线性二次型最优控制概述
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《最优控制》第4章线性系统二次型性能指标的最优控制问题
1 T 1 T e ( t ) Q ( t ) e ( t ) X (t )Q(t ) x(t ) 以零状态为平衡状态 2 2 1 T 1 T ②输出调节器 e (t )Q(t )e(t ) y (t )Q(t ) y (t ) 2 2
<输出调节器可转化为状态调节器> y(t ) c(t ) x(t )
第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
(t ) (22 F12 )1( F11 21) x(t )
可以证明 (22 F12 )1 存在 因此， (t )与X (t ) 呈线性关系，可表示为 (t ) P(t ) x(t ) 则
u * (t ) R 1(t ) BT (t ) P(t ) x(t )
（微分方程解的存在性和唯一性定理）
* * * * x1 x2 即x1 x2
16
第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
5.总结 状态调节器控制规律 u * (t ) R 1 (t ) BT (t ) P(t ) x(t ) 其中P(t)满足下面的矩阵黎卡提微分方程及边界条件
⑤状态方程
x Qx AT
1 T 1 T x x Ax BR B A BR B x T T Qx A Q A
x(t0 ) x(t ) (t ) (t , t0 ) (t ) 0
3 Q(t ), R(t ) 加权矩阵 Q(t )半正定，R(t )正定且均为时变 1 T 4 e (t f ) Fe(t f ) 突出对终端的误差的要求 2 特别要求终端固定，即e(t f ) 0时，F
5
线性二次型最优控制应用举例与仿真
线性二次型最优控制一、最优控制概述最优控制，又称无穷维最优化或动态最优化，是现代控制理论的最基本，最核心的部分。
它所研究的中心问题是：如何根据受控系统的动态特性，去选择控制规律，才能使得系统按照一定的技术要求进行运转，并使得描述系统性能或品质的某个“指标”在一定的意义下达到最优值。
最优控制问题有四个关键点：受控对象为动态系统；初始与终端条件（时间和状态）；性能指标以及容许控制。
一个典型的最优控制问题描述如下：被控系统的状态方程和初始条件给定，同时给定目标函数。
然后寻找一个可行的控制方法使系统从输出状态过渡到目标状态，并达到最优的性能指标。
系统最优性能指标和品质在特定条件下的最优值是以泛函极值的形式来表示。
因此求解最优控制问题归结为求具有约束条件的泛函极值问题，属于变分学范畴。
变分法、最大值原理（最小值原理）和动态规划是最优控制理论的基本内容和常用方法。
庞特里亚金极大值原理、贝尔曼动态规划以及卡尔曼线性二次型最优控制是在约束条件下获得最优解的三个强有力的工具，应用于大部分最优控制问题。
尤其是线性二次型最优控制，因为其在数学上和工程上实现简单，故其有很大的工程实用价值。
二、线性二次型最优控制2.1 线性二次型问题概述线性二次型最优控制问题，也叫LQ 问题。
它是指线性系统具有二次型性能指标的最优控制问题。
线性二次型问题所得到的最优控制规律是状态变量的反馈形式，便于计算和工程实现。
它能兼顾系统性能指标的多方面因素。
例如快速性、能量消耗、终端准确性、灵敏度和稳定性等。
线性二次型最优控制目标是使性能指标J 取得极小值, 其实质是用不大的控制来保持比较小的误差,从而达到所用能量和误差综合最优的目的。
2.2 线性二次型问题的提法给定线性时变系统的状态方程和输出方程如下：()()()()()()()()X t A t X t B t U t Y t C t X t ⎧=+⎨=⎩ （2.1）)(t X 是n 维状态变量，)(t U 是m 维控制变量，)(t Y 是l 维输出变量，)(t A 是n n ⨯时变矩阵，)(t B 是m n ⨯时变矩阵。
离散双线性系统二次型最优控制的迭代算法
离散双线性系统二次型最优控制的迭代算
法
离散双线性系统二次型最优控制是一种用于优化离散双线性系统的控制方法。
它的核心思想是通过迭代的方式，求解最优控制参数，从而使系统达到最优的性能。
在离散双线性系统中，假设控制参数为X，则根据控制参数X的变化，可以计算出系统的最优性能值Y。
在Y的计算中，一般包括两部分，一部分是系统的累计损失，另一部分是控制参数X的正则化项。
接着，通过迭代的方式，不断优化控制参数X，使得系统性能值Y 最大化。
在迭代过程中，采用梯度下降法，不断更新控制参数X，使得Y最大化。
每次迭代过程中，可以通过计算梯度的方式，找到控制参数X的最优解。
在计算出最优的控制参数X之后，可以得到离散双线性系统的最优性能值Y。
这样，就可以真正实现系统的最优控制。
综上，离散双线性系统二次型最优控制是一种有效的优化离散双线性系统的控制方法，它将梯度下降法和迭代过程结合起来，使得系统可以达到最优性能，从而实现系统的最优控制。
4.1 线性二次型最优控制
(4-2-10)
用Ω(t，t0)表示方程组(4-2-9)的2n╳2n维转移矩阵，用λ(t0)表示待定的 协态变量初值，则方程组(4-2-9)的解可以表示为
x( t 0 ) x( t ) ( t ) ( t , t 0 ) ( t ) 0
(4-2-11)
• 二次型性能指标中加权矩阵F、Q、R的选取在最优 控制方法中是受人为因素影响最大的步骤。 • 对同样的二次型最优控制问题，选取不同的F、Q、 R，则所得到的最优控制规律也将不一样。 • 控制规律设计（控制器综合）中人为因素影响总是 客观存在的。
