高二数学限时作业9

双基限时练(九)基础强化1．下列命题，正确的是( )A．不共面的四点中，其中任意三点不共线B．若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面C．若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面D．依次首尾相接的四条线段必共面解析A正确；B中当A、B、C三点共线时，结论有可能不成立；C中b、c可能不共面；D中四边形可能为空间四边形，故B、C、D均错．答案 A2．若三条直线两两相交，则由这三条直线确定的平面个数为( )A．1个B．2个C．3个D．1个或3个解析当这三条直线不共点时，它们能确定一个平面；当这三条直线共点时，它们能确定1个或3个平面．答案 D3．下列命题中，真命题的个数是( )①若空间四个点不共面，则这四个点可确定四个平面；②四边相等的四边形是菱形；③如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．A．1 B．2C．3 D．4解析若空间四点不共面，则这四点组成的几何体是三棱锥，它有四个面，故①正确；②中有可能是空间四边形，故②错；若这三个点共线，则不能得出两个平面重合的结论，有可能两个平面相交，故③错；根据平行四边形的定义可知，④正确．故选B.答案 B4．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，那么( )A．l⊂αB．l⊄αC．l∩α＝M D．l∩α＝N解析∵M∈a，a⊂α，∴M∈α.同理N∈α.∵M∈l，N∈l，∴由基本性质1可知，l⊂α.答案 A5．下列命题正确的是( )A．若a⊂α，b⊂β，则a、b是异面直线B．若a⊂α，b⊄α，则a、b是异面直线C．若a∩b＝∅，则a、b是异面直线D．不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线解析根据异面直线的定义可知，D选项正确．答案 D6．下列各图形中，P、Q、R、S分别是棱的中点，这四个点不共面的一个图是( )ABCD解析A中易证PS∥QR；B中易证PQ∥SR，C中可证PS∥QR，只有选D.答案 D7．平面α∩平面β＝l，点A∈α，B∈α，C∈β且C∉l，又AB ∩l＝R，过A、B、C三点确定的平面记作γ，则β∩γ＝____________.解析如图所示，∵α∩β＝l，AB∩l＝R，∴AB∩β＝R，C∈β.∴R∈面ABC∩β，C∈面ABC∩β.∴面ABC∩β＝RC.答案RC8．若a、b是异面直线，b、c也是异面直线，则a与c的位置关系________．解析在正方体ABCD－A1B1C1D1中，如图所示，令C1D1＝a，BC＝b.∵b与c异面，∴c可能是A1B1，DD1，AA1，∴a与c的关系可能是平行、相交或异面．答案相交或平行或异面能力提升9．有以下三个命题：①不在平面内的一条直线与这个平面最多有一个公共点；②直线l在平面α内，可以用符号“l∈α”表示；③若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交．请将所有正确命题的序号写出__________．答案①③10.如图，梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．解很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．∵E∈AC，AC⊂平面SAC，∴E∈平面SAC.同理，可证E∈平面SBD.∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．11.如图所示，在正方体AC1中，E，F，G，H分别是所在棱的中点，请思考并回答下列问题：(1)直线EF，GH，DC能交于一点吗？(2)若E，F，G，H四点共面，怎样才能画出过四点E，F，G，H 的平面截正方体所得的截面？解(1)如图，能交于一点．理由如下：因为E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点，易得E ，F ∈平面ABCD 且EF 与CD 相交，设交点为P .由△EBF ≌△PCF ，可得PC ＝BE ＝12AB . 同理，GH 与CD 相交，设交点为P 1，同样可得P 1C ＝C 1G ＝12C 1D 1＝12AB . 所以P 1与P 重合，因此直线EF ，GH ，DC 能交于一点．(2)由(1)知EF ，GH 相交于一点，则E ，F ，G ，H 四点共面．如图，延长HG，DD1，相交于点R，延长FE交DA的延长线于Q，则点R，Q是截面与侧面AD1的公共点，连接RQ与A1D1，A1A分别交于点M，T，连接GM，TE，可得截面与正方体各面的交线分别为EF，FH，HG，GM，MT，TE.截面如图的阴影部分所示．12.如图所示，在三棱锥P－ABC中，D、E是PC上不重合的两点，F、H分别是PA、PB上的点，且与点P不重合．求证：EF和DH是异面直线．-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------证明∵PA∩PC＝P，∴PA、PC确定一个平面α.∵E∈PC，F∈PA，∴E∈α，F∈α，∴EF⊂α.∵D∈PC，∴D∈α，且D∉EF.又PB∩α＝P，H∈PB，∴H∉α，DH∩α＝D，且DH与EF不相交．∴直线EF和DH是异面直线．品味高考13．下列图形中，满足α∩β＝AB，a⊂α，b⊂β，a∥AB，b ∥AB的图形是( )解析可以根据图形的特点及直线与平面的位置关系进行判断．答案 C信达。

高二数学暑假作业九一、单选题 1．若坐标原点到直线的距离等于，则角的取值集合是（ ）A.B.C.D.2．已知直线1l ： sin 10x y α+-=，直线2l ： 3cos 10x y α-+=，若12l l ⊥，则sin2α=（ ） A.23 B. 35± C. 35- D. 353．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A.B.C. D.4．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为 （ ）A. B. 5 C. 2 D. 10 5．已知点是直线上的动点，由点向圆引切线，切点分别为，，且，若满足以上条件的点有且只有一个，则（ ）A.B.C.D. 6．已知圆，圆，A 、B 分别是圆和圆上的动点，则的最大值为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8 7．动直线：（）与圆：交于点，，则弦最短为（ ）A.B.C.D.8．直线与圆交于，两点，且，过点，分别作的垂线与轴交于点，，则等于（ ）A. B. 4C. D. 8 9．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离 10．已知圆：与圆关于轴对称，为圆上的动点，当到直线的距离最小时，的横坐标为（ ）A.B.C.D.11．若过点的直线与曲线有公共点，则直线斜率的取值范围为A.B.C.D.12．已知直线20x y a -+=与圆O ： 222x y +=相交于A ， B 两点（O 为坐标原点），且AOB∆为等腰直角三角形，则实数a 的值为（ ）A.6或6- B. 5或5- C. 6 D. 513．过点()3,4P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为A ， B ，则AB =（ ）A. 53-B. 52-C.2215 D. 421514．已知圆22C:4630x y x y +---=,点()M 2,0-是圆C 外一点，则过点M 的圆的切线的方程是( )A. 20724140x x y +=+=，－B. 20724140y x y +=++=，C. 20724140x x y +=++=，D. 20724140y x y +=+=，－15．已知直线:3l y x m =+与圆()22:36C x y +-=相交于A 、B 两点，若22AB =，则实数m 的值等于（ ）A. -7或-1B. 1或7C. -1或7D. -7或116．与直线40x y --=和圆22220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是（ ） A. ()()22112x y +++= B. ()()22114x y -++= C. ()()22112x y -++= D. ()()22114x y +++=17．已知直线:3l y x m =+与圆()22:36C x y +-=相交于A ， B 两点，若120ACB ∠=︒，则实数m 的值为（ ）A. 36+或36-B. 326+或326-C. 9或3-D. 8或2-18．