高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)

高等数学中几种求极限的方法极限是微积分中的一条主线，是学好微积分的重要前提条件。

而此问题一般来说比较困难，要根据具体情况进行具体分析和处理，方法很多比较凌乱。

以下是小编搜索整理的高等数学中几种求极限的方法，供参考借鉴！一、由定义求极限极限的本质??既是无限的过程，又有确定的结果。

一方面可从函数的变化过程的趋势抽象得出结论，另一方面又可从数学本身的逻辑体系下验*其结果。

然而并不是每一道求极限的题我们都能通过直观观察总结出极限值，因此由定义法求极限就有一定的局限*，不适合比较复杂的题。

二、利用函数的连续*求极限此方法简单易行但不适合于f(x)在其定义区间内是不连续的函数，及f(x)在x0处无定义的情况。

三、利用极限的四则运算法则和简单技巧求极限极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验*它是否满足极限四则运算法则条件。

满足条件者，方能利用极限四则运算法则进行求之，不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。

但是，并非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。

而对函数进行恒等变形时，通常运用一些简单技巧如拆项，分子分母同乘某一因子，变量替换，分子分母有理化等等。

四、利用两边夹定理求极限定理如果X≤Z≤Y，而limX=limY=A，则limZ=A两边夹定理应用的关键：适当选取两边的函数(或数列)，并且使其极限为同一值。

注意：在运用两边夹定理求极限时要保*所求函数(或数列)通过放缩后所得的两边的函数(或数列)的极限是同一值，否则不能用此方法求极限。

五、利用两个重要极限求极限六、利用单调有界原理求极限单调有界准则即单调有界数列必定存在极限。

使用单调有界准则时需*两个问题：一是数列的单调*，二是数列的有界*;求极限时，在等式的两边同时取极限，通过解方程求出合理的极限值。

利用单调有界原理求极限有两个难点：一是*数列的单调*，二是*数列的有界*，在*数列的单调*和数列的有界*时，我们通常都采用数学归纳法。

高数求极限的例题及详解
求极限的例题及详解
高数的极限是指在函数中求取某一极限值的方法，也是高数中分离变量的基本概念，在学习求取极限过程中，例题的了解也非常重要。

下面就来讨论一道求极限的例题。

例题题目：求极限
lim\left(x\right) = \frac{\sqrt{x+8}-\sqrt{x+7}+6\sqrt{x+1}-2}{2-3x}
解析：该题要求求出极限，首先将分数中的分母变为0，则有：2-3x=0，解得x=2/3。

由于在求取函数极值时，该函数至少需要二阶可导，所以要先求出其二阶导。

导函数结果：y''= \frac{12}{\left(\sqrt{x+8}+\sqrt{x+7}\right)^3}
故其二阶导数为正，由于函数y= \frac{\sqrt{x+8}-
\sqrt{x+7}+6\sqrt{x+1}-2}{2-3x}在x=2/3时，分子和分母同时趋向于无穷大，所以此时函数极限值为正无穷，因此，解得该题极限为：lim\left(x\right) = +\infty。

结论：最终我们解出该题极限值为+∞，由此可见，求极限的基本方法是：求出函数的导数并判断其开口方向；在求取极限的例题中，要先求出表示极限的分子和分母的表达式，然后求出函数的二阶导数，最后由分母或分子在极限点趋向于无穷大或无穷小，两者成比例来确定函数的极限值。

16种求极限方法及一般题型解题思路分享求极限是微积分中的重要内容之一，常见于各种数学和工程科学中。

为了求出一个函数在某一点的极限，需要使用合适的方法。

下面介绍16种常用的求极限方法，以及一般题型解题思路。

一、直接代入法对于多项式函数和分式函数，可以直接将自变量代入函数表达式中计算极限。

例如，求函数 f(x) = 2x + 3 在 x = 1 处的极限，直接代入即可得到结果。

二、分解因式法对于分式函数，可以通过分解因式来简化计算，特别适用于分子和分母都是多项式的情况。

例如，求函数 f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1) 在 x = 1 处的极限，可以将分子进行因式分解，得到 f(x) = (x - 1)(x + 1)/(x - 1)，然后约去公因式，即可得到结果。

三、夹逼定理夹逼定理用于解决复杂函数在某一点处的极限问题。

如果一个函数在某一点附近被两个其他函数夹住，并且这两个函数的极限都存在且相等，那么原函数的极限也存在且等于这个相等的极限。

例如，对于函数 f(x) = x*sin(1/x)，当 x 趋近于 0 时，f(x) 被两个函数 g(x) = x 和 h(x) = -x 夹住，且 g(x) 和 h(x) 的极限都是 0，所以 f(x) 的极限也是 0。

四、变量代换法第1页/共5页对于一些特殊的函数，可以通过变量代换来简化计算。

例如，对于函数f(x) = sin(1/√x)，当 x 趋近于 0 时，可以将√x = t，那么 x = t^2，且当 x 趋近于 0 时，t 也趋近于 0，所以求 f(x) 在 x = 0 处的极限可以转化为求 g(t) = sin(1/t) 在 t = 0 处的极限。

五、洛必达法则洛必达法则是一种常用的求函数极限的方法，特别适用于形如 0/0 或∞/∞的不定式。

根据洛必达法则，如果一个不定式的分子和分母的极限都存在且为 0 或∞，那么可以分别对分子和分母求导后再次求极限，直到找到一个不是 0/0 或∞/∞的形式。

函数极限的十种求法函数极限是高等数学中的一个重要概念，在数学分析、微积分、实变函数、复变函数等领域均有应用。

函数极限的求法有很多种，以下将介绍其中的十种方法。

一、代数方法利用现有函数的代数性质，根据极限的定义求解。

例如，对于函数 f(x)=2x+1-x，当 x 趋近于 1 时，有：lim f(x) = lim (2x+1-x) = lim x+1 = 2x→1 x→1 x→1 x→1二、夹逼定理夹逼定理也称为夹逼准则或夹逼定律。

