3伴随矩阵和Crammer法则

第4讲_克拉默法则克拉默法则，又称克拉默法则(Cramer's Rule)，是线性代数中一种求解线性方程组的方法。

它是基于行列式的性质推导而来的，可以通过求解方程组的系数矩阵的行列式和一系列的余子式来求解方程组的解。

设线性方程组为：a1x+b1y+c1z=d1a2x+b2y+c2z=d2a3x+b3y+c3z=d3对应的系数矩阵为：A=，a1b1c1a2b2ca3b3c假设A的行列式，A，≠0，即A可逆。

克拉默法则的步骤如下：1.求出系数矩阵A的行列式，A。

2.将线性方程组中的常数项d替换成对应的常量向量i，并构成矩阵Ai，其中Ai的第i列替换为常量向量。

3.求出Ai的行列式，Ai。

4.解方程组的解向量为：x=，Ai，/，Ay=，Ai，/，Az=，Ai，/，A克拉默法则的优点是求解方便，特别适用于方程组的规模较小的情况。

然而，它的缺点是计算量较大，需要求系数矩阵和每个常量向量的行列式，不适用于大规模的方程组求解。

以下是一个数值例子来说明克拉默法则的应用：假设有方程组：2x+y-z=14x-6y=-2-2x+7y+2z=3我们可以转换为系数矩阵和常数向量的形式：A=，21-14-6-27d=，1-首先，计算系数矩阵A的行列式，A。

A，=2(-6)(2)+1(0)(-2)+(-1)(4)(7)=-12+0-28=-40然后，分别计算对应常量向量的行列式。

A1，=1(-6)(2)+1(0)(-2)+(-1)(-2)(7)=12+0+14=26A2，=2(0)(2)+1(4)(-2)+(-1)(-2)(7)=0-8+14=6A3，=2(-6)(-2)+1(4)(7)+(-1)(-2)(0)=24+28+0=52最后，根据克拉默法则的公式，我们可以得出解向量：x=，A1，/，A，=26/-40=-0.65y=，A2，/，A，=6/-40=-0.15z=，A3，/，A，=52/-40=-1.3因此，方程组的解为x=-0.65，y=-0.15，z=-1.3总结来说，克拉默法则是一种通过求解行列式的方法来求解线性方程组的解的方法。

伴随矩阵运算法则
（最新版）
目录
1.伴随矩阵的定义与性质
2.伴随矩阵的运算法则
3.伴随矩阵的应用
4.总结
正文
一、伴随矩阵的定义与性质
伴随矩阵是线性代数中一个重要的概念，它与逆矩阵有着密切的关系。

伴随矩阵的定义是：一个方形矩阵 A 的伴随矩阵，是由矩阵 A 的代数余子式构成的一个矩阵。

伴随矩阵的性质包括：
1.伴随矩阵是一个方阵，其行数和列数与原矩阵相同。

2.伴随矩阵的元素是原矩阵的代数余子式，即伴随矩阵第 i 行第 j 列的元素是原矩阵的第 j 行第 i 列的代数余子式。

3.伴随矩阵的转置等于原矩阵的代数余子式的转置。

二、伴随矩阵的运算法则
伴随矩阵的运算法则主要包括以下几点：
1.伴随矩阵的加法：两个矩阵的伴随矩阵相加，对应位置的元素是两个矩阵对应位置的代数余子式之和。

2.伴随矩阵的数乘：一个矩阵的伴随矩阵与一个标量的乘积，对应位置的元素是原矩阵对应位置的代数余子式乘以该标量。

3.伴随矩阵的乘法：两个矩阵的伴随矩阵相乘，对应位置的元素是原矩阵对应位置的代数余子式的乘积。

三、伴随矩阵的应用
伴随矩阵在线性代数中有广泛的应用，主要包括：
1.求解线性方程组：当矩阵 A 可逆时，可以用伴随矩阵表示矩阵 A 的逆矩阵，从而求解线性方程组。

