[精品]2019学年高中数学第一章1.3导数在研究函数中的作用1.3.1单调性教学案苏教版选修23

1.3 导数在研究函数中的应用1.3.1 函数的单调性与导数学 习 目 标核 心 素 养1.理解导数与函数的单调性的关系．(易混点)2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(重点)3．会用导数求函数的单调区间．(重点、难点)1.通过函数的单调性与其导数正负关系的学习，培养学生的逻辑推理、直观想象的核心素养．2．借助利用导数研究函数的单调性问题，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养.1．函数的单调性与其导数正负的关系 定义在区间(a ，b )内的函数y ＝f (x )：f ′(x )的正负 f (x )的单调性 f ′(x )＞0 单调递增 f ′(x )＜0单调递减思考：如果在某个区间内恒有f ′(x )＝0，那么函数f (x )有什么特性？ [提示]f (x )是常数函数．2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一般地，设函数y ＝f (x )，在区间(a ，b )上：导数的绝对值函数值变化函数的图象越大 快 比较“陡峭〞(向上或向下) 越小慢比较“平缓〞(向上或向下)1．函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是( ) A ．单调增函数 B ．单调减函数C ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫1e ，6上是增函数 D ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是增函数，在⎝⎛⎭⎫1e ，6上是减函数A[∵x∈(0,6)时，f ′(x)＝1＋1x＞0，∴函数f (x)在(0,6)上单调递增．]2．函数y＝f (x)的图象如下图，那么导函数y＝f ′(x)的图象可能是()D[∵函数f (x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，∴当x＞0时，f ′(x)＜0，当x＜0时，f ′(x)＜0.]3．函数f (x)＝e x－x的单调递增区间为________．(0，＋∞)[∵f (x)＝e x－x，∴f ′(x)＝e x－1.由f ′(x)＞0得，e x－1＞0，即x＞0.∴f (x)的单调递增区间为(0，＋∞)．]函数与导函数图象间的关系象可能为()(2)f ′(x )是f (x )的导函数，f ′(x )的图象如下图，那么f (x )的图象只可能是( )(1)D (2)D [(1)由函数的图象可知：当x ＜0时，函数单调递增，导数始终为正；当x ＞0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.(2)从f ′(x )的图象可以看出，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋b 2内，导数单调递增；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，b 内，导数单调递减．即函数f (x )的图象在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋b 2内越来越陡，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，b 内越来越平缓，由此可知，只有选项D 符合．]研究函数与导函数图象之间关系的方法研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，那么应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．[跟进训练]1．y ＝xf ′(x )的图象如下图(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( )C [当0＜x ＜1时，xf ′(x )＜0，∴f ′(x )＜0，故f (x )在(0,1)上为减函数； 当x ＞1时，xf ′(x )＞0，∴f ′(x )＞0， 故y ＝f (x )在(1，＋∞)上为增函数．应选C.]利用导数求函数的单调区间[例2] 求以下函数的单调区间． (1)f (x )＝3x 2－2ln x ；(2)f (x )＝x 2·e －x ； (3)f (x )＝x ＋1x.[解](1)函数的定义域为D ＝(0，＋∞)．∵f ′(x )＝6x －2x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝33，x 2＝－33(舍去)，用x 1分割定义域D ，得下表：∴(2)函数的定义域为D ＝(－∞，＋∞)．∵f ′(x )＝(x 2)′e －x ＋x 2(e －x )′＝2x e －x －x 2e －x ＝e －x (2x －x 2)，令f ′(x )＝0，由于e －x ＞0，∴x 1＝0，x 2＝2，用x 1，x 2分割定义域D ，得下表：∴f (x )的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0,2)． (3)函数的定义域为D ＝(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵f ′(x )＝1－1x 2，令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝1，用x 1，x 2分割定义域D ，得下表：∴函数f (x )的单调递减区间为(－1,0)和(0,1)，单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)． 角度2 含参数的函数的单调区间[例3] 讨论函数f (x )＝12ax 2＋x －(a ＋1)ln x (a ≥0)的单调性．思路探究：求函数的定义域―→求f ′(x )――――――――→分a ＞0，a ＝0解不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0―→表述f (x )的单调性[解]函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ax ＋1－a ＋1x ＝ax 2＋x －(a ＋1)x.(1)当a ＝0时，f ′(x )＝x －1x，由f ′(x )＞0，得x ＞1， 由f ′(x )＜0，得0＜x ＜1.∴f (x )在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数． (2)当a ＞0时，f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a ＋1a (x －1)x，∵a ＞0，∴－a ＋1a＜0.由f ′(x )＞0，得x ＞1，由f ′(x )＜0，得0＜x ＜1. ∴f (x )在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．综上所述，当a ≥0时，f (x )在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数.利用导数求函数单调区间的步骤(1)确定函数f (x )的定义域． (2)求导数f ′(x )．