当f(x)≤g(x)≤h(x)，且lim f(x)=lim h(x)=l 时，有 lim g(x)=l。

例如，对于函数 f(x)=sin(x)/x 和 g(x)=1，当 x 趋近于 0 时，有：-1 ≤sin(x)/x ≤ 1lim -1 ≤ lim sin(x)/x ≤ lim 1x→0 x→0 x→0 x→0lim sin(x)/x = 1三、单调有界准则单调有界准则也称收敛定理。

当一个数列同时满足单调有界性质，即数列单调递增或单调递减且有上（下）界时，该数列必定收敛。

对于函数而言，只需要证明其单调有界的性质，即可用该准则求出其极限值。

例如，对于函数 f(x)=sin(x)/x，当 x 趋近于 0 时，此时 f(x) 没有极限值，但是根据单调有界准则，可以求得其极限是 1。

四、洛必达法则洛必达法则是一种有效的求函数极限值的方法，通常用在0/0形式的极限中。

对于连续可导的函数 f(x) 和 g(x)，若 lim f(x)/g(x)存在，则有：lim f(x) lim f'(x)lim ——— = lim ———x→a g(x) x→a g'(x)其中“lim” 表示极限符号，f'(x) 表示 f(x) 的导数，g'(x) 表示 g(x) 的导数。

如果上式右边的极限存在，那么左边的极限也存在，并且二者相等。

例如，对于函数 f(x)=x^2+2x 和 g(x)=x+1，当 x 趋近于 1 时，有：lim (x^2+2x) lim (2x+2)lim ———— = lim ———— = 4x→1 x+1 x+1五、泰勒公式泰勒公式是求解函数在某点处的极限值的有效方法之一。

高等数学中几种求极限的方法代入法是最常见的求极限方法之一、它的原理是当极限存在时，我们可以通过将自变量等于极限值，将极限变成一个已知的函数值，从而求解极限。

例如，求解lim(x→2)(x^2 - 4) / (x - 2)时，我们可以将x的值代入函数中，得到(2^2 - 4) / (2 - 2) = 0/0。

这是一个不定型，无法直接计算。

但通过分子分母同时除以(x-2)，得到lim(x→2)(x+2) = 4夹逼法是另一种常用的求极限方法。

它的原理是通过利用一个与待求的极限相夹的两个函数，确定待求极限的值。

如果两个函数当自变量趋于同一个值时，极限存在且相等，那么待求极限的值也等于这个极限值。

例如，求解lim(x→0)xsin(1/x)时，我们可以利用-，x，≤xsin(1/x)≤，x，得到-，x，≤ xsin(1/x) ≤ ，x。

当x趋于0时，我们可以发现两边函数的极限均为0，因此待求极限的值也为0。

单调有界准则是利用函数的单调性和有界性来判断极限是否存在的一种方法。

如果待求极限的函数在一些区间内单调递增且有上界（或单调递减且有下界），那么极限必然存在。

例如，如果函数f(x)递增且有上界，我们可以通过f(x)递增性质来证明lim(x→∞)f(x)存在。

柯西收敛准则是另一种常用的判断极限是否存在的准则。

如果一个数列满足柯西准则，即对于任意正数ε，存在正整数N，使得当n,m>N时，a_n-a_m，<ε，那么该数列的极限存在。

例如，对于数列a_n=1/n，我们可以证明该数列满足柯西准则，因此极限lim(n→∞)1/n=0存在。

函数性质和展开式是求解复杂极限时的重要方法。

通过利用函数的特殊性质或将函数展开成幂级数，可以简化极限的计算。

例如，通过使用欧拉公式e^ix=cos(x)+isin(x)，我们可以求解lim(x→0)(1+ix)^n这样复杂的极限。

洛必达法则是高等数学中非常常用的一种求解极限的方法。

高数极限巧解例析求解函数的极限，历来是高数考试的必考内容，这其中，00型与∞∞型的未定式求极限，更是考察测试的重点方向。

在此例析一些解题诀窍，与众网友共同探讨交流。

一、巧用等价无穷小替换求极限1. 1lim(arcsin arctan )x x x→∞⋅ 解：本题求极限，如果用好等价无穷小替换，将会非常轻松，易如反掌。

解法如下：11arctan~()x x x→∞ ∴原式＝arcsin lim0x xx→∞=（arcsin 22x ππ≤≤注意：-，有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小。

） 2.2cot (tan sin )lim x x x x x →- 解：本题属于0型未定式，可能很多人第一个想到的就是用洛必达法则，这道题如若用该法则求导，计算量将会非常大，算式也会变得十分复杂，极易出错。

有兴趣的同学不妨试一试，看看求导后的函数表达式会是怎样的。

对于本题，如果采用等价无穷小替换求极限，将会容易得多，具体解题过程如下： 由于cos cot sin x x x =，1tan sin sin (1)cos x x x x-=-所以可得原式＝2cos 1sin (1)sin cos lim x x x x x x →⋅- ＝21cos lim x xx →- [注：21cos ~(0)2x x x -→] ＝222limx x x → ＝123. 3332lim ln()1n n n n →∞+- 解：本题求极限，首先用倒代换将函数变形，然后再运用等价无穷小替换。

详细步骤如下： 令31n t= ，则原式＝33321lim ln()11n n n n→∞+-＝0112lim ln()1t t t t→+- ＝0113lim ln()1t t t t t→-+- ＝013lim ln(1)1t t t t →+- [注：33ln(1)~(0)11t t t t t+→--] ＝013lim[()()]1t t t t→- ＝3（注意：本题不可用洛必达法则求极限，因为n 属于离散变量，不能求导。

