．函数ln cos 22y x x ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是（ ）4．设()()sin f x x ωϕ=+，其中0ω>，则()f x 是偶函数的充要条件是( ) A ． ()01f = B ． ()00f = C ．()'01f=D ．()'00f=5． 已知函数()(02,x f x a x =≤≤,a 是常数)的图象过点(1,3),()f x 的反函数为1()f x -,则1212()[()]()F x f x f x --=+的值域为（ ）A ．[0,3]B ． [0,6]C ． [-1,3]D ． [-1,6]6．若函数()f x 的零点与()422xg x x =+-的零点之差的绝对值不超过0．25， 则()f x 可以是（ ）A ． ()41f x x =-B ． ()2(1)f x x =-xxA ．B ．C ．D ．C ． ()1x f x e =-D ． ()12f x In x ⎛⎫=-⎪⎝⎭7．设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,则12n x x x ⋅⋅⋅的值为（ ） A ．1n B ． 11n + C ． 1nn + D ． 1 8．已知函数()x f 是R 上的偶函数，且在区间[)+∞,0上是增函数．令⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=75tan,75cos,72sinπππf c f b f a ，则( ) A ．c a b << B ． a b c << C ．a c b << D ．c b a <<二． 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上． 9．设函数()()()xa x x x f ++=1为奇函数，则实数=a 。

一、选择题1．三棱锥O ABC -中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，且OA a =，OB b =，OC c =，用a ，b ，c 表示NM ，则NM 等于( )A ．1()2a b c -++ B ．1()2a b c +- C ．1()2a b c -+D ．1()2a b c --+2．在空间直角坐标系中，已知()1,2,3A ，()1,0,4B ，()3,0,5C ，()4,1,3D -，则直线AD 与BC 的位置关系是（ ） A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．无法判定3．如图，正四棱锥P ABCD -中，已知PA a =，PB b =，PC c =，12PE PD =，则BE =（ ）A ．131222a b c -+ B ．111222a b c --- C ．131222a b c --+ D ．113222a b c --+ 4．如图，三棱锥S ﹣ABC 中，SA ＝SB ＝SC ，∠ABC ＝90°，AB ＞BC ，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，CA 的中点，记直线SE 与SF 所成的角为α，直线SG 与平面SAB 所成的角为β，平面SEG 与平面SBC 所成的锐二面角为γ，则（ ）A ．α＞γ＞βB ．α＞β＞γC ．γ＞α＞βD ．γ＞β＞α5．空间四点()(1,0,0)010(0,0,1)(,2,3)A B C D x 、，，、、共面，则x =（ ）A ．4-B ．1-C ．1D ．46．已知(),(3,0,1),(131,2,3,1),55a b c =-==--给出下列等式：①a b c a b c ++=--；②()()a b c a b c +⋅=⋅+；③2222()a b c b c a =++++ ④()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅.其中正确的个数是 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．棱长为1的正四面体ABCD 中，点E ，F 分别是线段BC ，AD 上的点，且满足13BE BC =，14AF AD =，则AE CF ⋅=（ ）A ．1324-B ．12-C ．12D ．13248．如图,在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点,则OG 等于（ ）A ．111333OA OB OC ++B ．111234OA OB OC ++C ．111244OA OB OC ++D ．111446OA OB OC ++9．已知在四面体ABCD 中，点M 是棱BC 上的点，且3BM MC =，点N 是棱AD 的中点，若MN x AB y AC z AD =++其中,,x y z 为实数，则x y z ++的值是（ ）A ．12B ．12-C ．－2D ．210．如图四边形ABCD 中，2AB BD DA ===，2BC CD ==，现将ABD △沿BD折起，当二面角A BD C --的大小为56π时，直线AB 与CD 所成角的余弦值是（ ）A ．