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一元二次方程的解法及韦达定理

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例题 1：
如果关于 x 的方程： x2 2x a 0的一个根是1- 2，求方程的另一个根及a的值。
例题 2：已知关于 x 的方程(a2-1)x2-(a+1)x+1=0 的两个根互为倒数，求 a 的值。
2、构造方程进行计算： 例题 1：已知 3a2+2a-1=0,3b2+2b-1=0。求|a-b|的值
注：以上的几个公式，教材没有提及，所以，运用的时候要加以证明，在做选择题或者填空 题时可以直接运用。 பைடு நூலகம்面给出公式（1）的推理：
|x1-x2|= （x1 x2 )2
(x1 x2 )2 4x1x2
( b)2 4( c )
a
a
b2 4ac
a2
=
a
韦达定理的应用： 1、运用韦达定理求方程的解或者系数的范围。
例 2：
解方程： 3x 4 3 5 3x 1
5、有理化方法： 对于一个方程，如果含有两个根式，并且这两个根式内的整式的和或者差是特定的数值，那 就可以考虑用有理化的方法。 例：
解方程： x2 7x 10 x2 7x 6 4
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6、主元法： 对于一个方程，如果有两个未知数，那么，我们可以确定其中的一个为“主元“，将另一个 未知数设定为常数，用公式法可以解出结果。
步骤：①把二次项的系数化为 1.
两边同时除以 a，可以得到：
X2+
b
x+
c
=0
aa
②配方：
（x+ b ）2+c- ( b )2 =0
2a
2a
③移项：
（x+ b ）2= ( b )2 -c 2a 2a
④用直接法求出方程的解。
X=- b ± ( b )2 c 2a 2a
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注意点：解除方程的解后，要检查根号内是否要进一步化简。
三、韦达定理 对于方程 ax2+bx+c=0（其中 a≠0）的解为：
b
x1=
b2 4ac ，x2= b
b2 4ac
2a
2a
那么就有：x1+x2=
b ,x1x2=
c
.
a
a
除了这两个式子之外，还有几个，我们也必须要熟悉的：
（1）|x1-x2|=
a
（2）
1 x1
+
1 x2
=
a b
11 a (3) x1 x2 = c
b2 4ac ，x2= b
b2 4ac
2a
2a
注意点： ① 解除方程的解后，要检查根号内是否要进一步化简。 ② 解题步骤要规范。 例: 解方程：x2+5x+2=0
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除了以上几种教材里的方法，一元二次方程还有其他的解法。 4、换元法 对于一个方程，如果在结构上有某种特殊的相似性，可以考虑用换元法；或者，当这个题 目有比较复杂的根式，换元法也是可以考虑的解法。 例 1： 解方程：（x2+5x+2）2+(x2+5x+2)-2=0
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判别式的运用： （1）求方程系数的取值范围。 例：已知方程 ax2+8x+a=0 有两个不同的实数根，求 a 的取值范围。
（2）求最大值最小值的问题。
例
1：求
y
x2
x2 3x
6
的最大值和最小值。
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例 2：已知 a>0,b>0,且 a+2b+ab=30,求 a、b 为何值时，ab 取得最大值。
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例题 2：已知 a,b,c 都是整数，且有 a+b+c=0,abc=16,求 a、b、c 三个数中的最大数的最小值。
例题 3：已知在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，且 S△AOB=4,S△COD=9,求四 边形 ABCD 面积的最小值。
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推论：对于形如(x+a)2=b 的方程也是用直接开方的方法。 注意点：①二次项的系数为 1，且 a≥0 ②如果 a 为根式，注意化简。 例 1：解方程：5x2=1
例 2：解方程：x2= 4 2 3
例 3：解方程：4x2+12x+9=12
2、配方法：
对于形如：ax2+bx+c=0（其中 a≠0）的方程，我们可以采用配方法的方法来解。
例：解方程 x2 y 2 4x 2 y 5 0
除了这种方法，遇到这种题目，你还有别的解法吗？
二、判别式的运用： 我们知道： 方程 ax2+bx+c=0（其中 a≠0）的解为：
b
x1=
b2 4ac ，x2= b
b2 4ac
2a
2a
其中，我们把： =b2-4ac 称之为判别式 (1) 当 >0 的时候，方程有两个不同的实数根。 (2) 当 =0 的时候，方程有两个相同的实数根。 (3) 当 <0 的时候，方程没有实数根。没有实数根与没有根是两个不同的概念。
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一元二次方程的解法及韦达定理
编号： 一、一元二次方程的解法： 例题 1： 用配方法、因式分解、公式法解方程： x2-5x+6=0
撰写人：
审核：
【总结】 以上的三种方法之中，最简单的方法是哪一种？
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【一元二次方程的解法总结】
1、直接法：对于形如—x2=a 的方程，我们可以用直接法。方程的解为 x=± a
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一元二次方程习题 1、等腰△ABC 两边的长分别是一元二次方程 x2-9x+18=0 的两个解，求这个三角 形的周长。
【举一反三】 例题 1：Rt△ABC 两边的长分别是一元二次方程 x2-5x+6=0 的两个解，求这个三 角形的面积。
例题 2：矩形的两边的差为 2，对角线的长为 4，求矩形的面积。
例： 解方程：x2+x=1
3、公式法： 对于形如：ax2+bx+c=0（其中 a≠0）的方程，我们也可以采用公式法的方法来解。 根据配方法，我们可以得到方程的解为：
X=- b ± ( b )2 c 2a 2a
进一步变形，就可以知道：形如：ax2+bx+c=0（其中 a≠0）的方程的解为：
b
x1=
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2、解方程： （ 1） x2-2=-2x； （2）x（x-3）+x-3=0； （ 3） 4x2+12x+9=81．
3、先 化 简 ，再 求 值 ：（ a-1）÷（ 2 -1），其 中 a 为 方 程 x2+3x+2=0 的 一 个 根 ． a 1
【举一反三】 例题 1：设 a,b 分别是方程 x2+3x+1=0 的两个根，求： (1)a2+b2+ab 的值；（2）求 a3+b3 的值