高等数学数列极限题型及解题方法摘要：1.数列极限的定义和性质2.常见数列极限题型分类3.解题方法及技巧4.典型例题解析5.总结与建议正文：高等数学中的数列极限是极限理论的重要部分，它在数学分析、工程数学、应用数学等课程中有着广泛的应用。

本文将对数列极限的题型进行分类，并介绍相应的解题方法和技巧。

一、数列极限的定义和性质1.定义：设{an}为无穷数列，若存在常数L，使得当n趋向于无穷时，|an - L|趋向于0，则称L为数列{an}的极限。

2.性质：具有有限项的数列必有极限；单调有界数列必有极限；无穷递增（或递减）数列必有极限；无穷乘积数列必有极限。

二、常见数列极限题型分类1.求和型：如求级数∑an的收敛值。

2.比较型：如比较级数∑an与级数∑bn的收敛性。

3.求极限型：如求极限lim(n→∞) an。

4.无穷乘积型：如求极限(a1 × a2 × a3 × ...× an)∞。

5.无穷递推型：如求递推数列{an}的极限。

三、解题方法及技巧1.判断收敛性：根据数列极限的定义，通过计算或性质判断数列是否收敛。

2.利用极限性质：如无穷乘积收敛的判定条件、无穷递推收敛的判定条件等。

3.化简变形：将复杂数列极限问题转化为简单的问题，如利用泰勒公式、洛必达法则等。

4.典型例题解析例1：判断级数∑(1/n)^2是否收敛。

解析：利用数列极限的定义，计算极限lim(n→∞) (1/n)^2 = 0，判断级数收敛。

例2：求极限lim(n→∞) (2^n - n^2)。

解析：利用化简变形，将原式变为lim(n→∞) (2^n / n^2)，再利用极限性质判断收敛。

四、总结与建议数列极限是高等数学中的重要内容，掌握常见的题型和解题方法对学习极限理论有很大帮助。

在学习过程中，要注意理论知识与实际应用的结合，多做练习，提高解题能力。

高等数学求极限例题高等数学求极限是高等数学中一种常见的定义以及计算方法，主要是根据一定的定义给出的极限的概念，使函数在某点的值趋近于确定的数值。

一般来说，求极限主要有三种方法：函数变形法、不定积分法、微分法。

本文就针对其中的函数变形法，以及一个具体的例题来进行详细的讲解，探讨高等数学中求极限的方法及具体的步骤：首先，要求极限必须对函数进行变形，本例中要求求极限：$$lim_{x→2}x^2 + 3 $$根据定义，将函数变形为：$$lim_{x→2}(x - 2)^2 + 3 $$变形后，特别看出(x - 2)的乘方将可以被简化，将简化后的函数展开，得出：$$lim_{x→2}(x - 2)^2 + 3 = lim_{x→2}x^2 - 4x + 7$$因此，在x趋于2时，上面的函数趋于7，即，$$lim_{x→2}x^2 + 3 = 7$$回顾本例中，一共所应用了三种方法，首先是对函数变形，这是求得极限的绝对前提，通过变形可以得到函数组可以简化的部分，必要时还可以将函数展开；其次，就是将指数部分简化，将指数简化为一个次数，不管是什么次数，都可以用微积分的方法去计算求得；最后一步，就是对简化的函数计算极限，通过计算得出极限的结果，作为函数在某点的值。

总而言之，在求极限问题时，有三种方法可以用来求解：函数变形法、不定积分法、微分法，在使用这三种方法求极限之前，必须先将函数变形，简化指数部分，然后根据函数变形之后的表达式，运用诸如微分、积分等方法求得极限，最终再得出函数在某点的极限值。

总之，求极限是高等数学中一个重要的概念，也是广大学子所需要掌握的基础知识之一，在学习中虽然有些比较困难，但耐心细心的思考和理解，熟练运用函数变形法、不定积分法和微分法，一定能够轻松熟练地掌握高等数学中求极限的方法，帮助我们在学习中更好地得出答案。

高等数学中求极限方法总结高等数学第一章在整个高等数学的学习中都占有相当重要的地位，特别是极限，原因就是后续章节本质上都是极限。

一个经典的形容就是假如高等数学是棵树木的话，那么极限就是它的根，函数就是它的皮。

树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见极限的重要性。

故在这里总结了10种常用的求极限的方法并举例说明。

1、利用等价无穷小的转化求极限例：求极限x x x x 1cossin lim 20→。

解：x x x x 1cossin lim 20→x x x x 1cos lim 20→=xx x 1cos lim 0→=＝2注：通常在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用，但是前提是必须证明拆分后极限依然存在，要记住常用的等价无穷小，例如当0→x 时，).(0~sin ,21~sin ,~3x x x x x tgx x tgx −−。

2、罗比达法则例：求极限∫→x x tdtx 020arctan 1lim 解：∫→x x tdt x 020arctan 1lim 21211lim 2arctan lim 200=+==→→x x t x x 例：求极限⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−→11ln 1lim 1x x x 解：x x x x x x x x ln )1(ln 1lim 11ln 1lim 11−−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−→→21111lim 1ln 11lim 2211=+=−+−=→→xx x x x x x x x …注：使用罗比达法则必须满足使用条件，要注意分母不能为零，导数存在。

罗比达法则分为三种情况（1）0比0和无穷比无穷时候直接分子分母求导；（2）0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。

通项之后这样就能变成1的形式；（3）0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方，对于（指数幂数）方程，方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，）3、利用2个重要极限求极限例：求极限2)11(lim 22x x x x +−∞→解：211(lim 22x x x x +−∞→2)121(lim 2x x x +−+=∞→12212222])121[(lim +−−+∞→+−+=x x x x x 12lim 22+−∞→=x x x e 2−=e 。

