高中数学恒成立问题解题思路

1恒成立与能成立的七类问题

热点题型速览

热点一分离参数法解答恒(能)成立问题

1(2023·全国·统考高考真题)已知函数fx=aex-lnx在区间1,2

上单调递增，则a的最小值为

( )．

A.e2B.eC.e-1D.e-2

【答案】C

【分析】根据fx

=aex

-1

x≥0在1,2

上恒成立，再根据分参求最值即可求出．

【详解】依题可知，fx

=aex-1

x≥0在1,2

上恒成立，显然a>0，所以xex≥1

a，

设gx=xex,x∈1,2



，所以gx



=x+1

ex>0，所以gx

在1,2

上单调递增，

gx

>g1

=e，故e≥1

a，即a≥1

e=e-1，即a的最小值为e-1．

故选：C．

2(2023春·江苏无锡·高二统考期末)已知函数f(x)=alnx+x2，在区间(0,2)上任取两个不相等的实

数x

1，x

2，若不等式fx

1-fx

2

x

1-x

2>0恒成立，则实数a的取值范围是()

A.[-8,+∞)B.(-∞,-8]C.[0,+∞)D.(-∞,0]

【答案】C

【分析】

根据fx

1-fx

2

x

1-x

2>0可知fx

在(0,2)上单调递增，进而由导数即可求解.