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(完整版)一元二次方程归纳总结

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一元二次方程归纳总结1、一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。

2、一元二次方程的解法（1）直接开平方法 （也可以使用因式分解法） ①2(0)xa a =≥解为：x = ②2()(0)x a b b +=≥解为：x a += ③2()(0)ax b c c +=≥解为：ax b += ④22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+（2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法（3）公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+= ①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,22b x a-=② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=-③ 当240bac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。

注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。

备注：公式法解方程的步骤：①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，并确定出a 、b 、c②求出24bac ∆=-，并判断方程解的情况。

③代公式：1,2x =3、一元二次方程的根与系数的关系法1：一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠的两个根为：1222b b x x a a-+-==所以：12bx x a+=+=-，221222()422(2)4b b b ac cx x a a a a a-+----⋅=⋅===定理：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ，那么：1212,b cx x x x a a+=-=法2：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么2120()()0ax bx c a x x x x ++=⇔--= 两边同时除于a ，展开后可得：2212120()0b c x x x x x x x x a a++=⇔-++= 12b x x a ⇒+=-；12cx x a •=法3：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么21122200ax bx c ax bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩①-②得：12bx x a+=-（余下略） 常用变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，22111212121222212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+==等 练习：【练习1】若12,x x 是方程2220070xx +-=的两个根，试求下列各式的值：(1)2212x x +；(2)1211x x +；(3)12(5)(5)x x --；(4)12||x x -．【练习2】已知关于x 的方程221(1)104xk x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．【练习3】已知12,x x 是一元二次方程24410kxkx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在， 请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 4、应用题（1）平均增长率的问题：(1)n a x b += 其中：a 为基数，x 为增长率，n 表示连续增长的次数，①②b 表示增长后的数量。