过直线23y x =+上的点作圆2246120x y x y +-++=的切线，则切线长的最小值为（ ） A.19 B. 25 C.21 D.555 19．圆()()221:131C x y ++-=，圆()()222:554C x y -+-=，M ，N 分别是圆1C ， 2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值（ ） A. 6 B. 210 C. 7 D. 1020．已知直线0(0)x y k k +-=>与圆224x y +=交于不同的两点,,A B O 是坐标原点，且有43OA OB AB +≥，那么k 的取值范围是 A.()3,+∞ B. )2,⎡+∞⎣ C. )2,22⎡⎣ D. )3,22⎡⎣二、填空题21．过点且与相切的直线方程为__________．22．在平面直角坐标系中，圆与轴的两个交点分别为 ,其中在的右侧，以为直径的圆记为圆，过点作直线与圆，圆分别交于两点．若为线段的中点，则直线的方程为_________． 23．已知直线．若直线与直线平行，则的值为____；动直线被圆截得弦长的最小值为______．24．已知直线于圆交于两点，圆在点处的切线相交于点，则四边形的面积为__________．25．已知点()()3,0,1,2A B ---，若圆()()22220x y r r -+=＞上恰有两点,M N ，使得MAB ∆和NAB ∆的面积均为4，则r 的取值范围是____.26．关于x 的方程2444x x kx k -+=+-有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围为_______________. 27．已知直线与圆交于两点，，且为等边三角形，则圆的面积为_____________．28．已知AB 为圆22:20C x y y +-=的直径，点P 为直线1y x =-上任意一点，则22||PA PB +的最小值为__________．三、解答题29．已知以点C 2,t t ⎛⎫⎪⎝⎭（t R ∈，且0t ≠）为圆心的圆与x 轴交于点O ， A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为坐标原点．（1）求证： OAB ∆的面积为定值；（2）设直线24y x =-+与圆C 交于点M ， N ，若OM ON =，求圆C 的方程．30．已知圆C 的圆心在x 轴正半轴上，且y 轴和直线320x y -+=均与圆C 相切. （1）求圆C 的标准方程；（2）若直线y x m =+与圆C 相交于,M N 两点，点()0,1P ，且MPN ∠为锐角，求实数m 的取值范围.31．已知圆，点，直线. （1）求与圆相切，且与直线垂直的直线方程； （2）在直线上（为坐标原点），存在定点（不同于点），满足：对于圆上任一点，都有为一常数，试求所有满足条件的点的坐标.32．已知. (1)若的切线在轴、轴上截距相等，求切线的方程； (2)从圆外一点向圆引切线为切点，为原点，若，求使最小的点坐标．高二数学暑假作业九答案1．A【解析】分析：先根据点到直线距离公式得角关系式，再解三角方程得结果.详解：因为坐标原点到直线的距离为，所以所以，即，选A.点睛：由求最值，最大值对应自变量满足，最小值对应自变量满足.2．D【解析】因为，所以，所以，所以.故选D.3．A【解析】分析：先求出A，B 两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可详解：直线分别与轴，轴交于，两点,则点P在圆上圆心为（2，0），则圆心到直线距离故点P 到直线的距离的范围为则故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题。

高二数学练习九班级__________ 学号__________姓名__________________一、选择题(每小题7分，共35分)1．下列命题中的假命题是 ( )A ．∃x∈R，lg x ＝0B ．∃x∈R，tan x ＝1C ．∀x∈R，3x >0D ．∀x∈R,2x >0 2．命题“∀x>0，2x ＋x>0”的否定是 ( )A ．∃x>0，2x ＋x>0B ．∃x>0，2x ＋x≤0C ．∀x>0，2x ＋x≤0 D ．∀x≤0，2x ＋x>03．下列有关命题的说法正确的是 ( )A ．命题“若2x ＝1，则x ＝1”的否命题为：“若2x ＝1，则x≠1” B ．“x＝－1”是“2x －5x －6＝0”的必要不充分条件C ．命题“∃x∈R，使得2x ＋x ＋1<0”的否定是：“∀x∈R，均有2x ＋x ＋1<0” D ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y”的逆否命题为真命题4．已知p ：|x －a|<4；q ：(x －2)·(3－x)>0，若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围为 ( ) A ．a<－1或a>6 B ．a≤－1或a≥6 C ．－1≤a≤6 D ．－1<a<6 5．已知命题p ：∀x∈[1,2]，2x －a≥0，命题q ：∃x∈R，2x ＋2ax ＋2－a ＝0，若“p 且q”为真命题，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．a ＝1或a≤－2 B ．a≤－2或1≤a≤2 C ．a≥1D ．－2≤a≤16．命题:p 若,a b R ∈，则1a b +>是1a b +>的充分而不必要条件；命题:q 函数y =的定义域是(][),13,-∞-+∞，则 （ ）A ．“p 或q ”为假B ．“p 且q ”为真C ．p 真q 假D ．p 假q 真二、填空题(每小题6分，共24分)7．用充分、必要条件填空：①1,2x ≠≠且y 是3x y +≠的②1,2x ≠≠或y 是3x y +≠的8.若命题“∃x∈R,22x －3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是_____________． 9．在“p ⌝”，“p∧q”，“p∨q”形式的命题中“p∨q”为真，“p∧q”为假，“p ⌝” 为真，那么p ，q 的真假为p______，q______.10．已知命题p ：2x ＋2x －3>0；命题q ：13－x>1，若q ⌝且p 为真，则x 的取值范围是 _________________． 11．下列结论：①若命题p ：∃x∈R，tan x ＝1；命题q ：∀x∈R，2x －x ＋1>0.则命题“p∧q ⌝”是假命题；②已知直线l1：ax ＋3y －1＝0，l2：x ＋by ＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是ab ＝－3；③命题“若2x －3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则2x －3x ＋2≠0”． 其中正确结论的序号为__________．(把你认为正确结论的序号都填上) 三、解答题12．写出由下列各组命题构成的“p∨q”，“p∧q”，“p ⌝”形式的新命题，并判断其真假．(1)p ：2是4的约数， q ：2是6的约数；(2)p ：矩形的对角线相等，q ：矩形的对角线互相平分； (3)p ：方程2x ＋x －1＝0的两实根的符号相同， q ：方程2x ＋x －1＝0的两实根的绝对值相等。