2.矩阵的行列式：矩阵的行列式等于其伴随矩阵的行列式，可以利用伴随矩阵求矩阵的行列式。

3.矩阵的秩：伴随矩阵的秩等于原矩阵的秩，可以利用伴随矩阵求矩阵的秩。

四、总结
伴随矩阵是线性代数中的一个基本概念，它与逆矩阵、行列式等有着密切的关系。

利用伴随矩阵求逆矩阵克莱姆法则矩阵的秩当我们要求一个矩阵的逆矩阵时，伴随矩阵（adjugate matrix）提供了一种有效的方法。

伴随矩阵是通过将原矩阵的代数余子式进行转置得到的。

假设我们有一个n阶方阵A，其中元素为a_ij。

首先，我们需要计算A的伴随矩阵adj(A)。

adj(A)的第i行第j列元素(adj(A))_ij等于矩阵A的代数余子式M_ij，然后将其转置。

代数余子式M_ij是通过在A中删除第i行第j列的元素，然后计算剩余元素的行列式而获得的。

当我们求得伴随矩阵adj(A)之后，我们可以使用克莱姆法则（Cramer's Rule）来求解逆矩阵。

克莱姆法则利用了矩阵A的行列式和伴随矩阵adj(A)的乘积来求解逆矩阵。

首先，我们计算矩阵A的行列式det(A)。

如果det(A)不等于0，意味着矩阵A是可逆的。

这是因为行列式不等于0意味着A的各行（或各列）线性无关，所以存在唯一解。

然后，我们计算A的逆矩阵A^-1、A^-1等于1/det(A)乘以伴随矩阵adj(A)。

如果A是一个n阶方阵，并且det(A)不等于0，那么矩阵A的逆矩阵A^-1等于1/det(A)乘以伴随矩阵adj(A)。

简而言之，逆矩阵等于伴随矩阵的每个元素除以矩阵A的行列式的倒数。

矩阵的秩是对矩阵的行或列进行线性组合时，可以通过对应的向量方程组中的等式表达式来表示的最大的线性独立向量的个数。

矩阵的秩也是其列空间和行空间的维数。

可以通过消元法或高斯-约当法来确定矩阵的秩。

当我们求一个矩阵的秩时，我们可以将矩阵转化为行阶梯形式，然后计算非零行的个数。

行阶梯形式是指矩阵的每一行的非零元素都在位于这一行的前面。

非零行的个数就是矩阵的秩。

另一种方法是计算矩阵的秩的行阶梯形矩阵的非零行数。

行阶梯形矩阵是指矩阵的每一行的非零元素都在位于这一行的前面。

非零行数就是矩阵的秩。

通过求逆矩阵，我们可以解线性方程组，计算矩阵的行列式，计算矩阵的秩。

伴随矩阵的运算法则伴随矩阵是在线性代数中一个重要的概念。

它在矩阵的应用中有着广泛的应用，无论是求逆矩阵、求解线性方程组还是求解特征值等问题中都有着重要的作用。

伴随矩阵的运算法则也是研究伴随矩阵的基础。

下面将对伴随矩阵的运算法则进行详细的讲解。

首先，我们来回顾一下伴随矩阵的定义。

给定一个n阶方阵A，它的伴随矩阵记作Adj(A)，定义为A的代数余子式矩阵的转置矩阵。

其中，矩阵A的代数余子式是指将矩阵A中的一些元素aij划去后，剩下元素组成的(n-1)阶子阵的行列式乘以(-1)^(i+j)。

接下来，我们来介绍伴随矩阵的一些基本运算法则。

运算法则一：伴随矩阵的乘法法则设A，B为n阶方阵，则有以下性质成立：（1）Adj(AB) = Adj(B)Adj(A)（2）Adj(A^k) = [Adj(A)]^k ，其中k为正整数（3）若A可逆，则有A^-1 = (1/det(A))Adj(A)，其中det(A)表示A的行列式运算法则二：伴随矩阵与常数的乘法法则设A为n阶方阵，k为常数，则有以下性质成立：（1）Adj(kA) = k^(n-1)Adj(A)运算法则三：伴随矩阵的转置法则设A为n阶方阵，则有以下性质成立：（1）[Adj(A)]^T = Adj(A^T)运算法则四：伴随矩阵的转置法则设A，B为n阶方阵，则有以下性质成立：（1）[Adj(A)]^-1 = Adj(A^-1)（2）[Adj(A^T)]^-1 = Adj((A^-1)^T), 其中A为可逆方阵运算法则五：伴随矩阵的行列式法则设A为n阶方阵，则有以下性质成立：（1）det(Adj(A)) = [det(A)]^(n-1)运算法则六：伴随矩阵的逆乘法法则设A，B为n阶方阵，若AB为可逆方阵，则有以下性质成立：（1）[Adj(AB)]^-1 = [Adj(A)]^-1[Adj(B)]^-1以上是关于伴随矩阵的一些基本运算法则。