(3)由f ′(x )>0(或f ′(x )<0)，解出相应的x 的X 围．当f ′(x )>0时，f (x )在相应的区间上是增函数；当f ′(x )<0时，f (x )在相应区间上是减函数．(4)结合定义域写出单调区间．[跟进训练]2．设f (x )＝e x －ax －2，求f (x )的单调区间． [解]f (x )的定义域为 (－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x －a .假设a≤0，那么f ′(x)＞0，所以f (x)在(－∞，＋∞)上单调递增．假设a＞0，那么当x∈(－∞，ln a)时，f ′(x)＜0；当x∈(ln a，＋∞)时，f ′(x)＞0.所以f (x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数f (x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a＞0时，f (x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增.函数的单调性求参数的X围1．在区间(a，b)内，假设f ′(x)＞0，那么f (x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？[提示]不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零．也就是说f ′(x)＞0是y＝f (x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件．2．假设函数f (x)为可导函数，且在区间(a，b)上是单调递增(或递减)函数，那么f ′(x)满足什么条件？[提示]f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)．[例4]函数f (x)＝x3－ax－1为单调递增函数，某某数a的取值X围．思路探究：f (x)单调递增―→f ′(x)≥0恒成立―→分离参数求a的X围[解]由得f ′(x)＝3x2－a，因为f (x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，所以f ′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为a＝0时，f ′(x)＝3x2≥0，f (x )＝x 3－1在R 上是增函数，所以a ≤0.1．(变条件)假设函数f (x )＝x 3－ax －1的单调减区间为(－1,1)，求a 的取值X 围． [解]由f ′(x )＝3x 2－a ，①当a ≤0时，f ′(x )≥0， ∴f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数． ②当a ＞0时，令3x 2－a ＝0，得x ＝±3a3， 当－3a 3＜x ＜3a 3时，f ′(x )＜0. ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫－3a 3，3a 3上为减函数， ∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－3a 3，3a 3， ∴3a3＝1，即a ＝3. 2．(变条件)假设函数f (x )＝x 3－ax －1在(－1,1)上单调递减，求a 的X 围．[解]由题意可知f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，∴⎩⎨⎧f ′(－1)≤0f ′(1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－a ≤03－a ≤0，∴a ≥3.即a 的取值X 围是[3，＋∞)．3．(变条件)假设函数f (x )＝x 3－ax －1在(－1,1)上不单调，求a 的X 围． [解]∵f (x )＝x 3－ax －1，∴f ′(x )＝3x 2－a ， 由f ′(x )＝0，得x ＝±3a3(a ≥0)， ∵f (x )在区间(－1,1)上不单调， ∴0＜3a3＜1，即0＜a ＜3. 故a 的取值X 围为(0,3)．1．解答此题注意：可导函数f (x )在(a ，b )上单调递增(或单调递减)的充要条件是f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)在(a ，b )上恒成立，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于0.2．f (x)在区间(a，b)上的单调性，求参数X围的方法(1)利用集合的包含关系处理f (x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，那么区间(a，b)是相应单调区间的子集；(2)利用不等式的恒成立处理f (x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，那么f ′(x)≥0(f ′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立．1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．2．利用导数求函数f (x)的单调区间的一般步骤：(1)确定函数f (x)的定义域；(2)求导数f (x)；(3)在函数f (x)的定义域内解不等式f ′(x)>0和f ′(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数f (x)的单调区间．1.设函数f (x)的图象如下图，那么导函数f ′(x)的图象可能为()C[∵f (x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上是减函数，在(1,4)上为增函数，∴当x＜1或x＞4时，f ′(x)＜0；当1＜x＜4时，f ′(x)＞0.应选C.]2．函数f (x)＝(x－3)e x的单调递增区间是()A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞)D [∵f ′(x )＝e x ＋(x －3)e x ＝(x －2)e x ， 由f ′(x )＞0得(x －2)e x ＞0，∴x ＞2. ∴f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)．] 3．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)B [函数y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，y ′＝x －1x ＝(x －1)(x ＋1)x ，令y ′≤0，那么可得0＜x ≤1.]4．假设函数f (x )＝x 3－ax 2－x ＋6在(0, 1)内单调递减，那么实数a 的取值X 围是( ) A ．[1，＋∞) B ．a ＝1 C ．(－∞，1]D ．(0,1)A [∵f ′(x )＝3x 2－2ax －1， 且f (x )在(0,1)内单调递减，∴不等式3x 2－2ax －1≤0在(0,1)内恒成立， ∴f ′(0)≤0， 且f ′(1)≤0，∴a ≥1.]5．求函数y ＝x 2－4x ＋a 的单调区间．[解]y ′＝2x －4，令y ′＞0，得x ＞2；令y ′＜0，得x ＜2， 所以y ＝x 2－4x ＋a 的增区间为(2，＋∞)，减区间为(－∞，2)．。