双基限时练(九)1．把长度为8的线段分成四段，围成一个矩形，矩形面积的最大值为()A．2B．4C．8 D．以上都不对解析由经验知，矩形的周长一定时，正方形面积最大，所以最大面积为2×2＝4.答案B2．正三棱柱体积是V，当其表面积最小时，底面边长a为()A.3V B.32VC.34V D．23V解析设正三棱柱的高为h，则V＝12a2sin60°·h＝34a2h，∴h＝4V3a2.则正三棱柱的表面积S＝2·34a2＋3ah＝32a2＋3a·4V3a2＝32a2＋43Va，∴S′＝3a－43V a2，令S′＝0，得a＝34V.答案C3．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是R(x)＝⎩⎨⎧ 400x －12x 2，0≤x ≤400，80000，x >400，则总利润最大时，每年生产的产量是( )A ．100B ．150C ．200D ．300 解析 当0≤x ≤400时，Q (x )＝400x －12x 2－20000－100x＝－12x 2＋300x －20000.Q ′(x )＝－x ＋300.令Q ′(x )＝0，得x ＝300.答案 D4．一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积为S ，为使窗户周长最小，用料最省，圆的半径应为( )A.3S π＋4 B .S π＋4 C.2S π＋4 D ．2S π＋4解析 设圆半径为x ，矩形的高记作h ，那么窗户面积S ＝π2x 2＋2hx.窗户周长为l(x)＝πx＋2x＋2h＝π2x＋2x＋Sx.令l′(x)＝π2＋2－Sx2＝0，解得x＝2Sπ＋4(舍去负值)，∵l(x)只有一个极值，因此x＝2Sπ＋4为最小值点．答案C5．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能够全部贷出去．若存款利率为x(x∈(0,0.048))，则存款利率为多少时，银行可获得最大收益为()A．0.012 B．0.024C．0.032 D．0.036解析由题意知，存款量g(x)＝kx(k>0)，银行应支付的利息h(x)＝xg(x)＝kx2，x∈(0,0.048)．设银行可获得收益为y，则y＝0.048kx－kx2.于是y′＝0.048k－2kx.令y′＝0，得x＝0.024.依题意知，y在x＝0.024处取得最大值．答案B6．四川地震灾区在党的领导下积极恢复生产，重建家园时，某工厂需要建一个面积为512 m2矩形堆料场．一边可以利用原有的墙壁，其它三面需要砌新的墙壁，当砌墙所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________．解析 设矩形堆料场的长为x m ，则宽为512x m ，所用材料f (x )＝x ＋1024x ，f ′(x )＝1－1024x 2.令f ′(x )＝0，得x ＝32，宽为16.答案 32 m 16 m7．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________．解析 设甲地销售x 辆，则乙地销售(15－x )辆．总利润L ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30(x ≥0)． 令L ′＝－0.3x ＋3.06＝0，得x ＝10.2.∴当x ＝10时，L 有最大值45.6.答案 45.6万元8．某公司规定：对于小于或等于150件的订购合同，每件售价为200元，对于多于150件的订购合同，每超过一件则每件售价比原来减少1元，当公司的收益最大时订购件数为________．解析 设销售额为y ，销售件数为x ，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧200x (x ≤150，x ∈N )，x ·[200－(x －150)] (x >150，x ∈N ). 令g (x )＝x ·[200－(x －150)]＝350x －x 2，g ′(x )＝350－2x .解y ′(x )＝0，得x ＝175.易知，当x ＝175时，g (x )有最大值30625.答案 1759．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品．若该商品零售价定为p 元，则销售量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q＝8300－170p－p2.问该商品零售价定为多少时毛利润L最大，并求出最大毛利润．(毛利润＝销售收入－进货支出)解设毛利润为L(p)，由题意知L(p)＝p·Q－20Q＝Q(p－20)＝(8300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－166000，L′(p)＝－3p2－300p＋11700，令L′(p)＝0，解得p＝30，或p＝－130(舍去)．此时，L(30)＝23000.因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0，右侧L′(p)<0，所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23000元．答：该商品零售价定为每件30元时，毛利润最大，最大毛利润为23000元．10．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使体积最大，求圆锥的高．解如图．设圆锥底面半径为r，高为h，于是h2＋r2＝202，∴r＝400－h2.∴V＝13πr2h＝13π(400－h2)·h＝13π(400h－h3)．∴V ′＝13π(400－3h 2)．令V ′＝0，解得h ＝2033.当0<h <2033时，V ′>0.当h >2033时，V ′<0.∴h ＝2033时，圆锥形漏斗体积最大．11．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房，经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，那么每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积) 解 设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，则f (x )＝(560＋48x )＋2160×100002000x ＝560＋48x ＋10800x .f ′(x )＝48－10800x 2.令f ′(x )＝0，得x ＝15.当x >15时，f ′(x )>0，当0<x <15时，f ′(x )<0，因此，当x ＝15时，f (x )取最小值f (15)＝2000.答：为了楼房每平方米的综合费用最少，该楼房应建为15层．12．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两桥墩相距m 米．余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工程的费用为y 万元．(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？解 (1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ，则n ＝m x －1，∴y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x ＝256(m x －1)＋m x (2＋x )x ＝256xm ＋m x ＋2m －256.(2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12mx －12＝m 2x 2(x 32－512)．令f ′(x )＝0，得x 32＝512，所以x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)内为减函数；当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)内为增函数．∴f (x )在x ＝64处取得最小值．此时n ＝m x －1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y 最小．新课标第一网系列资料 。

班级 姓名 座号__________限时训练91．抛物线x 2＝(2a －1)y 的准线方程是y ＝1，则实数a ＝( )A.52B.32 C ．－12 D ．－322、设抛物线y 2=8x 的焦点为F ，准线为l ,P 为抛物线上一点,PA⊥l ,A 为垂足．如果直线AF 的斜率为那么|PF|=( )(A)3、已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ ）（A ）1x = (B)1x =-(C)2x = (D)2x =-4．以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋9＝0圆心的抛物线方程是( )A ．y ＝3x 2或y ＝－3x 2B ．y ＝3x 2C ．y 2＝－9x 或y ＝3x 2D ．y ＝－3x 2或y 2＝9x 5.已知圆C 的圆心与抛物线x y 42=的焦点关于直线x y =对称.直线0234=--y x 与圆C相交于B A ,两点，且6=AB ,则圆C 的方程为 .6.已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为7、已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，A B ，是C 上的两个点，线段AB 的中点为(22)M ，，则ABF △的面积等于 ．8、过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾角为30o 的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点（A 在y 轴左侧），则AF FB= 9、已知以F 为焦点的抛物线24y x =上的两点A 、B 满足3AF FB =u u u r u u u r ,则弦AB 的中点到准线的距离为___________.10．已知圆C 过定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，且与直线x ＝14相切，圆心C 的轨迹为E ，曲线E 与直线l ：y ＝k (x ＋1)(k ∈R )相交于A ，B 两点．(1)求曲线E的方程；(2)当△OAB的面积等于10时，求k的值．。