(4) 线性二次型最优控制问题的三种类型
状态调节器问题 此时有C(t) = I 为单位矩阵，yr(t) = 0，即有 y(t) = x(t) = -e(t) 输出调节器问题 此时有yr(t) = 0，即有 y(t) = -e(t) 跟踪问题 此时yr(t) ≠ 0， e(t) = yr(t) - y(t)
1 tf 2 为单输出，即e(t)为数量函数时， e ( t )dt 即为经典控制中的动态误 2 t0
Lu u T ( t ) R ( t ) u( t )为衡量控制功率（积分后即为能量）大小的
代价函数，若u(t)表示电流或电压时，则u2(t)正比于电功率；
e T ( t f )Fe( t f ) 是要使末值时刻误差最小。
则(4-2-12）式可写为来自(4-2-13)x ( t f ) 11 ( t f , t ) x ( t ) 12 ( t f , t ) ( t )
(4-2-14) (4-2-15)
( t f ) 21 ( t f , t ) x( t ) 22 ( t f , t ) ( t )
lqr控制器原理
lqr控制器原理
LQR（线性二次型调节器）是一种基于状态反馈的最优控制策略，其原理主要包括以下步骤：
1. 确定状态方程模型：首先需要确定一个描述系统状态的动力学模型，通常以状态空间的形式给出。
2. 线性化处理：对状态方程进行线性化处理，将其转化为线性系统模型。
3. 定义目标函数：目标函数通常是系统状态和控制输入的二次型函数，用于评估控制性能的好坏。
4. 优化目标函数：通过设计状态反馈控制器，使得目标函数取最小值。
这意味着需要找到一个状态反馈控制律，使得系统的状态轨迹能够跟踪参考信号，同时控制输入的二次型能量最小。
5. 求解最优控制律：通过求解优化问题，可以得到最优控制律，即状态反馈控制器的增益。
这个增益可以用来调节系统的状态，以达到最优控制的目的。
6. 控制系统实现：将得到的增益值代入到实际控制系统中，通过闭环控制的方式对系统进行调节，以实现最优控制。
LQR控制器的优点包括：
1. 易于实现：LQR控制器通过线性二次型目标函数进行优化，其解具有封闭形式的解析解，易于计算和实现。
2. 鲁棒性好：LQR控制器对系统参数的变化和扰动具有较强的鲁棒性，能够在不确定环境下实现较好的控制效果。
3. 稳定性高：LQR控制器能够保证系统的状态轨迹收敛到平衡点，具有较好的稳定性和收敛性。
4. 可扩展性：LQR控制器可以与其他先进控制策略相结合，如模糊逻辑、神经网络等，以实现更复杂的控制任务。
总之，LQR控制器是一种有效的最优控制策略，广泛应用于各种线性系统的控制中。
通过合理地选择权矩阵Q和R，可以适应不同的控制要求和系统特性，实现最优控制。
第七章 线性二次型最优控制
第7章 线性二次型最优控制
控制器设计，使得 √闭环系统是稳定的； √闭环系统具有给定的极点，保证一定的动、 稳态性能 不足： 没有考虑控制能量的问题； 极点配置对模型的要求高。 思路： 同时考虑系统性能和控制能量：积分性能指标
7.1 二次型最优控制系统 状态空间模型： 系统性能指标： Q和R为加权矩阵，由设计者选定。 目的：要求设计一个控制器u，使得性能指标J 尽可能小 √二次型最优控制问题； √最优控制器。 特别的，考虑状态反馈形式的最优控制器： √如何来确定最优状态反馈控制器？ √最优闭环系统的稳定性？
3。最优状态反馈控制律的增益矩阵：
最优闭环系统：
显然，它是渐近稳定的。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
最优闭环系统： 利用黎卡提方程的对称正定解矩阵P构造 沿闭环系统轨线，
因此，最优闭环系统是渐近稳定的。 一种新的稳定化控制器设计方法！
例 考虑一阶系统： 二次型性能指标： 求系统的状态反馈最优控制律。 解 模型参数 ，加权矩阵 ⇒ 其解： 。由于要求对称正定解，故取 最优状态反馈控制律： 最优闭环系统： 最小值依赖系统的初始状态。
线性二次型状态反馈最优控制律的设计步骤： 线性二次型状态反馈最优控制律的设计步骤 1。验证系统能控性； 2。求解黎卡提方程： 非线性方程组，取对称正定解； 3。由 构造最优反馈控制律。 例 性能指标：
问题：求最优状态反馈控制器
对象的状态方程： 1。系统是能控的。 2。求解黎卡提方程：
化简后，得到
开环系统： 在状态反馈控制律 系统是 下，所导出的闭环
闭环系统应该是渐近稳定的，因此存在李雅普 诺夫函数 其中的P为待定的对称正定矩阵。 沿闭环系统，V关于时间的导数是
应该是负定的。
控制律对性能指标的影响：
控制器设计，使得 √闭环系统是稳定的； √闭环系统具有给定的极点，保证一定的动、 稳态性能 不足： 没有考虑控制能量的问题； 极点配置对模型的要求高。 思路： 同时考虑系统性能和控制能量：积分性能指标
7.1 二次型最优控制系统 状态空间模型： 系统性能指标： Q和R为加权矩阵，由设计者选定。 目的：要求设计一个控制器u，使得性能指标J 尽可能小 √二次型最优控制问题； √最优控制器。 特别的，考虑状态反馈形式的最优控制器： √如何来确定最优状态反馈控制器？ √最优闭环系统的稳定性？
3。最优状态反馈控制律的增益矩阵：
最优闭环系统：
显然，它是渐近稳定的。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
最优闭环系统： 利用黎卡提方程的对称正定解矩阵P构造 沿闭环系统轨线，
因此，最优闭环系统是渐近稳定的。 一种新的稳定化控制器设计方法！