52B ．328C ．32D ．2 11．已知ABC ，AB AC =，D 是BC 上的点，将ABD ∆沿AD 翻折到1AB D ∆，设点A 在平面1B CD 上的射影为O ，当点D 在BC 上运动时，点O （ ）A ．位置保持不变B ．在一条直线上C ．在一个圆上D ．在一个椭圆上12．如图，在棱长均相等的四面体O ABC -中，点D 为AB 的中点，12CE ED =，设OA a =，OB b =，OC c =，则OE =（ ）A ．111663a b c ++ B ．111333a b b ++C ．111663a b c +- D ．112663a b c ++ 13．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是AB ，1CC 的中点，则直线1A E 与平面11B D F 所成角的正弦值是（ ） A ．15B ．15 C ．5 D ．30第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题14．如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，14CC =，点E 是线段1CC 的中点，点F 是正方形ABCD 的中心，则直线1A E 与直线1B F 所成角的余弦值为___15．已知空间向量(0,1,1),(1,0,1)a b ==，则向量a 与b 的夹角为_____________. 16．已知向量()()2,1,3,1,2,1a b =-=-，若()a ab λ⊥-，则实数λ的值为______. 17．正四面体ABCD 的棱长为22的球O 过点D ，MN 为球O 的一条直径，则AM AN ⋅的最小值是__________．18．已知()()1,1,0,1,0,2a b ==-，且ka b +与2a b -的夹角为钝角，则实数k 的取值范围为_____．19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AC CC ⊥，AC BC ⊥，2AC BC ==，160C CB ∠=︒，13CC =，点D ，E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且1AD =，2CE =，则二面角1B B E D --的正切值_______20．设向量(2,23,2),(4,21,32)a m n b m n =-+=+-，且//a b ，则a b ⋅的值为__________．21．若平面α，β的法向量分别为(4,0,3)u =，(1,1,0)v =-，则这两个平面所成的锐角的二面角的余弦值为________.22．已知(2,1,3)a →=-，(4,2,)b x →=-，(1,,2)c x →=-，若a b c →→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭，是x =________.23．如图所示，P ，Q 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，M 是PQ 靠近P 的三等分点，且OM xOA yOB zOC =++，则x y z ++=__．24．已知直线l 的一个方向向量为()2,8,1m =--，平面α的一个法向量为1,,22n t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且//l α，则实数t =______.25．已知三棱锥 A BCD -每条棱长都为1，点E ，G 分别是AB ，DC 的中点，则GE AC ⋅=__________．26．点(1,A 2，1)，(3,B 3，2)，(1,C λ+4，3)，若,AB AC 的夹角为锐角，则λ的取值范围为______．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用向量的平行四边形法则、三角形法则可得：1()2NM NA NB =+，1()2AN AO AC =+，1()2BN BO BC =+，AC OC OA =-，BC OC OB =-，代入化简即可得出．【详解】 解：1()2NM NA NB =+，1()2AN AO AC =+，1()2BN BO BC =+，AC OC OA =-，BC OC OB =-，∴1111()2222MN AN BN OA OB OC =+=--+111222a b c =--+， ∴111222NM a b c =+-，故选：B ． 【点睛】本题考查了向量的平行四边形法则、三角形法则，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．2．B解析：B 【分析】根据题意，求得向量AD 和BC 的坐标，再结合空间向量的数量积的运算，即可得到两直线的位置关系，得到答案. 【详解】由题意，点()1,2,3A ，()1,0,4B ，()3,0,5C ，()4,1,3D -， 可得()3,1,6AD =--，()2,0,1BC =，又由()()2310610AD BC ⋅=⨯+-⨯+-⨯=， 所以AD BC ⊥，所以直线AD 与BC 垂直. 