高数极限经典60题分步骤详解1.求极限lim(sinn+1-sinn)/(n→∞)。

为了解决这个问题，我们需要运用三角函数和差化积公式，将式子进行转化，然后求出极限。

具体过程如下：sinn+1-sinn=2cos(n+1+n)/(sin^2(n+1)+sin^2(n))2cos(n+1+n)/(sin^2(n+1)+sin^2(n))(sin()/sin())2cos(n+1+n)/(sin^2(n+1)+sin^2(n))(n→∞)2cos因为当n→∞时，sin()/n+1+n→0，而cos是有界函数，有界函数与无穷小的乘积仍然是无穷小，所以原式极限为0.2.令Sn=∑(k/(k+1)!)，求极限limSn(n→∞)。

我们可以将Sn的式子变形，得到Sn=1-1/(n+1)。

然后求出极限即可。

具体过程如下：k/(k+1)!)=1/(k!)-1/((k+1)!)k/(k+1)!)=1/1!-1/2!+1/2!-1/3!+。

+1/n!-1/(n+1)!1-1/(n+1)!因此，limSn=lim(1-1/(n+1!))=1.3.求极限lim(1+2q+3q^2+4q^3+。

+nq^(n-1))，其中q<1且q≠0.我们可以将Sn的式子变形，得到qSn=1q+2q^2+3q^3+。

+(n-1)q^(n-1)+nq^n1-q)Sn=(1+q+q^2+q^3+。

+q^(n-1))-nq^n1-q)Sn=(1-q^n)/(1-q)-nq^nSn=[(1-q)/(1-q)^2]-nq^n/(1-q)当q<1且n→∞时，q^n→0，1+q+q^2+q^3+。

+q^(n-1)→1/(1-q)，因此limSn=lim[(1-q)/(1-q)^2]-lim(nq^n/(1-q))1/(1-q)^2因此，极限为1/(1-q)^2.注：关于lim(1+2q+3q^2+4q^3+。

