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1求函数值域的12种方法
一、常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。
1.函数
),0(Rxkbkxy的值域为R；
2.二次函数
),0(2
Rxacbxaxy当0a时值域是[
abac
442
，+
)，
当0a时值域是
(,
abac
442
]；
3.反比例函数
)0,0(xk
xk
y的值域为
}0|{yy；
4.指数函数
),1,0(Rxaaayx
且的值域为
R；
5.对数函数
xy
alog)0,1,0(xaa且的值域为R；
6.函数
)( cos ,sinRxxyxy的值域为[-1，1]；函数 ),
2k(xtanZkxy
,
cot x y ),(Zkkx
的值域为R；
7.对勾函数
)0,0(xa
xa
xy的值域为
),2[]2,(aa；
8.形如
)0,0(xa
xa
xy的值域为
}0|{yy；渐近线为y=x
二、求值域的方法
1.直接法(观察法)
通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域
例1
求函数3422
xxy
（x
∈[30,
]）的最值
解：∵1)1(22
xy
，∴当3x=
时，
maxy1x9==,
时，
miny
=1
.
例2
求函数323yx=+-
的值域。
解：由算术平方根的性质，知23x-
≥0，故323yx=+-
≥3.∴函数的值域为
,3[
.
2.反函数法求值域
对于形如
)0(
a
baxdcx
y的值域，用函数和它的反函数定义域和值域关系，通过
求反函数的定义域从而得到原函数的值域。
例3
求函数1
2x
y
x+
=
+的值域。解：显然函数1
2x
y
x+
=
+的反函数为:12
1y
x
y-
=
-,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y
∈R｝。
3.换元法求值域
对形如)0,0(cadcxbaxy
的函数常设
dcxt来求值域；对形如梧桐叶上三更雨，叶叶声声是别离。
2)0,0(2
cacxcbaxy的函数常用“三角换元”，如令
求最值常用的24种方法
以下是一些最值求解的常用方法：
1.穷举法：对所有可能的值进行穷举，并比较得到最值。
2. 列表解析：使用列表解析式生成包含待求值的列表，然后使用max(或min(函数找到最值。
3.排序法：将待求值的列表进行排序，再取首位元素得到最大值或最小值。
4.循环比较法：通过循环遍历列表，比较每个元素与当前最值的大小。
5.递归法：使用递归函数来逐步减小问题的规模，直到问题规模变得足够小，然后求解最值。
6.动态规划法：将复杂问题分解成多个子问题，并使用递推关系式求解每个子问题的最值，然后得到整体最值。
7.分治法：将问题划分为多个独立的子问题，分别求解每个子问题的最值，并根据子问题的解得到整体的最值。
8.贪心法：根据其中一种贪心策略，每次选择当前最优解，并希望通过这种局部最优解来达到全局最优解。
9.分支界定法：通过建立树，并使用剪枝技术来减少空间，从而逐步逼近最值。
10.动态变界法：通过动态改变问题的界限来缩小空间，从而加速求解最值。 11.遗传算法：模拟自然界进化过程，通过随机变异和选择操作来最值。
12.蚁群算法：借鉴蚂蚁寻找食物的行为，通过信息素的传递和启发式来寻找最值。
13.模拟退火算法：模拟金属退火的过程，通过随机和接受劣解的方式来寻找最值。
14.遗传规划算法：建立数学模型，通过遗传算法的进化过程来求解最值。
15.线性规划法：将最值问题转化为线性规划问题，并使用线性规划算法求解最值。
16.二分法：通过不断二分区间来求解最值。
17.近似算法：通过近似的方式来求解最值，例如贪心算法的近似解。
18.深度优先：通过递归的方式对问题的解空间进行深度优先，并记录最值。
19.广度优先：通过队列的方式对问题的解空间进行广度优先，并记录最值。
20.A*算法：通过启发式函数来评估状态的优先级，并选择优先级最高的状态进行。
21.蒙特卡罗方法：通过大量的随机样本来估计最值。
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有关函数最值问题
的十二种解题方法与策略
贵州省龙里中学高级教师 洪其强（551200）
一、消元法：在已知条件等式下，求某些二元函数(,)fxy的最值时，可利用条件式消去一个参量，从而将二元函数(,)fxy化为在给定区间上求一元函数的最值问题。
例1、已知x、yR且223260xyx，求222xy的值域。
解：由223260xyx得222360yxx，即02x。
2222392262()22xyxxx
当32x时，222xy取得最大值92；当0x时，222xy取得最小值0。即222xy的值域为90,2
二、判别式法：对于某些特殊形式的函数的最值问题，经过适当变形后，使函数()fx出现在一个有实根的一元二次方程的系数中，然后利用一元二次方程有实根的充要条件0来求出()fx的最值。
例2、求函数22()1xfxxx的最值。
解：由22()1xfxxx得
2()()2()0fxxfxxfx，
因为xR，所以0，即22()24()0fxfx，解得22()3fx。
因此()fx的最大值是23，最小值是－2。
三、配方法：对于涉及到二次函数的最值问题，常用配方法求解。
例3、求2()234xxfx在区间1,0内的最值。
解：配方得 2224()2343(2)33xxxfx
1,0x ，所以 1212x，从而当223x即22log3x时，()fx取得最大值43；当21x即精品文档
。 2欢迎下载 0x时()fx取得最小值1。
四、辅助角公式：如果函数经过适当变形化为
()sincosfxaxbx(a、b均为常数），则可用辅助角公式22sincossin(arctan)baxbxabxa来求函数()fx的最值。
高中数学中的函数最值求解问题是学习中的难点，在解决函数最值问题的时候要经过全方位的考虑，结合函数的定义域，将各种可能出现的结果进行分析，最终求得准确的计算结果。
在数学学习的过程中活跃的数学思维非常重要，它不仅可以改善学习方法，而且可以帮助学生掌握更多的解题技巧，进而提高解题速度和学习效率。
本文总结了一些求函数最值的常用方法如下：
一、利用一次函数的单调性
【例题1】 已知 x , y , z 是非负实数，且 x + 3y + 2z = 3 , 3x + 3y + z = 4 ,
求函数 w = 2x - 3y + z 的最值 .
解：
得 y = 5/3 （1 - x）, z = 2x - 1
∴ w = 9x - 6
又 x , y , z 非负，
依一次函数 w = 9z - 6 的单调性可知
当 x = 1/2 时，Wmin = -3/2 , 当 x= 1 时，Wmax = 3 . 注：
再求多元函数的条件最值时，通常是根据已知条件消元，转化为一元函数来解决问题.
对于一次函数 y = kx + b ( k ≠ 0 ) 的最值，关键是指出自变量的取值范围，即函数的定义域，当一次函数的定义域是闭区间时，其最值在闭区间的端点处取得 .
二、利用二次函数的性质
【例题2】 设 α , β 是方程 4x^2 - 4kx + k + 2 = 0 的两个实数根，
当 k 为何值时 α^2 + β^2 有最小值？
解：
∵ α , β 为方程的两个实数根，
∴ α + β = k , αβ = 1/4 ( k + 2 ) ,
令 y = α^2 + β^2 , 则有
又由原方程由实数根可知，
∴ k ≤ -1 或 k ≥ 2 .
而二次函数的顶点 （1/4，-17/16）不在此范围内，根据二次函数的性质知，
y 是以 k = 1/4 为对称轴，开口向上的，定义域为 （-∞，-1]∪[2，+∞）的抛物线，