1.?函数的最大值与最小值?一、根底过关1．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋7，在x ∈[3,5]上的最大值和最小值分别是________，________. 2．f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是________． 3．函数y ＝ln xx的最大值为________．4．函数f (x )＝x e x的最小值为________．5．函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154，那么a 等于________．6．f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上最大值就是函数f (x )的极大值，那么m 的取值范围是________．7．求函数f (x )＝13x 3－4x ＋4在[0,3]上的最大值与最小值．二、才能提升 8．函数y ＝4xx 2＋1的值域为________． 9．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，那么当MN 到达最小时t 的值是________．10．函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，那么a 的取值范围是________．11．函数f (x )＝2x 3－6x 2＋a 在[－2,2]上有最小值－37，求a 的值及f (x )在[－2,2]上的最大值．12．函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )．(1)假设函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处获得极值，试求a ，b 的值；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,6]时，f (x )<2|c |恒成立，求c 的取值范围．三、探究与拓展13．函数f(x)＝(x－k)e x.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．答案1．10 2 2．2 3．e －14．－1e5．－126．[－4，－2]7．解 因为f (x )＝13x 3－4x ＋4，所以f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)． 令f ′(x )＝0，得x ＝2，或者x ＝－2(舍去)． 又由于f (0)＝4，f (3)＝1，f (2)＝－43，因此，函数f (x )＝13x 3－4x ＋4在[0,3]上的最大值是4，最小值是－43.8．[－2,2] 解析 令y ′＝4x 2＋1－4x ·2x x 2＋12＝－4x 2＋4x 2＋12＝0，得x ＝±1.x (－∞，－1)－1 (－1,1) 1 (1，＋∞)y ′－0 ＋ 0 － y ↘极小值↗极大值↘∵x 结合表可知x ＝－1时，y 取极小值也是最小值－2；x ＝1时，y 取极大值也是最大值2. 9.2210．(－∞，2ln 2－2]11．解 f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝0或者x ＝2，当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：∴当min 当x ＝0时，f (x )最大值为3. 12．解 (1)f ′(x )＝3x 2－2ax ＋b ， ∵函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处获得极值， ∴－1,3是方程3x 2－2ax ＋b ＝0的两根． ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝23a －1×3＝b3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝－9.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋c ，f ′(x )＝3x 2－6x －9.当x 变化时，f ′(x )，f (x )随x 的变化如下表：而∴当x ∈[－2,6]时，f (x )的最大值为c ＋54， 要使f (x )<2|c |恒成立，只要c ＋54<2|c |即可， 当c ≥0时，c ＋54<2c ，∴c >54； 当c <0时，c ＋54<－2c ，∴c <－18. ∴c ∈(－∞，－18)∪(54，＋∞)， 此即为参数c 的取值范围．13．解(1)f′(x)＝(x－k＋1)e x.令f′(x)＝0，得x＝k－1，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：所以f(x)单调递增区间是(k－1，＋∞)．(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当0<k－1<1，即1<k<2时，由(1)知f(x)在[0，k－1]上单调递减，在(k－1,1)上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f (k－1)＝－e k－1.当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.。