+nq^(n-1))/(q→0)，当n→∞时，q^n→0，1+2q+3q^2+4q^3+。

极限专题（八）：极限计算三十种思路总结与专题练习通过专题总结，我们已经知道极限的多种计算方法，包括级数收敛的必要条件、比值极限与根值极限的关系、等价无穷小与等价无穷大替换、洛必达法则、施笃兹定理、单调有界准则、夹逼准则、积分中值定理、微分中值定理、定积分与重积分的精确定义、积分的变限与加边问题、华里士公式、斯特林公式等. 大家可以回读以前的各专题来温习这些方法.只有这些零碎的方法是不够的，我们需要系统地对重要的内容进行总结归纳并加以综合实战. 本专题首先全面归纳极限的相关计算技巧、方法，总结一下拿到一道计算题后应该有的思路，然后提供一份极限计算的综合练习题，并附以参考答案.第一部分思路总结我们首先全面归纳极限的相关计算技巧、方法.一、利用定义证明当一个极限形式较为简单，且结果已知时，可以用极限的定义加以证明.二、函数极限的直接代入法当一个函数在趋向点处连续时，可以将趋向点直接代入函数解析式中，得出极限结果.三、通过计算单侧极限求极限若左右极限的情况差别较大，尤其是当无穷大处的指数函数或反正（余）切函数、整点处的取整函数、分段点处的分段函数等情形出现时，则一般需要分别考虑左右极限.四、借助简单的概念判断来确定极限如“有界量”乘以“无穷小量”趋近于0，“有界量”除以“无穷大量”趋近于无穷大，“趋于非零常数的量”乘以“无穷大量”趋近于无穷大，“绝对值小于1的常数”的无穷大次幂趋于0，正的常数开无穷大次方趋近于1等等. 此外，在计算某些∞/∞极限时，还可以比较函数或数列值趋于无穷的速度，如指数函数比幂函数趋于无穷的速度快，故当x→+∞时，x100/2x的极限等于0五、根据子列极限情况推导原数列极限情况若能在数列中取出两不同子列，使得这两个子列的极限不相等，则可以断定原极限不存在；若能在数列中取出一个发散的子列，也能说明原极限不存在. 若所有奇数项以及偶数项组成的两子列极限均存在且相等，则可以说明原数列极限也存在且等于这个值，即数列的奇数项构成的数列与偶数项构成的数列的极限存在并且相等时，则原数列的极限存在并且等于相同的极限值.六、海涅定理利用海涅定理证明函数极限不存在，或进行从函数极限到数列极限的转化.海涅定理的内容：函数f(x)在x→x0时极限等于A的充要条件是，对于任何满足以下三个条件的数列{x n}，都有n→+∞时f(x n)的极限等于A成立：（1）对任何正整数n，都有x n≠x0；（2）对任何正整数n，f(x n)都要有定义；（3）n→+∞时x n→x0.要证明一个函数极限不存在有两种思路：一是找到一个满足定理中三个条件的数列{x n}使得n→+∞时f(x n)的极限不存在；二是找到两个满足定理中三个条件的数列{x n}和{x'n}使得n→+∞时f(x n)和f(x'n)不相等.此外，若某个函数极限的值已经确定，则对应的数列极限也为此值，这里的理论依据也是海涅定理. 通过这个道理，我们可以将某些数列极限转化为函数极限进行计算（这样方便求导、使用洛必达法则等），然后转化回数列极限.七、因式分解某一些多项式是可以因式分解从而约去致零因子的，进一步可以定出未定式的极限值.八、化无穷大为无穷小我们可以在一个分式的极限中，给分子和分母同时除以式中出现的最高阶的无穷大，从而使得其他的无穷大量都变成无穷小，易于算出极限.九、有理化若式中出现了无理式，可以使用有理化的方法进行恒等变形. 若分子中出现了无理式，可对分子进行有理化；若分母中出现了无理式，可对分母进行有理化；若均出现，可以分子分母同时有理化. 有理化的具体方法就是，对分子和分母同时乘以无理式的“共轭根式”. 如果两个根式的乘积不含根号，就称这两种形式互为共轭根式，比如：十、求和求积恒等变限求极限先求和或求积再求极限，或对式子进行其他简单的恒等变形，再求极限. 如果某个式子易于直接求和，或易于直接求积，或能通过简单的变形求出极限，不妨就先变形，以便于迅速求得极限.十一、利用对数恒等式N=e lnN. 在计算幂指函数的极限时，经常需要我们通过这个恒等式化简，让幂指函数消失，极限就易于求出了.十二、利用三角恒等变换公式三角恒等变换公式在一些关于三角函数的题目中可以起到至关重要的化简作用. 这一点在不定积分的计算中体现得更加淋漓尽致.十三、利用重要极限有许多关于三角函数或1∞的题目都可以分别向着这两个极限的框架靠拢，根据这两条结论计算极限值.十四、变量替换法若式中多次出现某一复杂部分，可以令这个复杂的部分为一个新元，分析出这个新元的趋向，从而化简极限.十五、等价无穷小量代换与等价无穷大量代换我们必须记住常见的等价无穷小与等价无穷大的结论，如果在题目中见到了这些形式，一定要及时地运用结论进行等价无穷小或等价无穷大的代换. 具体可参照以往的专题（二）.十六、洛必达法则与施笃兹定理对于0/0型和∞/∞型的函数极限，我们可以使用洛必达法则，即分子分母分别求导，但一定要注意法则的使用条件. 对于其余类型的未定式，也可以转化为0/0型和∞/∞型的极限. 对于数列极限，由于其不能求导，所以必须先求对应的函数极限，再通过海涅定理转化成数列极限. 此外，对于0/0型和∞/∞型的数列极限，也可使用施笃兹定理解决，依然必须留意定理的使用条件. 具体可参考以往的专题（三）.十七、利用夹逼准则无论是具体型还是抽象型的极限，夹逼准则都是一个重要的思想，对数列或函数进行适当的放缩，合理地定出其上下界，进而确定极限值. 此外，压缩映射的思想也是十分重要的. 关于这部分内容，学友们可以阅读以往的专题（四）.十八、单调有界准则我们可以通过证明数列或函数的单调性和有界性，确定极限的存在性，再通过解方程等方法定出具体的极限值. 具体也可参照专题（四）.十九、利用中值定理中值定理可以分为微分中值定理和积分中值定理. 若极限中出现了函数值的增量，则可以考虑拉格朗日中值定理或柯西中值定理，若出现了定积分，则可以考虑积分中值定理（出现定积分的极限有时还可以直接计算积分或使用夹逼准则等方法，若是积分上限函数的分式形式，还可以使用洛必达法则，具体可回读以往的专题（四）和专题（五））.二十、泰勒（麦克劳林）公式展开法若函数较为复杂，但易于展开成泰勒级数，则可以使用这种方法求出极限. 本文附有相关例题进行练习和讲解，如16题与21题.二十一、利用导数定义导数本身就是通过极限来定义的，如果一个极限形式便于化成导数定义的形式，则可以转化成导数.二十二、利用定积分或重积分定义若一个极限便于凑成积分和的形式，则可以转化成积分的计算. 这部分内容可以参看以往的专题（五）和专题（六）.二十三、利用级数收敛的必要条件若一个级数收敛，则通项数列将收敛于0. 具体可参照以往的专题（一）.二十四、利用级数求和的方法若一个极限可以转化成某个级数的和，如幂级数或傅里叶级数，则可以用相关的级数求和方法进行计算.二十五、利用柯西收敛准则数列{x n}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当m>N，n>N时，有| x n -x m|<ε. 利用这个准则，仅能判定数列收敛还是发散，既没有用到也不能求出具体的极限值. 想要求出极限值，必须还得辅以别的方法——甚至有的极限结果无法解析地表示出来.二十六、利用“比值极限”与“根值极限”的关系根值型极限是可以转化成比值型极限的，具体可参考以往的专题（一）.二十七、利用华里士（沃利斯，Wallis）公式若式中出现了双阶乘的比值，可能会用到华里士（沃利斯，Wallis）公式.二十八、利用斯特林公式若式中出现了阶乘，可以通过斯特林公式将阶乘化掉. Wallis公式与斯特林公式可参考以往的专题（七）.二十九、利用其他学科的方法有时，微积分可以和其他学科如线性代数、概率论与数理统计、复变函数论等学科紧密结合，希望大家可以灵活变通.三十、熟能生巧这才是计算极限的终极奥义，只有通过大量的练习，才会对各种题目都可以轻松解决，手到擒来.至此，极限计算专题已经结束，希望大家在阅读了这套极限计算专题之后可以通过大量的实践来反复练习，直至完全掌握. 极限是微积分或数学分析中极为重要的概念，希望学友们对其加以重视.第二部分综合练习下面将提供30道综合练习题，除了能练习一些求极限的基本能力，以及在之前的专题中学到的方法之外，还能体会到许多其它的新思想，希望大家能好好利用这份习题，提升能力.参考解答参见后续推文！感谢学友Veecen的热心整理分享，欢迎更多学友分享好的学习资源、学习经验和大学生活经历，分享热线：微信、QQ、邮箱都为QQ 号码：492411912.•极限专题（七）利用华里士公式与斯特林公式求极限•极限专题（六）：积分定义中的变限与加边问题•极限专题（五）：利用微分中值定理与积分定义求极限•极限专题（四）：利用单调有界准则与夹逼准则求极限•极限专题（三）：利用洛必达法则与施笃兹定理求极限•极限专题（二）：利用等价无穷小与等价无穷大替换求极限•极限专题（一）：利用级数相关判别法和性质求极限•中值定理证明与辅助函数构造思路与方法（一）•中值定理证明与辅助函数构造思路与方法（二）相关推荐有关极限计算几大最基本，也是最重要方法的详细分析、探索，应用方法的问题类型，以及应用各方法应该注意事项的讨论可以参见《公共基础课》在线课堂历届竞赛真题和专题解析教学视频. 每届视频针对不同的极限问题类型和不同的求极限方法，以经典实例方式给出了一般的求极限思路与步骤，并对解题思路、思想、方法以及相关内容进行了归纳总结与延伸拓展，其中第三届、第六届、第九届、第十届真题解析视频相对包含问题类型最多，方法也最多.。

