立几证明

初一数学证明题解题技巧总结数学立体几何证明解题技巧1平行、垂直位置关系的论证的策略:(1)由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。

(2)利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一。

(3)三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高，在证明线线垂直时应优先考虑。

2空间角的计算方法与技巧:主要步骤：一作、二证、三算;若用向量，那就是一证、二算。

(1)两条异面直线所成的角：①平移法：②补形法：③向量法：(2)直线和平面所成的角①作出直线和平面所成的角，关键是作垂线，找射影转化到同一三角形中计算，或用向量计算。

②用公式计算.(3)二面角：①平面角的作法：(i)定义法;(ii)三垂线定理及其逆定理法;(iii)垂面法。

②平面角的计算法：(i)找到平面角，然后在三角形中计算(解三角形)或用向量计算;(ii)射影面积法;(iii)向量夹角公式.3空间距离的计算方法与技巧:(1)求点到直线的距离：经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关的三角形中求解，也可以借助于面积相等求出点到直线的距离。

(2)求两条异面直线间距离：一般先找出其公垂线，然后求其公垂线段的长。

在不能直接作出公垂线的情况下，可转化为线面距离求解(这种情况高考不做要求)。

(3)求点到平面的距离：一般找出(或作出)过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而计算;也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离;有时直接利用已知点求距离比较困难时，我们可以把点到平面的距离转化为直线到平面的距离，从而“转移”到另一点上去求“点到平面的距离”。

求直线与平面的距离及平面与平面的距离一般均转化为点到平面的距离来求解。

4熟记一些常用的小结论诸如：正四面体的体积公式是;面积射影公式;“立平斜关系式”;最小角定理。

弄清楚棱锥的顶点在底面的射影为底面的内心、外心、垂心的条件，这可能是快速解答某些问题的前提。

B B C B1 C1
图1
A P A1 图2 A
标题
问题１公式
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1 VP ABC PA PB PC sin sin( )sin( )sin( ) 3 其中 = , APB, BPC , CPA 2
B
C Ｐ A
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证明：令AB=b,AC=c,AD=d 则因三个面ABC，ACD，ADB两两垂直，故
Ａ b
d
c
Ｄ Ｃ
2 2 2 2 2 2 b d c b c d 2 2 sin DBC 1 cos DBC 2 2 2 (b c )(b d 2 ) 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 S BCD BC BD sin DBC b c d c b d 4 4 4 4 2 2 2 2 S S S S ABC ACD ABD BCD
命题３：过圆心且垂直于弦的直线平分弦 相应的空间命题：过球心且垂直于截面的 直线必过截面圆心
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例二:过半径为 R 的球面上一点作三条两两垂直 的弦,MA,MB,MC (1) 求证:MA2+MB2+MC2 为定值. (2) 求三棱锥 M---ABC 的体积的最大值.
Ｃ
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O Ｂ O1
Ｍ Ａ D
例二的证明
问题 2:
类比表
(2003 年广东高考题)在平面几何里,有勾股定理:“设三 角形 ABC 的两边 AB,AC 互相垂直,则 AB2+AC2=BC2 ”, 拓展到空间类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧 面面积与底面面积间的关系,可得出正确的结论是“设 三棱锥 A-BCD 的三个侧面 ABC,ACD,ADB 两两垂直, 则