1.3.1 单 调 性[对应学生用书P13]已知函数y 1＝x ，y 2＝x 2，y 3＝1x.问题1：试作出上述三个函数的图象． 提示：图象为问题2：试根据上述图象说明函数的单调性． 提示：函数y 1＝x 在R 上为增函数，y 2＝x 2在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数， y 3＝1x在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数．问题3：判断它们导函数的正负．提示：y 1′＝1>0，y 2′＝2x ，当x >0时，y 2′>0，当x <0时，y 2′<0，y 3′＝－1x2<0.问题4：试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系．提示：当f ′(x )>0时，f (x )为增函数，当f ′(x )<0时，f (x )为减函数．一般地，在某区间上函数y ＝f (x )的单调性与导数有如下关系：上述结论可以用下图来直观理解．1．根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈现上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈现下降的状态，即函数单调递减．2．在某个区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x) 在此区间内为增(减)函数的充分条件，而不是充要条件．如果出现个别点使f′(x)＝0，不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间内的单调性．例如函数f(x)＝x3在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，但由f′(x)＝3x2知，f′(0)＝0，即并不是在定义域内的任意一点处都满足f′(x)>0.[对应学生用书P14][例1](1)y＝ax5－1(a>0)；(2)y＝a x－a－x(a>0且a≠1)．[思路点拨] 先求出函数的导数，然后通过导数的符号来讨论函数的单调性．[精解详析] (1)∵y′＝5ax4且a>0，∴y′≥0在R上恒成立，∴y＝ax5－1在R上为增函数．(2)y′＝a x ln a－a－x ln a(－x)′＝(a x＋a－x)ln a，当a>1时，ln a>0，a x＋a－x>0，∴y′>0在R上恒成立，∴y＝a x－a－x在R上为增函数．当0<a<1时，ln a<0，a x＋a－x>0，∴y′<0在R上恒成立，∴y＝a x－a－x在R上为减函数．[一点通] 判定函数单调性的方法有两种：(1)利用函数的单调性的定义，在定义域内任取x1，x2，且x1<x2，通过判断f(x1)－f(x2)的符号确立函数的单调性．(2)利用导数判断可导函数f(x)在(a，b)内的单调性，步骤是：①求f′(x)，②确定f′(x)在(a，b)内的符号，③得出结论．1．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的有________．①y＝2－3x2；②y＝ln x；③y＝1x－2；④y＝sin x.解析：显然，函数y ＝2－3x 2在区间(－1,1)上是不单调的； 函数y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，不满足题目要求； 对于函数y ＝1x －2，其导数y ′＝－1(x －2)2<0，且函数在区间(－1,1)上有意义，所以函数y ＝1x －2在区间(－1,1)上是减函数； 函数y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数，所以函数y ＝sin x 在区间(－1,1)上也是增函数．答案：③2．证明：函数y ＝ln x ＋x 在其定义域内为增函数． 证明：显然函数的定义域为{x |x >0}， 又f ′(x )＝(ln x ＋x )′＝1x＋1，当x >0时，f ′(x )>1>0，故y ＝ln x ＋x 在其定义域内为增函数．3．判断y ＝ax 3－1(a ∈R )在(－∞，＋∞)上的单调性． 解：因为y ′＝3ax 2，又x 2≥0.(1)当a >0时，y ′≥0，函数在R 上是增函数； (2)当a <0时，y ′≤0，函数在R 上是减函数； (3)当a ＝0时，y ′＝0，函数在R 上不具备单调性．[例2] (1)y ＝x 3－2x 2＋x ；(2)f (x )＝3x 2－2ln x .[思路点拨] 先确定函数的定义域，再对函数求导，然后求解不等式f ′(x )>0，f ′(x )<0，并与定义域求交集从而得到相应的单调区间．[精解详析] (1)y ′＝3x 2－4x ＋1. 令3x 2－4x ＋1>0，解得x >1或x <13，因此，y ＝x 3－2x 2＋x 的单调递增区间为(1，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13.再令3x 2－4x ＋1<0，解得13<x <1.因此，y ＝x 3－2x 2＋x 的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.(2)函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝6x －2x ＝2·3x 2－1x .令f ′(x )>0，即2·3x 2－1x>0， 解得－33<x <0或x >33. 又∵x >0，∴x >33. 令f ′(x )<0，即2·3x 2－1x<0，解得x <－33或0<x <33， 又∵x >0，∴0<x <33. ∴f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫33，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，33.[一点通] (1)利用导数求函数f (x )的单调区间，实质上是转化为解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0，不等式的解集就是函数的单调区间．(2)如果函数的单调区间不止一个时，应用“及”、“和”等连接，而不能写成并集的形式．如本例(1)中的单调增区间不能写成⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞)．(3)要特别注意函数的定义域．4．