专题二、自由落体和竖直上抛

自由落体运动和竖直上抛运动★一、考情直播1．考纲解读考纲内容能力要求考向定位1．将自由落体运动和竖直上抛运动作为匀变速直线运动的经典案例研究1．知道自由落体运动和竖直上抛运动特点．2．能用公式和图象描述自由落体运动和竖直上抛运动；掌握竖直上抛运动的基本规律和两种常见处理方法．一般安排在曲线运动或综合性题中考查，独立命题以选择题为主2.考点整合考点1 自由落体运动规律及应用自由落体：只受重力作用，由静止开始的运动．00=V 加速度为g 的匀加速直线运动．g 的取值与那些因素有关 ①与纬度有关g赤＜g 两极 ； ②与高度有关；③与地下矿藏有关自由落体公式（以开始运动为t=0时刻），其运动规律公式分别为：gt V t =；221gt H =；gH V t 22=[例1]一个物体从塔顶上下落，在到达地面前最后1s 内通过的位移是整个位移的9/25，求塔高．（g 取10m/s 2）解析：设物体下落总时间为t ，塔高为h ，则：221gt h =,2)1(21)2591(-=-t g h由上述方程解得：t=5s ，所以，m gth 125212==答案：125h m =[方法技巧]通常要用初速度为零的匀变速直线运动特殊规律求解．[例2][易错题] 调节水龙头，让水一滴滴流出，在下方放一盘子，调节盘子高度，使一滴水滴碰到盘子时，恰有另一滴水滴开始下落，而空中还有一滴正在下落中的水滴，测出水龙头到盘子的距离为h ，从第一滴开始下落时计时，到第n 滴水滴落在盘子中，共用去时间t ，则此时第（n+1）滴水滴与盘子的距离为多少？当地的重力加速度为多少？解析：设两个水滴间的时间为T ，如图3-1所示，根据自由落体运动规律可得：2214gTh =,t T n gh =-+)1(2所以求得：此时第（n+1）滴水滴与盘子的距离为43h ，当地的重力加速度g=h tn 222)1(+ .答案：43h ；h tn 222)1(+[方法技巧]准确地确定从第一滴开始下落，到第n 滴水滴落在盘子中的时间间隔个数是关键．hh/4图3-1考点2 竖直上抛运动规律及应用竖直上抛：只受重力作用，初速度方向竖直向上的运动．一般定0V 为正方向，则g 为负值．以抛出时刻为t=0时刻．gt V V t -=0 2021gt t V h -=① 物体上升最高点所用时间: g V t 0=；② 上升的最大高度:gV H 22=③ 物体下落时间（从抛出点——回到抛出点）:gV t 02=④落地速度: 0V V t -=，即：上升过程中（某一位置速度）和下落过程中通过某一位置的速度大小总是相等，方向相反．[例3]气球以10m/s 的速度匀速竖直上升，从气球上掉下一个物体，经17s 到达地面．求物体刚脱离气球时气球的高度．（g=10m/s 2）解析：可将物体的运动过程视为匀变速直线运动．规定向下方向为正，则物体的初速度为V 0=－10m/s,g=10m/s 2则据h=2021gt t V +,则有：m m h 1275)1710211710(2-=⨯⨯+⨯-=∴物体刚掉下时离地1275m ． 答案：1275m ．[方法技巧]有两种常见方法：（1）全程要用匀变速直线运动规律．注意速度、加速度、位移的方向，必须先规定正方向；（2）分阶段要用匀变速直线运动规律并同时注意上升和下降过程的速率、时间的“对称性”．[例4][易错题]一个小球作竖直上抛运动,经过时间t 1上升到位置x 1,经过时间t 2上升到位置x 2,小球上升到最高点后下落到位置x 2的时间为t 3,继续下落到位置x 1的时间为t 4.求证重力加速度g=8(x 2-x 1)/[(t 4-t 1)2-(t 3-t 2)2].解析：此题求证结果较为复杂,若不加选择地套用竖直上抛运动公式,则很难理出头绪,但如果抓住竖直上抛运动中时间的对称性----从某一位置上升到最高点和从最高点落回该位置所用的时间相等,则可简化问题的处理.设最高点到位置x 1的距离为h 1,则h 1=g[(t 4-t 1)/2]2/2;设最高点到位置x 2的距离为h 2,则h 2=g[(t 3-t 2)/2]2/2;而h 1-h 2=x 2-x 1.将以上三式整理即可证. [方法技巧]抓住对称性，将从某一位置上升到最高点转化为从最高点落回该位置★二、高考重点、热点题型探究重点1：竖直上抛运动规律的应用[真题1]（2004 广东）一杂技演员，用一只手抛球、接球．他每隔0.40s 抛出一球，接到球便立即把球抛出．已知除正在抛、接球的时刻外，空中总有4个球．将球的运动近似看做是竖直方向的运动，球到达的最大高度是（高度从抛球点算起，取2/10s m g =）：A ．1.6m B.2.4m C.3.2m D.4.0m[解析] 空中总有四个球，每两个相邻的球间的时间间隔为0.40s ，则每个球上往返时间为1.60s ，即上升阶段时间为0.80s ，根据竖直上抛运动规律可知，上升和下落时间对称，故球达到的最大高度为：2211100.80 3.222h gt m m ==⨯⨯=．[答案] C[名师指引]考点：竖直上抛运动．