这些法则在伴随矩阵的应用中起着重要的作用。

Cramer法则的证明谢乐平;李明燕;韩汝月;范雪艳【摘要】行列式是代数学习和应用中重要的一个基本内容，而Cramer法则是行列式的压轴，该法则的原始证明要利用和逆用展开法则，复杂且难于理解。

本文利用行列式的性质给出Cramer法则的简洁证明，并且根据教材的编排不同再给出了Cramer法则的另外两种证明方法。

%The determinant is a basic and important content of algebra , and Cramer rule is the most important of determinant . The original proof of the rule is complex and difficult to understand with using expansion rule . This paper uses properties of determinant to proof the Cramer rule simple , and gives other two prove methods to Cramer rule according to different textbooks .【期刊名称】《怀化学院学报》【年(卷),期】2014(000)005【总页数】3页(P84-86)【关键词】Cramer法则;证明方法【作者】谢乐平;李明燕;韩汝月;范雪艳【作者单位】怀化学院数学系，湖南怀化 418008;怀化学院数学系，湖南怀化418008;怀化学院数学系，湖南怀化 418008;怀化学院数学系，湖南怀化 418008【正文语种】中文【中图分类】O151《高等代数》中有一个重要的部分——行列式[1]83-86，[2]102-105，当然《线性代数》中行列式也是很重要的内容.从1683年日本数学家关孝和提出行列式的概念和运算以后，行列式的知识已可以单独构成代数的一个部分，现在虽然行列式的发展已经成熟，但是它在线性代数的一些应用中仍起着非常重要的作用.行列式这一知识的压轴重点就是Cramer法则.但Cramer法则的证明还是沿用原始的证明方法[3]53-54，[4]27-30，[5]17-18，[6]24-25，该方法比较复杂而且对于初学者来说难于理解和接受.本文的目的就是利用行列式的性质得到Cramer法则的简化证明.Cramer法则用于讨论方程个数等于未知数个数的线性方程组Cramer法则：如果线性方程组(1)的系数行列式那么该线性方程组有唯一解，并且解可以通过系数和常数构成的行列式表示其中dj表示将d中的第j列换成方程组的常数列(b1,b2,…,bn)T所得的行列式，即Cramer法则的原始证明要把行列式展开并逆用展开法则，还要对展开的n2个项重新组合讨论，所以对于初学者来说比较复杂也难于接受和理解.为了给出简洁证明，我们先给出两个引理引理1 如果n阶行列式d=det(aij)≠0，则利用行列式的性质化d为上三角行列式t的对角元都不等于零.证明可以对行列式作变换，即交换两行和行列式某一行的倍数加到另外一行.利用这两种变换可以把任意行列式化为上三角行列式(由于篇幅关系在此不列出化上三角行列式的算法).根据行列式的相关性质，第一种变换改变行列式的符号，第二种变换不改变行列式的值.所以不等于零的d化为t，仍有t≠0，又上三角行列式t等于对角元的乘积，从而t的对角元都不等于零.引理2 如果线性方程组(1)的系数行列式d=det(aij)≠0，则有解.