巧用三垂线定理解立几题作者：钟大震来源：《广东教育·高中》2009年第10期一、绪论在历年高考题中,立几题最主要的出题形式有三种:(1)证明两异面直线垂直;(2)求直线与平面所成的角的大小;(3)求二面角的大小或三角函数值.在这些类型题的解题过程中,往往都会应用到三垂线定理去解决问题.三垂线定理:平面内垂直于射影的直线,也垂直于斜线.逆定理:平面内垂直于斜线的直线,也垂直于射影.应用三垂线定理解题主要有以下类型:(1)I线型:①已知斜线,要作平面垂线和射影; ②已知平面垂线,要作斜线和射影;③已知射影,要作平面垂线和斜线.(2)II线型:①已知斜线和平面垂线,要作射影;②已知斜线和射影,要作平面垂线;③已知平面垂线和射影,要作斜线.(3)III线型:平面垂线、斜线、射影全部给出,直接使三垂线定理进行证明.(4)全隐型:平面垂线、斜线、射影全部不给出,都需要作辅助线,然后再应三垂线定理作出相关证明.二、三垂线定理在解高考立几题中的奇妙应用例1 如图:四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC⊥底面ABCD,已知∠ABC=45°,BC=2,SA=SB=,AB=2.(I)证明:SA⊥BC.(II)求直线SD与平面SAB所成的角的大小.解析 (I)(如图)过点S作SO⊥BC,垂足为O,连结AO.则∵侧面SBC⊥底面ABCD,∴SO⊥底面ABCD.又∵SA=SB,∴OA=OB(HL).又∵∠ABC=45°,∴△ABO是等腰直角三角形,∴BC⊥OA,∴SA⊥BC(三垂线定理).(Ⅱ)(略).(提示:通过棱锥S-ABD的体积计算,求出棱锥D-ABS高即可.答案:arcsin)点评 (I线型).此题只给出射影定义中的斜线SA,另两线平面垂线需要从已知条件中证明.此题为运用三垂线定理的特定型,其它方法则相对难度较大.例2 如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,直线L与平面ABCD平行,E和F是L上不同的两个点,且EA=ED,FB=FC,E′和F′是平面ABCD内的两个点,EE′和FF′都与平面垂直.(I)证明:直线E′F′垂直平分线段AD;(Ⅱ)若∠EAD=∠EAB=60°,EF=2,求多面体ABCDEF的体积.解析 (I)证明:(如图),取AD的中点G,连结EG、GE′.则在△AED中,∵ED=EA,∴AD⊥GE,∵EE′⊥平面ABCD,∴AD⊥GE′(三垂线定理的逆定理),故GE′垂直平分AD.同理:HF′垂直平分BC.又∵四边形ABCD是正方形,∴直线GE′、HF′共线,故直线E′F′垂直平分线段AD.(Ⅱ)(略).(提示:VABCDEF=S底面ABCD•EE′,VABCDEF=2)点评(Ⅱ线型).此题给出了平面垂线EE′及射影E′F′,而斜线EG未给出,要通过作辅助线作出.一旦作出斜线,则比较易解决,较上一例为易.例3 如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PD⊥底面ABCD,PD=AB=2,E、F、G分别为PC、PD、BC的中点.(I)求证:PA⊥EF.(II)求二面角D-FG-E的余弦值.解析 (I)证明:(如图)∵底面ABCD为正方形,∴CD⊥AD.又∵PD⊥底面ABCD,∴CD⊥PA(三垂线定理).∵E、F分别是△PDC的两边PC、PD的中点,∴FE∥CD,∴PA⊥EF.(Ⅱ)(略).(提示:建立空间直角坐标系,再用法向量求之. 答案:cosθ=).点评 ( III 线型).此题平面垂线PD、射影AD和斜线PA全部给出,直接根据条件使用三垂线定理即可,相对较易.例4 如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱SD⊥底面ABCD,E、F分别为AB、SC的中点.(I)证明:EF∥SAD;(Ⅱ)设SD=2DC,求二面角A-EF-D的大小.解析 (I)(略).(提示:证明四边形AEFG为平行四边形即可)(Ⅱ)(如图)取SD的中点G,连结FG,AG,则GF∥AE,GF=AE,且FG⊥AG,∴四边形AEFG是矩形.令DC=2,则SD=4,GD=2,AD=2,∵ SD⊥面ABCD,∴△ADG是等腰直角三角形.再在AG、EF上分别取中点N、M,连结DN、NM、DM,则AG⊥DN.又∵SD⊥AB、AD⊥AB、SD∩AD=D,∴AB⊥面SAD,∴AB⊥DN,而AG∩AB=A,∴DN⊥面AEFG.∵MN⊥EF,∴DM⊥EF(三垂线定理),∴∠DMN是二面角A-EF-D的平面角.由已知及题设求得:MN=1,DN=,∴ tan∠DMN==,故二面角A-EF-D的大小为arctan.点评 (全隐型).此题中的平面垂线DN、斜线DM、射影MN均不给出,全需要通过作辅助线作出,才能通过三垂线定理证明二面角A-EF-D的棱EF分别与斜线DM和射线MN垂直,从面得出二面角的平面角为∠DMN.此题较前面的Ⅰ线型、Ⅱ线型、Ⅲ线型应用三垂线定理的难度更大.三、相关提点例5 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E、P分别是BC、A1D1的中点,M、N分别是AE、D1C的中点,AD=AA1=a,AB=2a.(I)求证:MN∥平面ADD1A1;(II)求二面角P-AE-D的大小.(III)求三棱锥P-DEN的体积.提点此题为求二面角的大小,属全隐型. 平面垂线PG,射影GO,斜线PO,都要通过辅助线作出,难度较大.解析 (I)证明:(略)提示:证得平面HMN∥面ADD1A1即可.(II)解:如图,取AD的中点G,连结PG,过点G作GO⊥AE,垂足为O,连结PO,则PG∥D1D.∵D1D⊥平面ABCD,∴ PG⊥平面ABCD,∴ AE⊥PO(三垂线定理),∴∠POG为二面角P-AE-D的平面角.连结GE,则Rt△AOG∽Rt△AGE,∴OG==,PG=a,∴tan∠GOP===,故二面角P-AE-D的大小为arctan .(III)(略).(提示:求出棱锥D—PEN的体积即可.答案:Vp-DEN=)例6如图,P是正六边形ABCDEF所在平面外的一点,PA=1,AB=1,P在面ABF的射影为BF 的中点O.(I)证明:PA⊥BF;(II)求二面角A-PB-D的大小.提点此题第一小题是证明两异面直线互相垂直,属Ⅱ线型,平面垂线PO、斜线PA都是已知的,射影AO要作出.第二小题是求二面角的大小,属全隐型,平面垂线、射影、斜线都要通过作辅助线作出.解析 (I)证明:(如图)连结AD,则点O在AD上.∵P在平面ABF的射影为BF中点O,∴ PO⊥平面ABF.∵底面为正六边形,∴AB=AF,∴ BF⊥AO,∴ PA⊥BF(三垂线定理).(II)解:(如图)取PB的中点M,连结AM、MD、OM.∵PA=AB,∴PB⊥AM.又∵PO⊥底面ABE,∴PO⊥AD,由(1)可知,AD⊥BF,PO∩BF=O,∴AD⊥平面PBF,∴PB⊥OM(三垂线定理的逆定理).∴BP⊥DM(三垂线定理),∴∠AMD是二面角A-PB-D的平面角.由已知求得AD=2,AM=,MD= .在ΔAMD中,cos∠AMD==-,故二面角A-PB-D的大小为arccos(-).通过以上对三垂线定理的充分探讨,弥补了数学教材中这方面内容的不足,完善了我们的知识架构,使我们能够在高考中更加如鱼得水,游刃有余.责任编校徐国坚。