利用竖直上抛运动的上升和下落时间的对称性求解． 热点1：竖直上抛运动模型的应用[真题2](2005 全国Ⅰ)原地起跳时，先屈腿下蹲，然后突然蹬地．从开始蹬地到离地是加速过程（视为匀加速），加速过程中重心上升的距离称为“加速距离”．离地后重心继续上升，在此过程中重心上升的最大距离称为“竖直高度”．现有以下数据：人原地上跳的“加速距离”m d 50.01=，“竖直高度”m h 0.11=；跳蚤原地上跳的“加速距离”m d 00080.02=，“竖直高度”m h 10.02=．假想人具有与跳蚤相等的起跳加速度，而“加速距离”仍为m 50.0，则人上跳的“竖直高度”是多少？[解析] 用a 表示跳蚤起跳的加速度，v 表示离地时的速度，则对加速过程和离地过程分别有)1....(. (222)ad v = )2....(. (222)gh v =若假想人具有和跳蚤相同的加速度a ，令v 表示在这种假想下人离地时的速度，H 表示与此相应的竖直高度，则对加速过程和离地后上升过程分别有)3....(. (212)ad v = )4....(. (22)gH v =由以上各式可得 )5.........(. (2)12d d h H =代入数值，得 )6......(..........63m H =[答案] 63m[名师指引]考点：竖直上抛运动．认识、了解人跳离地面的全过程是解决此类问题的关键．★三、抢分频道限时基础训练（20分钟）班级 姓名 成绩1．（原创题）伽利略通过观察与思考，提出一个大胆的猜想：下落物体的速度随着时间均匀增加．伽利略直接用实验验证下落物体的速度t v ∝遇到了一些困难，因此他设计了斜面实验，下列叙述错误的是（ ）A ．不能测出下落物体的瞬时速度B ．如何用斜面实验验证了t v ∝的关系来说明落体运动也符合这个规律C ．下落物体定位困难D ．当时还没有准确的计时工具2．一位同学在探究影响落体运动的因素时，设计了如下四个小实验：（ ） 实验（1）：让一张纸片和一枚硬币同时从同一高度落下 实验（2）：让两张相同纸片，一张揉成一团，一张摊开，同时从同一高度下落 实验（3）：让小纸团与硬币同时从同一高度下落 实验（4）：在抽成真空的玻璃管中，让小纸片、小纸团、小硬币同时从人同一高度落下 对上述四个实验，下列说法正确的是（ ） A ．（1）中硬币与纸片同时落地 B ．（2）中两者同时着地 C ．（3）中硬币先着地 D ．（4）中三者同时落地3．石块A 自塔顶自由落下H 时，石块B 自离塔顶h 处自由下落，两石块同时着地，则塔高为（ ）A ．h H +B ．Hh H 4)(2+ C ．)(42h H H+ D ．hH h H -+2)(4．某人在高层建筑的阳台外侧以m/s 20=v 的速度竖直向上发出一个小物体，当小物块运动到离抛出点15m 处时，所经历的时间可能是（ ）A ．1sB ．s )72(+C ．3sD ．4s5．一物体从较高处作自由落体运动，经s t 后刚好着地．已知t 为大于3的整数，取210m/s g =,则( ) A ．第s 1内物体下落的高度为m 5 B ．第s 3内物体下落的高度为m 25C ．第s t 内物体下落的高度为m )12(5-tD ．第s )1(-t 内物体下落的高度为m )32(5-t 6. 一根长L=1m 的铁索从楼顶自由下落，则此铁索经过楼顶下距楼顶h=5m 的A 点，需时间为多少？（g 取210/m s ）7．自由下落的物体，自起点开始依次下落三段相等位移所用时间的比是（ ）A ．1∶3∶5B ．1∶ 2 ∶ 3C ．1∶4∶9D ．1∶（ 2 －1）∶（3－ 2 ）8．在一根轻绳的两端各拴一个小球，一人用手拿绳上端的小球站在三层楼的阳台上放手让小球自由下落，两球落地时间差为△t ．如果站在四楼阳台上，重复上述实验，则两球落地时间差会（ ）A ．不变B ．变大C ．变小D ．由于层高不知，无法比较9．在离地高20m 处将一小球以速度v 0竖直上抛，不计空气阻力，取g=10m/s 2，当它到达上升最大位移的3/4 时，速度为10m/s ，则小球抛出后5s 内的位移及5s 末的速度分别为（ ）A ．－25m ，－30m/sB ．－20m ，－30m/sC ．－20m ，0D ．0，－20m/s10．从某一高处先后落下两个铁球，两球用长35m 的细绳相连．第一球降落1s 后，第二球开始降落，若不计空气阻力，第二个球下降多长时间细绳刚好被拉直（g 取10m/s 2）？限时基础训练参考答案1．答案：C ．2．答案：D 点拨： 自由落体运动是一个理性化运动模型，在考虑受力的主要因素（重力）、可以忽略次要因素（阻力）情况下，一般物体运动就可看成自由落体运动.能否将不同情景下的小纸团、小纸片、小硬币所做的运动看成是自由落体运动，关键在于除要求其初速度为零之外，它是否只受重力作用或者受到的阻力与重力相比可以忽略．3．答案：B ．点拨：用速度时间图像或选择B 作参考系求解．选择B 作参考系，则A 相对B 作匀速直线运动，两石块相遇时HH h t g 2-=，故塔高=+=221th x g Hh H 4)(2+4．