证明由引理1，化d=det(aij)得上三角行列式t为根据中学数学知识(引理1中行列式的两种变换是同解变换)可得线性方程组(1)同解于t对应的一个方程组其中为实数，因为cii≠0,i=1,2,…,n.(3)显然有解，从而(1)也有解.Cramer法则的简洁证明：由引理2，线性方程组(1)有解.设(l1,l2,…,ln)为方程组(1)的一个解，用lj乘系数行列式的第j列元素，得对上式右边的行列式再作变换：第k列元素乘lk加到第j列(k=1,2,…,n,k≠j)，则第j列刚好变为(1)中方程未知数用解(l1,l2,…,ln)代入的左边的式子ai1l1+ai2l2+…+ainln,i=1,2,…,n，也就等于右边bi,i=1,2,…,n，即有所以，lj=.这样得到如果(l1,l2,…,ln)是方程组(1)的解，则该解一定是(2)式，从而证明了解的唯一性.当然从这个过程也可得(2)式是方程组(1)的解.所以Cramer法则得证.线性代数的新编教材[7]78-79把矩阵的基本知识排在行列式的前面，所以利用了逆矩阵和伴随矩阵证明Cramer法则，其中也要逆用复杂的展开法则，而解的唯一性的证明是利用系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩并且等于位置数的个数得到的.实际上，也可以利用2中的Cramer法则的简洁证明来避开展开法则.Cramer法则的第一种证明方法：线性方程组(1)可以用矩阵表示为其中因为(1)的系数行列式d=|A|≠0，所以A是可逆的，用A-1左乘(4)的两边得X=A-1B，即(1)有解.然后利用2中的Cramer法则的简洁证明即可完成证明过程.当然，其中解的唯一性也可以这样证明：因为A可逆，AX=B⟺X=A-1B，又逆矩阵具有唯一性，所以解X=A-1B也是唯一的.在上述第一种证明方法中是因为已经学习了矩阵的相关知识.如果已经学习向量的相关知识，那么我们就可以利用向量的线性表示和线性相关性得到，Cramer法则的第二种证明方法：线性方程组(1)可以用向量表示为其中一方面，因为(1)的系数行列式d=|A|≠0，所以向量组α1,α2,…,αn线性无关.另一方面，向量组α1,α2,…,αn,β线性相关(因为该向量组向量个数大于向量的维数)，所以β可以由向量组α1,α2,…,αn线性表示，并且表示方法唯一，从而(5)中系数x1,x2,…,xn的取值就是(1)的解，也就是说(1)有解并且解唯一.然后利用2中的Cramer法则的简洁证明即可完成证明过程.Cramer法则的简洁证明及另外两种证明方法不要用到复杂而且对初学者难于接受和理解的展开法则，仅仅利用中学数学知识和行列式的性质就可以证明该法则，这样的证明是容易理解和接受的.【相关文献】[1]北大数学系几何代数教研室编.高等代数(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2003.[2]张禾瑞等编.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2005.[3]同济大学数学系编.线性代数(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2009.[4]华中理工大学数学系编.线性代数[M].北京:高等教育出版社,施普林格出版社,2003.[5]刘金旺.线性代数[M].上海:复旦大学出版社,2006.[6]胡显佑.线性代数[M].北京:中国商业出版社,2006.[7]谢政.线性代数[M].北京:高等教育出版社,2012.。