一元二次方程知识点总结与易错题精编版

一元二次方程知识点总结与易错题精编版

一元二次方程知识点总结考点一、一元二次方程1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。

考点二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。

2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。

配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c 。

4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式5、韦达定理 利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和等于-ab ，二根之积等于a c ，也可以表示为x 1+x 2=-ab ，x 1 x 2=ac。

(完整版)一元二次方程归纳总结

(完整版)一元二次方程归纳总结

一元二次方程归纳总结1、一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。

2、一元二次方程的解法（1）直接开平方法 （也可以使用因式分解法） ①2(0)xa a =≥解为：x = ②2()(0)x a b b +=≥解为：x a += ③2()(0)ax b c c +=≥解为：ax b += ④22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+（2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法（3）公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+= ①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,22b x a-=② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=-③ 当240bac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。

注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。

备注：公式法解方程的步骤：①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，并确定出a 、b 、c②求出24bac ∆=-，并判断方程解的情况。

③代公式：1,2x =3、一元二次方程的根与系数的关系法1：一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠的两个根为：1222b b x x a a-+-==所以：12bx x a+=+=-，221222()422(2)4b b b ac cx x a a a a a-+----⋅=⋅===定理：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ，那么：1212,b cx x x x a a+=-=法2：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么2120()()0ax bx c a x x x x ++=⇔--= 两边同时除于a ，展开后可得：2212120()0b c x x x x x x x x a a++=⇔-++= 12b x x a ⇒+=-；12cx x a •=法3：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么21122200ax bx c ax bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩①-②得：12bx x a+=-（余下略） 常用变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，22111212121222212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+==等 练习：【练习1】若12,x x 是方程2220070xx +-=的两个根，试求下列各式的值：(1)2212x x +；(2)1211x x +；(3)12(5)(5)x x --；(4)12||x x -．【练习2】已知关于x 的方程221(1)104xk x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．【练习3】已知12,x x 是一元二次方程24410kxkx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在， 请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 4、应用题（1）平均增长率的问题：(1)n a x b += 其中：a 为基数，x 为增长率，n 表示连续增长的次数，①②b 表示增长后的数量。

【初二上册数学】八年级秋季班-第5讲：一般一元二次方程的解法及韦达定理

【初二上册数学】八年级秋季班-第5讲：一般一元二次方程的解法及韦达定理


【例21】 若方程： kx2 9x 8 0 的一个根为 1，则 k=________；另一个根为________．
【例22】 写出一个一元二次方程，使它的两个根分别是 5 3 ， 5 3 ．
【例11】 的例题：解方程 x2 | x | 2 0 解：当 x 0 时，原方程化为 x2 x 2 0 ，解得： x1 2 ，x2 1 （舍） 当 x 0 时，原方程化为 x2 x 2 0 ，解得： x1 2 ，x2 1 （舍） ∴原方程的根是 x1 2 ，x2 2 请参照例题解方程 x2 | x 1| 1 0 ．
【例17】 已知 a ，b ，c 是有理数，试证明关于 x 的方程：x2 2ax a2 b2 c2 2bc = 0 的根也是有理数．
【例18】 已知关于 x 的方程： x2 4(m 1)x 3m2 2m 4k 0 ，当 m 取任意有理数 时，方程的根都是有理数，求 k 的值或者是 k 的取值范围．
（3） x2 2( 3 1)x 2 3 0 ；
（4） x2 2mx m2 n2 0 ．
【例7】 解下列关于 x 的方程（用适当的方法）：
（1） mx2 nx p 0(m 0) ；
（2） (x 5)(x 3) x(x 6) 145 ．
【例8】 用指定的方法解下列方程： （1） x2 12x 3 （配方法）；
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模块二：韦达定理
知识精讲
韦达定理：如果 x1 ，x2 是一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的两个根,由解方程中的
公式法得,
b x1
b2 2a
4ac
，x2
b
b2 4ac ． 2a
那么可推得
x1
x2
b a
，x1
x2