答案：ABC ．点拨：15m 可能在抛出点之上，也可能在抛出点之下．5．答案：A 、B 、C 、D.关键是求出第s t 内物体下落高度的通项表达式, 第s t 内的平均速度等于第s t 的中间时刻的瞬时速度,第s t 的中间时刻是s )5.0(-t 末,而s )5.0(-t 末的速度为)5.0(5.0-=-t a v t ．用h 表示第s t 内物体下落的高度,则第s t 内平均速度)5.0(1s s g -=t sh ,m )5.0(10-=t h6．解析：铁链下端到达A 点的时间为：s s gL h t 894.01042)(21=⨯=-=，铁链上端到达A 点的时间为： s s g h t 1105221=⨯==，所以铁链通过A 点的时间是：s s t t t 106.0)894.01(12=-=-=∆7．D 解析：直接应用初速度为零的匀变速直线运动规律可得 8．C 解析：12h t g=，22()h l t g-=，1222()h h l t t t gg-∆=-=-，对此式应用极限分析法：当楼层高度趋近无穷时，时间差趋近于零，所以楼层越高则时间差越小．9．C 解析：202v gH =，220324v v g H -=-⋅⋅，解得020/v m s =．抛出的物体在空中运动时间设为t ，则有：2120202t gt -=-，解得(222)5t s s =+<，5s 后小球在地面静止，C 正确．10．3s 解析：2211(1)3522g t gt +-=，3t s =基础提升训练1．物体做自由落体运动，则（ ）A ．第2s 内的位移是9.8mB ．第2s 内的位移是14.7mC ．第2s 内的平均速度是9.8m/sD ．第2s 内的平均速度是14.7m/s 2．物体由某一高度处自由落下，经过最后m 2所用的时间是s 15.0，则物体开始下落的高度约为（ ） A. m 10 B. m 12 C. m 14 D. m 153．某人在静止的湖面上竖直上抛一小铁球，小铁球上升到最高点后自由下落，穿过湖水并陷入湖底淤泥中一段深度．不计空气阻力，取向上为正方向，如图1-3-4所示，最能反映小铁球运动过程的速度时间图线的是（ ）4．科技馆中有一个展品，如图1-3-5所示，在较暗处有一个不断均匀滴水的水龙头，在一种特殊的灯光照射下，可观察到一个个下落的水滴，缓慢调节水滴下落时间间隔到适当情况，可看到一种奇特现象，水滴似乎不再下落，而是像固定在图中A 、B 、C 、D 四个位置不动.一般要出现这种现象，照明光源应该满足（ g = 10m/s 2）（ ）A ．普通光源即可B ．间歇发光，间歇时间0.02sC ．间歇发光，间歇时间0.1sD ．间歇发光，间歇时间0.5s5．为了求出某一高楼的高度，让一石子从楼顶自由下落，空气阻力不计，测出下列哪个物理量的值就能计算出高楼的高度（ ）A ．石子开始下落1s 内的位移B ．石子落地时的速度C ．石子最后1s 内的位移D ．石子通过最后1m 的时间基础提升训练参考答案1．答案：BD ．第2s 内的平均速度等于1.5s 末的瞬时速度，m/s m/s g 7.145.18.95.1=⨯==t v s ． 2．答案：A ．设总时间为s t ,则最后一段时间s 15.0的中间时刻为s )075.0(-t 末,故最后m 2的平均速度为s g sm )075.0(15.02-=t ,s 4.1=t ,故可得下落的高度m g 10212≈=th .3．答案：C ．点拨：根据各阶段的受力特点判断加速度大小的变化情况．4．答案CD. 点拨：运用逐差法计算时间间隔，另外还需要考虑水滴位置的重叠特点.．若A 、B 、C 、D 四个位置处水滴为连续掉下的水滴，则设相邻两个水滴间时间间隔为T,则有2T BC CD g =-，得图1-3-5CB A 光源0 25 60 105刻度cmDtvAtv Btv Ctv D图1-3-4gBCCD T -=，代入数据可得T = 0.1s.由于人观察水滴的视觉，在间隔地光照时水滴位置可能出现重叠现象，因此照明光源应该间歇发光，且间歇时间为0.1s 或为0.1s 的整数倍，选项CD 正确．5．答案：BCD ．解析：要求出高楼的高度，必须事先知道与末状态有关的物理量，故选项A 错误，选项BCD 正确．能力提升训练1.一个物体从高h 处自由落下，其时间达到落地时间一半时，下落的高度为（ ） A.21h B.41h C.81h D.121h2.甲的重力是乙的3倍，它们从同一地点同一高度处同时自由下落，则下列说法正确的是（ ）A.甲比乙先着地B.甲比乙的加速度大C.甲、乙同时着地D.无法确定谁先着地3.图1-3-2中所示的各图象能正确反映自由落体运动过程的是（ ）图1-3-24.一观察者发现，每隔一定时间有一个水滴自8 m 高处的屋檐落下，而且看到第五滴水刚要离开屋檐时，第一滴水正好落到地面，那么这时第二滴水离地的高度是（ ）A.2 mB.2.5 mC.2.9 mD.3.5 m5.