若函数f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则函数f (x )的单调递增区间为________． 解析：由已知f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2x －2－4x ＝2x 2－2x －4x，由f ′(x )>0得x 2－x －2>0，解得x <－1或x >2， 又x >0，所以函数f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)． 答案：(2，＋∞)5．函数f (x )＝x ln x 的单调递增区间为________． 解析：∵f (x )＝x ln x (x >0)，∴f ′(x )＝ln x ＋1， 令f ′(x )>0，则ln x ＋1>0，即ln x >－1. ∴x >1e，即函数f (x )＝x ln x 的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞6．已知函数f (x )＝ln x ＋k ex(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间． 解：(1)由f (x )＝ln x ＋kex， 得f ′(x )＝1－kx －x ln xx e x，x ∈(0，＋∞)，由于曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与x 轴平行， 所以f ′(1)＝0，因此k ＝1. (2)由(1)得f ′(x )＝1x e x(1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)， 令h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，当x ∈(0,1)时，h (x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0. 又e x>0，所以当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0. 因此f (x )的单调递增区间为(0,1)， 单调递减区间为(1，＋∞)．[例3] 已知函数f (x )＝x 2＋x(x ≠0，常数a ∈R )．若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是增函数，求a 的取值范围．[思路点拨] 解答本题可先对函数求导，再将问题转化为f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立问题求解．[精解详析] f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax2.要使f (x )在[2，＋∞)上是增函数， 则f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立， 即2x 3－ax2≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立． ∵x 2>0，∴2x 3－a ≥0，∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立． ∴a ≤(2x 3)min .∵x ∈[2，＋∞)，y ＝2x 3是增函数， ∴(2x 3)min ＝16，∴a ≤16.当a ＝16时，f ′(x )＝2x 3－16x2≥0(x ∈[2，＋∞))恒成立． ∴a 的取值范围是a ≤16.[一点通] (1)已知f (x )在区间(a ，b )上的单调性，求参数范围的方法：①利用集合的包含关系处理：f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集；②利用不等式的恒成立处理：f (x )在(a ，b )上单调，则f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(a ，b )内恒成立，注意验证等号是否成立．(2)两个非常重要的转化： ①m ≥f (x )恒成立⇔m ≥f (x )max ； ②m ≤f (x )恒成立⇔m ≤f (x )min .7．函数f (x )＝x 3－mx 2＋m －2的单调递减区间为(0,3)，则m ＝________. 解析：∵f (x )＝x 3－mx 2＋m －2， ∴f ′(x )＝3x 2－2mx .令f ′(x )＝0，则x ＝0或x ＝23m ，又∵函数f (x )的单调递减区间为(0,3)， ∴23m ＝3，即m ＝92. 答案：928．若f (x )＝－12(x －2)2＋b ln x 在(1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________．解析：由题意可知f ′(x )＝－(x －2)＋bx≤0在(1，＋∞)上恒成立，即b ≤x (x －2)在x ∈(1，＋∞)上恒成立，由于φ(x )＝x (x －2)＝x 2－2x (x ∈(1，＋∞))的值域是(－1，＋∞)，故只要b ≤－1即可．答案：(－∞，－1]9．已知函数f (x )＝2ax －1x2，x ∈(0,1]．若f (x )在(0,1]上是增函数，求a 的取值范围．解：由已知得f ′(x )＝2a ＋2x3，∵f (x )在(0,1]上单调递增，∴f ′(x )≥0，即a ≥－1x3在x ∈(0,1]上恒成立．而g (x )＝－1x3在(0,1]上单调递增，∴g (x )max ＝g (1)＝－1，∴a ≥－1. 当a ＝－1时，f ′(x )＝－2＋2x3.对x ∈(0,1]也有f ′(x )≥0.∴a ＝－1时，f (x )在(0,1]上为增函数． ∴综上，f (x )在(0,1]上为增函数，a 的取值范围是[－1，＋∞)．1．在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．2．一般利用使导数等于零的点来对函数划分单调区间． 3．如果函数在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )为常数函数．[对应课时跟踪训练(六)]一、填空题1．函数y ＝x 3－x 2－40x ＋80的增区间为________，减区间为________． 解析：y ′＝3x 2－2x －40＝(3x ＋10)(x －4)， 由y ′>0，得x >4或x <－103；由y ′<0，得－103<x <4.