crammer法则
Crammer法则，又称Kramer公式，是一种计算多元方程组的方法，它由德国数学家August Crammer于1909年提出，常用于求解2个或更多未知量之间的关系。

Crammer 法则的基本思想是通过构造含有所有未知量的行列式来求解方程组的解，而不需要对各个未知量进行求值。

Crammer法则的步骤如下：
（1）给出n个方程，其中n个未知量分别为x1，x2，…，xn；
（2）把这n个方程放入n*n的矩阵中，其中每一行对应一个方程，要求每一行的系数都是未知量的系数，而最右边的一列是各个方程的右端的常数；
（3）将这个矩阵拆分为n个子矩阵，每个子矩阵都是(n-1)*(n-1)的矩阵，其中去掉未知量xi；
（4）对每一个子矩阵求其行列式，然后把这些行列式乘以未知量xi，形成n个新的行列式；
（5）将这n个行列式放入原来的n*n矩阵中，把最右边的一列空出来作为未知量xi的系数；
（6）最后求出这个n*n矩阵的行列式，然后根据每一个未知量的行列式求出未知量的值。

Crammer法则的优点在于只需要一次构造n*n的矩阵就可以求出多元方程组的解，而不需要进行多次求解，省时省力。

但是，Crammer法则也有一定的缺点，就是当n较大时，求行列式的过程会非常复杂，容易出错，而且效率也比较低下。

因此，我们应该根据具体的情况选择最合适的解决方案。

伴随矩阵运算法则摘要：一、伴随矩阵的定义二、伴随矩阵的性质三、伴随矩阵的运算法则四、伴随矩阵的应用正文：伴随矩阵是线性代数中的一个重要概念，它与矩阵的秩、行列式、逆矩阵等密切相关。

伴随矩阵的运算法则可以帮助我们更好地理解这些概念，并在解决实际问题时发挥重要作用。

首先，我们需要了解伴随矩阵的定义。

伴随矩阵是一个与原矩阵相似的矩阵，它的元素是原矩阵的代数余子式。

具体来说，设A 是一个n 阶方阵，P 是A 的一个n 阶子矩阵，那么A 的伴随矩阵|A|P 是一个n 阶方阵，它的元素是P 的代数余子式。

伴随矩阵有许多重要的性质，这些性质可以帮助我们更好地理解矩阵的性质。

例如，伴随矩阵的行列式等于原矩阵的行列式，这意味着伴随矩阵的秩等于原矩阵的秩。

另外，伴随矩阵的迹等于原矩阵的迹，这意味着伴随矩阵的主对角线元素之和等于原矩阵的主对角线元素之和。

伴随矩阵的运算法则包括矩阵乘法、矩阵加法、数乘等。

这些运算法则可以帮助我们在解决实际问题时更方便地使用伴随矩阵。

例如，如果我们想要计算一个矩阵的行列式，我们可以使用伴随矩阵的行列式公式来计算。

另外，如果我们想要计算一个矩阵的逆矩阵，我们可以使用伴随矩阵的逆矩阵公式来计算。

伴随矩阵在许多领域都有广泛的应用，例如线性方程组、二次型、特征值、特征向量等。

在解决这些问题时，伴随矩阵可以提供一种更简洁、更高效的计算方法。

例如，在解决线性方程组时，我们可以使用伴随矩阵的方法来计算方程组的解。

在解决二次型问题时，我们可以使用伴随矩阵的方法来计算二次型的标准型。

在解决特征值、特征向量问题时，我们可以使用伴随矩阵的方法来计算特征值、特征向量。

总之，伴随矩阵是线性代数中的一个重要概念，它与矩阵的秩、行列式、逆矩阵等密切相关。

线性代数知识点伴随矩阵线性代数是数学中的一个重要分支，它研究向量空间和线性映射的性质与结构。

在线性代数中，矩阵是一种常见的数学工具，它用于表示线性映射以及解决线性方程组等问题。

本文将介绍线性代数中一个重要的概念——伴随矩阵，并逐步思考其相关知识点。

伴随矩阵（Adjoint Matrix）是指对于一个n阶方阵A，其伴随矩阵记作adj(A)，其定义如下：对于A的每一个元素aij，其代数余子式Aij的代数余子式产生的矩阵C，其元素Cji组成的矩阵adj(A)的元素就是aij的伴随矩阵元素。

通过以上定义，我们可以得到伴随矩阵adj(A)的行和列与原矩阵A的行和列相同，矩阵元素由原矩阵的元素和代数余子式组成。

伴随矩阵在线性代数中有着重要的应用。

首先，伴随矩阵可以用于求解逆矩阵。

当原矩阵A可逆时，其逆矩阵A-1可以通过伴随矩阵adj(A)来表示。

具体来说，当A可逆时，我们有以下等式成立：A * adj(A) = adj(A) * A = |A| * I其中，|A|表示矩阵A的行列式，I表示单位矩阵。

由此可见，伴随矩阵在求解逆矩阵时起到了重要的作用。

其次，伴随矩阵还可以用于求解线性方程组。

对于一个线性方程组Ax = b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为常数向量，我们可以通过伴随矩阵adj(A)来求解x。