一个石子从高处释放，做自由落体运动，已知它在第1 s 内的位移大小是s ，则它在第3 s 内的位移大小是A.5sB.7sC.9sD.3s6．自来水由水管口滴出水滴，每相邻水滴滴出的时间间隔基本上是相等的，在水管口的正下方，倒扣一个小盆，水滴滴到盆底，发出响声．逐渐向上移动小盆，直到看到水滴从水管口刚好滴出时，恰听到水滴落到盆底的响声，记录盆底距地面的高度H 1=10cm ，再继续上移小盆，第二次、第三次看到水从水管口滴出同时听到水滴到盆底的响声，分别测出H 2=75cm ，H 3=130cm ，g 取10m/s 2．求：（1）相邻水滴滴出的时间间隔； （2）自来水水管口离地面的高度．7．起跳摸高是学生常进行的一项活动，小亮同学身高1.72 m ，体重60 kg ，站立时举手达到2.14 m,他弯曲两腿，再用力蹬地，经0.4 s 竖直跳起，设他蹬地的力大小恒为1050 N ，不计空气阻力，取g=10 m/s ２，求小亮同学起跳摸高的最大高度是多少?8．在地面上以初速度2V 0竖直上抛一物体A 后，又以初速V 0同地点竖直上抛另一物体B ，若要使两物体能在空中相遇，则两物体抛出的时间间隔t ∆必须满足什么条件？（不计空气阻力）9．如图1-3-3所示是我国某优秀跳水运动员在跳台上腾空而起的英姿.跳台距水面高度为10 m ，此时她恰好到达最高位置，估计此时她的重心离跳台台面的高度为1 m ，当她下降到手触及水面时要伸直双臂做一个翻掌压水花的动作，这时她的重心离水面也是1 m.(取g =10 m/s 2)（1）从最高点到手触及水面的过程中其重心可以看作是自由落体运动，图1-3-3则该运动员在空中完成一系列动作可利用的时间为多长?（2）假设该运动员身高160cm ，重心在近似与其中点重合，则该运动员离开跳台的速度大小约多大？10．一位蹦床运动员仅在竖直方向上运动，弹簧床对运动员的弹力F 随时间t 的变化规律通过传感器用计算机绘制出来，如图1-3-6所示，取重力加速度g=10m/s 2．试结合图象，求运动员在运动过程中：（1）跳起的最大高度，起跳时的初速度； （2）最大加速度．能力提升训练参考答案1.B ；解析：根据初速度为零的匀变速直线运动规律：连续相等时间内的位移比为......:9:7:5:3:1......:::::54321=s s s s s 可得：41h h =2. C ；解析：自由落体运动时间：gh t 2=，不难看出下落时间与物体的质量无关．3. C ；解析：自由落体运动物体的速度图象应该是过坐标原点的一条斜线，所以图C 正确；其位移图象是抛物线，所以图D 不正确．4．D 解析：由题意可知，空中5个水滴把高度划为4个等时间间隔，根据初速度为零的匀变速直线运动规律：连续相等时间内的位移比为......:9:7:5:3:1......:::::54321=s s s s s ，第2滴水离地面的高度为4h ，有：8:)7531(:74h =+++，所以：m h 5.34=5．A ；解析：根据初速度为零的匀变速直线运动规律：连续相等时间内的位移比为......:9:7:5:3:1......:::::54321=s s s s s 可知：第3s 内的位移为5s6．解析：（1）2h g t ∆=⋅∆，0.1t s ∆=（2）求出第2次听到的水滴碰到盆底的速度：21301010/6/20.1v m s m s --=⨯=⨯，则水管口离地高度：20.75() 2.552vh m m g=+=7．解析：小亮同学起跳摸高包含两个过程：第一阶段用力蹬地获得一定的初速度，第二阶段竖直上抛达最大高度．蹬地 由F =ma 知：F -mg =ma 1 a 1=7.5 m/s 2v t =at =3.0 m/s竖直上抛⇒h =gv t22=0.45 m 所以摸高H =h 0+h =2.59 m8．解析：如按通常情况，可依据题意用运动学知识列方程求解，这是比较麻烦的．如换换思路，依据s=V 0t-gt 2/2作s-t 图象，则可使解题过程大大简化．如图3-2所示，显然，两条图线的相交点表示A 、B 相遇时刻，纵坐标对应位移S A =S B ．由图3-2可直接看出Δt 满足关系式gV t gV 0042<∆<时， B 可在空中相遇．9． 解析：（1）这段时间人重心下降高度为10 m，空中动作图1-3-6 SOtAB2V 0/g 4V 0/g 6V 0/g Δt 图3-2时间t =gh 2，代入数据得t =2 s=1.4 s（2）该运动离开跳台后重心升高：(1-0.8)m=0.2m ，设离开跳台的速度为0v ，由竖直上抛运动规律得：s m s m gh v /2/2.010220=⨯⨯==10．答案：（1）m/s 10；（2）240m/s ．点拨：（1）将运动员在空中近似看作竖直上抛运动，从图中可看出运动员在空中运动的时间为s 2=∆t ，所以m g g 5)2(212122=∆==t tH 故运动员离开蹦床时的初速度为m/s g 102==H v ．（2）mm g mam F =-，N m 2500=F ，240m/s m =a ．。