课时作业9 等差数列的性质及简单应用[基础巩固](25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1．在等差数列{a n }中,a 10＝30,a 20＝50,则a 40等于( )A ．40B ．70C ．80D ．90解析：方法一：因为a 20＝a 10＋10d ,所以50＝30＋10d ,所以d ＝2,a 40＝a 20＋20d ＝50＋20×2＝90.方法二：因为2a 20＝a 10＋a 30,所以2×50＝30＋a 30,所以a 30＝70,又因为2a 30＝a 20＋a 40,所以2×70＝50＋a 40,所以a 40＝90.答案：D2．等差数列{a n }中,3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24,则a 4＋a 10等于( )A ．3B ．4C ．5D ．12解析：a 3＋a 5＝2a 4,a 7＋a 10＋a 13＝3a 10,∴由题设知6(a 4＋a 10)＝24,∴a 4＋a 10＝4.答案：B3．在单调递增的等差数列{a n }中,若a 3＝1,a 2a 4＝34,则a 1＝( ) A ．－1 B ．0C.14D.12解析：a 2＋a 4＝2a 3＝2,又a 2a 4＝34,且a 4>a 2, 解得a 2＝12,a 4＝32,∴d ＝12,∴a 1＝0. 答案：B4．在等差数列{a n }中,已知a 5＋a 10＝12,则3a 7＋a 9＝( )A ．12B ．18C ．24D ．30解析：由已知得：a 5＋a 10＝2a 1＋13d ＝12,所以3a 7＋a 9＝3(a 1＋6d )＋a 1＋8d ＝4a 1＋26d ＝2(a 5＋a 10)＝24.答案：C5．下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个说法．p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎪⎫a n n 是递增数列； p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中正确的是( )A ．p 1,p 2B ．p 3,p 4C ．p 2,p 3D ．p 1,p 4解析：因为a n ＝a 1＋(n －1)d ,d >0,所以a n －a n －1＝d >0,命题p 1正确．na n ＝na 1＋n (n －1)d ,所以na n －(n －1)a n －1＝a 1＋2(n －1)d 与0的大小和a 1的取值情况有关．故数列{na n }不一定递增,命题p 2不正确．对于p 3：a n n ＝a 1n ＋n －1n d , 所以a n n －a n －1n －1＝－a 1＋d n (n －1), 当d －a 1>0,即d >a 1时,数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 递增, 但d >a 1不一定成立,则p 3不正确．对于p 4：设b n ＝a n ＋3nd ,则b n ＋1－b n ＝a n ＋1－a n ＋3d ＝4d >0.所以数列{a n ＋3nd }是递增数列,p 4正确．综上,正确的命题为p 1,p 4.答案：D二、填空题(每小题5分,共15分)6．设数列{a n },{b n }都是等差数列．若a 1＋b 1＝7,a 3＋b 3＝21,则a 5＋b 5＝________. 解析：∵数列{a n },{b n }都是等差数列,∴数列{a n ＋b n }也构成等差数列,∴2(a 3＋b 3)＝(a 1＋b 1)＋(a 5＋b 5),∴2×21＝7＋a 5＋b 5,∴a 5＋b 5＝35.答案：357．已知{a n }为等差数列,a 1＋a 3＋a 5＝105,a 2＋a 4＋a 6＝99,则a 20＝________.解析：本题考查等差数列的性质及通项公式．∵a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝105,∴a 3＝35.∵a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝99,∴a 4＝33,∴公差d ＝a 4－a 3＝－2.∴a 20＝a 4＋16d ＝33＋16×(－2)＝1.答案：18．已知{a n }为等差数列,a 5＋a 7＝4,a 6＋a 8＝－2,则该数列的正数项共有________项． 解析：∵a 5＋a 7＝2a 6＝4,a 6＋a 8＝2a 7＝－2,∴a 6＝2,a 7＝－1,∴d ＝a 7－a 6＝－3,∴a n ＝a 6＋(n －6)d ＝2＋(n －6)×(－3)＝－3n ＋20.令a n ≥0,解得n ≤203,即n ＝1,2,3,…,6,故该数列的正数项共有6项． 答案：6三、解答题(每小题10分,共20分)9．已知成等差数列的四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这四个数． 解析：设这四个数为a －3d ,a －d ,a ＋d ,a ＋3d ,则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ (a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝26，a 2－d 2＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝132，d ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝132，d ＝－32.所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.10．首项为a 1,公差d 为正整数的等差数列{a n }满足下列两个条件：(1)a 3＋a 5＋a 7＝93；(2)满足a n >100的n 的最小值是15.试求公差d 和首项a 1的值．解析：因为a 3＋a 5＋a 7＝93,所以3a 5＝93,所以a 5＝31,所以a n ＝a 5＋(n －5)d >100,所以n >69d＋5. 因为n 的最小值是15,所以14≤69d＋5<15, 所以6910<d ≤723, 又d 为正整数,所以d ＝7,a 1＝a 5－4d ＝3.[能力提升](20分钟,40分)11．已知{a n }是公差为正数的等差数列,a 1＋a 2＋a 3＝15,a 1·a 2·a 3＝80,则a 11＋a 12＋a 13的值为( )A ．105B ．120C ．90D ．75解析：由等差数列的性质得a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝15,所以a 2＝5,又因为a 1·a 2·a 3＝80,所以a 1·a 3＝16,所以(a 2－d )(a 2＋d )＝16,即(5－d )(5＋d )＝16,所以d 2＝9,又因为d >0,所以d ＝3.所以a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 2＋10d )＝3×(5＋10×3)＝105.答案：A12．已知数列{a n }满足a 2n ＋1＝a 2n ＋4,且a 1＝1,a n ＞0,则a n ＝________.解析：由已知a 2n ＋1－a 2n ＝4,所以{a 2n }是等差数列,且首项a 21＝1,公差d ＝4,所以a 2n ＝1＋(n －1)·4＝4n －3.又a n ＞0,所以a n ＝4n －3. 答案：4n －313．若关于x 的方程x 2－x ＋m ＝0和x 2－x ＋n ＝0(m ,n ∈R 且m ≠n )的四个根组成首项为14的等差数列,求m ＋n 的值．解析：设x 2－x ＋m ＝0的两根为x 1,x 2, x 2－x ＋n ＝0的两根为x 3,x 4,则x 1＋x 2＝x 3＋x 4＝1.不妨设数列的首项为x 1,则数列的第4项为x 2,所以x 1＝14,x 2＝34,公差d ＝34－143＝16. 所以中间两项分别是512,712. 所以x 1x 2＝316,x 3x 4＝512×712. 所以m ＋n ＝316＋512×712＝3172.14．一个等差数列的首项是8,公差是3；另一个等差数列的首项是12,公差是4,这两个数列有公共项吗？如果有,求出最小的公共项,并指出它分别是两个数列的第几项．解析：首项是8,公差是3的等差数列的通项公式为a n ＝3n ＋5；首项是12,公差是4的等差数列的通项公式为b m ＝4m ＋8.根据公共项的意义,就是两项相等,令a n ＝b m ,即n ＝4m 3＋1,该方程有正整数解时,m ＝3k ,k 为正整数,令k ＝1,得m ＝3,则n ＝5. 因此这两个数列有最小的公共项为20,分别是第一个数列的第5项,第二个数列的第3项．。