【详解】由fx

1-fx

2

x

1-x

2>0可知fx

在(0,2)上单调递增，所以f(x)=a

x+2x≥0在(0,2)上恒成立，即

a≥-2x2在(0,2)上恒成立，故a≥-2x2



max，所以a≥0，

故选：C

3(2023春·河南南阳·高二统考期末)若fx=log

0.5x3-3x2+ax+6在区间1,2



上单调递增，则实

数a的取值范围为()热点一：分离参数法解答恒(能)成立问题

热点二：构造函数法解答恒(能)成立问题

热点三：最值比较法解答恒(能)成立问题

热点四：“先分离后构造”解答恒(能)成立问题

热点五：两次构造函数，解答恒(能)成立问题

热点六：先分离参数、再两次构造函数，解答恒(能)成立问题

热点七：构造函数法证明恒成立问题恒成立问题

恒成立问题的几种常见解法　

张月欣　

（深圳市福田中学，广东深圳５１８０００）　

导数是研究函数的有力工具。函数与导数不仅是高中数　

学的核心内容。还是学习高等数学的基础．函数的观点及其思　

想方法贯穿于整个高中数学教学的全过程，最常见的是解含　

有参数的不等式恒成立问题．恒成立的不等式问题的综合性　较强，方法很独特，学生初次接触此类问题会感到很头痛，甚　

至觉得无所适从．揭示本类题目内在规律，探讨特有的解题方　

法很有现实意义．　

对于含参变量的某些与函数、数列、方程和不等式有关的　

恒成立问题，如果能将变量分离出来，问题就会化难为易，化繁　为简．从而迎刃而解．现我就高中阶段常见的一些问题做总结．　

一、符合由浅入深的认识规律。区别对待各种题型是掌握　

恒成立问题的基础．　

题型一：一次函数ｆ（ｘ）＝ｋｘ＋ｂ对Ｘ∈（ｍ，ｎ）恒成立问题．　

例１：ｆ（ｘ）＝ａｘ＋２ａ＋ｌ　Ｉ＞０对Ｘ∈［一１，２］恒成立，求ａ的取值范　

围．　

解法１：（１）｛　０）≥０　｛：　＋１≥０　ａＩ＞０　

（２）｛　≥　ｉｆ２ａ＜　＋２ａ０　０　｝≤ａ＜０　

综上所述，ａ的取值范围为ｆａｌａ￣＞一　。１．　４　

解法２．　０　｛　ａ＋ｌ≥Ｉ＞０　ａ≥一丢　

总结：一次函数　ｘ）＿ｋｘ＋ｂ≥０对ｘ　（ｍ，ｎ）恒成立铮　ｍ））　

变形一：若函数ｆ（ｘ）＝ａｘ＋２ａ＋５对ａ∈［一ｌ，２］恒成立，求实数　

ｘ的取值范围．　

解：令ｇ（ａ）＝ｆ（ｘ）＝ａｘ＋２ａ＋５＝（ｘ＋２）ａ＋５Ｉ＞０对ａＥ［一１，２］恒成　

立　

．ｇ（，－、１　≥ｏ　｛一　一２　≥０ｊ一　≤ｘ≤３综上所述，ｘ取值范　【ｇ（２）≥０一ｌ２ｘ４＋５≥０一　…　一　。　

围为ｆｘｌ一二≤ｘ≤３１．　２　

要观察变量情况，灵活应对不同情况，做到可以随时转化　变量。千万不能钻牛角尖．　

题型二：二次函数ｆ（ｘ）＝ａｘ　＋ｈｘ＋ｃ对ｘ∈Ｒ恒成立问题．　

例２：ｆ（ｘ）＝ａｘ＇－２ａｘ＋３≥０对ｘ∈Ｒ恒成立，求ａ的取值范围．　

1 数学恒成立问题解法小结

函数的内容作为高中数学知识体系的核心，也是历年高考的一个热点.函数类问题的解决最终归结为对函数性质、函数思想的应用.恒成立问题，在高中数学中较为常见.这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.

恒成立问题在解题过程中有以下几种策略：①赋值型；②一次函数型；③二次函数型；④变量分离型；⑤数形结合型.

题型一、赋值型——利用特殊值求解

例1．如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线x=8 对称，那么a=（ ）.

A.1 B.-1 C .2 D. -2.

题型二、一次函数型——利用单调性求解

给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（线段）（如下图） 可得上述结论等价于

ⅰ）0)(0mfa，或 ⅱ）0)(0nfa 可合并定成0)(0)(nfmf

同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有0)(0)(nfmf

例2．对于满足|a|2的所有实数a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范围.

题型三、二次函数型——利用判别式,韦达定理及根的分布求解

对于二次函数f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)在实数集R上恒成立问题可利用判别式直接求解，即

f(x)>0恒成立00a；f(x)<0恒成立00a.

若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解.

例3． 若函数12)1()1()(22axaxaxf的定义域为R，求实数 a的取值范围.

1 恒成立、存在性问题解决办法总结

1、恒成立问题的转化：afx恒成立maxafx；minafxafx恒成立

2、能成立问题的转化：afx能成立minafx；maxafxafx能成立

3、恰成立问题的转化：afx在M上恰成立afx的解集为MRafxMafxCM在上恒成立在上恒成立

另一转化方法：若AxfDx)(,在D上恰成立，等价于)(xf在D上的最小值Axf)(min，若

,DxBxf)(在D上恰成立，则等价于)(xf在D上的最大值Bxf)(max.

4、设函数xf、xg，对任意的bax,1，存在dcx,2，使得21xgxf，则xgxfminmin

5、设函数xf、xg，对任意的bax,1，存在dcx,2，使得21xgxf，则xgxfmaxmax

6、设函数xf、xg，存在bax,1，存在dcx,2，使得21xgxf，则xgxfminmax

7、设函数xf、xg，存在bax,1，存在dcx,2，使得21xgxf，则xgxfmaxmin

8、若不等式fxgx在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数yfx和图象在函数ygx图象上方；

9、若不等式fxgx在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数yfx和图象在函数ygx图象下方；

题型一、简单型

1、已知函数12)(2axxxf，xaxg)(，其中0a，0x．

1）对任意]2,1[x，都有)()(xgxf恒成立，求实数a的取值范围；（构造新函数）

2）对任意]4,2[],2,1[21xx，都有)()(21xgxf恒成立，求实数a的取值范围；（转化）