例 考虑一阶系统： 二次型性能指标： 求系统的状态反馈最优控制律。 解 模型参数 ，加权矩阵 ⇒ 其解： 。由于要求对称正定解，故取 最优状态反馈控制律： 最优闭环系统： 最小值依赖系统的初始状态。
线性二次型状态反馈最优控制律的设计步骤： 线性二次型状态反馈最优控制律的设计步骤 1。验证系统能控性； 2。求解黎卡提方程： 非线性方程组，取对称正定解； 3。由 构造最优反馈控制律。 例 性能指标：
问题：求最优状态反馈控制器
对象的状态方程： 1。系统是能控的。 2。求解黎卡提方程：
化简后，得到
开环系统： 在状态反馈控制律 系统是 下，所导出的闭环
闭环系统应该是渐近稳定的，因此存在李雅普 诺夫函数 其中的P为待定的对称正定矩阵。 沿闭环系统，V关于时间的导数是
应该是负定的。
控制律对性能指标的影响：
第4章线性二次型最优控制
由以上两式及(4-2-10）式可得
λ(t) = [Ω 22 (t f , t) − FΩ12 (t f , t)]−1[FΩ11 (t f , t) − Ω 21 (t f , t)]x(t)
此式表明λ(t)与 x(t)之间存在线性关系。令
λ(t) = P(t)x(t)
考虑Ω（tf ，tf）=I2n╳2n， 即
首先列出该问题的 Hamilton 函数
H
=
1 2
xＴ
(t)Q(t)x(t)
+
1 2
uＴ
(t)R(t)u(t)
+
λＴ [A(t)x(t)
+
B(t)u(t)]
(4-2-3）
因 u(t)不受约束，所以沿最优轨线有
∂H ∂u (t )
=
0
即
∂H ∂u(t)
=
R(t)u(t)
+
BＴ
(t )λ (t )
=
0
(4-2-4）
则取较小值。 z 若要减少各分量间的关联耦合作用，系数矩阵可不为对角线矩阵，只需
将在系数矩阵中对应关联分量位置的元素取为非零的正数，其大小也依
对消除各分量间关联的重视程度而定，即最优性能指标也可以用于解耦
控制设计。 z 当 Q、R 取为时变矩阵 Q(t)和 R(t)时，可以反映不同时间阶段的系统控
制要求。如当 t = t0 时 e(t)可能很大，但此时并不反映系统的控制性能， 可以将 Q(t)取得较小；当 t→ tf、e(t)减小时，为保证控制系统性能，可 以将 Q(t)逐渐取大。 二次型性能指标中系数矩阵 F、Q、R 的选取在最优控制理论中是受人为因 素影响最大的步骤，对同样的二次型最优控制问题，选取不同的 F、Q、R 所得 到的最优控制规律也是完全不一样的。 （4） 线性二次型最优控制问题的三种类型 依照系统(4-1-1）~(4-1-3）的情况不同，线性二次型最优控制问题可以分为 如下三类： I. 状态调节器问题 此时有 C(t) = I 为单位矩阵，yr(t) = 0，即有 y(t) = x(t) = -e(t) II. 输出调节器问题 此时有 yr(t) = 0，即有 y(t) = -e(t)。 III. 跟踪问题
λ(t) = [Ω 22 (t f , t) − FΩ12 (t f , t)]−1[FΩ11 (t f , t) − Ω 21 (t f , t)]x(t)
此式表明λ(t)与 x(t)之间存在线性关系。令
λ(t) = P(t)x(t)
考虑Ω（tf ，tf）=I2n╳2n， 即
首先列出该问题的 Hamilton 函数
H
=
1 2
xＴ
(t)Q(t)x(t)
+
1 2
uＴ
(t)R(t)u(t)
+
λＴ [A(t)x(t)
+
B(t)u(t)]
(4-2-3）
因 u(t)不受约束，所以沿最优轨线有
∂H ∂u (t )
=
0
即
∂H ∂u(t)
=
R(t)u(t)
+
BＴ
(t )λ (t )
=
0
(4-2-4）
则取较小值。 z 若要减少各分量间的关联耦合作用，系数矩阵可不为对角线矩阵，只需
将在系数矩阵中对应关联分量位置的元素取为非零的正数，其大小也依
对消除各分量间关联的重视程度而定，即最优性能指标也可以用于解耦
控制设计。 z 当 Q、R 取为时变矩阵 Q(t)和 R(t)时，可以反映不同时间阶段的系统控
制要求。如当 t = t0 时 e(t)可能很大，但此时并不反映系统的控制性能， 可以将 Q(t)取得较小；当 t→ tf、e(t)减小时，为保证控制系统性能，可 以将 Q(t)逐渐取大。 二次型性能指标中系数矩阵 F、Q、R 的选取在最优控制理论中是受人为因 素影响最大的步骤，对同样的二次型最优控制问题，选取不同的 F、Q、R 所得 到的最优控制规律也是完全不一样的。 （4） 线性二次型最优控制问题的三种类型 依照系统(4-1-1）~(4-1-3）的情况不同，线性二次型最优控制问题可以分为 如下三类： I. 状态调节器问题 此时有 C(t) = I 为单位矩阵，yr(t) = 0，即有 y(t) = x(t) = -e(t) II. 输出调节器问题 此时有 yr(t) = 0，即有 y(t) = -e(t)。 III. 跟踪问题
现代控制理论线性二次型最优控制
0 ∞
J = ∫ x T Qxdt
0
∞
J = ∫ uT Rudt 描述了控制能量
0
∞
性能指标：既考虑系统性能的要求，也考虑能量消耗
7.1 二次型最优控制
& = Ax + Bu ⎧x 系统状态空间模型： ⎨ ⎩ y = Cx
系统性能指标：J = ∫0 [ x T Qx + uT Ru]dt Q和R为加权矩阵，由设计者选定。 目的：要求设计一个控制器u，使得性能指标J尽可能小 9 二次型最优控制问题； 9 最优控制器。 特别的，考虑状态反馈形式的最优控制器：u = − Kx 9 如何来确定最优状态反馈控制器？ 9 最优闭环系统的稳定性？
总结：只要黎卡提方程有对称正定解，就可以构造最优 状态反馈增益矩阵，并得到性能指标的最小值。 问题：什么时候可解呢？ 定理：若 ( A, B) 能控，则状态反馈二次型最优控制问题 可解，即黎卡提方程存在对称正定解P，据此可以构 造最优状态反馈控制律和最小性能指标值。
