当前位置：文档之家 › “通过Hessian-free优化深度学习

“通过Hessian-free优化深度学习

  • 格式：pdf
  • 大小：137.26 KB
  • 文档页数：8

JamesMartensJMARTENS@CS.TORONTO.EDU

UniversityofToronto,Ontario,M5S1A1,Canada

AbstractWedevelopa2nd-orderoptimizationmethodbasedonthe“Hessian-free”approach,andapplyittotrainingdeepauto-encoders.Withoutusingpre-training,weobtainresultssuperiortothosereportedbyHinton&Salakhutdinov(2006)onthesametaskstheyconsidered.Ourmethodispractical,easytouse,scalesnicelytoverylargedatasets,andisn’tlimitedinapplicabilitytoauto-encoders,oranyspecificmodelclass.Wealsodiscusstheissueof“pathologicalcurvature”asapossibleexplanationforthedifficultyofdeep-learningandhow2nd-orderoptimization,andourmethodinparticular,effectivelydealswithit.

1.IntroductionLearningtheparametersofneuralnetworksisperhapsoneofthemostwellstudiedproblemswithinthefieldofma-chinelearning.Earlyworkonbackpropagationalgorithmsshowedthatthegradientoftheneuralnetlearningobjectivecouldbecomputedefficientlyandusedwithinagradient-descentschemetolearntheweightsofanetworkwithmul-tiplelayersofnon-linearhiddenunits.Unfortunately,thistechniquedoesn’tseemtogeneralizewelltonetworksthathaveverymanyhiddenlayers(i.e.deepnetworks).Thecommonexperienceisthatgradient-descentprogressesex-tremelyslowlyondeepnets,seemingtohaltaltogetherbe-foremakingsignificantprogress,resultinginpoorperfor-manceonthetrainingset(under-fitting).

Itiswellknownwithintheoptimizationcommunitythatgradientdescentisunsuitableforoptimizingobjectivesthatexhibitpathologicalcurvature.2nd-orderoptimizationmethods,whichmodelthelocalcurvatureandcorrectforit,havebeendemonstratedtobequitesuccessfulonsuchobjectives.Thereareevensimple2DexamplessuchastheRosenbrockfunctionwherethesemethodscandemonstrateconsiderableadvantagesovergradientdescent.Thusitisreasonabletosuspectthatthedeeplearningproblemcouldberesolvedbytheapplicationofsuchtechniques.Unfortu-DeeplearningviaHessian-freeoptimization2p󰀃Bp(1)whereB=H(θ)istheHessianmatrixoffatθ.Find-ingagoodsearchdirectionthenreducestominimizingthisquadraticwithrespecttop.ComplicatingthisideaisthatHmaybeindefinitesothisquadraticmaynothaveamini-mum,andmoreoverwedon’tnecessarilytrustitasanap-proximationoffforlargevaluesofp.ThusinpracticetheHessianis“damped”orre-conditionedsothatB=H+λIforsomeconstantλ≥0.

2.1.ScalingandcurvatureAnimportantpropertyofNewton’smethodis“scaleinvari-ance”.Bythiswemeanthatitbehavesthesameforanylinearrescalingoftheparameters.Tobetechnicallypre-cise,ifweadoptanewparameterizationˆθ=AθforsomeinvertiblematrixA,thentheoptimalsearchdirectioninthenewparameterizationisˆp=Apwherepistheoriginaloptimalsearchdirection.Bycontrast,thesearchdirectionproducedbygradientdescenthastheoppositeresponsetolinearre-parameterizations:ˆp=A−󰀃p.Scaleinvarianceisimportantbecause,withoutit,poorlyscaledparameterswillbemuchhardertooptimize.Italsoeliminatestheneedtotweaklearningratesforindividualparametersand/orannealgloballearning-ratesaccordingtoarbitraryschedules.Moreover,thereisanimplicit“scal-ing”whichvariesovertheentireparameterspaceandisdeterminedbythelocalcurvatureoftheobjectivefunction.Figure1.OptimizationinalongnarrowvalleyBytakingthecurvatureinformationintoaccount(intheformoftheHessian),Newton’smethodrescalesthegradi-entsoitisamuchmoresensibledirectiontofollow.Intuitively,ifthecurvatureislow(andpositive)inapar-ticulardescentdirectiond,thismeansthatthegradientoftheobjectivechangesslowlyalongd,andsodwillremainadescentdirectionoveralongdistance.Itisthussensi-bletochooseasearchdirectionpwhichtravelsfaralongd(i.e.bymakingp󰀃dlarge),eveniftheamountofreduc-tionintheobjectiveassociatedwithd(givenby−∇f󰀃d)isrelativelysmall.Similarlyifthecurvatureassociatedwithdishigh,thenitissensibletochoosepsothatthedis-tancetraveledalongdissmaller.Newton’smethodmakesthisintuitionrigorousbycomputingthedistancetomovealongdasitsreductiondividedbyitsassociatedcurvature:−∇f󰀃d/d󰀃Hd.Thisispreciselythepointalongdafterwhichfispredictedby(1)tostartincreasing.Notaccountingforthecurvaturewhencomputingsearchdirectionscanleadtomanyundesirablescenarios.First,thesequenceofsearchdirectionsmightconstantlymovetoofarindirectionsofhighcurvature,causinganunstable“bouncing”behaviorthatisoftenobservedwithgradientdescentandisusuallyremediedbydecreasingthelearningrate.Second,directionsoflowcurvaturewillbeexploredmuchmoreslowlythantheyshouldbe,aproblemexacer-batedbyloweringthelearningrate.Andiftheonlydirec-tionsofsignificantdecreaseinfareonesoflowcurvature,theoptimizationmaybecometooslowtobepracticalandevenappeartohaltaltogether,creatingthefalseimpressionofalocalminimum.Itisourtheorythattheunder-fittingproblemencounteredwhenoptimizingdeepnetsusing1st-ordertechniquesismostlyduetosuchtechniquesbecom-ingtrappedinsuchfalselocalminima.

