《数学分析选讲》第四次主观题作业第一部分

数学分析十讲习题册、课后习题答案_数学分析十讲习题册、课后习题答案习题1-1 1．计算下列极限（1）, 解：原式= == （2）；解：原式（3）解：原式（4），解：原式（5）解：原式= （6），为正整数；解：原式2．设在处二阶可导，计算. 解：原式3．设，，存在，计算. 解：习题1-2 1.求下列极限（1）; 解：原式，其中在与之间（2）; 解：原式===，其中在与之间（3）解：原式，其中在与之间（4）解：原式，其中其中在与之间2．设在处可导，，计算. 解：原式习题1-3 1．求下列极限（1）, 解：原式（2）; 解：（3）; 解：原式（4）; 解：原式2. 求下列极限（1）; 解：原式（2）; 解：原式习题1-4 1．求下列极限（1）；解：原式（2）求；解：原式（3）；解：原式（4）；解：原式此题已换3．设在处可导，，.若在时是比高阶的无穷小，试确定的值. 解：因为，所以从而解得：3．设在处二阶可导，用泰勒公式求解：原式4. 设在处可导，且求和. 解因为所以,即所以习题1-5 1. 计算下列极限(1) ; ; 解：原式(2) 解：原式2．设，求(1) ；解：原式(2) ，解：由于，所以3．设，求和. 解：因为，所以且从而有stolz定理，且所以，4．设，其中，并且，证明：. 证明：因，所以，所以，用数学归纳法易证，。

又，从而单调递减，由单调有界原理，存在，记在两边令，可得所以习题1-6 1. 设在内可导，且存在. 证明: 证明：2. 设在上可微，和存在. 证明:. 证明：记（有限），（有限），则从而所以 3. 设在上可导，对任意的, ，证明:. 证明：因为，所以，由广义罗必达法则得4．设在上存在有界的导函数，证明:. 证明：，有界，，所以习题2-1 （此题已换）1. 若自然数不是完全平方数，证明是无理数. 1.证明是无理数证明：反证法. 假若且互质，于是由可知,是的因子，从而得即,这与假设矛盾2. 求下列数集的上、下确界. （1）解：（2）解：（3）解：（4）. 解：3．设，验证. 证明：由得是的一个下界. 另一方面，设也是的下界，由有理数集在实数系中的稠密性，在区间中必有有理数，则且不是的下界.按下确界定义， . 4．用定义证明上（下）确界的唯一性. 证明：设为数集的上确界，即.按定义，有.若也是的上确界且 .不妨设，则对有即矛盾. 下确界的唯一性类似可证习题2-2 1．用区间套定理证明：有下界的数集必有下确界. 证明：设是的一个下界，不是的下界，则. 令，若是的下界，则取；若不是的下界，则取. 令，若是的下界，则取；若不是的下界，则取；……，按此方式继续作下去，得一区间套，且满足：是的下界，不是的下界. 由区间套定理，且. 下证：都有，而，即是的下界. 由于，从而当充分大以后，有.而不是的下界不是的下界，即是最大下界2. 设在上无界.证明：存在, 使得在的任意邻域内无界. 证明：由条件知，在上或上无界，记使在其上无界的区间为；再二等分，记使在其上无界的区间为，……，继续作下去，得一区间套，满足在上无界. 根据区间套定理，，且. 因为对任意的，存在，当时，有，从而可知在上无界3.设,在上满足,,若在上连续, 在上单调递增. 证明：存在,使. 证明：记且二等分.若，则记若则记. 类似地,对已取得的二等分,若，则记；若，则记按此方式继续下去，得一区间套，其中根据区间套定理可知，且有 . 因为在上连续，所以注意到可得，再由可知， . 习题2-3 1. 证明下列数列发散. (1), 证因为，所以发散.(2), 证明：因为所以发散. 2．证明:单调数列收敛的充要条件是其存在一个收敛子列. 证明：由收敛数列与子列的关系，结论显然不妨假设数列单调递增，且存在收敛子列，由极限定义对任意给定的，总存在正整数，当时，，从而有；由于，对任意，存在正整数，当时，，取，则任意时，所以，即3. 设极限存在,证明：. 证明：记由海茵定理，取，得取，得取，得，解得（此题取消）4. 数列收敛于的充要条件是：其偶数项子列和奇数项子列皆收敛于（此题改为4）5. 已知有界数列发散，证明:存在两个子列和收敛于不同的极限. 证明：因为有界，由致密性定理，必有收敛的子列，设. 又因为不收敛，所以存在，在以外，有的无穷多项，记这无穷多项所成的子列为，显然有界.由致密性定理，必有收敛子列，设，显然 . 习题2-5 1. 用柯西收敛准则判定下列数列的收敛性(1) 解：所以，对，即为柯西列(2) . 解：所以，对，即为柯西列2. 满足下列条件的数列是不是柯西列? (1) 对任意自然数,都有解：不是柯西列，如，对任意的自然数，但数列不收敛。

数学分析(上)试题 班级____________姓名____________序号_______成绩____________ 一、求解下列各题（每题4分共40分） 1．!limnncn（0c为常数）

