第十章双线性函数与辛空间
1、设V是数域P上的一个三维线性空间，ε1，ε2，ε3是它的一组基，f是V上的
一个线性函数，已知
f (ε1+ε3)=1,f (ε2-2ε3)=-1,f (ε1+ε2)=-3
求f (X
1ε
1
+X
2
ε
2
+X
3
ε
3
).
解因为f是V上线性函数，所以有
f (ε1)＋ f (ε3)=1
f (ε2)-2 f (ε3)=-1
f (ε1)+f (ε2)=-3
解此方程组可得
f (ε1)＝4，f (ε2)＝－7，f (ε3)＝－3 于是
f (X
1ε
1
+X
2
ε
2
+X
3
ε
3
).＝X
1
f (ε1)＋X2 f (ε2)＋X3 f (ε3)
＝4 X
1
－7 X
2
－3 X
3
2、设V及ε1，ε2，ε3同上题，试找出一个线性函数f ,使
f (ε1+ε3)＝f (ε2-2ε3)=0, f (ε1+ε2)=1
解设f为所求V上的线性函数，则由题设有
f (ε1)＋ f (ε3)=0
f (ε2)-2 f (ε3)=0
f (ε1)+f (ε2)=1
解此方程组可得
f (ε1)＝－1，f (ε2)＝2，f (ε3)＝1
于是∀a∈V,当a在V的给定基ε1，ε2，ε3下的坐标表示为
a= X
1ε
1
+X
2
ε
2
+X
3
ε
3
时，就有
f (a)=f (X
1ε
1
+X
2
ε
2
+X
3
ε
3
)
= X 1 f (ε1)＋X 2 f (ε2
)＋X 3 f (ε
3
)
=-X 1+2 X 2+ X 3 3、 设ε1，ε
2
，ε
3
是线性空间V 的一组基，f1,f2,f3是它的对偶基，令
α1＝ε1－ε
3
，α2＝ε1＋ε
2－ε
3，α3＝ε
2＋ε
3
试证：α1，α2，α3是V 的一组基，并求它的对偶基。 证： 设
（α1，α2，α3）＝（ε1，ε2
，ε
3
）A
由已知，得
A ＝110011111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
因为A ≠0，所以α1，α2，α3是V 的一组基。 设g1,g2,g3是α1，α2，α3得对偶基，则 （g1,g2,g3）＝（f1,f2,f3）（A ˊ）1-
＝（f1,f2,f3）011112111-⎡⎤
⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
因此
g1=f2-f3 g2=f1-f2+f3 g3=-f1+2f2-f3
4.设V 是一个线性空间，f1,f2,…fs 是V *
中非零向量，试证：∃α∈V ，使 fi(α)≠0 (i=1,2…,s) 证：对s 采用数学归纳法。
当s ＝1时，f1≠0,所以∃α∈V ，使fi(α)≠0，即当s ＝1时命题成立。 假设当s=k 时命题成立，即∃α∈V ，使fi(α)=αi ≠0 (i=1,2…,k) 下面证明s=k+1时命题成立。
若f 1k +(α)≠0,则命题成立，若f 1k +(α)＝0，则由f 1k +≠0知，一定∃β∈V 使f 1k +(β)＝b,设fi(β)=di(i=1,2…,k),于是总可取数c ≠0，使 ai+cdi ≠0(i=1,2…,k) 令c γαβ=+，则γ∈V ，且
fi(γ)=ai+cdi≠0(i=1,2…,k)
f
1
k+
(γ)＝cb≠0
即证。
5．设α1，α2，…αs是线性空间V中得非零向量，试证：
fi(αi)≠0 (i=1,2…,s)
证：因为V是数域P上得一个线性空间，V*是其对偶空间，若取定V中得一个非零向量α，则可定义V*的一个线性函数α**如下：
α**(f)=f(α) (f∈V*)
且α**是V*的对偶空间（V*)*中的一个元素，于是，V到其对偶空间的对偶空间（V*)*的映射
α→α**
是一个同构映射，又因为α1，α2，…αs是V中的非零向量，所以α1**，α2**，…αs**对偶空间V*的对偶空间（V*)*中的非零向量，从而由上题知，∃f∈V*使
f(αi)＝αi**(f) ≠0 (i=1,2…,s)
即证.
6.设V＝P[x]
3
,对P(x)=C0+C1x+C2x2∈V,定义
f
1(p(x))=
1
()
p x dx
⎰
f
2(p(x))=
2
()
p x dx
⎰
f
3(p(x))=
1
()
p x dx
-
⎰
试证f
1， f
2
， f
3
都是V上线性函数，并找出V的一组基p1(x),p2(x),p3(x),使
f 1， f
2
， f
3
是它的对偶基。
证：先证是V上线性函数，即f
1
∈V*，对∀g(x),h(x) ∈V, ∀k∈P,由定义有
f
1（g(x)＋h(x)）＝
1
(()())
g x h x dx
+
⎰
＝
1
()
g x dx
⎰＋10()
h x dx
⎰
＝f
1
(g(x))+ f
1
(h(x))