高中数学《立体几何》记忆口诀学好立几并不难，空间观念最关键点线面体是一家，共筑立几百花圆点在线面用属于，线在面内用包含四个公理是基础，推证演算巧周旋空间之中两直线，平行相交和异面线线平行同方向，等角定理进空间判断线和面平行，面中找条平行性已知线和面平行，过线作面找交线要证面和面平行，面中找出两交线线面平行若成立，面面平行不用看已知面与面平行，线面平行是必然若与三面都相交，则得两条平行线判断线和面垂直，线垂面中两交线两线垂直同一面，相互平行共伸展两面垂直同一线，一面平行另一面要让面和面垂直，面过另面一垂线面面垂直成直角，线面垂直记心间一面四线定射影，找出斜射一垂线线线垂直得巧证，三垂定理风采显空间距离和夹角，平行转化在平面一找二证三构造，三角形中求答案引进向量新工具，计算证明开新篇空间建系求坐标，向量运算更简便知识创新无止境，学问思辩勇登攀高中数学立体几何模块公理定理汇编公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．⊂．（作用：证明直线在平面内）A l∈，B l∈，且Aα∈，Bα∈⇒lα公理2过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．（作用：确定平面）推论①直线与直线外一点确定一个平面．②两条相交直线确定一个平面．③两条平行直线确定一个平面．公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．∈，且Pβ∈⇒αβ ＝l，且P l∈．（作用：证明三点/多点共线）Pα公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行．（平行线的传递性）空间等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．线面平行判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．面面平行判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．推论一个平面内两条相交直线与另一个平面内的两条直线分别平行，则这两个平面平行．线面平行性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行．面面平行性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行．线面垂直判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面平行．三垂线定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线垂直．逆定理如果平面内一条直线与平面的一条斜线垂直，则它和这条直线的射影垂直．射影定理从平面外一点出发的所有斜线段中，若斜线段长度相等则射影相等，斜线段较长则射影较长，斜线段较短则射影较短．面面垂直判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．线面垂直性质定理1如果一条直线垂直于一个平面，则它垂直于平面内的所有直线．线面垂直性质定理2垂直于同一个平面的两条直线平行．面面垂直性质定理1两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．面面垂直性质定理2两个平面垂直，过一个平面内一点与另一个平面垂直的直线在该平面内．。