所以函数的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－103和(4，＋∞)，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，4.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－103和()4，＋∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，42．函数f (x )＝xln x的单调递减区间是________． 解析：令f ′(x )＝ln x －1ln 2x<0，解得0<x <e ，又因为函数f (x )的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)， 所以函数f (x )＝xln x 的单调递减区间是(0,1)，(1，e)．答案：(0,1)，(1，e)3．函数y ＝12x 2－ln x 的单调减区间为________．解析：y ′＝x －1x，由y ′<0，得x <－1或0<x <1.又∵x >0，∴0<x <1.即函数的单调减区间为(0,1)． 答案：(0,1)4.(浙江高考改编)已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是________．解析：由函数f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象自左至右是先增后减，可知函数y ＝f (x )图象的切线的斜率自左至右先增大后减小．答案：②5．已知函数f (x )为定义在(0，＋∞)上的可导函数，且f (x )>xf ′(x )．则不等式x 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －f (x )<0的解集为________．解析：令φ(x )＝f (x )x ，则φ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2<0. ∴φ(x )在(0，＋∞)上单调递减，又x 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x <f (x )，∴xf ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x <f (x )x. 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1x <f (x )x ，∴φ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x <φ(x )． 故1x>x .又∵x >0，∴0<x <1. 答案：(0,1) 二、解答题6．求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝x 4－2x 2＋3；(2)f (x )＝sin x (1＋cos x )(0<x <π)． 解：(1)函数f (x ) 的定义域为R .f ′(x )＝4x 3－4x ＝4x (x 2－1)＝4x (x ＋1)(x －1)．令f ′(x )>0，则4x (x ＋1)(x －1)>0， 解得－1<x <0或x >1，所以函数f (x )的单调递增区间为(－1,0)和(1，＋∞)． 令f ′(x )<0，则4x (x ＋1)(x －1)<0. 得x <－1或0<x <1.所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)和(0,1)．(2)f ′(x )＝cos x (1＋cos x )＋sin x (－sin x )＝2cos 2x ＋cos x －1＝(2cos x －1)(cosx ＋1)．∵0<x <π，∴cos x ＋1>0， 由f ′(x )>0得0<x <π3；由f ′(x )<0得π3<x <π，故函数f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π.7．设函数f (x )＝ax －2－ln x (a ∈R )．(1)若f (x )在点(e ，f (e))处的切线为x －e y －2e ＝0，求a 的值； (2)求f (x )的单调区间．解：(1)∵f (x )＝ax －2－ln x (x ＞0)， ∴f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x.又f (x )在点(e ，f (e))处的切线为x －e y －2e ＝0， ∴f ′(e)＝a －1e ＝1e ，故a ＝2e.(2)由(1)知：f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x(x ＞0)，当a ≤0时，f ′(x )＜0在(0，＋∞)上恒成立， ∴f (x )在(0，＋∞)上是单调减函数． 当a ＞0时，令f ′(x )＝0解得：x ＝1a，当x 变化时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：由表可知：f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，a 上是单调减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a，＋∞上是单调增函数．综上所述：当a ≤0时，f (x )的单调减区间为(0，＋∞)；当a ＞0时，f (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1a ，单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞.8．若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x 在区间(1,4)上单调递减，在区间(6，＋∞)上单调递增，试求实数a 的取值范围．解：f ′(x )＝x 2－ax ＋(a －1)，因为f (x )在(1,4)上单调递减，所以f ′(x )≤0在(1,4)上恒成立，即a (x －1)≥x 2－1在(1,4)上恒成立，所以a ≥x ＋1.因为2<x ＋1<5，所以a ≥5.因为f (x )在(6，＋∞)上单调递增，所以f ′(x )≥0在(6，＋∞)上恒成立，所以a ≤x ＋1.因为x ＋1>7，所以a ≤7.综上可知，实数a 的取值范围是5≤a ≤7.。