斜率k=g自由落体运动与竖直上抛运动规律【知识要点】一. 自由落体运动1.定义:物体只在 作用下从 开始的方向 的运动(1)条件:(2)特点:2.自由落体运动的加速度a= 大小是 ，方向是3．自由落体运动的规律gs v gt s gt v t t 2;21;22===；2022t t t v v v v t s v ==+==总总 4．v--t 图像二．竖直上抛运动1．竖直上抛运动的性质初速度不为零，加速度为g 的匀变速直线运动。

通常规定初速度的方向为正方向，因此竖直上抛运动是匀减速直线运动。

2．竖直上抛运动的基本规律速度公式：v t =v 0－gt 位移公式：h= v 0t －21gt 2 速度位移公式：v t 2－v 02=－2gh3．竖直上抛运动的特点 ①上升到最高点的时间t= v 0/g ；上升的最大高度H =g220υ。

②上升到最高点和回落到抛出点所用的时间相等。

4．竖直上抛运动处理方法：①分段法：上升阶段看做末速度为零，加速度为g 的匀减速直线运动（或逆向转换变为自由落体运动），下降阶段为自由落体运动．这种方法要充分利用上升和下降两阶段的对称性。

上升阶段和下降阶段的特点是：（ⅰ） 物体从某点上升到最高点的时间与从最高点落回到该点的时间相等；（ⅱ） 物体从某点上升时的速度与从最高点返回到该点时的速度大小相等，方向相反；（ⅲ） 以初速度v 0上抛的物体上升的最大高度为 H ＝gυ220。

②整体法：从整体看，运动的全过程加速度与初速度方向始终相反，因此可以把竖直上抛运动看作是一个统一的匀变速直线运动，而上升阶段和下降阶段不过是整体运动的两个过程。

此时要注意各运动物理量的方向，一般地初速度的方向，即向上为正方向时，下落时速度取负值；加速度的方向取负值；末位置在抛出点上方时位移取正，末位置在抛出点下方时位移取负值。

【典型例题】例1．甲球的重力是乙球的5倍，甲从很高的h 处自由下落，乙从2h 高处同时自由下落，则（ ）A ．两球下落过程中，同一时刻甲的速度比乙大B ．两球下落后1s 末（未着地）时的速度相等．C ．乙球下落所用时间是甲的2倍D ．两球下落过程中，甲的加速度比乙的大．例2．一个物体从某一高度做自由落体运动, 已知它第一秒内的位移恰为它最后一秒内位移的一半, g 取10m/s 2, 则它开始下落时距地面的高度为：( )(A) 5m (B) 11.25m (C) 20m (D) 31.25m例3．某人在高层楼房的阳台外侧以20m/s 的速度竖直向上抛出一个石块，石块运动到离抛出点15m 处所经历的时间可以是（不计空气阻力，g 取10m/s 2）（ ）A 、1sB 、2sC 、3sD 、s )72(例4.一小钢珠由塔顶静止开始释放，最初的3秒内的位移为S 1，最后3秒内的位移为S 2，若S 2—S 1=6米，求塔高为多少？ (g=10m/s 2)例5．有A 、B 两个小球，在不同高度上做自由落体运动，A 球下落1 s 后，B 球开始下落，两球同时落到地面。

专题强化三：自由落体运动和竖直上抛运动一：知识精讲归纳一、竖直上抛运动定义：将一个物体以某一初速度v 0竖直向上抛出，抛出的物体只在重力作用下运动，这种运动就是竖直上抛运动，整个过程中加速度始终为g ，全段为匀变速直线运动．2．运动规律通常取初速度v 0的方向为正方向，则a ＝－g .(1)速度公式：v ＝v 0－gt .(2)位移公式：h ＝v 0t －12gt 2.(3)位移和速度的关系式：v 2－v 02＝－2gh .(4)上升的最大高度：H ＝v 202g .(5)上升到最高点(即v ＝0时)所需的时间：t ＝v 0g .3．运动的对称性(1)时间对称物体从某点上升到最高点和从最高点回到该点的时间相等，即t 上＝t 下．(2)速率对称物体上升和下降通过同一位置时速度的大小相等、方向相反．二：考点题型归纳题型一：自由落体的计算1．（2023春·江苏南通·高一江苏省南通中学校考期中）有一串珠子（珠子可视为质点），穿在一根长1.8m 的细线上，细线的首尾各固定1个珠子，中间还有5个珠子。

从最下面的珠子算起，相邻两个珠子之间的距离依次为5cm 、15cm 、25cm 、35cm 、45cm 、55cm ，如图所示。

某人向上提起细线的上端，让细线自由垂下，且第1个珠子紧贴水平桌面，松手后开始计时，若不计空气阻力，g 取10m/s 2，假设珠子落到桌面上不再反弹，则第2、3、4、5、6、7个珠子（）A ．依次落到桌面上的速率之比为1:3:5:7:9:11B ．落到桌面上的时间间隔相等C ．落到桌面上的时间间隔越来越大D ．第4个珠子落到桌面上的速率为4m/s2．（2023秋·福建漳州·高一统考期末）一天，某小区居民发现一个苹果从高空坠落，所幸未造成事故。

物业通过调取一楼监控录像，分析发现苹果在落地前最后0.2s 内下落的高度为3.6m 。

已知每层楼高为3m ，若苹果做自由落体运动，g 取210m/s ，则该苹果（）A ．最可能来自6楼B ．最可能来自7楼C ．刚落地时的速度为36m/sD ．刚落地时的速度为2m/s3．（2023秋·湖南永州·高一永州市第一中学校考期末）钢球由静止开始做自由落体运动，不计空气阻力，落地时的速度为30m/s ，210m/s g ，下列说法正确的是（）A ．钢球下落的时间为4sB ．钢球在最后1s 内下落的高度为25mC ．钢球下落的高度为90mD ．钢球前2s 内的平均速度为15m/s4．（2022秋·浙江绍兴·高一统考期末）钢球由静止开始做自由落体运动，落地速度为30m/s ，重力加速度210m/s g =，下列说法正确的是（）A ．钢球下落的高度为90mB ．钢球在前2s 内的平均速度为15m/sC ．钢球在最后1s 内下落的高度为25mD ．钢球从第1s 末到第3s 初速度增加了20m/s 5．（2022秋·山东青岛·高一统考期中）2021年3月1日最新刑法修正案生效，“高空抛物罪”正式入刑。

专题四 自由落体运动和竖直上抛运动专题一、自由落体运动1．定义：物体只在重力作用下从静止开始下落的运动2．特点：（1）只受重力：a =g ；（2）；初速度v 0=0。

