2021版高考数学一轮复习《练案 (64)二项式定理》

可编辑修改精选全文完整版二项式定理知识点与题型复习一、基础知识1.二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)(2)通项公式：T k＋1＝C k n a n－k b k，它表示第k＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C0n，C1n，…，C n n.2.二项式系数的性质注：(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.二项式系数与项的系数的区别二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.如(a＋bx)n的二项展开式中，第k＋1项的二项式系数是C k n，而该项的系数是C k n a n－k b k.当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的.二、考点解析考点一二项展开式中特定项或系数问题考法(一)求解形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例1、(1)522⎪⎭⎫⎝⎛+xx的展开式中x4的系数为()A.10B.20C.40D.80(2)若(2x－a)5的二项展开式中x3的系数为720，则a＝________.(3)已知5⎪⎭⎫⎝⎛+xax的展开式中x5的系数为A，x2的系数为B，若A＋B＝11，则a＝________.[解题技法]求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式T r＋1＝C r n a n－r b r，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r；第三步，把r代入通项公式中，即可求出T r＋1，有时还需要先求n，再求r，才能求出T r＋1或者其他量.考法(二)求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例2、(1)(1－x)6(1＋x)4的展开式中x的系数是()A.－4B.－3C.3D.4(2)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________.[解题技法]求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，根据二项式定理把(a＋b)m与(c＋d)n分别展开，并写出其通项公式；第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m与(c＋d)n的展开式中的哪些项相乘得到；第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.考法(三)求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例3、(1)(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60(2)将344⎪⎭⎫⎝⎛-+xx展开后，常数项是________.[解题技法]求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，把三项的和a＋b＋c看成是(a＋b)与c两项的和；第二步，根据二项式定理写出[(a＋b)＋c]n的展开式的通项；第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(a＋b)n－r的展开式中的哪些项和c r相乘得到的；第四步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.跟踪训练1.在(1－x3)(2＋x)6的展开式中，x5的系数是________.(用数字作答)3.5212⎪⎭⎫⎝⎛++xx(x＞0)的展开式中的常数项为________.考点二二项式系数的性质及各项系数和[典例精析](1)若531⎪⎪⎭⎫⎝⎛+xx的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是()A.63x B.4xC.4x6x D.4x或4x6x(2)若nxx⎪⎭⎫⎝⎛-12的展开式中含x的项为第6项，设(1－3x)n＝a＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，则a1＋a2＋…＋a n的值为________.(3)若(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.[解题技法]1.赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x，y的一切值都成立.因此，可将x，y设定为一些特殊的值.在使用赋值法时，令x，y等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值.如：(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可.(2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可.2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，则f(x)的展开式中(1)各项系数之和为f(1).(2)奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2.(3)偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.跟踪训练1.已知(2x －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝( ) A.1 B.243 C.121 D.1222.若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________.3.已知(1＋3x )n 的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为____.考点三 二项展开式的应用例、设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 018＋a 能被13整除，则a ＝( ) A.0 B.1 C.11 D.12[解题技法]利用二项式定理解决整除问题的思路(1)要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开.但要注意两点：①余数的范围，a ＝cr ＋b ，其中余数b ∈[0，r )，r 是除数，若利用二项式定理展开变形后，切记余数不能为负；②二项式定理的逆用.跟踪训练]1.使得多项式81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1能被5整除的最小自然数x 为( ) A.1 B.2 C.3 D.4课后作业1.3422⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中的常数项为( ) A.－32 B.32 C.6 D.－6 2.设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，则a 2＋a 4a 1＋a 3的值为( )A.－6160B.－122121C.－34D.－901213.若二项式72⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式的各项系数之和为－1，则含x 2项的系数为( )A.560B.－560C.280D.－2804.已知(1＋x )n 的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A.29 B.210 C.211 D.2125.二项式9221⎪⎭⎫⎝⎛-x x 的展开式中，除常数项外，各项系数的和为( )A.－671B.671C.672D.673 6.在(1－x )5(2x ＋1)的展开式中，含x 4项的系数为( )A.－5B.－15C.－25D.257.若(x 2－a )101⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13B.12C.1D.2 8.若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( ) A.1或3 B.－3 C.1 D.1或－3 9.(2x －1)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是________.(用数字作答)10.9⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式中x 3的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________.11.511⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x 展开式中的常数项为________.12.已知nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+41的展开式中，前三项的系数成等差数列.(1)求n；(2)求展开式中的有理项；(3)求展开式中系数最大的项.。