故选：B . 【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积的运算及其应用，其中解答中熟记空间向量的坐标运算，以及空间向量的数量积的运算是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．A解析：A 【分析】连接AC BD 、交点为O ，根据根据向量加法运算法则1122PO PA PC =+，1122PO PD PB =+，求得PD ，然后由BE BP PE =+求解. 【详解】 如图所示：连接AC BD 、交点为O ，则1122PO a c =+， 又1122PO PD PB =+， 所以PD a c b =+-， 又11112222PE PD a c b ==+-， 所以131222BE BP PE a b c =+=-+. 故选：A. 【点睛】本题主要考查空间向量基本定理，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.4．A解析：A 【分析】根据题意可知，G 作SE 的垂线l ，显然l 垂直平面SAB ，故直线SG 与平面SAB 所成的角为β＝∠GSE ，同理，平面SEG 与平面SBC 所成的锐二面角为γ＝∠FSG ，利用三角函数结合几何性质，得出结论. 【详解】因为AB ⊥BC ，SA ＝SB ＝SC ，所以AB ⊥SE ，所以AB ⊥平面SGE ，AB ⊥SG ， 又SG ⊥AC ，所以SG ⊥平面ABC ， 过G 作SE 的垂线l ，显然l 垂直平面SAB ， 故直线SG 与平面SAB 所成的角为β＝∠GSE ，同理，平面SEG 与平面SBC 所成的锐二面角为γ＝∠FSG ，由tanγ＝tan FG EGSG SGβ>=，得γ＞β，γ也是直线SF 与平面SEG 所成的角， 由cosα＝cosβ•cosγ＜c osγ，则α＞γ，所以α＞γ＞β， 故选：A .【点睛】本题考查了异面直线夹角，线面夹角，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.5．A解析：A 【分析】由于四点A ，B ，C ，D 共面，可得存在实数λ，μ使得AD AB AC λμ=+，解出即可． 【详解】(1,1,0),(1,0,1),(1,2,3)AB AC AD x =-=-=-，∵四点A ，B ，C ，D 共面，∴存在实数λ，μ使得AD AB AC λμ=+，(1,2,3)(1,1,0)(1,0,1)x λμ∴-=-+-123x λμλμ-=--⎧⎪∴=⎨⎪=⎩解得4x =- 故选：A 【点睛】本题主要考查了向量共面定理，考查了计算能力，属于容易题．6．D解析：D 【详解】由题设可得197(,3,)55a b c ++=，则63525a b c ++== 923(,1,)55a b c --=-，63525a b c --=，则①正确；因1346()(4,2,2)(,1,)205555a b c +⋅=⋅--=-+-=， 1481424()(1,2,3)(,1,)205555a b c ⋅+=⋅-=+-=，故②正确；又因2635127()255a b c ++==，而22235714,10,255a b c ====， 所以22271272455a b c ++=+=，即③正确； 又3030a b ⋅=+-=，则()0a b c ⋅⋅=， 而330055b c ⋅=-++=，故()0a b c ⋅⋅=，也即④正确. 故选：D ．7．A解析：A 【分析】设AB a =，AC b =，AD c =，以这3个向量为空间中的基底，将AE CF ⋅转化为基底的数量积运算，即可得答案. 【详解】设AB a =，AC b =，AD c =， 由题意可得121()333AE AB BE a b a a b =+=+-=+，14CF c b =-， 则211334AE CF a b c b ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2121163123a c a b b c b =⋅-⋅+⋅-11211111316232122324=⨯-⨯+⨯-⨯=-. 故选：A. 【点睛】本题考查空间向量基本定理的运用、数量积运算，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意基底思想的运用.8．C解析：C 【分析】因为在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点,12OE OA AD =+,即可求得答案. 【详解】在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点∴12OG OA AD =+11()22OA AB AC =+⨯+1()4OA OB OA OC OA =+⨯-+-111244OA OB OC =++ 故选:C. 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算,解题关键是掌握向量基础知识和数形结合,考查了分析能力和空间想象能力,属于基础题.9．