合集下载

最优化方法及其应用

最优化方法及其应用

最优化方法及其应用最优化方法可以分为无约束优化和约束优化两种情况。

无约束优化是指在没有任何限制条件下，通过优化算法寻找函数的最小值或最大值。

约束优化则是在一定的约束条件下，寻找函数的最优解。

无约束优化问题可以通过求导数或者对函数进行逼近来解决，而约束优化问题往往需要使用更为复杂的方法，如拉格朗日乘数法、内点法等。

最优化方法在工程领域中有着广泛的应用。

例如在电力系统中，需要优化电力分配，以确保电力的高效利用和供应的稳定性。

另外，在机器学习算法中，最优化方法被用于调整模型参数，以提高模型的预测能力。

最优化方法还被广泛应用于交通流优化、资源分配、供应链管理等各种工程问题中。

经济学中的优化方法可以帮助决策者在有限资源下做出最佳的决策。

例如，在企业决策中，需要通过优化方法确定生产数量和价格，以实现最大的利润。

此外，最优化方法还可以帮助经济学家解决资源配置、市场设计等问题。

最优化方法在运筹学中也有着重要的应用。

运筹学是一门研究如何有效利用有限资源的学科，最优化方法在其中发挥着重要的作用。

例如，在物流领域中，需要通过最优化方法确定最短路径和最佳资源分配，以提高物流运输的效率。

此外，最优化方法还可以应用于排产调度、库存管理等问题中。

最优化方法的常见算法主要有梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。

梯度下降法是一种迭代优化算法，通过不断迭代更新参数值，直至达到最优解。

牛顿法基于函数的泰勒展开式，通过求解线性方程组来逼近最优解。

拟牛顿法则是对牛顿法的改进，通过近似求解Hessian矩阵，减少计算量。

除了传统的最优化方法，近年来深度学习的兴起也为最优化方法带来了新的挑战和应用。

深度学习网络中的参数优化也可以看作是一种最优化问题，通过梯度下降法或其他优化方法来调整参数值，以降低模型在训练数据上的误差。

随着深度学习的发展，越来越多的变种最优化算法被提出和应用于不同的深度学习架构中。

总结来说，最优化方法是一种解决最优化问题的强大工具，可以应用于各个领域中的决策问题。

优化理论基础课件

优化理论基础课件


拟牛顿法
一种改进的牛顿法
通过构造和更新拟牛顿矩阵来近似海森矩阵，从而在每一步迭代中更新解向量。适用于大规模的优化 问题，具有较好的收敛性和数值稳定性。
共轭梯度法
一种结合梯度下降法和共轭方向的优 化算法
结合梯度下降法的搜索方向和共轭方 向，通过迭代更新解向量，使得目标 函数值逐渐减小。适用于大规模的优 化问题，具有较快的收敛速度。
02
优化算法
梯度下降法
一种迭代优化算法
基于目标函数的梯度信息，沿着负梯度的方向搜索最小值点。在每一步迭代中， 更新解向量使得目标函数值逐渐减小。适用于连续可微的优化问题。
牛顿法
一种二阶迭代优化算法
基于目标函数的二阶导数（海森矩阵）信息，通过求解牛顿方程来找到最小值点。适用于二阶可微的优化问题，具有较快的 收敛速度。
配送策略优化
03
结合客户需求和配送资源，制定最优的配送计划和配送策略，
提高客户满意度和降低配送成本。
感谢您的观看
THANKS
粒子群优化算法
粒子群优化算法是一种基于群体智能的优化算法，通过模拟鸟群、鱼群等生物群体的行为 ，寻找多目标优化问题的Pareto最优解。
模拟退火算法
模拟退火算法是一种基于物理退火原理的优化算法，通过模拟金属退火过程，寻找多目标 优化问题的全局最优解。
多目标优化问题的应用场景
资源分配问题
在资源有限的情况下，如何合理分配资源以达到 多个目标的最优。
配电优化
针对配电网的供电需求和分布式能源的接入，优化配电网的拓扑结构 、无功补偿和电压控制等，提高供电可靠性和电能质量。
物流优化
运输路径优化
01
通过合理规划运输路线和车辆调度，降低运输成本、缩短运输
深度学习的目标方案