& = ( A − BR −1B T P ) x 最优闭环系统： x
T J = ∫ x T [ PA + AT P − PBR −1 B T P + Q ] xdt + x0 P x0 0 ∞
依赖矩阵P。若选取正定矩阵P满足
PA + AT P − PBR −1 B T P + Q = 0 （Riccati 黎卡提方程）
T J = x 则性能指标的最小值 0 P x0 。
应该是负定的。
控制律对性能指标的影响：
J = ∫ ( x T Q x + u T R u)dt
0 ∞ ∞ d d ⎤ ⎡ T T ⎢ x Q x + u R u + dt V ( x )⎥dt − ∫0 dtV ( x )dt ⎦ ⎣
J = ∫ x T Qxdt
0
∞
J = ∫ uT Rudt 描述了控制能量
0
∞
性能指标：既考虑系统性能的要求，也考虑能量消耗
7.1 二次型最优控制
& = Ax + Bu ⎧x 系统状态空间模型： ⎨ ⎩ y = Cx
系统性能指标：J = ∫0 [ x T Qx + uT Ru]dt Q和R为加权矩阵，由设计者选定。 目的：要求设计一个控制器u，使得性能指标J尽可能小 9 二次型最优控制问题； 9 最优控制器。 特别的，考虑状态反馈形式的最优控制器：u = − Kx 9 如何来确定最优状态反馈控制器？ 9 最优闭环系统的稳定性？
总结：只要黎卡提方程有对称正定解，就可以构造最优 状态反馈增益矩阵，并得到性能指标的最小值。 问题：什么时候可解呢？ 定理：若 ( A, B) 能控，则状态反馈二次型最优控制问题 可解，即黎卡提方程存在对称正定解P，据此可以构 造最优状态反馈控制律和最小性能指标值。
& = ( A − BR −1B T P ) x 最优闭环系统： x
T J = ∫ x T [ PA + AT P − PBR −1 B T P + Q ] xdt + x0 P x0 0 ∞
依赖矩阵P。若选取正定矩阵P满足
PA + AT P − PBR −1 B T P + Q = 0 （Riccati 黎卡提方程）
T J = x 则性能指标的最小值 0 P x0 。
应该是负定的。
控制律对性能指标的影响：
J = ∫ ( x T Q x + u T R u)dt
0 ∞ ∞ d d ⎤ ⎡ T T ⎢ x Q x + u R u + dt V ( x )⎥dt − ∫0 dtV ( x )dt ⎦ ⎣
线性二次型最优控制
最优控制即从容许控制集U中，寻求控制矢量u(t)，使 受控系统在时间域[t0,tf]内从初态到终态时性能指标J取 极小（大）值。满足上述条件的控制作用称为最优控 制 u*(t) ， 在 控 制 作 用 下 状 态 方 程 的 解 称 为 最 优 轨 线 x*(t)， 沿最优轨线使性能指标达到的最优值称为最优 指标J*。
7.1 线性二次型问题 线性时变系统
xt At xt Bu t yt Ctxt
希望控制系统的输出尽量接近输入 设期望输出为 yr(t), 定义误差向量 e(t) = yr(t) − y(t)
要求确定最优控制 u*(t), 使二次型性能指标极小:
J
1 2
边界条件：P(tf)=F
最优轨线 x*(t) 为线性向量微分方程的解:
x t At B t R1 t BT t P t x t x t0 x0
19
7.2.1 有限时间状态调节器
下面应用极小值原理求解：
(1) 设 u*(t) 是最优控制，必满足极小值原理
最优调节作用是n维协态矢量(t)的线性函数。
由于协态矢量在实际系统中不存在，也无法检测到，
故得到的最优调节作用u*(t) 在工程上难以实现。
20
7.2.1 有限时间状态调节器
为了便于状态反馈实现，需将u(t)表示成x(t)的函数。
(2) 设 λ t P t x t , t t0,t f ，P(t)是待定的nn时变矩阵
16
7 线性二次型最优控制
7.2 状态调节器
7.2.1 有限时间状态调节器 7.2.2 无限时间状态调节器 7.2.3 具有给定快速性的状态调节器 7.2.4 增广积分作用改善稳态性能
7.1 线性二次型问题 线性时变系统
xt At xt Bu t yt Ctxt
希望控制系统的输出尽量接近输入 设期望输出为 yr(t), 定义误差向量 e(t) = yr(t) − y(t)
要求确定最优控制 u*(t), 使二次型性能指标极小:
J
1 2
边界条件：P(tf)=F
最优轨线 x*(t) 为线性向量微分方程的解:
x t At B t R1 t BT t P t x t x t0 x0
19
7.2.1 有限时间状态调节器
下面应用极小值原理求解：
(1) 设 u*(t) 是最优控制，必满足极小值原理
最优调节作用是n维协态矢量(t)的线性函数。
由于协态矢量在实际系统中不存在，也无法检测到，
故得到的最优调节作用u*(t) 在工程上难以实现。
20
7.2.1 有限时间状态调节器
为了便于状态反馈实现，需将u(t)表示成x(t)的函数。
(2) 设 λ t P t x t , t t0,t f ，P(t)是待定的nn时变矩阵
16
7 线性二次型最优控制
7.2 状态调节器
7.2.1 有限时间状态调节器 7.2.2 无限时间状态调节器 7.2.3 具有给定快速性的状态调节器 7.2.4 增广积分作用改善稳态性能
线性二次型问题的最优控制
若取 xT (t )(Q + K T RK ) x (t ) = −
J=
d T x (t ) Px (t ) 则有： dt