B解析：B 【分析】利用向量运算得到131442MN AB AC AD =--+得到答案. 【详解】()3113142442MN MB BA AN AB AC AB AD AB AC AD =++=--+=--+ 故12x y z ++=- 故选：B 【点睛】本题考查了空间向量的运算，意在考查学生的计算能力.解析：A 【分析】取BD 中点O ，连结AO ，CO ，以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，过点O 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB 与CD 所成角的余弦值． 【详解】解：取BD 中点O ，连结AO ，CO ，2AB BD DA ===．2BC CD ==，CO BD ∴⊥，AO BD ⊥，且1CO =，3AO =，AOC ∴∠是二面角A BD C --的平面角，因为二面角A BD C --的平面角为56π， 56AOC π∴∠=以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，过点O 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(0B ，1-，0)，(1C ，0，0)，(0D ，1，0)，33(,0,)2A -，∴33(,1,)2BA =-，(1,1,0)CD =-，设AB 、CD 的夹角为α， 则3|1|||522cos ||||22AB CD AB CD α+===， 故选：A ．【点睛】本题考查异面直线所成角的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．解析：C 【分析】为计算简便，不妨设ABC 为等腰直角三角形，建立空间直角坐标系，取BC 中点M ，利用AO OC ⊥，AO OM ⊥即可得到轨迹方程. 【详解】为计算简便，不妨设ABC 为等腰直角三角形，令2BC =，且令190B DC ∠=︒， 以BC 中点M 为空间原点，MA 为z 轴，建立空间直角坐标系，设(02)BD a a =<<，12B A BA =(,,)O x y z ，则()010C ，，，(001A ，，），(000M ，，），()0,1,0D a -，所以(AO x =，y ，1z -)，(),1,CO x y z =-，(),,MO x y z =， 因为AO OC ⊥，所以()()2110AO CO x y y z z ⋅=+-+-=，同理AO OM ⊥，所以()2210AO MO x y z z ⋅=++-=，两式相减得0y =，代入得()222111()24x z z x z +-=+-=， 故选：C ． 【点睛】本题考查点的轨迹方程，考查空间向量位置关系等，建立空间直角坐标系是关键，属于中档题．12．D解析：D 【分析】利用空间向量的加法和减法法则可将OE 用a 、b 、c 表示. 【详解】12CE ED =，()111111=333236CE CD CA AD CA AB CA AB ⎛⎫∴==+=++ ⎪⎝⎭，()()11113636OE OC CE OC CA AB OC OA OC OB OA∴=+=++=+-+-112112663663OA OB OC a b c =++=++. 故选：D. 【点睛】本题考查空间向量的基底分解，解题时要灵活利用空间向量加法和减法法则，考查计算能力，属于中等题.13．D解析：D 【分析】设正方体棱长为2，以1,,AD AB AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求得1(0,1,2)A E =-和平面11B D F 的一个法向量为(1,1,2)n =，利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】设正方体棱长为2，分别以1,,AD AB AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则111(0,0,2),(0,1,0),(0,2,2),(2,0,2),(2,2,1)A E B D F ， 所以1111(0,1,2),(2,2,0),(2,0,1)A E B D B F =-=-=-.设平面11B D F 的法向量为(,,)n x y z =，则1110,0,n B D n B F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即220,20,x y x z -=⎧⎨-=⎩令1x =，则1,2y z ==， 即平面11B D F 的一个法向量为(1,1,2)n =. 设直线1A E 与平面11B D F 所成角为θ， 则1130sin 1030n A E n A Eθ⋅===⋅. 故选D. 【点睛】本题主要考查了利用空间向量求解直线与平面所成的角，根据几何体的结构特征，建立适当的空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.二、填空题14．