8.2 线性规划
线性规划是处理线性目标函数和线性约束的一种较为成熟的方法，目前已经广泛应用于军事、经济、工业、农业、教育、商业和社会科学等许多方面。
8.2.1 基本数学原理
线性规划问题的标准形式是：
⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥=+++=+++=++++++=0,,,min 21221122222121112
121112211n m n mn m m n n n n n n x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a x c x c x c z 或
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=≥===∑∑==n j x m i b x a x c z j n j i j ij n j j
j ,,2,1,0,,2,1,min 1
1
写成矩阵形式为：
⎪⎩
⎪⎨⎧≥==O X b AX CX z min
线性规划的标准形式要求使目标函数最小化，约束条件取等式，变量b 非负。不符合这几个条件的线性模型可以转化成标准形式。
MATLAB 采用投影法求解线性规划问题，该方法是单纯形法的变种。
8.2.2 有关函数介绍
在MATLAB 工具箱中，可用linprog 函数求解线性规划问题。
linprog 函数的调用格式如下：
●x=linprog(f,A,b)：求解问题minf'*x ，约束条件为A*x<=b 。
●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq)：求解上面的问题，但增加等式约束，即Aeq*x=beq 。若没有不等式约束，则令A=[ ],b=[ ]。
●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)：定义设计x 的下界lb 和上界ub ，使得x 始终在该范围内。若没有等式约束，令Aeq=[ ],beq=[ ]。
●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)：设置初值为x0。该选项只适用于中型问题，默认时大型算法将忽略初值。
●x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)：用options 指定的优化参数进行最小化。
●[x,fval]=linprog(…)：返回解x 处的目标函数值fval 。
●[x,lambda,exitflag]=linpro g(…)：返回exitflag 值，描述函数计算的退出条件。 ●[x,lambda,exitflag,output]=linprog(…)：返回包含优化信息的输出参数output 。 ●[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(…)：将解x 处的拉格朗日乘子返回到
lambda 参数中。
调用格式中，lambda 参数为解x 处包含拉格朗日乘子的结构。它有以下一些字段：
lower —下界lb
upper —上界ub
ineqlin —线性不等式
eqlin —线性等式
exitflag 参数表示算法终止的原因，下面列出不同值对应的退出原因：
1 函数在解x 处有解
0 迭代次数超过options.MaxIter
-2 没有找到可行点
-3 问题无解
-4 执行算法时遇到NaN
-5 原问题和对偶问题都不可行
-7 搜索方向太小，不能继续前进。
8.2.3 应用实例
例8－2 某河流边有两个化工厂，流经第一个化工厂的河水流量是每天500万立方米，在两个工厂之间有一条流量为200万立方米的支流（如图8－1所示）。第一个化工厂每天排放工业污水2万立方米，第二个化工厂每天排放工业污水1.4万立方米，从第一个化工厂排出的污水流到第二个化工厂之前，有20%可自然净化。根据环保要求，河流中工业污水的含量应不大于0.2%，因此两个化工厂都必须各自处理净化一部分污水，第一个化工厂处理污水的成本是0.1元∕立方米，第二个化工厂处理污水的成本是0.08元∕立方米。问在满足环保要求的条件下，各化工厂每天应处理多少污水，才能使两厂总的处理污水费用最少？
第一化工厂 第二化工厂
图8－1
解：设1x ，2x 分别表示第一个化工厂和第二个化工厂每天处理的污水量（万立方米∕天）。
则目标函数：218001000x x f +=（元∕天）
约束条件1：
%2.0500
21≤-x ，即11≥x ； 约束条件2：%2.0700
)4.1()2(8.021≤-+-x x ，即6.18.021≥+x x ； 约束条件3：⎩⎨⎧≤≤4.1221x x 。
因此，该问题的线性规划模型归结为：
218001000m in x x f +=
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤-≤---≤-0,4.12
6.18.01..2121211x x x x x x x t s 求解程序：
%线性规划问题
f=[1000 800];
A=[-1 0;-0.8 -1;1 0;0 1];
b=[-1;-1.6;2;1.4];
lb=zeros(2,1);
[x,fval,exitflag]=linprog(f,A,b,[],[],lb)
运行结果：
x =
1.0000
0.8000
fval =1.6400e+003
exitflag =1
由上可知，第一个化工厂每天处理的污水量为1万立方米∕天，第二个化工厂每天处理的污水量为0.8万立方米∕天，才能使两厂总的处理污水费用最少。