1 ∞ T 1 ∞ T x (t )(Q + K T RK ) x(t ) dt = − 2 ∫0 dx (t ) Px(t ) 2 ∫0 1 T = x (0) Px (0) − xT (∞) Px(∞) 2
x 因此，设计的控制律为 u = [−1 - 3] 1 x2
3 控制律验证 3.1 系统稳定性验证 加入状态反馈后系统的极点分布图如下。极点为 − 状态反馈控制后系统又不稳定变为稳定系统。
3 1 3 ± i ，阻尼比 ξ = 。因此引入 2 2 2
Pole-Zero Map 0.8 0.7 0.6 0.84 0.4 0.95 0.2 Imaginary Axis 0.9 0 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.56 0.42 0.3 0.2 0.09
2 控制律设计 由上述分析可知状态反馈的控制律为 u = Kx = [ k1 k2 ] x ， 因此， 系统新的状态方程变为：
0 & = x 0 1 0 0 + [k1 k 2 ] x 其中 Ac = A + BK = 0 1 k1 1 。 k2
& = Ax + Bu x y = Cx + Du x (0) = x 0
性能指标
J= 1 ∞ T x (t )Qx(t ) + uT (t ) Ru (t ) dt 2 ∫0
若采用状态反馈，取控制输入 u = Kx 则有： & = ( A + BK ) x x
线性系统二次型最优控制律
线性系统二次型最优控制律线性系统二次型最优控制定义使用二次型性能指标的线性系统最优控制。
它可得到状态线性反馈的最优控制规律，便于实现闭环最优控制，是应用广泛的最优控制方式。
性能指标线性系统状态方程及输出方程为x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t) (1)y(t)=C(t)x(t) (2)式中x(t)为n维状态向量;u(t)为p维控制向量;y(t)为q维输出向量。
设z(t)为理想输出向量，与y(t)同维数，并定义e(t)=z(t)-y(t) (3)误差向量。
线性二次型最优控制问题的性能指标这里，权函数F、Q(t)为正半定矩阵，R(t)为正定矩阵。
假设tf固定。
要求寻找最优控制u*(t)，使性能指标J为最小。
被积函数的第一项表明误差e(t)的大小，是非负的。
其第二项表明控制功率的大小，对应于u≠0它恒为正。
因此，对u(t)往往不需再加约束，而常设u(t)为自由的。
性能指标的第一项则表示终值误差。
状态调节器问题系统状态方程如式 (1)所示，u(t)不受约束，tf固定，性能指标为寻找最优控制u*(t)，使性能指标J为最小。
用极小值原理或动态规划法，可得下列矩阵黎卡提微分方程(一阶非线性微分方程)P(t)=-P(t)A(t)-AT(t)P(t)+P(t)B(t)R-1(t)BT(t)P(t)-Q(t) (6) 其边界条件为P(tf)=F (7)由式(6)解出P(t)后，可得最优控制规律为u*(t)=-R-1(t)BT(t)P(t)x*(t) (8)由式(8)可以看出，最优控制规律是一个状态线性反馈规律，控制向量u*(t)由状态向量x*(t)生成，构成状态反馈，并且呈线性关系。
这样，能方便地实现闭环最优控制，这一点在工程上具有十分重要的意义。
P(t)是一对称矩阵，一般都要由计算机求出方程(6)的数值解。
P(t)是时间函数，即使线性系统是定常的，为了实现最优控制，反馈增益应该是时变的，而不是常值反馈增益。
线性二次型最优控制
✓ R(t)为r×r维时变旳分段连续旳正定矩阵,且其逆矩 阵存在并有界;
✓ 末态时刻tf是固定旳。
线性二次型最优控制(6/12)
下面对上述性能指标泛函作细致旳讨论: 1) 性能指标泛函J[u(·)]中旳第1项e(tf)Fe(tf),是为了突出对 末端目旳旳控制误差旳要求和限制而引进旳,称为末端 代价函数。 ✓ 非负定旳常数矩阵F为加权矩阵,其各行各列元素旳 值旳不同,体现了对误差向量e(t)在末态时刻tf各分量 旳要求不同、主要性不同。 ✓ 若矩阵F旳第i行第i列元素值较大,代表二次项旳主 要性较大,对其精度要求较高。
线性二次型最优控制(9/12)
3) 性能指标泛函J[u(·)]中旳被积函数旳第2项u(t)R(t)u(t),表 达在系统工作过程中对控制向量u(t)旳大小旳要求和限 制。
✓ 因为时变旳加权矩阵R(t)为正定旳,故该项函数值在 u(t)为非零向量时总是为正旳。 ❖ 而且u(t)越大,该项函数值越大,其在整个性能指 标泛函所占旳分量就越大。
时变状态调整器(3/3)
因为所讨论旳系统为线性系统,给定旳性能指标泛函对状态 变量x(t)和控制量u(t)均连续可微,所以,状态调整器问题可用 变分法、极大值原理和动态规划措施中旳任一种求解。
➢ 本节采用变分法给出最优控制解存在旳充分必要条件及 最优控制问题解旳体现式,讨论最优控制解旳存在性、 唯一性等性质及解旳计算措施。
➢ 最优轨线为下述状态方程
x *(t) A(t) x*(t) B(t)u*(t), x*(t0 ) x0, t [t0, t f ]
旳解,而最优性能值为
J*
J[u* (t)]
1 2
x0 P(0) x0 , x0
0
式中,P(t)为下述矩阵黎卡提微分方程旳正定或半正定解。
线性二次型最优控制的MATLAB实现概述
线性二次型最优控制的MATLAB实现摘要线性二次型最优控制是一种普遍采用的最优控制系统设计方法。
使用MATLAB 软件设计的GUI控制界面实现最优控制，有较好的人机交互界面，便于使用。
线性二次型最优控制又叫做LQ最优控制或者称为无限长时间定常系统的状态调节控制器。