【分析】以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系写出向量的坐标利用空间向量法可求得直线与直线所成角的余弦值【详解】如下图所示以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系则点因此直线与直线解析：269【分析】以点D为坐标原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，写出向量1A E、1B F的坐标，利用空间向量法可求得直线1A E与直线1B F所成角的余弦值.【详解】如下图所示，以点D为坐标原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D xyz-，则点()12,0,4A、()12,2,4B、()0,2,2E、()1,1,0F，()12,2,2A E=--，()11,1,4B F=---，11111126cos,2332A EB FA EB FA EB F⋅<>===⨯⋅，因此，直线1A E与直线1B F26.故答案为：269.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．15．【分析】根据两向量的夹角余弦公式即可求出两向量的夹角【详解】解：10向量与的夹角为故答案为：【点睛】本题考查空间两向量的夹角大小的应用问题是基础题目 解析：3π【分析】根据两向量的夹角余弦公式，即可求出两向量的夹角． 【详解】 解：(0a =，1，1)，(1b =，0，1)，∴·1a b =，||2a =，||2b =，cos a ∴<，12||||2a b b a b >===⨯⨯，向量a 与b 的夹角为3π． 故答案为：3π. 【点睛】本题考查空间两向量的夹角大小的应用问题，是基础题目．16．2【分析】由题意知向量所以由空间向量的坐标运算即可求解【详解】由题意知向量所以又由解得【点睛】本题主要考查了空间向量的坐标运算及空间向量的数量积的运算其中解答中熟记空间向量的数量积的运算公式准确运算解析：2 【分析】由题意知，向量()a a b λ⊥-，所以()0a a b λ⋅-=，由空间向量的坐标运算，即可求解． 【详解】由题意知，向量()a ab λ⊥-，所以()0a a b λ⋅-=，又由()()()()2222212112311470a a b a a b λλλλ⎛⎡⎤⋅-=-⋅=-+--⨯-+⨯+⨯=-=⎣⎦⎝，解得2λ=． 【点睛】本题主要考查了空间向量的坐标运算，及空间向量的数量积的运算，其中解答中熟记空间向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．17．【解析】很明显当四点共面时数量积能取得最值由题意可知：则是以点D 为顶点的直角三角形且：当向量反向时取得最小值： 解析：4-【解析】很明显当,,,O D M N 四点共面时数量积能取得最值，由题意可知：OD OM ON ==，则MDN △是以点D 为顶点的直角三角形，且：()()()2420,AM AN AD DM AD DN ADAD DM DN DM DN ADDO ⋅=+⋅+=+⋅++⋅=+⋅+当向量,AD DO 反向时，AM AN ⋅取得最小值：4224-⨯=-18．【分析】利用去掉反向的情形即得【详解】由所以解得若与反向则则所以所以与的夹角为钝角则且综上的范围是故答案为：【点睛】思路点睛：本题考查向量的夹角与向量的数量积的关系根据向量夹角求参数时可由是两个非零解析：()7,22,5⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭【分析】利用()()20a b ka b <+⋅-去掉反向的情形即得． 【详解】由()()1,1,0,1,0,2a b ==-，()1,,2ka b k k +=-，()23,22a b -=-，所以()()()231240a a k k b b k -=+⋅⨯-+-<，解得75k < 若ka b +与2a b -反向，则()20a ka b b λλ-<+=，则21k λλ=⎧⎨=-⎩，所以2k =- 所以ka b +与2a b -的夹角为钝角则75k <且2k ≠-综上k 的范围是()7,22,5⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭．故答案为：()7,22,5⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭【点睛】思路点睛：本题考查向量的夹角与向量的数量积的关系，根据向量夹角求参数时，可由,a b 是两个非零向量，则,a b 夹角是锐角时，0a b ⋅>，,a b 夹角是钝角时，0a b ⋅<，反之要注意,a b 可能同向也可能反向．属于中档题.19．【分析】根据题意先得到平面所以向量为平面的一个法向量；分别以为轴轴以垂直于平面过点的直线为轴建立空间直角坐标系根据题意求出平面的一个法向量根据向量夹角公式求出二面角的夹角余弦值进而可求出结果【详解】【分析】根据题意，先得到AC ⊥平面11BCC B ，所以向量AC 为平面11BCC B 的一个法向量；分别以CA ，CB 为x 轴，y 轴，以垂直于平面ABC 过点C 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系C xyz -，根据题意求出平面1B ED 的一个法向量，根据向量夹角公式求出二面角的夹角余弦值，进而可求出结果. 