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30 BD AF 所以 1与 1 所成角的余弦值为 10
B B 1 1
B B
y
题型二：线面角
例三： 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB 6, AD 8, AA1 6, M 为BC1上的一点,且B1M 2, 点N 在线段A1D上， A1 N 5
（2）求AD与平面ANM 所成的角.
（2）求AD与平面ANM 所成的角.
4 得n (1,1, ) 又 AD (0,8,0), 3 | AD n | | sin |
A1 1 B1 1 M
z
NN
D1 1
C1 1
D D
A
y
3 34 AD与平面ANM 所成角的正弦值是 34
| AD || n | | 0 1 8 0 | 3 34 , 34 4 2 2 2 8 1 1 ( ) 3
AB ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
题型一：线线角
异面直线所成角的范围： 0, 2 思考： C D
结论：
A
B
D1
CD, AB 与的关系？ DC , AB 与的关系？
cos
| cos CD, AB |
C1 1
D D
A
y
x
B B
C C
即
6x 2 y 6z 0 4 y 3z 0
| sin |
| AD n | | AD | | n |
题型二：线面角 AB= 5，AD 8, 例三： 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AA1 6, M 为BC1上的一点,且B1M 2, 点N 在线段A1D上， A1 N 5
y x 0 2 解得：n2 (1,2,1) y z0 2
解： 建立空直角坐系A - xyz如所示,
z
B
C
D y 设平面 SCD的法向量n2 ( x, y, z ), 由n2 CD, n2 SD, 得：
n1 n2 6 cos n1 , n2 , | n1 || n2 | 3
关键：观察二面角的范围
cos | cos n1 , n2 |
如何求法向量
①找；②求：设
a, b 为平面 内的任意两个向量，
n ( x, y, z) 为 的法向量
a n 0 可求得法向量 n 则由方程组 b n 0
．
题型一：线线角 异面直线AB与CD所成角： cos
6 即所求二面角的余弦值是 。 3
四、易错处：
（1）不规则几何体空间直角坐标系的建立 （2）用平面法向量 n1 , n2 的夹角 n1 , n2 求面面夹角 时，两个角何时相等何时互补
空间向量的引入为代数方法处理立体几 何问题提供了一种重要的工具和方法，解题 时，可用定量的计算代替定性的分析，从而 回避了一些严谨的推理论证。求空间角与距 离是立体几何的一类重要的问题，也是高考 的热点之一。本节课主要是讨论怎么样用向 量的办法解决空间角的问题。
1.若a (a1 , a2 , a3 )， b (b1 , b2 , b3 ), 则：
解：如图建立坐标系A-xyz,则
A1 1 B1 1 M
z
D1 1
NC
AM (6,2,6), AN (0,4,3). 设平面 的法向量n ( x, y, z),由
AM n 0 AN n 0
A(0,0,0), M (6,2,6) 由A1 N 5, 可得 N (0,4,3)
数量积： a b
a1b1 a2b2 a3b3
| a ||b |
| a | | b | cos a, b
a1b1 a2b2 a3b3 a12 a2 2 a32 b12 b2 2 b32
a b 夹角公式： cos a b
2.若A( x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y2 , z2 )，则：
•小结
题型二：线面角 题型二：线面角
直线与平面所成角的范围： [0, ] 2
A
n
O
思考：
n, BA 与的关系？
B
结论：
sin
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|
cos n, AB
|
题型三：二面角
二面角的范围：
O
[0, ]
n2
n2
B
A
n1
n1
cos | cos n1 , n2 |
| AB CD | | AB | | CD |
例一：Rt ABC中，BCA 900 , 现将 ABC沿着
平面ABC的法向量平移到A1 B1C1位置，已知
BC CA CC1， 取A1B1、AC 的中点D1、F1， 1 1
求BD1与AF1所成的角的余弦值.
F1
A1
C1 D1
C
B1
B
A
题型一：线线角 解：以点C为坐标原点建立空间
z
F11
直角坐标系C xyz 如图所示，
C1 C1 F
D1 D1 设 CC1 1 则 A(1,0,0), B(0,1,0), A A 1 1 1 1 1 C F1 ( ,0,1), D1 ( , ,1) C 2 2 2 所以： A A x 1 1 1 AF1 ( ,0,1) , BD1 ( , ,1) 2 2 1 2 | 1| | AF1 BD1 | 30 4 | cos AF1 , BD1 | 10 | AF1 || BD1 | 5 3 4 2
x
B B
C C
题型三：二面角
例五、如图，ABCD是一直角梯形，ABC 900 , SA 平面ABCD, 1 SA AB BC 1, AD , 求面SCD与面SBA 所成的二面角的余弦值。 2
S 1 - 1, 1, 0) ,D(0, ,0), S (0, 0,1) A( 0, 0, 0) ,C ( 2 1 易知，面SBA 的法向量n1 AD (0, ,0), 2 1 1 CD (1, ,0), SD (0, ,1) x A 2 2