卜人入州八九几市潮王学校西亭高级高二数学限时训练(全卷总分值是150分，时间是120分钟)2006-10-21第一卷〔选择题，一共50分〕一、选择题〔本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分〕 错误的选项是．．．．．．A.在统计里，把所需考察对象的全体叫作总体；B.一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据；C.平均数、众数与中位数从不同的角度描绘了一组数据的集中趋势；D.一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大.2.从甲、乙两班分别任意抽出10名学生进展英语口语测验，其测验成绩的方差分别为2S 甲=1，2S 乙=26，那么 A.甲班10名学生的成绩比乙班10名学生的成绩整齐； B.乙班10名学生的成绩比甲班10名学生的成绩整齐； C.甲、乙两班10名学生的成绩一样整齐； D.不能比较甲、乙两班10名学生成绩的整齐程度.3.10021,,,x x x x 是的平均数，4021,,,x x x a 是的平均数，1004241,,,x x x b 是的平均数，那么以下各式正确的选项是A ．1006040b a x +=B ．1004060ba x+=C .b a x +=D.2b a x +=ˆ2 1.5yx =-,那么变量x 增加一个单位时 A.y 平均增加个单位；B.y 平均增加2个单位；C.y 平均减少个单位；D.y 平均减少2个单位；a ＝8，b ＝17交换，使a ＝17，b ＝8，使用赋值语句正确的一组是 A.a ←b ；b ←aB.c ←b ；b ←a ；a ←cC.b ←a ；a ←bD.a ←c ；c ←b ；b ←a 6.ABC ∆中，,45,6000=∠=∠C B高AD 为3.假设在BC 上取一点M ，那么BM<1的概率是A.12- C.12- D.257.求方程320x x-=的近似根，要先将它近似地放在某两个连续整数之间，下面正确的选项是A ．在1和2之间B ．在2和3之间C ．在3和4之间D ．在4和5之间8.以下算法输出的结果是〔〕 (2021)×3×5× (2021)1×3×5×…×n=2021中的n 值；D ．满足1×3×5×…×n ＞2021的最小整数n 值.9.一个袋内装有3个红球和n107,那么n 的值是 A.1B.2 C 10.点〔x,y 〕可在222xy +<的条件下随机取值，记点〔x,y 〕满足1>x 为事件A ，那么P 〔A 〕等于A.22ππ- B.22ππ+ C.2ππ- D.12ππ- 第二卷〔非选择题，一共100分〕二、填空题〔本大题一一共6小题，每一小题5分，一共30分，把答案填写上在答卷纸的相应位置〕 240名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为20的样本．某部门有60名员工，那么从这一部门抽取的员工人数是. .n ←1 s ←0Whilen ≤100s ←s+n n ←n+2EndWhile Prints13.假设将一枚骰子投掷3次，那么3次中出现的点数的最大值与最小值的差为5的概率为． 14.下表为初三某班被录取高一级的统计表：那么P(录取重点的学生)=；P(录取普通的学生)=；P(录取的女生)=．15.在正三棱锥内取一点P，使得点P与底面构成的三棱锥的体积小于原三棱锥的体积的一半的概率为.16.为了科学地比较考试的成绩，有些选拔性考试常常会将考试分数转化为HY分，转化关系为：S xx Z -=〔其中x是某位学生考试分数，x是该次考试的平均分，S是该次考试的HY差，Z是这位学生的HY分〕转化成HY分后可能出现小数或者负值.因此，又常常再将Z分数作线性变换转化成其它分数.例如某次学业选拔考试采用的是T分数，线性变换公式是：T=40Z+60在这次考试中某位考生的考试分数是85，这次考试的平均分是70，HY差是25，那么该考生的T分数为.三、解答题：本大题一一共5小题，一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤17.〔此题总分值是14分〕为了理解初三学生女生身高情况，某对初三女生身高进展了一次测量，所得数据整理后列出了频率分布表如下：〔1〕求出表中m、n、M、N所表示的数分别是多少？〔2〕画出频率分布直方图.〔3〕估计全体女生中身高在[153.5,165.5)范围内的百分率？18.〔此题总分值是14分〕如图,圆内切于正方形,一正三角形内接于该圆.假设任意向正方形内部投一粒子,求该粒子落在阴影局部的概率.19.〔此题总分值是14分〕311122x xy x xx x-<⎧⎪=+≤<⎨⎪≥⎩图并写出伪代码．20.〔此题总分值是14分〕袋中有除颜色外完全一样的红、黄、白三种颜色的球各一个，从中每次任取1个．有放回地抽取3次，求:(1)3个全是红球的概率；(2)3个颜色全一样的概率；(3)3个颜色不全一样的概率；(4)3个颜色全不一样的概率．21〔此题总分值是14分〕口袋里装有大小一样的球8个，其中红球和黄球各3个，蓝球2个.〔1〕从口袋中任意摸出两只球，求摸出一样颜色球的概率.答卷纸二、填空题：〔本大题一一共6小题，每一小题5分，一共30分〕11、；12、；13、；14、，，；15、；16、.三、解答题：17、〔此题总分值是14分〕18、〔此题总分值是14分〕19、〔此题总分值是14分〕〔1〕画出流程图〔2〕用根本算法语句写出伪代码20、〔此题总分值是14分〕21、〔此题总分值是14分〕。

高中数学课时分层作业9综合法（含解析）北师大版选修12课时分层作业(九)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．设f (x )为奇函数，f (1)＝12，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)等于( ) A ．0 B ．1C.52 D ．5C [∵函数为奇函数，f (1)＝f (－1＋2)＝f (－1)＋f (2)＝－f (1)＋f (2)，∴f (2)＝2f (1)＝2×12＝1，f (3)＝f (1)＋f (2)＝32，f (5)＝f (3)＋f (2)＝32＋1＝52.]2．平面内有四边形ABCD 和点O ，OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 为() A ．菱形 B ．梯形C ．矩形D ．平行四边形D [∵OA →＋OC →＝OB →＋OD →，∴OA →－OB →＝OD →－OC →，∴BA →＝CD →，∴四边形ABCD 为平行四边形．]3．若实数a ，b 满足0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是() A.12 B ．a 2＋b 2C ．2abD ．aB [∵a ＋b ＝1，a ＋b >2ab ，∴2ab <12.而a 2＋b 2>(a ＋b )22＝12.又∵0<a <b ，且a ＋b ＝1，∴a <12，∴a 2＋b 2最大，故选B.]4．A ，B 为△ABC 的内角，A >B 是sin A >sin B 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 C [若A >B ，则a >b ，又a sin A ＝bsin B ，∴sin A >sin B ； 若sin A >sin B ，则由正弦定理得a >b ，∴A >B .]5．若m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是( )A ．若m β，α⊥β，则m ⊥αB ．若α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，m ∥n ，则α∥βC ．