【详解】因为AC BC ⊥，1AC CC ⊥，1BCCC C =，且1,BC CC ⊂平面11BCC B ，所以AC ⊥平面11BCC B ，所以向量AC 为平面11BCC B 的一个法向量； 分别以CA ，CB 为x 轴，y 轴，以垂直于平面ABC 过点C 的直线为z 轴， 建立空间直角坐标系C xyz -，因为2AC BC ==，160C CB ∠=︒，13CC =，所以()2,0,0A ，()0,0,0C ，()2,0,0B ，则12,2D ⎛ ⎝⎭，(E，170,2B ⎛ ⎝⎭，所以12,,2ED ⎛=- ⎝⎭，150,2EB ⎛= ⎝⎭，()2,0,0AC =-设平面1B ED 的一个法向量为(),,m x y z =，则 1m ED m EB ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，即11202502m ED x y z m EB y z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，解3535 x z y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，令5z=，则()3,3,5m=-，所以233cos,4332531AC mAC mAC m⋅-<>===-⨯++，由图像可得，二面角1B B E D--为锐角，记为θ，所以co3cos1s,3AC mθ>=<=，因此328sin13131θ=-=，所以sin28221tancos3θθθ===.221.【点睛】本题主要考查求二面角的正切值，根据向量的方法求解即可，属于常考题型.20．168【分析】根据向量设列出方程组求得得到再利用向量的数量积的运算公式即可求解【详解】由题意向量设又因为所以即解得所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的共线的坐标运算以及向量的数量积的运算其解析：168【分析】根据向量//a b ，设λab ，列出方程组，求得12λ=，得到(2,4,8),(4,8,16)a b ==，再利用向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】由题意，向量//a b ，设λab ，又因为(2,23,2),(4,21,32)a m n b m n =-+=+-， 所以(2,23,2)(4,21,32)m n m n λ-+=+-，即2423(21)2(32)m m n n λλλ=⨯⎧⎪-=+⎨⎪+=-⎩，解得17,,622m n λ===，所以(2,4,8),(4,8,16)a b ==， 所以2448816168a b ⋅=⨯+⨯+⨯=. 故答案为：168. 【点睛】本题主要考查了向量的共线的坐标运算，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的共线条件，熟练应用向量的数量积的运算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.21．【分析】直接利用空间向量的数量积求解两个平面的二面角的大小即可【详解】解：两个平面的法向量分别为则这两个平面所成的锐二面角的大小是这两个平面所成的锐二面角的余弦值为故答案为：【点睛】本题考查空间二面【分析】直接利用空间向量的数量积求解两个平面的二面角的大小即可． 【详解】解：两个平面α，β的法向量分别为(4,0,3)u →=，(1,1,0)v →=-， 则这两个平面所成的锐二面角的大小是θ，2cosa ba bθ→→→→===这两个平面所成的锐二面角的余弦值为5. . 【点睛】本题考查空间二面角的求法，空间向量的数量积的应用，考查计算能力．22．-4【分析】由题可知可得运用向量数量积的坐标运算即可求出【详解】解：根据题意得解得：故答案为：【点睛】本题考查空间向量垂直的数量积关系运用空间向量数量积的坐标运算考查计算能力解析：-4 【分析】由题可知，a b c →→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭，可得0a b c →→→⎛⎫+= ⎪⎝⎭，运用向量数量积的坐标运算，即可求出x ．【详解】解：根据题意得， ()2,1,3a b x →→+=-+a b c →→→⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭， ∴22(3)0a b c x x →→→⎛⎫+=--++= ⎪⎝⎭， 解得：4x =-． 故答案为：4-． 【点睛】本题考查空间向量垂直的数量积关系，运用空间向量数量积的坐标运算，考查计算能力．23．【分析】用向量表示就能找到的值进而算出答案【详解】解：因为分别是四面体的边的中点是靠近的三等分点所以所以故答案为：【点睛】本题考查空间向量的表示考查空间向量加法法则等基础知识考查运算求解能力考查数形解析：23【分析】用向量OA ，OB ，OC 表示OM ，就能找到x ，y ，z 的值，进而算出答案． 