高中数学必修二课件：平面与平面垂直(第2课时)

1.6.2平面与平面垂直的判定

一、教学目标

1、知识与技能：（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。

2、过程与方法：（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。

3、情态与价值：通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。

二、教学重点、难点

重点：平面与平面垂直的判定。 难点：如何度量二面角的大小。

三、学法与教法

1、学法：实物观察，类比归纳，语言表达。2、教法：探究讨论法。

四、教学设计

（一）创设情景，揭示课题：问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？以上问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势抛出问题：在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？如修水坝、发射人造卫星等，而这样的角有何特点，该如何表示呢？下面我们共同来观察,研探。

（二）研探新知

1、二面角的有关概念

老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）

角 二面角

图形 A

边

顶点 O 边 B A

梭 l β

B

α

定义 从平面内一点出发的两条射线（半从空间一直线出发的两个半平面所组

直线）所组成的图形 成的图形

构成 射线 — 点（顶点）一 射线 半平面 一 线（棱）一 半平面

1.6.3直线与平面垂直的性质，平面与平面垂直的性质

一、教学目标

1、知识与技能：（1）使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；（2）能运用性质定理解决一些简单问题；（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系。

2、过程与方法：（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；（2）性质定理的推理论证。

3、情态与价值：通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力。

二、教学重点、难点：两个性质定理的证明。

三、学法与教法

1、学法：直观感知、操作确认，猜想与证明。2、教法：探究讨论法。

四、教学设计

（一）创设情景，揭示课题

问题：若一条直线与一个平面垂直，则可得到什么结论？若两条直线与同一个平面垂直呢？

让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。（自然进入课题内容）

（二）研探新知

1、操作确认：观察长方体模型中四条侧棱与同一个底面的位置关系。如图2.3—4，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1、BB1、CC1、DD1所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间是有什么位置关系？（显然互相平行）然后进一步迁移活动：已知直线a⊥α 、b⊥α、那么直线a、b一定平行吗？（一定）我们能否证明这一事实的正确性呢？

图2.3-4 图2.3-5 A1

B D1

A C a b

α C1

B1

D

2、推理证明

引导学生分析性质定理成立的条件，介绍证明性质定理成立的特殊方法——反证法，

然后师生互动共同完成该推理过程 ，最后归纳得出：垂直于同一个平面的两条直线平行。

（三）应用巩固

例子：课本P.74例4

做法：教师给出问题，学生思考探究、判断并说理由，教师最后评议。

（四）类比拓展，研探新知

- 1 - 十四 平面与平面垂直的判定

【基础全面练】 (20分钟 35分)

1．直线l⊥平面α，l⊂平面β，则α与β的位置关系是( )

A．平行 B．可能重合

C．相交且垂直 D．相交不垂直

【解析】选C.由面面垂直的判定定理，得α与β垂直．

2．已知直线m，n与平面α，β，给出下列结论：

①若m∥α，n∥α，则m∥n；

②若m∥α，n⊥α，则m⊥n；

③若m⊥α，m∥β，则α⊥β.

其中正确结论的个数是( )

A．0 B．1 C．2 D．3

【解析】选C.①若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或异面，故①错误；易知②③正确．所以正确结论的个数是2.

3．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有________.

【解析】设平面外的点为A，平面内的点为B，过点A作平面α的垂线l，若点B恰为垂足，则所有过AB的平面均与α垂直，此时有无数个平面与α垂直；若点B不是垂足，则l与点B确定唯一一个平面与α垂直．

答案：1个或无数个

4．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26

，则侧面与底面所成的二面角为________. 【解析】正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26 ，则底面边长为23 ，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，所以侧面与底面所成的二面角的正切值为3 ，故所求的二面角为60°.

答案：60°

5．如图，P是二面角α­AB­β的棱AB上一点，分别在α，β上引射线PM，PN，截PM＝PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，则二面角α­AB­β的大小是________．

- 2 - 【解析】过M在α内作MO⊥AB于点O，连接NO，设PM＝PN＝a，因为∠BPM＝∠BPN＝45°，

所以△OPM≌△OPN，所以ON⊥AB，

所以∠MON为所求二面角的平面角，连接MN，

因为∠MPN＝60°，所以MN＝a，

又MO＝NO＝22 a，

1 2.3.2《平面与平面垂直的判定》同步练习

一、选择题

1．下列命题中：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系，其中正确的是( )

A．①③ B．②④

C．③④ D．①②

[答案] B

[解析] 对①，显然混淆了平面与半平面的概念，是错误的；对②，由于a，b分别垂直于两个面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角(或直角)，所以应是相等或互补，是正确的；对③，因为不垂直于棱，所以是错误的；④是正确的，故选B.

[点评] 根据二面角的相关概念进行分析判定．

2．以下三个命题中，正确的命题有( )

①一个二面角的平面角只有一个；②二面角的棱垂直于这个二面角的平面角所在的平面；③分别在二面角的两个半平面内，且垂直于棱的两直线所成的角等于二面角的大小

A．0个 B．1个

C．2个 D．3个

[答案] B

[解析] 仅②正确．

3．已知α，β是平面，m、n是直线，给出下列表述：

①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；

②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；

③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交；

④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β.

其中表述正确的个数是( )

A．1 B．2

C．3 D．4

[答案] B

[解析] ①是平面与平面垂直的判定定理，所以①正确；②中，m，n不一定是相交直线，不符合两个平面平行的判定定理，所以②不正确；③中，还可能n∥α，所以③不正确；④中，由于n∥m，n⊄α，m⊂α，则n∥α，同理n∥β，所以④正确．

4．正方体A1B1C1D1－ABCD中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正 2 切值等于( )