若m ⊥β，m ∥α，则α⊥βD ．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γC [对于A ，m 与α不一定垂直，所以A 不正确；对于B ，α与β可以为相交平面；对于C ，由面面垂直的判定定理可判断α⊥β；对于D ，β与γ不一定垂直．]二、填空题6．已知a ，b 是不相等的正数，x ＝a ＋b2，y ＝a ＋b ，则x ，y 的大小关系是________．y >x [x 2＝a ＋b ＋2ab 2，y 2＝a ＋b . y 2－x 2＝a ＋b －a ＋b ＋2ab 2＝a ＋b －2ab 2＝(a －b )22≥0.当且仅当a ＝b 时取“＝”．又∵y >0，x >0，且a ≠b ，∴y >x .] 7．设e 1，e 2是两个不共线的向量，AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，若A ，B ，C 三点共线，则k ＝________.6 [若A ，B ，C 三点共线，则AB →＝λCB →，即2e 1＋k e 2＝λ(e 1＋3e 2)＝λe 1＋3λe 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝2，3λ＝k ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝2，k ＝6.]8．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系为________． a >c >b [∵a 2－c 2＝2－(8－43)＝48－36>0，∴a >c .又∵cb ＝6－27－3＝7＋36＋2>1，∴c >b ，∴a >c >b .]三、解答题9．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8. [证明] ∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝b ＋c a >0，1b －1＝a ＋c b >0，1c －1＝a ＋b c>0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ＋2ac ·2ab abc ＝8. 10．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 也成等差数列．求证：△ABC 为等边三角形．[证明] 由A ，B ，C 成等差数列知，B ＝π3，由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－ac ， ① 又a ，b ，c 也成等差数列，∴b ＝a ＋c 2， ② 把②代入①得(a ＋c )24＝a 2＋c 2－ac ， 整理得3(a －c )2＝0，∴a ＝c ，从而A ＝C ，而B ＝π3，则A ＝B ＝C ＝π3， 从而△ABC 为等边三角形．[能力提升练]1．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y的最大值为( ) A ．2 B.32 C ．1 D.12C [∵a x ＝b y ＝3，x ＝log a 3，y ＝log b 3，∴1x ＋1y ＝log 3(ab )≤log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1.故选C.] 2．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不确定C [由正弦定理可知，sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2 A ，即sin(B ＋C )＝sin A ＝sin 2 A ，即sin A ＝1，∴A ＝π2.故△ABC 是直角三角形．] 3．若0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，则a ＋b,2ab ，a 2＋b 2,2ab 中最大的是________． a ＋b [由0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，得a ＋b >2ab ，a 2＋b 2>2ab .又a >a 2，b >b 2，知a ＋b >a 2＋b 2，从而a ＋b 最大．]4．已知三个不等式：①ab >0；②c a >d b ；③bc >ad .以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可能组成________个正确的命题．3 [对不等式②作等价变形：c a >d b ⇔bc －ad ab >0.于是，若ab >0，bc >ad ，则bc －ad ab >0，故①③⇒②.若ab >0，bc －ad ab >0，则bc >ad ，故①②⇒③.若bc >ad ，bc －ad ab>0，则ab >0，故②③⇒①.因此可组成3个正确的命题．]5．如图所示，M 是抛物线y 2＝x 上的一点，动弦ME ，MF 分别交x 轴于A ，B 两点，且MA ＝MB .若M 为定点，求证：直线EF 的斜率为定值．[证明] 设M (y 20，y 0)，直线ME 的斜率为k (k >0)，∵MA ＝MB ，∴∠MAB ＝∠MBA ， ∴直线MF 的斜率为－k ，∴直线ME 的方程为y －y 0＝k (x －y 20)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y －y 0＝k (x －y 20)，y 2＝x ，消去x 得ky 2－y ＋y 0(1－ky 0)＝0，解得y E ＝1－ky 0k ，∴x E ＝(1－ky 0)2k2. 同理可得y F ＝1＋ky 0－k ，∴x F ＝(1＋ky 0)2k 2. ∴k EF ＝y E －y F x E －x F ＝1－ky 0k －1＋ky 0－k (1－ky 0)2k 2－(1＋ky 0)2k 2＝2k －4ky 0k2 ＝－12y 0(定值)． ∴直线EF 的斜率为定值．。

课时作业9一、选择题1．若(x ＋3y )n 展开式的系数和等于(7a ＋b )10展开式中的二项式系数之和，则n 的值为( )A ．5B ．8C ．10D ．15【解析】 (7a ＋b )10展开式的二项式系数之和为210，令x ＝1，y ＝1，则由题意知，4n ＝210，解得n ＝5.【答案】 A2．若(x ＋1x )n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )A ．10B ．20C ．30D ．120【解析】 由2n ＝64，得n ＝6，∴T r ＋1＝C r 6x 6－r (1x )r ＝C r 6x 6－2r (0≤r ≤6，r ∈N )． 由6－2r ＝0，得r ＝3.∴T 4＝C 36＝20.【答案】 B3．(x －1)11展开式中x 的偶次项系数之和是( )A ．－2 048B ．－1 023C ．－1 024D ．1 024【解析】 (x －1)11＝C 011x 11＋C 111x 10(－1)1＋C 211x 9(－1)2＋…＋(－1)11，偶次项系数为负数，其和为－210＝－1 024.【答案】 C4．设(3－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若n ＝4，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n ＝( )A．256 B．136C．120 D．16【解析】令x＝－1，得a0－a1＋a2＋…＋(－1)n a n＝(3－(－1))4＝44＝256. 【答案】 A5．已知C0n＋2C1n＋22C2n＋…＋2n C n n＝729，则C1n＋C3n＋C5n的值等于() A．64 B．32C．63 D．31【解析】由已知(1＋2)n＝3n＝729，解得n＝6.则C1n＋C3n＋C5n＝C16＋C36＋C56＝262＝32.【答案】 B二、填空题6．若(x2＋1x3)n展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项是________．【解析】令x＝1得2n＝32，∴n＝5.∵T r＋1＝C r5(x2)5－r·(1x3)r＝C r5·x10－5r，∴由10－5r＝0即r＝2可得展开式中的常数项是C25＝10.【答案】107．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第______行中从左至右第14个与第15个数的比为2∶3.图1－5－3【解析】由已知C13nC14n＝23，即n！