【详解】解：因为P ，Q 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，M 是PQ 靠近P 的三等分点，所以1111()2323OM OP PM OA PQ OA PA AB BQ =+=+=+++，1111()2322OA OA OB OA BC =++-+， 1111(())2322OA OA OB OA OC OB =++-+-， 111366OA OB OC =++， 所以13x =，16y =，16z =，11123663x y z ++=++=， 故答案为：23． 【点睛】 本题考查空间向量的表示，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．24．-1【解析】【分析】由直线的一个方向向量为平面的一个法向量为得到由此能求出的值【详解】∵直线的一个方向向量为平面的一个法向量为∴解得故答案为：【点睛】本题考查实数值的求法考查直线的方向向量平面的法向 解析：-1【解析】【分析】由直线l 的一个方向向量为m ，平面α的一个法向量为n ，//l α，得到 0m n ⋅=，由此能求出t 的值．【详解】∵直线l 的一个方向向量为()2,8,1m =--，平面α的一个法向量为1,,22n t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，//l α，∴2420m n t ⋅=--+=，解得1t =-，故答案为：1-．【点睛】本题考查实数值的求法，考查直线的方向向量、平面的法向量等基础知识，考查运算与求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．25．【分析】构造一个正方体三棱锥放入正方体中建立坐标系利用数量积公式求解即可【详解】将三棱锥放入如下图所示的正方体中且棱长为分别以为轴故答案为：【点睛】本题主要考查了求空间向量的数量积属于中档题 解析：12- 【分析】构造一个正方体，三棱锥A BCD -放入正方体中，建立坐标系利用数量积公式求解即可.【详解】将三棱锥A BCD -放入如下图所示的正方体中，且棱长为2分别以,,OC OD OB 为,,x y z 轴(,(,0,0),(,(,222244442A C G E(0,02222,),(20,,)2GE AC ==-- 1222)2(=2GE AC ∴⋅=--⨯ 故答案为：12-【点睛】本题主要考查了求空间向量的数量积，属于中档题.26．【分析】根据的夹角为锐角可得且不能同向共线解出即可得出【详解】12的夹角为锐角且不能同向共线解得则的取值范围为故答案为【点睛】本题主要考查了向量夹角公式向量共线定理考查了推理能力与计算能力属于中档题 解析：()()2,44,∞-⋃+【分析】根据,AB AC 的夹角为锐角，可得0AB AC ⋅>，且不能同向共线.解出即可得出．【详解】(2,AB =1，1)，(,AC λ=2，2)，,AB AC 的夹角为锐角，2220AB AC λ∴⋅=++>，且不能同向共线．解得2λ>-，4λ≠．则λ的取值范围为()()2,44,∞-⋃+．故答案为()()2,44,∞-⋃+．【点睛】本题主要考查了向量夹角公式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

给出下列四个结论：①若点 ，点 ，则 ；
②到点 的“出租车距离”不超过 的点的集合所构成的平面图形面积是 ；
③若点 ，点 是抛物线 上的动点，则 的最小值是 ；
④若点 ，点 是圆 上的动点，则 的最大值是 .
其中，所有正确结论的序号是______________.
【15题答案】
【答案】①③④
【解析】
（1）写出使函数有意义的不等式（组）；
（2）解不等式（组）；
（3）写出函数的定义域（注意用区间或集合的形式写出）
2、求函数定义域的主要考虑如下：
（1）不为零：即分式的分母、负指数幂和零指数幂的底数不能为零；
（2）非负：即偶次方根的被开方式其值非负；
（3）大于零：对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.
（4）特殊位置：正切函数 ，
（5）实际问题或几何问题：除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；
（6）复合函数 定义域，本着内层函数 的值域为外层函数 定义域的原则求得定义域；
（7）组合函数：取各个基本函数定义域的公共部分.
12. 展开式中 的系数为___________.（用数字作答）
北京市第三十五中学2021-2022年度第二学期2月月考
高三数学2022 2
I卷
一．选择题（共10个小题，每题4分，共40分）
1.在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【1题答案】
【答案】B
【解析】
【详解】 ，
∴复数 对应的点位于第二象限
故选B
点睛：复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把 的幂写成最简形式．
11.函数 的定义域为_______________.