2．xxxxxsintan)sin(sin)tan(tanlim0 3．xxxx)1cos1(sinlim 4．求ba,使0120)(xexbaxxfx在点0x可导。 5．求155345xxxy在]2,1[上的最大值与最小值。 6．dxxxx221arctan

7．11)1ln(lim4sin002xdttxx 8．])1(cos2coscos1[1limnnxnnxnxn

（Rx）

9．0dxexxn（Nn） 10．baxbaxdx))((（ba） 二（10分）、设)(xf在区间I上有界，记 )(inf,)(supxfmxfMIxIx

称mMIf),(为函数f在区间I上振幅。证明 )()(sup),(,xfxfIfIxx

三（10分）、设)(xf在有限开区间),(ba上连续，证明)(xf在),(ba上一致连续的充要条件是)(limxfax与)(limxfbx都存在且有限。（提示使用一致连续性定理）

四（10分）、证明：方程033cxx（c为常数）在区间]1,0[内不可能有两个不同的实根。

五（10分）、设)(xf在)(0xU连续，在)(00xU可导，证明：如果)0(0xf存在，则)(0xf也存在，且)0()(00xfxf。并由此结论证明，如果)(xf在区间I上可导，则)(xf不存在第一类间断点。

六（10分）、设)(xf为],[ba上的非负连续函数，证明：如果0)(badxxf，则0)(xf。

七（10分）、设f在],[ba上有界，],[baan，cannlim，证明：若f在],[ba上只有),2,1(nan为其间断点，则f在],[ba上可积。

测试题第一章 实数集与函数（A ）1．证明：n ≥1时，有不等式)1(21)1(2--<<-+n n nn n .然后利用它证明：当m ≥2时，有)21)2(21m nm mn <<-∑=.2．设S 是非空数集，试给出数的下界是S ξ，但不是S 的下确界的正面陈述.3．验证函数R x x x x f ∈=,sin )(，即无上界又无下界.4．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，)(x g 是定义在R 上的偶函数，试问))(()),((x f g x g f 是奇函数还是偶函数？5．证明：)0(sgn 2cot arctan ≠=+x x x arc x π.6．试问下列函数的图形关于哪一竖直轴线对称： （1）c bx ax y ++=2；（2）x b x a y -++=. 7．设A ，B 为R 中的非空数集，且满足下述条件： （1）对任何B b A a ∈∈,有b a <；（2）对任何0>ε，存在B y A x ∈∈,，使得ε<-x Y . 证明：.inf sup B A =（B ）1．设n 为正整数.（1）利用二项式展开定理证明：∑=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛+nk k r nn r k n 1101!1111 ，其中 10-=k r 是连乘记号.（2）若1 n ，证明：∑=<+<⎪⎭⎫⎝⎛+<n k nk n 13!111122．设{}为有理数r r r E,72<=，求E sup ，E inf3．设A ，B 为位于原点右方的非空数集，{}B y A x xy AB ∈∈=,证明： B A AB inf inf inf ⋅=4．设函数()x f 定义于()+∞,0内，试把()x f 延拓成R 上的奇函数，()x f 分别如下： （1）()x e x f =； （2）()x x f ln = 5．试给出函数()x f y =，D x ∈不是单调函数的正面陈述。

其中 {x} 表示实数 x 的小数部分, 即 {x} = x − [x], 而 [x] 是不大于 x 的最大整 数。根据抽屉原则，至少有一个小区间中包含这些数中的两个。不妨设这两个 数是 {q1α} 和 {q2α}，且 q2 > q1，设它们所在的区间是 [k/N, (k + 1)/N )，其 中 0 ≤ k ≤ N − 2，则有
k
k1
N
≤ qi α − [qi α] <
N
+
, N
i = 1, 2,
于是，取 q = q2 − q1, p = [q2 α] − [q1 α]，则有：
1 |q α − p| < N .
当这两个数包含 0 或者 1，或者它们所在的区间是最后一个闭区间 [(N −1)/N, 1]
时，讨论是类似的，这里就省略了。
αi ∈ N, 0 ≤ αi ≤ 2, i = 1, 2, . . . .
（注意，在这个练习中我们不排除那种从某一位开始全是 2 的小数，所以不同的 小数可能对应同一个实数。）设 In (n ∈ N) 是如下集合：
In = {0.α1α2 · · · | α1, . . . , αn = 0 或 2}.
有有限多组。
□
2. 设 q ∈ N，q ≥ 2，求证：
i) 设 p = q − 1，则 q-进制小数 0.pppp . . . 对应的实数就是 1。
ii) α ∈ R 是有理数当且仅当 α 的 q-进制小数是循环的。
解答： i) 设 rn 是小数 0.pppp . . . 的前 n 位截断给出的有理数，我们在课堂 上已经证明：
0.pppp · · · = 1，所以 α = a/p，是有理数。
反之，假设 α = a/b，a, b ∈ Z，b ≥ 1。我们只需证明存在 m, n ∈ N，n ≥ 1，