本文分别从连续系统线性二次型最优控制的MATLAB实现，离散系统相形二次型最优控制的MATLAB实现，最优观测器的MATLAB实现，线性二次性Guass 最优控制的MATLAB实现四个研究方案。
本论文就是从这四个方面分别以不同的性能指标设计不同的GUI界面以及不同的程序实现其功能并说明其各自的应用范围。
关键词：线性二次型，最优控制, GUI控制界面，最优观测器，Guass最优控制The Linear Quadratic Optimal Control of MATLABAbstractLinear quadratic optimal control is a widely used to optimal control system design method. Use of MATLAB software design GUI interface control to realize the optimal control, Have good man-machine interface, easy to use. The linear quadratic optimal control and called LQ optimal control or an infinite long time of the system state regulation and constant controller.This paper respectively from the continuous system linear quadratic optimal control MATLAB, Discrete system in quadratic optimal control MATLAB, The optimal observer MATLAB, sexual Guass linear quadratic optimal control MATLAB four research plan. This paper is from the four aspects of the performance index respectively in different design different GUI interface and Different programs that realize its function and their application scope.Keywords：Linear quadratic, The optimal control, GUI control interface, The best Guass observer, the optimal control目录1 引言 (1)1.1 概述 (1)1.2课题研究的背景、意义及研究概况 (1)1.3本文研究的主要内容 (2)2 最优控制的基本概念 (3)2.1最优控制基本思想 (3)2.2最优控制的性能指标 (3)2.2.1 积分型性能指标 (3)2.2.2 末值型性能指标 (5)2.3最优控制问题的求解方法 (5)3 最连续系统最优控制的MATLAB实现 (7)3.1连续系统线性二次型最优控制 (7)3.2连续系统线性二次型最优控制的MATLAB实现 (8)3.3连续系统线性二次型最优控制的MATLAB实现示例 (8)4 离散系统线性二次型最优控制的MATLAB实现 (17)4.1离散系统稳态线性二次型最优控制 (17)4.2离散系统线性二次型最优控制的MATLAB实现与示例 (18)5 最优观测器的MATLAB实现 (23)5.1 连续时不变系统的KALMAN滤波 (23)5.2K ALMAN滤波的MATLAB实现 (24)5.3K ALMAN滤波的MATLAB实现示例 (25)6 线性二次型GUASS最优控制的MATLAB实现 (31)6.1LQG最优控制的求解 (31)6.2LQG最优控制的MATLAB实现与示例 (32)7 结论 (37)参考文献： (38)致谢 (39)1 引言1.1 概述随着计算机技术的飞速发展，控制系统的计算机辅助设计与分析得到了广泛的应用，目前已达到了相当高的水平。
线性二次型最优控制
线性二次型最优控制
本文旨在探讨线性二次型最优控制的理论及其实际应用。
线性二次型控制是一种广泛使用的有效控制策略，用于解决复杂的系统问题。
本文以线性二次型的哲学和理论基础为主线，全面总结了线性二次型最优控制的哲学和原理，研究了它的实际应用，并介绍了理论与实践的关系。
首先，本文介绍了线性二次型最优控制的哲学和理论基础。
实践证明，线性二次型控制技术在它所面对的问题中具有优势。
线性二次型最优控制是一种基于目标的最优化控制技术，以有效地通过控制技术来实现有效的控制者。
其次，本文研究了线性二次型最优控制的实际应用。
实际应用中，线性二次型最优控制的最大特点在于它的非线性输入和输出行为。
基于该技术，可以构建一类实用性强的系统，以有效地满足实际应用中的复杂性及非线性性需求。
此外，线性二次型最优控制也可用于节能、飞行控制，机器人控制、智能汽车控制等领域的实际应用。
最后，本文介绍了线性二次型最优控制的理论与实践的关系。
在实践中，要求在有效消耗低的基础上实现有效控制，这要求模型与实践相结合。
只有通过深入理解和求解这种关系，才能有效地利用这种理论在实践中得到最优的控制效果。
总之，线性二次型最优控制作为一种有效的最优化控制策略，极大地促进了复杂系统的发展和应用，同时为更加高效和可靠的实践应用提供了有效的方案。
本文为线性二次型最优控制的哲学和理论研究
以及实际应用提供了一个全面的研究和探讨，以帮助更好地理解和应用这种控制策略。
线性二次型最优控制..