二项式定理考纲要求1.了解二项式定理的概念.2.二项展开式的特征及其通项公式.3.会区别二项式系数和系数.4.了解二项式定理及简单应用，并运用二项式定理进行有关的计算和证明. 知识点一：二项式定理设a , b 是任意实数，n 是任意给定的正整数，则0011222333110()n n n n n m n m m n n n nn n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b C ab C a b------+=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++这个公式所表示的定理叫做二项式定理，其中右边的多项式叫的二项式展开式，每项的0n C ,1n C , 2n C ⋅⋅⋅ n n C 叫做该项的二项式系数.注意：二项式具有以下特征:1.展开式中共有1n +项，n 为正整数.2.各项中a 与b 的指数和为n ，并且第一个字母a 依次降幂排列，第二个字母b 依次升幂排列.3.各项的二项式系数依次为0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C . 知识点二：二项展开式通项公式二项展开式中的m n m mn C a b -叫做二项式的通项, 记作 1m T +. 即二项展开式的通项为 1m n m mm n T C a b -+=.注意：该项为二项展开式的第1m +项，而不是第m 项. 知识点三：二项式系数的性质二项式展开式的二项式系数是0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C .1.在二项展开式中，与首末两端距离相等的两项的二项式系数相等,即m n mn n C C -=.2.如果二项式()na b +的幂指数n 是偶数，那么它的展开式中间一项的二项式系数最大即12n+项的二项式系数最大. 3.如果二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.4.二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m nn n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=.5.二项式()na b +的展开式中奇数项和偶数项的二项式系数和相等即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅=.知识点四：二项式系数与系数的区别 1.二项展开式中各项的二项式系数: mn C .2.二项展开式中各项的系数:除了字母外所有的数字因数的积. 题型一 二项式定理 例1 求51(2)x x-的展开式. 分析：熟记二项式定理.解答：51(2)x x-=05014123232355551111(2)()(2)()(2)()(2)()C x C x C x C x x x x x -+-+-+-4145055511(2)()(2)()C x C x x x+-+-533540101328080x x x x x x=-+-+-题型二 二项展开式通项公式 例2 求91(3)9x x+的展开式中第3项. 分析：灵活运用通项公式. 解答：272532191(3)()9729T T C x x x+===, 所以第3项为5972x . 题型三 二项式系数的性质例3 求7(2)x +的展开式中二项式系数最大的项.分析：根据二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.先求出二项式最大项的项数，再利用通项公式计算.解答：由于7为奇数，所以第4项和第5项的二项式系数最大.即3733343172560T T C x x -+=== 4744454172280T T C x x -+===题型四 二项式系数与系数的区别例4 二项式9(12)x -的二项式系数之和为 . 分析：二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m n n n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=。

姓名，年级：时间：第三讲二项式定理ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理·双基自测知识梳理知识点一二项式定理（a＋b）n＝C错误!a n＋C错误!a n－1b＋…＋C错误!a n－k b k＋…＋C错误!b n（n∈N＋）．这个公式叫做二项式定理,右边的多项式叫做（a＋b）n的二项展开式，其中的系数C错误!（k＝0，1,2，…,n)叫做__二项式系数__，式中的__C错误!a n－k b k__叫做二项展开式的__通项__,用T k＋1表示,即通项为展开式的第__k＋1__项：T k ＝__C错误!a n－k b k__.＋1知识点二二项展开式形式上的特点（1)项数为__n＋1__.(2）各项的次数和都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为__n__.(3)字母a按__降幂__排列,从第一项开始，次数由n逐项减小1直到零；字母b按__升幂__排列，从第一项起，次数由零逐项增加1直到n.知识点三二项式系数的性质(1)0≤k≤n时,C错误!与C错误!的关系是__C错误!＝C错误!__.（2)二项式系数先增后减，中间项最大．当n为偶数时，第错误!＋1项的二项式系数最大；当n为奇数时，第错误!项和错误!项的二项式系数最大．（3)各二项式系数的和：C0，n＋C错误!＋C错误!＋…＋C错误!＝__2n__，C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＝C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＝__2n－1__.重要结论1．二项式定理中,通项公式T k＋1＝C错误!a n－k b k是展开式的第k＋1项，不是第k项．2．（1）二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念,在T k＋1＝C错误!a n－kb k中,C错误!是该项的二项式系数，该项的系数还与a，b有关．（2)二项式系数的最值和增减性与指数n的奇偶性有关．当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值．双基自测题组一走出误区1．(多选题)下列结论错误的是（AD ）A．C错误!a n－k b k是二项展开式的第k项B．（a＋b）n的展开式中某一项的二项式系数与a,b无关C．(x－1）n的展开式二项式系数和为2nD．在（1－x）9的展开式中系数最大的项是第5项和第6项题组二走进教材2．（P31例2(2）)若（x＋错误!）n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ B )A．10 B．20C．30 D．120［解析］二项式系数之和2n＝64，所以n＝6,T k＋1＝C错误!·x6－k·(错误!)k ＝C k6x6－2k，当6－2k＝0，即当k＝3时为常数项，T4＝C错误!＝20。

二项式定理一、选择题（共12小题；共60分）1. 二项式的展开式中各项的系数之和是A. B. C. D.2. 的展开式中含项的系数为A. B. C. D.3. 若的展开式中各项系数之和为，则展开式中的常数项为A. B. C. D.4. 展开式中不含项的系数的和为A. B. C. D.5. 的二项展开式中，第项的系数是A. B.C. D.6. 已知，则等于A. B. C. D.7. 的展开式中的常数项为A. B. C. D.8. 设，则的值是A. B. C. D.9. 在的展开式中，含的项的系数是A. B. C. D.10. 的值为A. B. C. D.11. 在中，若，则自然数的值是A. B. C. D.12. 展开式中的奇次项系数之和是A. B. C. D.二、填空题（共5小题；共25分）13. 若，则．14. 观察下列各式：；；；；依此规律，当时，则．15. 的近似值是．（精确到小数点后三位）16. 已知，则．17. 的展开式中整理后的常数项为．三、解答题（共5小题；共65分）18. 在二项式（，，，）中有，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项；（1）求它是第几项；（2）求的范围．19. 求除以的余数．20. 求证：能被整除．21. 在的展开式中，求：（1）二项式系数的和；（2）各项系数的和；（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；（4）奇数项系数和与偶数项系数和；（5）的奇次项系数和与的偶次项系数和．22. 若，则的结果是多少?。