3．规律：.2,21,22gh v gt h gt v t t === 二、竖直上抛运动1．定义：物体以初速度竖直上抛后，只在重力作用下所做的运动2．基本规律：（取向上为正方向） gh v v gt t v h gt v v t t 221202200-=-=-=3．特点： （1）只在重力作用下的直线运动，g a v -=≠,00；（2）上升到最高点的时间：gv t 0= （3）上升的最大高度：gv h m 220= （4）上抛运动具有对称性①速度对称：上升过程和下降过程经过同一位置时速度等大反向。

②时间对称：上升过程和下隆过程经过同一段高度时的时间相等。

例题：气球下挂一重物，以v 0=10m/s 匀速上升，当达到离地面高h =175m 处时，悬挂重物的绳子突然断裂，那么绳子断裂后3s 内重物的位移为多大？重物经多长时间落到地面？落地时的速度多大？（空气阻力不计，g 取10m/s 2）。

训练题1．用图所示的方法可以测出一个人的反应时间，甲同学用手握住直尺顶端刻度为零的地方，乙同学在直尺下端刻度为a 的地方做捏住尺子的准备，但手没有碰到尺子，当乙同学看到甲同学放开尺子时，立即捏住尺子，乙同学发现捏住尺子的位置刻度为b 。

已知重力加速度为g ，a 、b 的单位为国际单位，则乙同学的反应时间t 约等于（ ）ABCD2．一个从地面竖直上抛的物体，它两次经过一个较低点A 的时间间隔为t A ，两次经过一个较高点B 的时间间隔为t B ，则A 、B 之间的距离为（ ）A ．()222B A t t g - B ．()422BA t t g - C ．()822BA t t g - D ．()2B A t t g - 3．在某高处A 点，以v 0的速度同时竖直向上和向下抛出a 、b 两球，不计空气阻力，则下列说法中正确的是（ ）A ．两球落地的时间差为g v 0B ．两球落地的时间差为gv 02 C ．两球落地的时间差与高度有关 D ．条件不足，无法确定4．2008年北京奥运会上何雯娜夺得中国首枚奥运会女子蹦床金牌。

2013年暑假初生高补习讲义2.2 自由落体和竖直上抛 一、 基础知识 二、 基本方法[例1]从离地500m 的空中自由落下一个小球，取g= 10m/s 2，求： （1）经过多少时间落到地面；（2）从开始落下的时刻起，在第1s 内的位移、最后1s 内的位移； （3）落下一半时间的位移.[例2] 雨滴从屋檐滴下做自由落体运动，屋檐到窗口上方的竖直距离为5米，窗子长度为5米，求（1）雨滴经过窗子所需要的时间（2）从屋檐释放一根长为5米的木棒，求木棒经过B 点的时间 （3）求木棒经过窗户所需要的时间[例3] 一个物体以初速度V0做竖直上抛运动，求（1）物体上升的最大高度（2）物体上升所需要的时间，下降回到原点所需要的时间，总时间 （3）回到出发点是的速度为多大[例4]气球下挂一重物，以v0=10m/s匀速上升，当到达离地高h=175m处时，悬挂重物的绳子突然断裂，那么重物经多少时间落到地面？落地的速度多大？空气阻力不计，取g=10m/s2.[例5]以v0=30m/s做竖直上抛运动，离出发点上方25米的地方有一个A点，求物体运动到A点所需要的时间？[例6]（选讲） A、B两球，A从距地面高度为h处自由下落，同时将B球从地面以初速v0竖直上抛，两球沿同一竖直线运动.试求以下两种情况下，B球初速度v0的取值范围：①B球在上升过程中与A球相遇；②B球在下落过程中与A球相遇.练习题1.一物体在做自由落体运动的过程中 ()A.位移与时间成正比B.加速度与时间成正比C.加速度不变化D.速度与位移成正比2.一个小石块从空中a点自由落下,先后经过b点和c点.不计空气阻力.已知它经过b点时的速度为v,经过c点时的速度为3v.则ab段为ac段位移之比为( )A.1∶3B. 1∶5C. 1∶8D. 1∶93、做竖直上抛运动的物体（不计空气的阻力），下列说法正确的是：( )A到达最高点的时候，速度为零，加速度也为零B到达最高点的时候，速度为零，加速度不为零C当它有回到抛出点时，速度和抛出的时候相同D从抛出到回到抛出点，上升阶段的时间和下降阶段的时间相同4、从做匀加速直线运动上升的氢气球上释放一个物体（不计空气阻力），之后物体相对于地面做（）A自由落体运动B加速度向上的匀减速直线运动C初速度向下、加速度向下的匀变速直线运动D初速度向上、加速度向下的匀变速直线运动5、将两个质量相同的小球从同一地点以同样的速率竖直上抛和竖直下抛，则（）A在运动过程中，两个物体的加速度相同B两个物体落地时的速度相同C两个物体从抛出到落地的位移相同D两个物体从抛出到落地的时间相同6、一物体自空中的A点以一定的初速度竖直向上抛出，1s后物体的速率变为10m／s，则物体此时的位置和速度方向可能是（不计空气阻力，g=10m／s2）（. ）A．在A点上方，速度方向向下B．在A点下方，速度方向向下C．在A点上方，速度方向向上D．在A点下方，速度方向向上7、一根矩形杆的长1.45m,从某一高处作自由落体运动,在下落过程中矩形杆通过一个2m高的窗口用时0.3s.则矩形杆的下端的初始位置到窗台的高度差为多少?(g取10m/s2,窗口到地面的高度大于矩形杆的长)8、调节水龙头，让水一滴滴流出，在下方放一盘子，调节盘子高度，使一滴水滴碰到盘子时，恰有另一滴水滴开始下落，而空中还有一滴正在下落中的水滴，测出水龙头到盘子的距离为h，从第一滴开始下落时计时，到第n滴水滴落在盘子中，共用去时间t，则此时第（n+1）滴水滴与盘子的距离为多少？当地的重力加速度为多少？9、某人站在高层楼房的阳台外用20m/s的速度竖直向上抛出一个石块,则石块运动到离抛出点15m处所经历的时间是多少?(不计空气阻力,取g=10m/s2)10、竖直上抛的物体，分别在t1秒末和t2秒末两次通过空中某一点，求该点离地面的高度和抛出时的速度。