一、主动控制简介概念：结构主动控制需要实时测量结构反应或环境干扰，采用现代控制理论的主动控制算法在精确的结构模型基础上运算和决策最优控制力，最后作动器在很大的外部能量输入下实现最优控制力。
特点：主动控制需要实时测量结构反应或环境干扰，是一种需要额外能量的控制技术，它与被动控制的根本区别是有无额外能量的消耗。
优缺点：主动控制具有提高建筑物的抵抗不确定性地面运动，减少输入的干扰力，以及在地震时候自动地调整结构动力特征等能力，特别是在处理结构的风振反应具有良好的控制效果，与被动控制相比，主动控制具有更好的控制效果。
但是，主动控制实际应用价格昂贵，在实际应用过程中也会存与其它控制理论相同的问题，控制技术复杂、造价昂贵、维护要求高。
组成：传感器、控制器、作动器工作方式：开环、闭环、开闭环。
二、简单回顾主动控制的应用与MATLAB应用1.主动变刚度A VS控制装置工作原理：首先将结构的反应反馈至控制器，控制器按照事先设定好的控制算法并结合结构的响应，判断装置的刚度状态，然后将控制信号发送至电液伺服阀以操纵其开关状态，实现不同的变刚度状态。
锁定状态（ON）：电液伺服阀阀门关闭，双出杆活塞与液压缸之间没有相对位移，斜撑的相对变形与结构层变形相同，此时结构附加一个刚度；打开状态（OFF）：电液伺服阀阀门打开，双出杆活塞与液压缸之间有相对位移，液压缸的压力差使得液体发生流动，此过程中产生粘滞阻尼，此时结构附加一个阻尼。
示意图如下：2. 主动变阻尼A VD控制装置工作原理：变孔径阻尼器以传统的液压流体阻尼器为基础，利用控制阀的开孔率调整粘性油对活塞的运动阻力，并将这种阻力通过活塞传递给结构，从而实现为结构提供阻尼的目的。
关闭状态（ON）：开孔率一定，液体的流动速度受限，流动速度越小，产生的粘滞阻尼力越大，开孔率最小时，提供最大阻尼力，此时成为ON状态；打开状态（OFF）：控制阀完全打开，由于液体的粘滞性可提供最小阻尼力。
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现代控制理论
现代控制理论：现代算法方法主要在时域内,采用状态空 间法(State Space Method) 来描述系统的动力性态,其数 学工具为线性代数、矩阵理论和变分法等。具体算法： （1）经典线性最优控制法 （2）瞬时最优控制法 （3）随机最优控制法 （4）独立模态空间控制法 （5）模糊控制法 （6）界限状态控制法 （7）极点配置法 （8）预测实时控制法 （9）H∞优化控制
经典线性最优控制法
该算法基于现代控制理论,以线性二次型性 能指标为目标函数来确定控制力与状态变 量之间的关系式。目标函数中采用权矩阵 来协调经济性与安全性之间的关系,需求解 Riccati方程。由于该算法忽略了荷载项, 严格说来,由它得到的控制不是最优控制; 但数值分析和有限的试验证明,这一控制算 法虽然不是最优的,但是可行的和有效的 。
最优控制算法
通俗来讲：即对一个受控的动力学系统，从一类允许的 控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在 由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能 指标值为最优。 在工程上，最优控制算法以现代控制理论中的状态空 间理论为基础，采用极值原理，使用最优滤波或者动 态规划等最优化方法，进一步求解结构振动最优控制 输入，当被控对象结构参数模型可以被精确建模，并且 激励和测量信号比较确定时，采用最优算法设计控制器 可以较容易地取得控制效果，在振动主动控制领域应用 比较普遍。 最优控制法根据具体算法又可分为经典线性最优控制法 、瞬时最优控制法、随机最优控制法等等，下面简单介 绍：
线性二次型最优控制
班级：1405班 学生：吕园园 学号：14121059
LOGO
目录
一、主动控制简介 二、简单回顾主动控制的应用与 MATLAB应用 三、主动控制算法简介 四、线性二次型最优控制的计算过程 及MATLAB实现
主动控制简介
1.概念
2.特点 3.优缺点 4.控制系统组成 5.工作方式
ＭＡＴＬＡＢ实例
详见Ｗｏｒｄ
主动控制算法
1.主动控制算法分类