具体来说，我们有以下等式成立：x = adj(A) * b / |A|这个等式可以通过克莱姆法则（Cramer’s rule）来推导得到。

最后，伴随矩阵还与线性映射的性质有着密切的关系。

当我们考虑线性映射的转置映射时，伴随矩阵也会出现在其中。

具体来说，当我们考虑从n维向量空间到n维向量空间的线性映射T时，其伴随映射T*（即T的转置映射）可以通过伴随矩阵adj(A)来表示。

这一点在矩阵的特征值和特征向量的求解中有着重要的应用。

综上所述，伴随矩阵在线性代数中有着重要的地位和应用。

它可以用于求解逆矩阵、线性方程组以及描述线性映射的转置映射。

克莱姆法则，又译克拉默法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。

1、当方程组的系数行列式不等于零时，则方程组有解，且具有唯一的解；
2、如果方程组无解或者有两个不同的解，那么方程组的系数行列式必定等于零
3、克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立。

对于多于两个或三个方程的系统，克莱姆的规则在计算上非常低效；与具有多项式时间复杂度的消除方法相比，其渐近的复杂度为O（n·n！）。

即使对于2×2系统，克拉默的规则在数值上也是不稳定的。

它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的。

其实莱布尼兹〔1693〕，以及马克劳林〔1748〕亦知道这个法则，但他们的记法不如克莱姆。

第22卷第1期2019年1月高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICSVol.22,No. 1Jan. , 2019doi ：10. 3969/j. issn. 1008-1399. 2019. 01. 016Cram m er 规则的几种证明方法王转德，李厚彪，高中喜，刘福体(电子科技大学数学科学学院，四川成都611731)摘要本文给出Crammer 规则的几种证明方法，基于不同的证明思路，提升学生对该规则的理解与全方位多层面的分析问题的能力.关键词伴随矩阵；线性方程组；行列式；矩阵的扰动中图分类号 0151文献标识码A文章编号 1008 - 1399(2019)01 -0062 -03Several Approaches to Crammer RuleWANG Zhuande，LI Houbia 〇，GAO Zhongxi，and LIU Futi(School of Mathematics Sciences , University of Electronic Science and Technology of China ,Chengdu 611731，PRC )AbstractSeveral approaches to Crammer Rule are gathered in this paper w ith the aim of enhancingstudents ’ abilities to understand the ru le ，and to analyze problems in an all — round and multidimensionalmanner .Keywordsadjoint m a trix , linear equations , determ inant , perturbations of m atrixi引言在《线性代数》课程的内容体系中，线性方程组 的求解既是课程内容的非常重要的一个模块，也是 解决其他模块(如：特征向量求解等)不可或缺的工 具，见文献[1，2,3,4].因此，绝大多数教材对线性 方程组的求解都从多个侧面做了描述，主要有：增 广矩阵的行初等变换法，矩阵列向量组的线性相 关、无关性及右端项与系数矩阵列向量组的线性表 出关系，方程组解的行列式表示（即C ram m er 规则） 等.C ram m er 规则给出了系数矩阵可逆时方程组解 的公式表示，但多数教材对于该规则的解释基于伴 随矩阵的概念及性质.