深度学习的目标方案

深度学习的目标方案引言深度学习已经成为许多领域中解决复杂问题的重要方法。

它的应用范围非常广泛，包括计算机视觉、自然语言处理、语音识别等领域。

在实际应用中，深度学习的目标方案的选择对于模型的性能和效果至关重要。

本文将介绍几种常见的深度学习目标方案，并对其优劣进行评估。

分类问题的目标方案交叉熵损失函数交叉熵损失函数是在分类问题中常用的目标方案之一。

它衡量了模型输出与真实标签之间的差异。

一般情况下，交叉熵损失函数可以表示为：loss = - sum(y * log(y_hat))其中，y表示真实标签，y_hat表示模型的输出。

交叉熵损失函数的优点是可以直观地衡量模型的预测结果与真实标签之间的差异程度，且具有较好的数学性质。

然而，交叉熵损失函数在处理类别不平衡的情况下可能存在问题，需要进行适当的调整。

Focal Loss在处理类别不平衡问题时，交叉熵损失函数可能导致模型对少数类别的预测效果较差。

为了解决这个问题，Lin等人提出了Focal Loss。

Focal Loss通过降低易分类样本的权重，增强难分类样本的权重，可以更好地处理类别不平衡问题。

Focal Loss的定义如下：loss = - sum(((1 - y_hat) ^ gamma) * log(y_hat))其中，gamma是一个可调节的超参数，用于控制易分类样本和难分类样本之间的权重。

Focal Loss相对于交叉熵损失函数的主要优势是能够更好地处理类别不平衡问题，提高了模型对少数类别的预测能力。

目标检测问题的目标方案感兴趣区域池化感兴趣区域池化（Region of Interest Pooling，RoI Pooling）是目标检测问题中常用的目标方案之一。

在传统的目标检测方法中，通过在图像上抽取一定数量的候选区域，然后对这些候选区域进行分类和回归。

感兴趣区域池化的核心思想是将不同尺寸的候选区域映射到相同尺寸的特征图上，使得每个候选区域可以表示为固定长度的特征向量。

凸优化理论与应用_凸集

凸优化理论与应用_凸集


03
凸优化问题建模与求解
凸优化问题定义及示例
凸优化问题定义
凸优化问题是一类特殊的数学优化问题，其目标函数是凸函数，约束条件为凸集。凸函数在数学上具有很好的性 质，如局部最优解即为全局最优解，这使得凸优化问题的求解相对简单。
凸优化问题示例
支持向量机（SVM）、线性回归、逻辑回归、最小二乘法等机器学习算法中的优化问题都可以转化为凸优化问题 进行求解。
凸函数与凹函数关系
凹函数定义
凹函数与凸函数相反，满足f(λx1+(1-λ)x2)≥λf(x1)+(1-λ)f(x2)。
凸凹性转换
通过取负操作，可以将凸函数转换为凹函数，反之亦然。即，如果f是凸函数，则-f是凹函数；如果f是凹函数，则-f 是凸函数。
凸凹组合
凸函数和凹函数的线性组合可能既不是凸函数也不是凹函数，但可以通过一定的条件判断其凸凹性。
01
03
02 04
多面体与单纯形
多面体是由有限个线性不等式定 义的集合，即{x | Ax ≤ b}。单纯 形是一种特殊的多面体，每个顶 点都是其他顶点的邻居。
锥与凸锥
锥是由原点出发的射线组成的集 合。如果锥还是凸集，则称为凸 锥。
02
凸函数及其性质
凸函数定义及示例
凸函数定义
在数学中，一个函数被称为凸函数，如果对于该函数定义域内的任意两个点x1 和x2，以及任意实数λ∈[0,1]，都有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)成立。
稀疏表示与重构
在压缩感知中，利用凸 集理论对信号进行稀疏 表示，并通过求解凸优 化问题实现信号的重构 。
噪声鲁棒性
针对压缩感知中的噪声 问题，利用凸集理论构 建鲁棒性优化模型，提 高信号恢复的精度和稳 定性。