导数在研究函数中的应用—单调性一、教材分析本节课，是苏教版选修2-2第一章第3节课。

它承接导数的定义和运算，开启了导数在函数中应用的研究，是导数应用的基础知识，地位重要．二、学情分析学生前面已经学习了导数的定义和简单函数四则运算的导数公式，尤其是已经有了“割线逼近切线”这种数学思想，这为本节课提供了充分的思想方法准备．并且，在本节课开头设置的三个问题中，有的问题可以用单调性定义解决，有些通过观察可以直接判断，而有些则并不能一眼看出单调性，这就触动学生要寻找新的解题方法，探索新的思路。

通过数学问题的导引，带领学生走进课堂．在实际教学中，考虑到学生比较容易局限于观察图象，得出结论，缺乏严谨的推理。

事实上，图象只能提供直观感受，并不能作为说理依据。

教师就要引导学生共同思考：怎样从已有的单调性的定义中，找出合理、可行、有效的方法。

师生共同观察、思考、猜想、证明，最终得出结论，比较圆满地完成一个数学知识的学习过程，体验数学发现的乐趣，拓宽师生的数学视野．三、教学目标1 .探索并了解函数的单调性和函数导数的关系；2.比较初等方法与导数方法在研究函数性质过程中的异同，体现导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性．四、教学重点、难点我认为本节课的重点是从单调性的定义出发，逐步建立单调性与导数之间的关系。