(n－13)！·13！×(n－14)！·14！n！＝23，化简得14n－13＝23.解得n＝34.【答案】348．(2012·浙江高考)若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________.【解析】∵f(x)＝x5＝[(1＋x)－1]5，∴a3＝C25(－1)2＝10.【答案】10三、解答题9．(x＋23x)n展开式第9项与第10项二项式系数相等，求x的一次项系数．【解】∵(x＋23x)n的展开式中第9项，第10项的二项式系数分别为C8n、C9n.又∵这两项的二项式系数相等．∴C8n＝C9n，∴n＝17.令17－r2－r3＝1，∴r＝9.∴T10＝29C917x＝29×24310x＝12446720x，即x的一次项系数为12446720.10．若(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，求：(1)各项系数之和；(2)奇数项系数的和与偶数项系数的和．【解】(1)各项系数之和即为a0＋a1＋a2＋…＋a10，可用“赋值法”求解．令x＝y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(2－3)10＝(－1)10＝1.(2)奇数项系数的和为a0＋a2＋a4＋…＋a10，偶数项系数的和为a1＋a3＋a5＋…＋a9.由(1)知a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①令x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②①＋②得，2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，故奇数项系数的和为12(1＋510)；①－②得，2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，故偶数项系数的和为12(1－510)．11．求(a＋1a2＋1)10展开式中的常数项．【解】∵(a＋1a2＋1)10＝[1＋(a＋1a2)]10，∴其通项为T r＋1＝C r10(a＋1a2)r(r＝0,1，…，10)，要求原式中的常数项，则应先求出(a＋1a2)r的展开式中的常数项．∵T k＋1＝C k r a r－k(1a2)k＝C k r a r－3k(k＝0,1,2，…，r)，由题意，令r－3k＝0，即r是k的3倍．又r∈N，且r≤9，∴r＝0,3,6,9，此时k＝0,1,2,3.当r＝0时，k＝0，系数为C010＝1；当r＝3时，k＝1，系数为C13C310＝360；当r＝6时，k＝2，系数为C26C610＝C26C410＝3 150；当r＝9时，k＝3，系数为C39C910＝C39C110＝840.∴(a＋1a2＋1)10展开式的常数项为1＋360＋3 150＋840＝4 351.。

课时作业(九)一、选择题1．函数f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数( )A．2 B．1C．0 D．由a确定答案 C解析f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x2＋2x＋1)＝3(x＋1)2≥0恒成立．f(x)单调，故无极值点．2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导数f′(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )A．1个B．2个C．3个D．4个答案 A解析导数的图像看符号，先负后正的分界点为极小值点．3．若函数y＝e x＋mx有极值，则实数m的取值范围( )A．m>0 B．m<0C．m>1 D．m<1答案 B解析y′＝e x＋m，则e x＋m＝0必有根，∴m＝－e x<0.4．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝( )A.1ln2B．－1ln2C ．－ln2D ．ln2答案 B解析 由y ＝x ·2x ，得y ′＝2x ＋x ·2x·ln2. 令y ′＝0，得2x(1＋x ·ln2)＝0. ∵2x＞0，∴x ＝－1ln2.5．函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则( ) A ．0＜b ＜1 B ．b ＜1 C ．b ＞0 D ．b ＜12答案 A解析 f (x )在(0,1)内有极小值，则f ′(x )＝3x 2－3b 在(0,1)上先负后正，∴f ′(0)＝－3b ＜0.∴b ＞0，f ′(1)＝3－3b ＞0，∴b ＜1. 综上，b 的范围为0＜b ＜1.6．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( ) A ．－1＜a ＜2 B ．－3＜a ＜0 C ．a ＜－1或a ＞2 D ．a ＜－3或a ＞6答案 D解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， ∵f (x )有极大值和极小值， ∴f ′(x )＝0有两个不等实根．∴Δ＝4a 2－4·3(a ＋6)＞0，即(a －6)(a ＋3)＞0， 解得a ＞6或a ＜－3.7．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图像与x 轴相切于(1,0)，则极小值为( ) A ．0 B ．－427C ．－527D ．1答案 A解析 f ′(x )＝3x 2－2px －q ， 由题知f ′(1)＝3－2p －q ＝0. 又f (1)＝1－p －q ＝0，联立方程组，解得p ＝2，q ＝－1.∴f (x )＝x 3－2x 2＋x ，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1.由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0， 解得x ＝1或x ＝13.经检验知x ＝1是函数的极小值点． ∴f (x )极小值＝f (1)＝0.8．三次函数当x ＝1时，有极大值4，当x ＝3时，有极小值0，且函数图像过原点，则此函数可能是( )A ．y ＝x 3＋6x 2＋9x B ．y ＝x 3－6x 2＋9x C ．y ＝x 3－6x 2－9x D ．y ＝x 3＋6x 2－9x答案 B解析 三次函数过原点，且四个选项中函数的最高次项系数均为1， ∴此函数可设为f (x )＝x 3＋bx 2＋cx . 则f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由题设知⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝3＋2b ＋c ＝0，f ′3＝27＋6b ＋c ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－6，c ＝9.∴f (x )＝x 3－6x 2＋9x .∴f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)．可以验证当x ＝1时，函数取得极大值4；当x ＝3时，函数取得极小值0，满足条件． 9．设f (x )＝x (ax 2＋bx ＋c )(a ≠0)在x ＝1和x ＝－1处均有极值，则下列点中一定在x 轴上的是( )A ．(a ，b )B ．(a ，c )C ．(b ，c )D ．(a ＋b ，c )答案 A解析 f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题意知x ＝1和x ＝－1是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根，则1－1＝－2b3a，得b ＝0.二、填空题10．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取得极值，则a ＝________.答案 3解析 f ′(x )＝x 2＋a ′·x ＋1－x 2＋a ·x ＋1′x ＋12＝2x ·x ＋1－x 2＋a ·1x ＋12＝x 2＋2x －a x ＋12，因为函数f (x )在x ＝1处取得极值， 所以f ′(1)＝3－a4＝0，解得a ＝3.11．设函数f (x )＝x ·(x －c )2在x ＝2处有极大值，则c ＝________. 答案 6解析 f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2，∵f (x )在x ＝2处有极大值，∴f ′(2)＝0，即c 2－8c ＋12＝0，解得c 1＝2，c 2＝6.