2017年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷含解析

1 / 29 2017年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）

1．已知集合A={﹣1，0，1}，B=（﹣∞，0），则A∩B=

．

2．设复数z满足（1+i）z=2，其中i为虚数单位，则z的虚部为 ．

3．已知样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，则样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为 ．

4．如图是一个算法流程图，则输出的x的值是 ．

5．在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为 ．

6．已知实数x，y满足，则的最小值是 ．

7．设双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为 ．

8．设{an}是等差数列，若a4+a5+a6=21，则S9= ．

9．将函数的图象向右平移φ（）个单位后，所得函数为偶函数，则φ= ． 2 / 29 10．将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O﹣EFG体积的最大值是

．

11．在△ABC中，已知，，则的最大值为 ．

12．如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线上从左向右依次取点Ak、Bk，k=1，2，…，其中A1是坐标原点，使△AkBkAk+1都是等边三角形，则△A10B10A11的边长是 ．

13．在平面直角坐标系xOy中，已知点P为函数y=2lnx的图象与圆M：（x﹣3）2+y2=r2的公共点，且它们在点P处有公切线，若二次函数y=f（x）的图象经过点O，P，M，则y=f（x）的最大值为 ．

14．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2+2c2=8，则△ABC面积的最大值为 ．

二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）

15．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点．

（1）求证：B1C1∥平面A1DE；

（2）求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1．

16．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且bsin2C=csinB．

（1）求角C； 3 / 29 （2）若，求sinA的值．

17．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=b2经过椭圆（0＜b＜2）的焦点．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）设直线l：y=kx+m交椭圆E于P，Q两点，T为弦PQ的中点，M（﹣1，0），N（1，0），记直线TM，TN的斜率分别为k1，k2，当2m2﹣2k2=1时，求k1•k2的值．

18．如图所示，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中AE=30米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD，上部分是以DC为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足．

（1）若设计AB=18米，AD=6米，问能否保证上述采光要求？

（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB与AD的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）

19．设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+﹣3（a∈R）．

（1）当a=2时，解关于x的方程g（ex）=0（其中e为自然对数的底数）； 4 / 29 （2）求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；

（3）当a=1时，记h（x）=f（x）•g（x），是否存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）．

20．若存在常数k（k∈N*，k≥2）、q、d，使得无穷数列{an}满足则称数列{an}为“段比差数列”，其中常数k、q、d分别叫做段长、段比、段差．设数列{bn}为“段比差数列”．

（1）若{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q、3．

①当q=0时，求b2016；

②当q=1时，设{bn}的前3n项和为S3n，若不等式对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；

（2）设{bn}为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的{bn}，并说明理由．

数学附加题部分（本部分满分0分，考试时间30分钟）[选做题]（在21、22、23、24四小题中只能选做2题，每小题0分，计20分）[选修4-1：几何证明选讲]

21．如图，AB是半圆O的直径，点P为半圆O外一点，PA，PB分别交半圆O于点D，C．若AD=2，PD=4，PC=3，求BD的长．

[选修4-2：矩阵与变换]

22．设矩阵M=的一个特征值λ对应的特征向量为，求m与λ的值．

5 / 29 [选修4-4：坐标系与参数方程]

23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线为参数）．现以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l与圆C交于A，B两点，求弦AB的长．

[选修4-5：不等式选讲]

24．若实数x，y，z满足x+2y+z=1，求x2+y2+z2的最小值．

[必做题]（第25、26题，每小题0分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）

25．某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．

（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；

（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E（X）．

26．设n∈N*，n≥3，k∈N*．

（1）求值：

①kCnk﹣nCn﹣1k﹣1；

②k2Cnk﹣n（n﹣1）Cn﹣2k﹣2﹣nCn﹣1k﹣1（k≥2）；

（2）化简：12Cn0+22Cn1+32Cn2+…+（k+1）2Cnk+…+（n+1）2Cnn．

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2017年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）

1．已知集合A={﹣1，0，1}，B=（﹣∞，0），则A∩B=

{﹣1} ．

【考点】交集及其运算．

【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．

【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B=（﹣∞，0），

∴A∩B={﹣1}，

故答案为：{﹣1}

2．设复数z满足（1+i）z=2，其中i为虚数单位，则z的虚部为 ﹣1 ．

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】把给出的等式两边同时乘以，然后运用复数的除法进行运算，分子分母同时乘以1﹣i．整理后可得复数z的虚部．

【解答】解：由（1+i）z=2，得：．

所以，z的虚部为﹣1．

故答案为﹣1．

3．已知样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，则样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为 12 ．

【考点】极差、方差与标准差．

【分析】利用方差性质求解．

【解答】解：∵样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，

∴样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为：

22s2=4×3=12． 7 / 29 故答案为：12．

4．如图是一个算法流程图，则输出的x的值是

9 ．

【考点】程序框图．

【分析】模拟执行程序，即可得出结论．

【解答】解：由题意，x=1，y=9，x＜y，

第1次循环，x=5，y=7，x＜y，

第2次循环，x=9，y=5，x＞y，

退出循环，输出9．

故答案为9．

5．在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为 ．

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．

【分析】基本事件总数n=，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，由此能求出选中的数字中至少有一个是偶数的概率．

【解答】解：在数字1、2、3、4中随机选两个数字，

基本事件总数n=，

选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数， 8 / 29 ∴选中的数字中至少有一个是偶数的概率为p=1﹣=．

故答案为：．

6．已知实数x，y满足，则的最小值是 ．

【考点】简单线性规划．

【分析】先作出不等式组所表示的平面区域，由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率，结合图形可求斜率最大值

【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域如图所示：

由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率，

结合图形可知，当直线过OA时 斜率最小．

由于可得A（4，3），此时k=．

故答案为：．

7．设双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为 ．

【考点】双曲线的简单性质． 9 / 29 【分析】求出双曲线的渐近线方程，可得a=，则c==2，再由离心率公式，即可得到双曲线的离心率．

【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，

则tan30°=即为a=，则c==2，

即有e=．

故答案为．

8．设{an}是等差数列，若a4+a5+a6=21，则S9=

63 ．

【考点】等差数列的前n项和．

【分析】由等差数列的通项公式求出a5=7，再由等差数列的前n项和公式得，由此能求出结果．

【解答】解：∵{an}是等差数列，a4+a5+a6=21，

∴a4+a5+a6=3a5=21，解得a5=7，

∴=63．

故答案为：63．

9．将函数的图象向右平移φ（）个单位后，所得函数为偶函数，则φ= ．

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

【分析】若所得函数为偶函数，则﹣2φ=+kπ，k∈Z，进而可得答案．

【解答】解：把函数f（x）=3sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，

可得函数y=3sin[2（x﹣φ）+]=3sin（2x+﹣2φ）的图象，

若所得函数为偶函数，

则﹣2φ=+kπ，k∈Z，