求极限的常用方法1.直接代入法：对于初等函数f()的极限，，若f()在0处的函数值f(0)存在，即。

直接代入法的本质就是只要将=0代入函数表达式，若有意义，其极限就是该函数值（称为“能代则代”）。

例I ：求极限 （1） （2）（3）解：（1）（2）（3）2.变型法（包括两个重要极限）通俗地说代入后无意义的极限称为不定式，（如0/0,∞/∞,∞-∞ 等）此时若极限存在往往要变形后才可看出。

例I ：求极限 （1） （2）解：（1）（2）两个重要极限是1sin lim0=→x x x 和e x nx x x n n x x =+=+=+→∞→∞→10)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。

主要考第二个重要极限。

例I ：求极限2cos 1limxx x -→解：2112122sin 2122sin 212sin 2cos 1222202202lim lim lim lim=∙=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛==-→→→→x x x xx x x xx x x x 例II ：求极限xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛-++∞→11lim【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X1+，最后凑指数部分。

解：222121112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x xx x x =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+∞→+∞→+∞→ 3.利用连续性定义。

例I ：求9323lim--→x x x解：y=932--x x 可看作由y=u 与=u 932--x x 复合而成。

因为lim 3→x 932--x x =61，而函数y=u 在点u=61连续，所以9323lim --→x x x =66619323lim==--→x x x 例II ：求xx a )1(log limx +→ 解：x x a )1(log limx +→=a e x a x a x ln 1log )1(log 1lim ==+→ 例III ：求()xinxx x 3021lim +→解：因为()(),212121)21ln(sin 66sin 21sin 3xx xxxx x xex x +∙∙∙=+==+利用定理３及极限的运算法则，便有6)21ln(sin 6sin 30210lim )21(lime ex x x x x x xx ==+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+∙→→4.利用无穷小、无穷大的关系【说明】(1)常见等价无穷小有：当0→x 时,~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x+1e x -,()abx ax x x b~11,21~cos 12-+- 例1：求极限0ln(1)lim1cos x x x x→+=-解 002ln(1)lim lim 211cos 2x x x x x xx x →→+⋅==- 例2：求极限x xx x 30tan sin lim -→解x x x x 30tan sin lim -→613lim 31cos lim sin lim 222102030-=-==-=-=→→→xx x x x x x x x x 例3因式代替规则xx x x 3sin tan lim 0-→xx x x 3)1cos 1(sin lim-=→212lim 33==→x xx 5.利用极限的性质法（如四则运算）利用极限的4则运算法则C C x x =→0lim ，a x ax =→lim ，a x n n ax =→lim ，ka x n n ax k =→lim例1：求52123lim232+---∞→x x x x x解：先用x3除分子和分母，然后求极限，得52123lim232+---∞→x x x x x 020512123lim332==+---=∞→xx x x x x 例2：求4532lim21+--→x x xx解，因为分母的极限0415)45(lim 1221=+∙-=+-→x x x ，不能应用商的极限的运算法则，但因03124153245lim 1221=-∙+∙-=-+-→x x x x所以∞=+--→4532lim21x x xx6.洛必达法则（求不定式极限）定理一 设（1） 当x →a 时，f(x)及F （x ）都趋向于零；（2） 在点a 的某一去心领域内，f ’(x)及F ’(x)都存在且F ’(x)≠o ；（3） )(')('lim x F x f a x →存在（或为无穷大）； 那么)(')('l i m )()(l i m x F x f x F x f a x a x →→=定理二 设（1） 当x 时，∞→函数f(x)及F(x)都趋向于零； （2） 当；）都存在，且与时0('F )(')('x ≠>x x F x f N （3） 或为无穷大），存在()(')('limx F x f x ∞→那么）x F x f x F x f x (')('l i m )()(l i m x ∞→∞→= 例1：求1-23lim 2331x +-+-→x x x x x解：原式=23266lim 12333lim 1221=-=---→→x x x x x x x例2：求λλ为正整数，n ex x nx(lim +∞→>0) 解：原式===-=-+∞→-+∞→...)1(lim lim 221x n x x n x ex n n e nx λλλλ0!lim =+∞→xn x e n λλ 例3：求)0(ln lim 0>++→n x x n x解：原式=0(lim 1lim lim 01010=-=-=+++→--→-→）nx nx x x x nx n x n x 7.积分法积分求极限法：例一：求21cos 02limxe x dtt x ⎰-→。

8.用初等方法变形后，再利用极限运算法例求极限3x 12limx1例1x 1(3x1)2223x 33limlimx1(x1)(3x12)x1(x1)(3x12)4解：原式=。

注：此题也能够用洛比达法例。

limn(n 2n 1)n例2分子分母同除以nn[(n 2)(n 1)]33limlimnnn2n121211解：原式=nn。

上下同除以3n(1)n 1nnlim 31(1)3nlim(2)n 1例3n2n3n 解：原式3。

3．两个重要极限lim sinx1（1）x0x1lim(1x)xelim(11)x ex（2）x0；x说明：不单要能够运用这两个重要极限自己，还应能够娴熟运用它们的变形形式，1xlim sin3x1lim(12x)2xelim(13)3e比如：x03x，x0，xx；等等。

利用两个重要极限求极限2sin 2x2sin 2x221lim2lim 1cosx3xx 26xx 0lim 12()例5x03x 2解：原式=2。

注：此题也能够用洛比达法例。

216sinx 16sinx xlim(13sinx)xlim(13sinx)3sinxxlim[(13sinx)3sinx ]e6例6x=xx0n13nn13nlim(n 2)nlim(13)3n1lim[(13)3]n1e 3例7nn1=nn1nn1。