运动的描述匀变速直线运动的研究自由落体运动和竖直上抛运动　多过程问题素养目标：1.掌握自由落体运动和竖直上抛运动的特点，知道竖直上抛运动的对称性和多解性。

2.能灵活处理多过程问题。

（2023×广东高考）铯原子喷泉钟是定标“秒”的装置。

在喷泉钟的真空系统中，可视为质点的铯原子团在激光的推动下，获得一定的初速度。

随后激光关闭，铯原子团仅在重力的作用下做竖直上抛运动，到达最高点后再做一段自由落体运动。

取竖直向上为正方向。

下列可能表示激光关闭后铯原子团速度v或加速度a随时间t变化的图像是（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】AB．铯原子团仅在重力的作用，加速度g竖直向下，大小恒定，在v t-图像中，斜率为加速度，故斜率不变，所以图像应该是一条倾斜的直线，故选项AB错误；CD．因为加速度恒定，且方向竖直向下，故为负值，故选项C错误，选项D正确。

故选D。

考点一　自由落体运动例题1.某校物理兴趣小组，为了了解高空坠物的危害，将一个鸡蛋从离地面20 m 高的高楼面由静止释放，下落途中用Δt ＝0.2 s 的时间通过一个窗口，窗口的高度为2 m ，忽略空气阻力的作用，重力加速度g 取10 m/s 2，求：(1)鸡蛋落地时的速度大小和落地前最后1 s 内的位移大小；(2)高楼面离窗的上边框的高度。

答案　(1)20 m/s 15 m (2)4.05 m解析　(1)根据速度位移关系v 2＝2gh ，解得鸡蛋落地时速度大小为v ＝20 m/s ，设鸡蛋自由下落时间为t ，根据速度时间关系得t ＝vg ＝2 s鸡蛋在第1 s 内的位移为h 1＝12gt 12＝5 m则鸡蛋落地前最后1 s 内的位移大小为h 2＝h －h 1＝15 m(2)由题意知，窗口的高度为h 3＝2 m 设高楼面离窗的上边框的高度为h 0，鸡蛋从高楼面运动到窗的上边框的时间为t 0，则h 0＝12gt 02，h0＋h 3＝12g (t 0＋Δt )2联立解得h 0＝4.05 m 。

自由落体与竖直上抛自由落体运动和竖直上抛运动是匀变速直线运动的特例。

自由落体运动是初速度为零的加速度为重力加速度（自由落体加速度）g的竖直向下的匀加速直线运动；竖直上抛运动是初速度竖直向上的加速度为重力加速度g的匀变速直线运动（先减速后加速）。

一、自由落体运动1.自由落体运动的加速度自由落体运动初速度为零，加速度为自由落体加速度g也叫重力加速度，且同一地点这个加速度是相同的。

g有两个名字，也就代表了两个意思。

自由落体加速度，很显然指的是通过实验测得的物体做自由落体运动的加速度；重力加速度又是什么意思呢？重力加速度可以这么理解，由重力产生的加速度。

要弄明白这个问题，以及为什么这个加速度在同一地点相同，需要我们先提前预习一下重力和牛顿第二定律。

自由落体当中的自由是不受任何的束缚，但是在地球上的物体就会受到重力，物体在空气中运动也会受到来自空气的阻力。

因此这里的自由落体也是一个理想的物理模型，即只在重力的作用下，忽略空气的阻力，由牛顿第二定律就可得到加速度G mg===。

因此自由落体加速度和重力加速a gm m度是一样的。

在地球上同一地点，重力加速度g是一样的，所以通过实验测量的自由落体加速度也是一样的（空气阻力的影响可以忽略的前提下）。

另外，重力加速度的大小随着维度的升高而增大，在两极重力加速度最大，在赤道重力加速度最小，通常我们取29.8m/s，为了便于计算有时候我们也用210m/s。

不过大家一定要记住自由落体运动的加速度只有在同一地点才是相同的，在不同地点其大小和方向都可能会发生变化。

这里面的奥秘就需要等大家学习了万有引力定律乊后再去探索了。

2.自由落体运动的规律自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，因此乊前学习的关于匀变速直线运动的一切规律在这里都是适用的。

即212a g v gt x gt ===，， ，22v ax = ，当然乊前推导的出来的所有规律这里也是适用的。

但还是要提醒一下，公式中的t 、x 都是指的以初始状态为起点的。

自由落体和竖直上抛压轴题一、单选题1．热气球运动爱好者从某高处由静止释放一个质量为0.5kg 的物体，地面测量人员测量发现物体在落地前1s 内下落的高度是40m ，不考虑空气阻力，重力加速度取210m/s g =。

下列说法正确的是（ ）A ．物体从释放到落地经历的时间为4.5sB ．物体落地时的动能为400JC ．从释放到落地物体运动的平均速度大小为20m/sD ．物体下落的高度为80m 【答案】A 【详解】A ．设物体下落时间为t ，由题意可求物体落地前1s 内的平均速度为40m/s ，即最后1s 中间时刻的速度，根据自由落体运动规律有40(0.5)g t =-代入数据解得4.5s t =A 正确；B ．落地速度为45m/s v gt ==所以落地动能为2k 1506.25J 2E mv == B 错误。