出系统所需控制力 主动控制算法是主动控制的基础，它们是 跟据控制理论建立的。 对控制理论算法要求：在线计算时间短、 稳定性及可靠性好、抗干扰能力强。
结构控制算法分类：经典控制理论与现代 控制理论两类。
随机最优控制法 使随机控制系统的某个性能指标泛函取极小值的 控制称为随机最优控制。由于存在随机因素，这 种性能指标泛函需要表示为统计平均（求数学期 望）的形式：
随机最优控制有两个重要的性质。由于存在不确定性，控 制作用常宁可取得弱一些，保守一些。这称为谨慎控制。 另一方面为更好和更快地进行估计，必须不断激发系统中 各种运动模式，为此需要加入一些试探作用。试探作用的 大小，则根据增加的误差、直接费用和所带来的好处等因 素加以折衷权衡进行选择。谨慎和试探已成为设计随机控 制策略的两个重要原则。
主动变阻尼 工作原理：变孔径阻尼器以传统的液压流 体阻尼器为基础，利用控制阀的开孔率调 整粘性油对活塞的运动阻力，并将这种阻 力通过活塞传递给结构，从而实现为结构 提供阻尼的目的。
主动变阻尼
关闭状态（ＯＮ）：开孔率一定，液体的 流动速度受限，流动速度越小，产生的粘 滞阻尼力越大，开孔率最小时，提供最大 阻尼力，此时成为ＯＮ状态； 打开状态（ＯＦＦ）：控制阀完全打开， 由于液体的粘滞性可提供最小阻尼力。
瞬时最优控制法 该算法以瞬时状态反应和控制力的二次型 作为目标函数,在动荷载作用的时间范围内 ,每一瞬时都实现其目标函数最小化。该算 法不需求解Riccati方程,计算量减小;增益 矩阵与受控结构的协调特性无关,控制系统 的鲁棒性能较好;具有时间步进性,可推广 用于非线性、时变结构系统。但该算法只 是一种局部最优控制算法,从控制结构最大 反应这个意义上讲,仍然不是最优控制。 对比来讲：
经典控制理论
经典控制理论：经典控制理论的特点是以输入输出 特性（主要是传递函数）为系统数学模型，采用频 率响应法和根轨迹法等图解分析方法，分析系统性 能和设计控制装置。 经典控制理论的数学基础是拉普拉斯变换，占主导 地位的分析和综合方法是频域方法。 经典控制理论包括线性控制论、采样控制理论、非 线性控制理论三个部分。
3.优缺点
优点：提高建筑物的抵抗不确定性地面 运动的能力，减少输入的干扰力，以及在 地震时候自动地调整结构动力特征等能力 ，特别是在处理结构的风振反应具有良好 的控制效果。 缺点：控制技术复杂、造价昂贵、维护 要求高。
4.组成和工作方式
组成：传感器、控制器、作动器
工作方式：开环、闭环、开闭环。
简单回顾应用
1.主动变刚度装置
2.主动变阻尼装置
主动变刚度 工作原理：首先将结构的反应反馈至控制器， 控制器按照事先设定好的控制算法并结合结构 的响应，判断装置的刚度状态，然后将控制信 号发送至电液伺服阀以操纵其开关状态，实现 不同的变刚度状态。
主动变刚度 锁定状态（O N）：电液伺服阀阀门关闭 ，双出杆活塞与液压缸之间没有相对位移 ，斜撑的相对变形与结构层变形相同，此 时结构附加一个刚度； 打开状态（ＯＦＦ）：电液伺服阀阀门打 开，双出杆活塞与液压缸之间有相对位移 ，液压缸的压力差使得液体发生流动，此 过程中产生粘滞阻尼，此时结构附加一个 阻尼。
1.概念
结构主动控制需要实时测量结构反应 或环境干扰，采用现代控制理论的主 动控制算法在精确的结构模型基础上 运算和决策最优控制力，最后作动器 在很大的外部能量输入下实现最优控 制力。
2.特点
主动控制需要实时测量结构反应或 环境干扰，是一种需要额外能量的控 制技术，它与被动控制的根本区别是 有无额外能量的消耗。
模态控制法 将系统或结构的振动置于模态空间中考察，无限自由 度系统在时间域内的振动通常可以用低阶自由度系统 在模态空间内的振动足够近似地描述，这样无限自由 度系统的振动控制可转化为在模态空间内少量几个模 态的振动控制，亦即控制模态，这种方法称为模态控 制法。分为模态耦合控制与独立模态控制，后者可实 现对所需控制的模态进行独立的控制，不影响其它未 控的模态，具有易设计的优点，是目前模态控制中的 主流方法。前者的各阶模态的控制力依赖于所有被控 模态坐标的值，计算复杂，但同时也说明一个作动器 对所有模态均有控制作用，因此可以达到减少作动器 的目的，减小成本。