4．等价无量小定理2无量小与有界函数的乘积仍旧是无量小（即极限是0）。

定理3当x 0时，以下函数都是无量小（即极限是0），且互相等价，即有：x ～sinx ～tanx ～arcsinx ～arctanx ～ln(1x)～e x 1。

说明：当上边每个函数中的自变量x 换成g(x)时（g(x)0），仍有上边的等价关系建立，比如：当x 0时，e3x 1～3x；ln(1x 2)～x2。

f(x),g(x),f 1(x),g 1(x)xx 0f(x)定理4假如函数都是时的无量小，且～f 1(x)f(x)f 1(x)lim lim lim f 1(x)g(x)g 1(x)xx 0g 1(x)xx 0g(x)f(x)xx 0g 1(x)，～，则当存在时，也存在且等于，f(x)f 1(x)limlim即xx 0g(x)=xx 0g1(x)。

求极限的方法及例题一、利用极限的四则运算法则求极限。

# （一）知识点回顾。

若limlimits_x to x_0 f(x)=A，limlimits_x to x_0 g(x)=B，则：1. limlimits_x to x_0[f(x) ± g(x)]=limlimits_x to x_0 f(x) ± limlimits_x to x_0 g(x)=A ± B；2. limlimits_x to x_0[f(x) · g(x)]=limlimits_x to x_0 f(x) · limlimits_x to x_0 g(x)=A ·B；3. limlimits_x to x_0(f(x))/(g(x))=frac{limlimits_x to x_0 f(x)}{limlimits_x to x_0g(x)}=(A)/(B)(B≠0)。

# （二）例题。

求limlimits_x to 1(2x^2 3x + 1)。

解析：根据极限的四则运算法则，分别求各项的极限再进行运算。

对于函数f(x)=2x^2，limlimits_x to 12x^2 = 2limlimits_x to 1x^2，因为limlimits_x to 1x = 1，所以limlimits_x to 1x^2 = (limlimits_x to 1x)^2 = 1^2 = 1，则limlimits_x to 12x^2 = 2×1 = 2。

对于函数g(x)=-3x，limlimits_x to 1(-3x)=-3limlimits_x to 1x=-3×1=-3。

对于常数函数h(x)=1，limlimits_x to 11 = 1。

所以limlimits_x to 1(2x^2 3x + 1)=limlimits_x to 12x^2-limlimits_x to13x+limlimits_x to 11 = 2 3 + 1 = 0。

2 求极限的常用方法 2.1 定义法该方法在求极限的过程中很适于证明题.定义 1 在此我们用ε-δ定义极限,即设函数()f x 在0x 的某个空心邻域001(;)U x δ内有定义,A 为定数,若对任给的ε>0,存在正数δ（<1δ）使得当0<∣x -0x ∣<δ时有∣()f x -A ∣<ε,称函数()f x 当x 趋于0x 时以A 为极限,记作 0lim ()x x f x A →=.例1 证明 0lim 1(1)x x a a →=>.证 任给0(1)εε><不妨设，为使1x a ε-<， （*）即11x a εε-<<+，利用对数函数㏒a x （当1a >时）的严格增性，只要㏒(1)a x ε-<<㏒(1)ε+, 于是，令{}min log (1),log (1)a a δεε=+--，则当0<︱x ︱< δ时，就有（*）式成立，从而证得结论.注：本题是直接运用定义法进行证明极限的一类典型例题，解题中关键是δ值的确定是有技巧的，在以后的解题中要注意这一点. 2.2 利用单调有界原理求极限定理1 在实数系中，有界的单调数列必有极限.例2 设).(211nn n x ax x +=+其中a >0,00>x ,求n n x ∞→lim .解 因为nn n n n x ax x a x x .)(211≥+=+=a ，所以｛n x ｝有下界． 又1)1(21)1(21221=+≤+=+aax a x x n n n ，有}{n x 单减,然后对两边求极限，有⎪⎭⎫⎝⎛+=l a l l 21，则a l ±=()0>l ，a l =，故a x n n =∞→lim .注：本题要求的是数列项极限问题，于是我们很自然的联想到单调有界定理；但是我们首先要根据题中已知的递推关系式来判定该数列的有界性和单调性，经判定符合定理条件之后即可对其运用定理来求解，这也是解此类题的一般思路和方法.2.3 通过连续求极限在高等数学中,极限是继函数概念的有一个最重要最基本的概念,极限可以进一步阐明函数的连续性,而函数连续性也可以应用于极限的求解.我们知道f 在0x 连续等价于0lim ()x x f x →=0(lim )x x f x →,利用这个原理我们可以得到下面的定理.定理2 若函数f 在点0x 连续，g 在点0u 连续，0u =0()f x ，则复合函数g f 在点0x 连续.公式表示即：00lim (())(lim ())(())x x x x g f x g f x g f x →→==.这也是我们求极限的一种方法——连续函数法,我们看一道例题: 例3 求极限21limsin (1)x x →-.解 2sin(1)x -可以看作函数()sin g u u =与2()1f x x =-的复合.由公式可得，2211limsin(1)sin(lim(1))sin 00x x x x →→-=-==.注：若复合函数gf 的内函数f 当0x x →时极限为a ，而0()a f x ≠或f 在0x 无定义（即0x 为f 的可去间断点），又外函数g 在u a =连续，则我们仍可以用上述定理来求复合函数的极限，即有lim (())(lim ())x x x x g f x g f x →→=.2.4 利用迫敛性定理求极限定理3 设0lim ()x x f x →=0lim ()x x g x → =A ,且在某空心邻域00;()U x δ'内有()f x ≤()h x ≤()g x ,则0lim ()x x h x →=A .[]1例4 求01lim []x xx →.解 当x >0时有，1-x <x [1x]≤1, 而0lim(1)x x +→-=1，故由迫敛性得， 01lim []x x x+→=1. 另一方面，当x <0时有1≤x [1x]<1-x ,故由迫敛性又可得, 01lim []x x x-→=1. 综上我们可得 01lim []x xx →=1.注：运用迫敛性定理来解题时,要求我们有一点构造思想,正如本题中1-x <x [1x]≤1这个关系式的构造;然后就是运用相关知识来证明极限的值,再由迫敛性定理即可求得结果.2.5 依据四则运算法则求极限[]2若极限0lim ()x x f x →与0lim ()x x g x →都存在,则函数f ±g , f •g 当x →0x 时极限也存在,且⑴0lim[()()]x x f x g x →±=0lim ()x x f x →±0lim ()x x g x →;⑵0lim[()()]x x f x g x →=0lim ()x x f x →0lim ()x x g x →;又若0lim ()x x g x →≠0,则f ／g 当x →0x 时极限存在,且有⑶0()lim()x x f x g x →=0lim ()x x f x →／0lim ()x x g x →.利用函数极限的迫敛性与四则运算法则,我们可从一些简单的函数极限出发,计算较复杂的函数极限.例5 求4lim(tan 1)x x x π→-.解 由tan x x = sin cos xθθ则有，44lim sin sinlim cos 42x x x x πππ→→===， 由四则运算法则有，4lim(tan 1)x x x π→-=4444lim sin lim lim11lim cos 4x x x x xxxπππππ→→→→-=-.注：本题是相对简单的，即直接运用四则运算法则中的减法和除法，把原极限式展开分别求极限即可；其实运用四则运算求解极限时，一般的解题思路就是展开、分别求解极限.。