C ．从释放到落地物体运动的平均速度为22.5m/s 2vv == C 错误。

D ．物体下落的高度为21101.25m 2h gt == D 错误。

故选A 。

2．杂技演员每隔相等的时间竖直向上抛出一个小球（不计一切阻力，小球间互不影响），若每个小球上升的最大高度都是1.8米，他一共有5个小球，要想使节目连续不断地表演下去，根据该表演者的实际情况，在他的手中总要有一个小球停留，则每个小球在手中停留的时间应为（g 取102m /s ）（ ） A ．0.36秒 B ．0.24秒C ．0.2秒D ．0.3秒【答案】D 【详解】每个小球上升的最大高度都是1.8米，根据212h gt =解得0.6s t == 根据竖直上抛的对称性可知，空中有四个小球，一个刚上升，一个在顶端，另外两个在上升和下降且处于同一高度，共4个时间间隔t ∆，所以球在手中的停留的时间为在空中总时间的四分之一20.3s 4tt ∆== 故选D 。

3．下雨时，某同学在家发现屋檐上有雨滴落下，相邻两水滴滴下的时间间隔相等。

当第1个水滴刚好落到地面上时，第3个水滴刚好离开屋檐。

自由落体运动和竖直上抛运动知识要点（一）自由落体运动1. 自由落体运动：物体只在重力作用下从静止开始下落的运动，叫做自由落体运动。

2. 自由落体运动特点：初速度为0，只受重力。

（空气阻力很小时，也可把空气阻力忽略）3. 基本规律（公式） ① gt v t = ② 221gt h =③ gh v t 22= ④ t v v 21= ⑤ 2gT h =∆，g 是一个常量取2/8.9s m ，粗略计算g 取2/10s m 。

4. 自由落体运动是匀变速直线运动的一个特例。

因此初速度为0的匀变速直线运动的规律对自由落体运动都适用。

（二）竖直上抛运动1. 竖直上抛运动：将物体以一定的初速度沿着竖直向上的方向抛出（不计空气阻力）的运动。

2. 竖直上抛运动的特点：初速度不为零且方向竖直向上，只受重力。

（空气阻力很小时，也可把空气阻力忽略）。

3. 基本规律（1）将竖直上抛运动看成是整体的匀减速直线运动。

取竖直向上为正方向，则有：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=20021gt t v s gt v v t 当t v 为正时，表示物体运动方向向上，同理，当t v 为负时，表示物体运动方向向下。

当S 为正时表示物体在抛出点上方，同理当S 为负时表示物体落在抛出点下方。

所以：上升到最高点的时间：g v 0=上升t 物体上升的最大高度2gv H 20= 从上升到回到抛出点的时间由0gt 21t v s 20=-=得：g2v 0=t 所以下降时间gv 0=下降t （2）将竖直上抛运动看成前一段的匀减速直线运动和后一段的自由落体运动。

（3）将竖直上抛运动看成整体的初速度方向的（竖直向上的）匀速直线运动和竖直向下的自由落体运动的合成。

重难点分析（一）对自由落体运动的理解1. 自由落体运动的重点和关键在于正确理解不同物体下落的加速度都是重力加速度g ，同学们在学习的过程中，必须摒弃那种因受日常经验影响而形成的“重物落得快，轻物落得慢”的错误认识。

1 自由落体和竖直上抛运动的相遇问题1. 从地面竖直上抛一物体A ，同时在某一高度处让物体B 自由下落，若两物体在空中相遇时的速率都是v ，则( AD )A ．物体A 的上抛初速度大小是两物体相遇时速率的2倍B ．相遇时物体A 已上升的高度和物体B 已下落的高度相同C ．物体A 和物体B 在空中运动时间相等D ．物体A 和物体B 落地速度相等解析：由对称性可知，物体A 上升最大高度和物体B 自由下落的高度相等．因此，A 、B 两物体着地速度相等．所以D 选项正确．进一步分析知相遇时刻为B 物体下落的中间时刻，由初速度为零的匀加速直线运动，在相邻的相等的时间间隔内位移之比关系，可判断到相遇时刻，B 物体下落高度和A 物体上升高度之比为1∶3，故选项B 错误．由某段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度，则相遇时刻的速度v ＝0＋v 02＝v 02，即v 0＝2v ，选项A 正确．由于A 物体上升的最大高度和B 物体自由下落的高度相等，所以A 物体在空中运动时间是B 物体在空中运动时间的2倍，选项C 错误．本题正确答案为A 、D.2.以v 0=20m/s 的速度竖直上抛一小球A ，2s 后以同一初速度在同一位置上抛另一小球B ，则两球相遇处离抛出点的高度是多少？解法⑴根据速度对称性得：-［v 0-g （t+2）］=v 0-gt ，解得t=1s ，代入h=v 0t-12gt 2 得：h=15m. 解法(2) 根据位移相同得：v 0（t+2）-12g(t+2)2=v 0t-12gt 2, 解得t=1s ，代入位移公式得h=15m. 解法(3) 图像法由图知t=3s 时x A =x B =15m3．A 、B 两小球从不同高度自由下落，同时落地，A 球下落的时间为t ，B 球下落的时间为t /2，当B 球开始下落的瞬间，A 、B 两球的高度差为(答案：D )A ．gt 2 B. 38gt 2 C. 34gt 2 D. 14gt 2解法⑴解法(2) 解法(3) 22224121)(2121gt gt t t g gt h B B A A 由推论1:3，知Δh 为2份。