矩阵的伴随矩阵是一个相对 复杂和抽象的对象：一方面在于伴随矩阵本身的构收稿日期：2018-05 -14修改日期=2018 -07 -14基金项目：高等学校大学数学教学研究与发展中心教学改革项目(CMC 20160403 ),电子科技大学教学研究项目(2013XJYSL 026, 2016XJYYB 037).作者简介:王转德（1977 —），男，甘肃陇南人，副教授，从事矩阵计算与数值优化研究.Email : zhdwang @126. com .造相对复杂，其元素是初始矩阵元素的代数余子 式，且把原始矩阵行元素的代数余子式写在伴随矩 阵的对应列上；另一方面在于基于伴随矩阵导出该 规则时，首先需要把伴随矩阵与矩阵自身的深层次 关系挖掘清楚.这使得教学过程中许多学生对该规 则的理解不够深刻，甚至感觉很费解.本文我们从 另外的角度给出该规则的解释与论证，回避了关于 伴随矩阵的相关概念，力图让学生更清楚的理解和 认识该规则.2 Crammer 规则定理 l w 设A = (a i ，a 2，…，a…) 可逆，b= (J h ，b 2，…，b…)T，Aj = (m i，…，aj ~i ，b ，a j +1，…，a …)，x =(而，x 2，…，：c …)T 6 只"为A j c = 6 的解，则工厂識“卜1，2’…，71).该定理就是线性代数中求解线性方程组的C ram m er 法则，是线性代数中较为经典的基础性定 理.我们将从不同的角度给出该定理的多种论证， 以便通过该定理的证明加强同学们对线性代数课 程的主线及构架认识，同时认识到线性代数解决问第22卷第1期王转德，李厚彪，高中喜，刘福体：Crammei•规则的几种证明方法63题方法的灵活性及多样性.3 证明方法(1)利用矩阵逆与伴随矩阵的关系引理1[1]设可逆，•An A21A n lA i9A〇2•••A*=:12广..：为A的伴随矩阵A ln A2……A m其中A,;为^的代数余子式，则A~l = -^—A *.detA证法1由A可逆，在A j c=&的两边同时左乘以A4，可得a: =A-^.由引理1可得'Xi'’A n A21…(bx]工21A12A22…a…2b2工n detA^ln A2……a'bndetA〜A,1t=in26,A,2i = ln5>人detA'detA：detA2detA…故有其中'axl•• a i.i-i bi a l,j+l…a l t n' A,=a12•• ，尸1b2a2,j+l•••a2,nd i n•bn^n,j+l•••a n,n(j = 1，2，...，w)•注1 Crammer规则给出了系数矩阵可逆时方程 组解的公式表示，证法1是大多数教材对于C ram m er规则的解释，其基本原理是基于伴随矩阵 的概念及性质，特别是伴随矩阵与逆矩阵的关系 (即引理1)，而矩阵的伴随矩阵是一个相对复杂和 抽象的对象：一方面在于伴随矩阵本身的构造相对 复杂，其元素是初始矩阵元素的代数余子式，且把 原始矩阵行元素的代数余子式写在伴随矩阵的对 应列上；另一方面在于基于伴随矩阵导出该规则 时，首先需要把伴随矩阵与矩阵自身的深层次关系挖掘清楚.这使得教学过程中许多学生对该规则的 理解不够深刻，甚至感觉很费解.(2)利用A;及方程组解的定义证法 2 要证，(j =l，2，“*，w)是方程组的解，即证detAj |detA2,,detA… , u .、d^A+fll2 d^A +-+a" d^A =；(V°即a^detAi+al2detA2+*•*+a^detA… = ^detA,(V i)为此，做具有两个相同行的《+1阶行列式bi a a (i)b,a n•••汉1”b…a…i…^nn=0 (£ = 1，2，…，w).该行列式按第1行展开.因为第1行第_；‘+1列元素 叫的代数余子式为bi an…^1，汁1…aln (_ 1)1+汁1::K a n i^n,j+l•••^n n =(-l Y+i (- D^detA,==—detA*.故&detA—a。

