函数图象的四大变换

初中数学函数像的变换与特点解析函数在数学中扮演着至关重要的角色，它帮助我们描述了数学世界中事物的变化规律。

而函数的变换则涉及到了图像在平面坐标系中的移动、翻转、拉伸等操作。

在本文中，我们将探讨初中数学中函数像的变换以及其特点。

一、平移变换平移变换是指将函数图像沿横轴或纵轴方向上移动一定的距离。

当函数图像沿横轴正方向平移时，所有的横坐标减去一个固定值；当函数图像沿纵轴正方向平移时，所有的纵坐标减去一个固定值。

这种变换不改变函数的形状，只是改变了函数的位置。

二、翻转变换翻转变换是指将函数图像关于横轴或纵轴进行对称。

当函数图像关于横轴翻转时，所有的纵坐标变号；当函数图像关于纵轴翻转时，所有的横坐标变号。

这种变换会改变函数图像的形状，使得原来在上方的部分变为下方，原来在左边的部分变为右边。

三、拉伸变换拉伸变换是指将函数图像在横轴或纵轴方向上进行伸缩。

当函数图像在横轴方向上拉伸时，所有的横坐标乘以一个大于1的系数；当函数图像在纵轴方向上拉伸时，所有的纵坐标乘以一个大于1的系数。

这种变换会改变函数的形状，使得原来的函数图像变得更“瘦”或更“胖”。

四、特点解析1. 平移变换不改变函数的形状，只改变位置，所以函数的特点如对称轴、极值点等不会发生改变。

2. 翻转变换会改变函数的形状，例如原来是增函数的函数翻转后会变为减函数，原来是奇函数的函数翻转后会变为偶函数。

3. 拉伸变换会改变函数的形状，例如横向拉伸会使得函数的周期变大，纵向拉伸会使得函数的幅值变大。

综上所述，函数的像的变换包括了平移、翻转和拉伸三种操作。

这些变换使得我们能够更好地理解函数在平面坐标系中的表现形式，并帮助我们准确描述数学世界中事物的变化规律。

在学习和应用函数中，我们需要熟练掌握这些变换的特点和规律，以便更好地解决与函数相关的问题。

通过本文的论述，我们对初中数学中函数像的变换与特点有了更深入的了解。

希望读者能够通过实际操作和练习，进一步巩固和应用所学的知识，从而提高数学水平，并在解决实际问题中灵活运用函数像的变换原理。

函数的图象变换函数图象的基本变换：(1)平移；(2)对称；(3)伸缩。

由函数y = f (x)可得到如下函数的图象1． 平移：(1)y = f (x + m) (m>0)：把函数y =f (x)的图象向左平移m 的单位（如m<0则向右平移-m 个单位）。

(2)y = f (x) + m (m>0)：把函数y =f (x)的图象向上平移m 的单位（如m<0则向下平移-m 个单位）。

2． 对称：✧ 关于直线对称(Ⅰ) (1)函数y = f (-x)与y = f (x)的图象关于y 轴对称。

(2)函数y = -f (x)与y = f (x)的图象关于x 轴对称。

(3)函数y = f (2a -x)与y = f (x)的图象关于直线x = a 对称。

(4)函数y = 2b -f (x)与y = f (x)的图象关于直线y = b 对称。

(5)函数)x (f y 1-=与y = f (x)的图象关于直线y = x 对称。

(6)函数)x (f y 1--=-与y = f (x)的图象关于直线y = -x 对称。

(Ⅱ)(7)函数y = f (|x|)的图象则是将y = f (x)的y 轴右侧的图象保留，并将y =f (x)右侧的图象沿y 轴翻折至左侧。

（留正去负，正左翻（关于y 轴对称））；(8)函数y = |f (x)|的图象则是将y = f (x)在x 轴上侧的图象保留，并将y = f (x)在x 轴下侧的图象沿x 轴翻折至上侧。

(留正去负，负上翻；)一般地：函数y = f (a+mx)与y = f (b -mx)的图象关于直线m2a b x -=对称。

✧ 关于点对称(1) 函数y = - f (-x)与y = f (x)的图象关于原点对称。

(2) 函数y = 2b -f (2a -x)与y = f (x)的图象关于点(a,b)对称。

3． 伸缩(1) 函数y = f (mx) (m>0)的图象可将y = f (x)图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的m 1倍得到。

y y
y y
x
x
x
x
A
B
C
D
解析：由f(x)g(x)是偶函数否定A、D， 当x→±∞时，f(x)g(x) →－∞，故选C.
2、画函数图象，由图象求解析式
例2 已知函数y=f (x)是在R上以2为周期的奇函数，在区 间［0,1）上的图象如下图所示，并已知该区间上图象是 一个二次函数的图象的一部分，点(1,1)是其顶点.试作出 y=f (x)在区间［－2,2］上的图象，并求该区间上的解析式.
. .
-1
-1
-1
.
1
2
.
X
-2
. . . . .
1 -1 1 -1
2
2
X
C
D
分析：根据y=F(x)= xf `(x)的图象，得F(1)＝ f `(1)＝0， F（－1）＝ － f `(－ 1)＝0， ∴ f `(1)＝ f `(－ 1)＝0， ∴ x＝1和x= － 1是f (x)的极值点.故选C. Y 提问：本例除了从图形获取有效信息： 2 .1 f `(1)＝ f `(－ 1)＝0之外， .-2 -1. .1 还能获取什么有效信息？ -1. ［注：如1＜x<2时，xf `(x)＞0，∴ f `(x) ＞0，
（1）f(x-1)=(x-1)2 （2）f(x+1)=(x+1)2 （3）f(x)+1=x2+1 （4）f(x) -1=x2-1
y=f(x+1) 1 -1 O y=f(x)-1-1 1 y=f(x-1)
x
函数图象的平移变换：
左右平移 （a>0） 上下平移 (a>0)
y=f(x) y=f(x) y=f(x) y=f(x)

（ 0,1 ）和（ 0,1 ） （ 2,0 ）和（ 2， 2 ）
三﹑对称变换
y
(-x,y) .
(-x,-y) .
(y,x) . .(x,y)
x
.(x,-y)
函数图象对称变换的规律:
1. y f ( x) y f ( x)
关于x轴对称
2. y f ( x) y f ( x)
函数图象变换的应用:
①作图﹑② 识图﹑ ③用图
(2)方程 f(x)－a＝x 的根的个数等价于 y＝f(x)与 y＝x－a 的交点的个数，所以可以借助图像进行分析．
规范解答 解
2 x－2 －1， x∈－∞，1]∪[3，＋∞ f(x)＝ 2 －x－2 ＋1， x∈1，3
作出图像如图所示．
[2 分]
(1)递增区间为[1,2]，[3，＋∞)， 递减区间为(－∞，1]，[2,3]． [4 分] (2)原方程变形为 |x2－4x＋3|＝x＋a， 于是，设 y＝x＋a，在同一坐标系下再作出 y＝x＋a 的图 像．如图． 则当直线 y＝x＋a 过点(1,0)时，a＝－1； [6 分]
a a
1 x
a

a ax a a a
x

ax a ax
1 y 1
a a a
x

a
x
x
a a
f (1 x)
所以，函数y=f(x)的图象关于点（1/2,1/2）对称
（2）由对称性知f(1-x)+f(x)=1,所以 f(-2)+ f(-1)+ f(0)+ f(1)+ f(2)+ f(3)=3。
对称变换是指两个函数图象之间的对称关系,而”满足 f(x)= f(2a-x)或f(a+x)= f(a-x)有y=f(x)关于直线x=a对称”是 指一个函数自身的性质属性,两者不可混为一谈.