其间，既有代数变形，又有图形直观；既有大胆的猜想，又有严密推理。

教师和学生在这些思想方法之间灵活穿梭、切换，既有激烈地思想交锋，又有严密地逻辑推理，让看似平静的课堂充满了智慧的碰撞。

五、教学方法与教学手段教师从课本章头图引入课题，自然地把导数和单调性结合起来。

教师通过设置问题串，从“会”到“不会”，激发学生学习兴趣，展开探究。

教师利用多媒体PPT和几何画板，动态演示，确定研究方向，最终得出结论。

六、教学过程教师为了能够真正体现“要提高学生独立获取数学知识，并用数学语言表达问题的能力”这个新课程理念，设计了10个环节。

1.3。

3 函数的最大（小）值与导数学习目标核心素养1。

理解函数的最值的概念．（难点）2。

了解函数的最值与极值的区别与联系．(易混点)3。

会用导数求在给定区间上函数的最值．(重点) 1.通过函数最大(小)值存在性的学习，体现直观想象核心素养.2。

借助函数最值的求解问题,提升学生的数学运算的核心素养.1．函数的最大（小）值的存在性一般地，如果在区间［a，b］上函数y＝f （x）的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值与最小值．思考:函数的极值与最值的区别是什么？［提示］函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值．函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的,函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得;有极值的未必有最值，有最值的未必有极值;极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．当连续函数f (x)在开区间（a,b）内只有一个导数为零的点时,若在这一点处f （x)有极大值(或极小值），则可以判定 f (x)在该点处取得最大值(或最小值），这里（a,b）也可以是无穷区间．2．求函数f （x）在闭区间［a，b］上的最值的步骤（1）求函数y＝f (x）在（a，b）内的极值；（2)将函数y＝f （x）的各极值与端点处的函数值f (a）,f (b）比较,其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．1．函数f (x）＝2x－cos x在（－∞，＋∞)上（）A．无最值B．有极值C．有最大值D．有最小值A［f ′(x)＝2＋sin x〉0恒成立，所以f (x）在（－∞，＋∞)上单调递增,无极值，也无最值．］2．函数f （x)＝－x2＋4x＋7在x∈［3，5]上的最大值和最小值分别是（）A．f （2），f （3) B．f （3），f （5)C．f （2），f （5）D．f （5)，f (3)B［∵f ′(x)＝－2x＋4，∴当x∈［3,5］时，f ′(x）〈0，故f (x)在[3，5]上单调递减,故f （x）的最大值和最小值分别是f （3），f （5)．]3．已知函数 f （x）＝－x3＋3x2＋m（x∈［－2，2]）,f （x）的最小值为1,则m＝________.1[f ′（x）＝－3x2＋6x，x∈[－2，2]．令f ′（x）＝0，得x＝0，或x＝2,当x∈（－2，0)时，f ′（x)＜0，当x∈(0，2)时,f ′（x）＞0，∴当x＝0时，f (x）有极小值，也是最小值．∴f (0)＝m＝1。

1.3.1导数在研究函数中的应用—单调性教案12017-2018学年高中数学苏教版选修2-2导数在研究函数中的应用——单调性【教学分析】1.教材分析本节课是高中数学苏教版教材选修2-2第1.3.1节导数在研究函数单调性中的应用.这节内容是导数作为研究函数的工具的起点,是本节的重点,学生对本节的收获直接影响着后面极值、最值的学习.函数单调性是高中阶段讨论函数“变化”的一个最基本的性质.学生在中学阶段对于单调性的学习共分为三个阶段：第一阶段,在初中以具体函数为载体,从图形直观上感知单调性；第二阶段在高中学习必修一时,用运算的性质研究单调性；第三阶段就是在本节课中,用导数的性质研究单调性.本节内容属于导数的应用,是本章的重点,学生在学习了导数的概念、几何意义、基本函数的导数、导数的四则运算的基础上学习本节内容.学好它既可加深对导数的理解,又为研究函数的极值和最值打好基础,具有承前启后的重要作用.研究过程蕴含了数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想方法,以及研究数学问题的一般方法,即从特殊到一般,从简单到复杂,培养了学生应用导数解决实际问题的意识.2.学情分析《普通高中数学新课程标准（实验）》中要求：结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数间的关系.对于函数的单调性学生已经掌握图象、定义两种判断方法,但是图象和定义法不是万能的.对于不能用这两种方法解决的单调性问题学生需要思考.学生之前学习了导数的概念,经历过从平均变化率到瞬时变化率的过程,研究过导数的几何意义是函数图象在某点处的切线,从数和形的角度认识了导数也是刻画函数变化陡峭程度的量,但是沟通导数和单调性之间的练习对学生来说是教学中要突破的难点和重点.3. 教学目标(1)了解函数的单调性与导数的关系,能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间.(2)通过实例,借助几何直观、数形结合探索函数的单调性与导数的关系；通过初等方法与导数方法研究函数性质过程中的比较,体会导数在研究函数性质中的一般性和有效性,同时感受和体会数学自身发展的一般规律.(3)通过教师指导下的学生交流探索活动,激发学生的学习兴趣,培养学生转化与化归的思维方式,并引导学生掌握从特殊到一般,从简单到复杂的思维方法,用联系的观点认识问题,提高学生提出问题、分析问题、解决问题的能力.4. 教学重点：利用导数研究函数的单调性5. 教学难点：发现和揭示导数的正负与函数单调性的关系.6. 教学方法与教学手段：问题教学法、合作学习法、多媒体课件等【教学过程】1.创设情境,激发兴趣情境一：过山车章头图情境二：观看过山车视频【设计意图】通过章头图拉近学生与数学的关系，让学生感受到生活处处有数学，也为本节课的研究埋下伏笔。