克莱姆(Cramer) 法则◼克莱姆(Cramer) 法则克莱姆(Cramer) 法则◼概念◼n阶线性方程组的解在这一节里,⚫克莱姆（Cramer ）法则我们讨论用n 阶行列式解n 元线性方程组的问题.设n 个未知量,n 个方程的线性方程组为11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩(1.4.1)⚫克莱姆（Cramer ）法则称为方程组(1.4.1) 的系数行列式.111212122212nnn n nna a a a a a D a a a =定义1.4.1b1,b2,…,b n不全为零时，当线性方程组(1.4.1)右端的常数项当b1,b2,…,b n全为零时，称为非齐次线性方程组；称为齐次线性方程组.如果线性方程组则方程组有唯一解，11112211211222221122 1.4.1n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩（）的系数行列式D ≠0,定理1.4.1 (克莱姆(Cramer)法则)非齐次线性方程组n n D x D =( 1.4.2 )并且解可以用行列式表示为22,D x D =11,D x D =33,D x D =,其中D j (j =1,2,…,n ) 是把系数行列式D 中第j 列的元素用方程组（1.4.1）右端的常数项b 1,b 2,…,b n 代替后所得到的n 阶行列式，即111,111,11212,122,121,1,1j j n j j n j n n j n n j nna ab a a a a b a a D a a b a a −+−+−+=11112211211222221122 n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩证先求x 1,分别用A 11,A 21,⋯,A n1同时A 11A 11A 11A 21A 21A 21A n1A n1A 11A 21A n1A n1乘以第1个方程到第n 个方程两边,得：将这n 个方程两边分别相加，得：Dx 1+0x 2+⋯+0x n =D 1即Dx 1=D 1.因D ≠0，所以x 1=D1D .同理可求.j j D x D =然后将11,D x D =22,D x D =33,D x D =nn D x D=,带入原方程组验证即可.证毕.因为显然齐次线性方程组总是有解的, 如果齐次线性方程组的解x 1, x 2,…, x n 不全零解.则称为非零解.为零, x 1=0, x 2=0, …, x n =0 就是它的一个解, 称为若齐次线性方程组10nij j j a x ==∑，12,i n =，，(1.4.4)的系数行列式D ≠0 ,又因为常数项均为0,定理1.4.2证因为D ≠0 ，于是0jj D x D ==1,2,,j n =（）.所以方程组(1.4.4)有唯一解.那么D j =0 (j =1,2,…,n ) .则它只有唯一的零解.推论若齐次线性方程组（1.4.4）有非零解，则系数行列式D=0.克莱姆法则解决了方程个数和未知量个数相等且系数行列式不为零的线性方程组的求解问题，在线性方程组的理论研究上具有十分重要的意义.但是当n 元线性方程组中未知量的个数应用克莱姆法则计算量还是比较需要寻求更简单的方法.我们在第四章中讨论.关于一般的n 较大时，大的，线性方程组的解法，例112341242341234258,369,225,4760.x x x x x x x x x x x x x x +−+=⎧⎪−−=⎪⎨−+=−⎪⎪+−+=⎩解线性方程组系数行列式D =解2151130602121476−−−=−−270≠又1D =8151930652120476−−−=−−−81，108−2851190605121076−−=−−−2D =3D =27−，4D =27由克莱姆法则，113D x D ==224D x D ==−331D x D ==−441D x D ==方程组有唯一解例21231231230020kx x x x kx x x x x ++=⎧⎪+−=⎨⎪−+=⎩有非零解.k 为何值时，方程组解1111211k D k =−−由定理1.4.2的推论知，若齐次线性方程则其系数行列式D =0. 因为(1)(4)k k =+−k = −1或k =4 时，方程组有非零解.所以, 组有非零解，例3解22()0a x y bx cy d ++++=（1.4.5）这个方程含有四个待定系数a ,b ,c ,d , 给定平面上不共线的三个点(x 1,y 1), (x 2,y 2),(x 3,y 3),平面上一般圆的方程为求过这三个点的圆的方程.且a ≠0.点(x 1,y 1), (x 2,y 2),(x 3,y 3)在圆上，应满足方程(1.4.5),于是得到一个以a ,b ,c ,d 为未知量的齐次线性方程组.22221111222222223333()0,()0,()0,()0.a x y bx cy d a x y bx cy d a x y bx cy d a x y bx cy d ⎧++++=⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩(1.4.6)由于a ≠0 ，齐次线性方程组(1.4.6) 有非零解.经展开后，就为所求圆的方程.222211112222222233331111x y x y x y x y x y x y x y x y ++=++由定理1.4.2的推论,(1.4.6) 的系数行列式应为零，即例401()n n f x a a x a x =+++(0)n a ≠最多有n 个互异的根.试证: n 次多项式证若不然,将其逐个代入方程f (x )=0,可得设f (x ) 有n +1个互异的根c 0,c 1,…,c n ,010********00n n nn n n n n a a c a c a a c a c a a c a c ⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩(1.4.7) 把a 0,a 1,…,a n 看作未知量,则(1.4.7)是由n +1个其系数行列式未知量n+1个方程组成的一个齐次线性方程组,200021112111n n nn n nc c c c c c D c c c =为n +1阶范德蒙行列式的转置,故D ≠0 .由定理1.4.2,从而a n =0,齐次线性方程组(1.4.7)只有零解,此与题设条件矛盾. 证毕.ቐa +b −2c =−2a −2b +3c =92a −3b +c =1思考题用行列式求下列方程组中的c 值为1310。