高中数学极限问题解题思路与例题在高中数学中，极限问题是一个重要的概念，它在微积分和数学分析等领域中发挥着重要的作用。

解决极限问题需要良好的数学思维和方法，本文将介绍一些常见的解题思路，并通过例题来说明。

一、数列极限问题的解题思路1. 递推法：对于递推数列，通过递推关系式来确定极限。

例如，对于等差数列an=2n+1，可以通过推导和观察得出其极限为无穷大。

2. 逼近法：对于数列an，通过构造逼近数列bn，使得bn与an的差趋近于零，然后求出bn的极限，进而得到an的极限。

例如，在求解数列an=√n的极限时，可以构造逼近数列bn=n，通过求bn的极限等于无穷大，得出an的极限也等于无穷大。

3. 按定义法：对于给定的数列an，根据极限的定义进行证明。

例如，证明数列an=1/n的极限为零，可以通过定义极限的方式来进行推导。

二、函数极限问题的解题思路1. 代入法：当函数在某一点不存在或无法求极限时，可以尝试代入近似值进行计算。

例如，求f(x)=sinx/x在x=0处的极限时，可以通过代入x的近似值0.001、0.0001等进行计算。

2. 夹逼法：对于函数f(x)，如果在某一区间内存在两个函数g(x)和h(x)，且g(x)≤f(x)≤h(x)，并且g(x)和h(x)的极限均为L，则可以推导出f(x)的极限也为L。

例如，在证明函数f(x)=xsin(1/x)在x=0处的极限为零时，可以构造函数g(x)=-|x|和h(x)=|x|，并证明f(x)被夹在g(x)和h(x)之间。

3. 导数法：对于某些特殊的函数，可以通过求导数来求极限。

例如，对于函数f(x)=e^x/x，在x趋近于正无穷时，可以通过求导数得到f'(x)=e^x/x^2，在取极限时，可以得到极限为无穷大。

三、综合例题例题1：求极限lim(n→∞) (√n+1-√n)。

解：对于这个极限问题，我们可以利用有理化的方法进行求解。

首先，我们将式子进行分子有理化，得到(√n+1-√n)×(√n+1+√n)/(√n+1+√n)。

【最新整理，下载后即可编辑】求极限的13种方法（简叙）龘龖龍 极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，极限思想亦是高等数学的核心与基础，因此，全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。

本篇较为全面地介绍了求数列极限与函数极限的各种方法，供同学参考。

一、利用恒等变形求极限利用恒等变形求极限是最基础的一种方法，但恒等变形灵活多变，令人难以琢磨。

常用的的恒等变形有：分式的分解、分子或分母有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式的利用等。

例1、求极限)1...()1)(1(22lim na aa n +++∞→ ，其中1<a分析 由于积的极限等于极限的积这一法则只对有限个因子成立，因此，应先对其进行恒等变形。

解 因为)1...()1)(1(22na a a +++ =)1...()1)(1)(1(1122na a a a a +++-- =)1...()1)(1(11222na a a a ++-- =)1(1112+--n a a 当∞→n 时，,21∞→+n 而1<a ，故从而,012→+n a)1...()1)(1(22lim na a a n +++∞→=a-11二、利用变量代换求极限利用变量代换求极限的主要目的是化简原表达式，从而减少运算量，提高运算效率。

常用的变量代换有倒代换、整体代换、三角代换等。

例2、求极限11lim 1--→nmx x x ，其中m,n 为正整数。

分析 这是含根式的（0）型未定式，应先将其利用变量代换进行化简，再进一步计算极限。

解 令11,1→→=t x x t mn时，则当原式=mnt t t t t t t t t t t t m m n n m m n n t m n t =++++++=+++-+++-=----------→→1...1...)1...)(1()1...)(1(lim 11lim 2121212111 三、利用对数转换求极限利用对数转换求极限主要是通过公式,ln v u v e u ⋅=进行恒等变形，特别的情形，在（∞1）型未定式时可直接运用v u v e u ⋅-=)1(例3、求极限ox →lim xx 2csc )(cos解 原式=ox →lim 21sin sin 21lim csc )1(cos 2202---==→ee e xx xx x四、利用夹逼准则求极限利用夹逼准则求极限主要应用于表达式易于放缩的情形。