当c ＝2时，则f ′(x )＝3x 2－8x ＋4＝(3x －2)(x －2)． 当x ＞2时，f ′(x )＞0，f (x )递增不合题意， ∴c ≠2，∴c ＝6.12．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图像经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中不正确的编号是________．(写出所有不正确说法的编号)(1)当x ＝32时函数取得极小值；(2)f (x )有两个极值点； (3)c ＝6；(4)当x ＝1时函数取得极大值．答案 (1)解析 f ′(x )的符号为正→负→正， 则f (x )的单调性为增→减→增． 草图如右图． 三、解答题13．设x ＝1和x ＝2是函数f (x )＝x 5＋ax 3＋bx ＋1的两个极值点． (1)求a 和b 的值； (2)求f (x )的单调区间．解析 (1)f ′(x )＝5x 4＋3ax 2＋b ， 由题意知f ′(1)＝5＋3a ＋b ＝0，f ′(2)＝24×5＋22×3a ＋b ＝0.解得a ＝－253，b ＝20.(2)由(1)知f ′(x )＝5x 4－25x 2＋20＝5(x 2－1)(x 2－4)＝5(x ＋1)(x ＋2)(x －1)(x －2)． 当x ∈(－∞，－2)∪(－1,1)∪(2，＋∞)时，f ′(x )>0， 当x ∈(－2，－1)∪(1,2)时，f ′(x )<0.因此，f (x )的单调递增区间是(－∞，－2)，(－1,1)，(2，＋∞)；f (x )的单调递减区间是(－2，－1)，(1,2)．14．一个三次函数y ＝f (x )，当x ＝3时取得极小值y ＝0，又在此函数的曲线上点(1,8)处的切线经过点(3,0)，求函数f (x )的表达式．解析 由题意，点(3,0)在曲线上，故可设y ＝a (x －3)3＋b (x －3)2＋c (x －3)． ∵当x ＝3时，y 取得极小值，∴y ′|x ＝3＝0.而y ′＝3a (x －3)2＋2b (x －3)＋c ，把x ＝3代入得c ＝0.∴y ＝a (x －3)3＋b (x －3)2，y ′＝3a (x －3)2＋2b (x －3)．∵曲线过点(1,8)，∴－8a ＋4b ＝8.① ∵曲线在点(1,8)处的切线经过点(3,0)， ∴该切线的斜率k ＝81－3＝－4. 另一方面，应有k ＝y ′|x ＝1， 从而12a －4b ＝－4.② 由①②两式解得a ＝1，b ＝4.∴y ＝(x －3)3＋4(x －3)2，即y ＝x 3－5x 2＋3x ＋9. 15．已知函数f (x )＝x 2－a ln x (a ∈R )(1)当a ＝1时，求函数f (x )在点x ＝1处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值；(3)若函数f (x )在区间(2，＋∞)上是增函数，试确定a 的取值范围． 解析 (1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－ln x ，f ′(x )＝2x －1x，f ′(1)＝1，又f (1)＝1，∴切线方程为y ＝x .(2)定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －ax，当a ≤0时，f ′(x )>0恒成立，f (x )不存在极值．当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝2a 2，当x >2a 2时，f ′(x )>0，当x <2a 2时，f ′(x )<0, ∴当x ＝2a 2时，f (x )有极小值a 2－a 2ln a 2. (3)∵f (x )在(2，＋∞)上递增，∴f ′(x )＝2x －a x≥0对x ∈(2，＋∞)恒成立，即a ≤2x 2恒成立．∴a ≤8.16．求函数f (x )＝ln xx的极值．分析 首先确定函数的定义域，然后求出函数的导数，利用函数极值的定义求出函数的极值点，进而求出极值．解析 函数f (x )＝ln xx的定义域为(0，＋∞)，由导数公式表和求导法则，得f ′(x )＝1－ln xx2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝e.下面分两种情况讨论： (1)当f ′(x )>0时，0<x <e ； (2)当f ′(x )<0时，x >e.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：↘故当x ＝e 时函数取得极大值，且极大值为f (e)＝e .17．已知函数f (x )＝3ax 4－2(3a ＋1)x 2＋4x . (1)当a ＝16时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在(－1,1)上是增函数，求a 的取值范围． 解析 (1)f ′(x )＝4(x －1)(3ax 2＋3ax －1)．当a ＝16时，f ′(x )＝2(x ＋2)(x －1)2，f (x )在(－∞，－2)内单调减，在(－2，＋∞)内单调增，在x ＝－2时，f (x )有极小值．所以f (－2)＝－12是f (x )的极小值．(2)在(－1,1)上，f (x )单调增加，当且仅当f ′(x )＝4(x －1)(3ax 2＋3ax －1)≥0，即3ax 2＋3ax －1≤0，①(ⅰ)当a ＝0时①恒成立；(ⅱ)当a ＞0时①成立，当且仅当3a ·12＋3a ·1－1≤0. 解得a ≤16.(ⅲ)当a ＜0时①成立，即3a (x ＋12)2－3a 4－1≤0成立，当且仅当－3a4－1≤0.解得a ≥－43. 综上，a 的取值范围是[－43，16]．►重点班·选做题18．已知函数f (x )＝a 3x 3－32x 2＋(a ＋1)x ＋1，其中a 为实数．(1)已知函数f (x )在x ＝1处取得极值，求a 的值；(2)已知不等式f ′(x )>x 2－x －a ＋1对任意a ∈(0，＋∞)都成立，求实数x 的取值范围．解析 (1)f ′(x )＝ax 2－3x ＋a ＋1，由于函数f (x )在x ＝1时取得极值，所以f ′(1)＝0，即a －3＋a ＋1＝0，∴a ＝1. (2)方法一 由题设知：ax 2－3x ＋a ＋1>x 2－x －a ＋1对任意a ∈(0，＋∞)都成立， 即a (x 2＋2)－x 2－2x >0对任意a ∈(0，＋∞)都成立．设g (a )＝a (x 2＋2)－x 2－2x (a ∈R )，则对任意x ∈R ，g (a )为单调递增函数(a ∈R )． 所以对任意a ∈(0，＋∞)，g (a )>0恒成立的充分必要条件是g (0)≥0，即－x 2－2x ≥0，∴－2≤x ≤0.于是x 的取值范围是{x |－2≤x ≤0}．方法二 由题设知：ax 2－3x ＋a ＋1>x 2－x －a ＋1对任意a ∈(0，＋∞)都成立， 即a (x 2＋2)－x 2－2x >0对任意a ∈(0，＋∞)都成立．于是a >x 2＋2x x 2＋2对任意a ∈(0，＋∞)都成立，即x 2＋2xx 2＋2≤0.所以－2≤x ≤0.所以x 的取值范围是{x |－2≤x ≤0}．1．已知函数f (x )在点x 0处连续，下列命题中，正确的是( ) A ．导数为零的点一定是极值点B ．如果在点x 0附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，那么f (x 0)是极小值C ．如果在点x 0附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，那么f (x 0)是极大值D ．如果在点x 0附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，那么f (x 0)是极大值 答案 C2．根据图像指出下列函数的极值点． ①y ＝x ＋4x(x ≠0)；②y ＝|lg|x －1||.答案 ①(2,4)极小值点，(－2，－4)极大值点．②(0,0)，(2,0)极小值点．3．求函数y＝x3－22x－12的极值．解析∵函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且y′＝x－22x＋12x－13，令y′＝0，得x1＝－1，x2＝2.∴当x变化时，y′，y的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1(－1,1)(1,2)2(2，＋∞) y′＋0－＋0＋y 极大值↘非极值故当x＝－1时，y有极大值，为－8.。