新初一数学 第一讲 有理数中的几个概念

第一章：有理数

一． 1.1.1 正数与负数

（1）定义：①大于0的数是正数。用“+”表示，如：+6，+0.5

注意：但通常当正数在计算中第一个位置出现时，“+”要省略，如+6+7=+13要写成6+7=13

②小于0的数是负数。用“—”表示，如：—6，—3

③0既不是正数也不是负数。

注：通俗说法：在一个正数前面加“—”就是负数。

（2）表达的含义：正数和负数是表示实际问题中具有相反意义的两个量。

如：东与西，收入与支出等

例：如果向东走5米用“+5米”表示

那么向西走10米用“—10米”表示

例:1：下列说法正确的是（ ）

A．a一定是负数 Ｂ．一个数不是正数就是负数

Ｃ．0是负数 Ｄ．在正数前面加“—”号，就成了负数

例2：把下列数填到相应的圈里；

-11, +73, -2，+1.5、6、、 0、a，

正数 负数

例3.小优向东走10米记作10米，那么小优如果向西走3米应该记作__________________．

探究点：用正负数表示具有相反意义的量

问题1：判断下面每对量是不是具有相反意义的量.

（1）节约13m3水和浪费4m3的水；

（2）电梯上升2层和下降5层；

（3）小明向支付宝转入300元后又支出100元. .

1.下列说法，正确的是 （ ）

A.加正号的数是正数，加负号的数是负数 B.0是最小的正数

C.字母a既可是正数，也可是负数，也可是0 D.任意一个数，不是正数就是负数

2.下列各对关系中，不具有相反意义的量的是（ ）

A.运进货物3吨与运出货物2吨

B.升温3℃与降温3℃

1 初一数学上册重点知识学习参考

第一章 有理数

一、知识结构

有理数： 按定义分 按符号分 正整数

正整数 正有理数

0 整数 有 正分数（含正有限小数

负整数 理 0 和循环小数）

有限小数 正分数 数 负整数

分数 负有理数

无限循环

小数 负分数 负分数（含负有限小数

和循环小数）

注意：常见的不是有理数的数有π和有规律的但不循环的小数。如：0.0100100010001000010000010000001……

正数和负数 有理数

数轴 绝对值

有理数的大小比较 减法

乘法

除法

乘方 加减混合运算

乘法法则

运算律

除法法则

乘除混合运算

乘方运算、混合运算

科学记数法 相反数 加法

加法运算律 加法法则

减法法则

近似数与有效数字 2 二、掌握要点

1、了解有理数的概念（什么是有理数、有理数包含的范围有哪些、有理数之间的大小比较）。

（1）大于0的数叫做正数，如3、1.8、5%等。

（2）在正数前面加上负号“—”的数叫负数，即小于0的数，如-3、-2.5、-5%等。

（3）数0既不是正数，也不是负数。0除了表示一个也没有以外，是正数和负数的分界，是基准。

（4）在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有相反的意义。强调：用正数、负数表示实际问题中具有相反意义的量，而相反意义的量包含两个要素：一是他们的意义相反，如向东与向西、收入与支出；二是他们都是数量，而且是同类的量。

1 初一数学上册第一次月考重要知识点精编 第一章：有理数 一、有理数基本概念 1.正数与负数 我们把以前学过的数大于零叫做正数。有时在正数前面也加上“+”（正）号。如+0.5、+3、+1/2……“＋”号可以省略。 我们把在以前学过的数（0除外）前面加上负号“-”的数叫做负数。如－３、－０.５、-2/3…… 0既不是正数也不是负数，0是正负数的分界。 正数与负数可以用来表示具有相反意义的量。 相反意义的量包含两个要素：一是它们的意义要相反；二是它们都具有数量。与一个量成相反意义的量不止一个。 2．有理数 正整数、0统称自然数；正整数、0、负整数统称整数；正分数和负分数统称分数。 整数和分数统称有理数 整数可以看做分母为1的分数。正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式。 可以这样说:有理数都能写成分数的形式；能写成分数（分子分母互质）形式的数是有理数. 2 有理数的分类（两种） 3.数轴 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度 任何有理数都可以用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的。 数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数. 4.相反数 一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，他们分别在原点的左右，表示－a和a，我们说这两点关于原点对称. 只有符号不同的两个数叫做互为相反数.（绝对值相等，符号不同的两个数叫做互为相反数） 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反3 数是0. 在一个数前面添上“-”号,表示这个数的相反数. 正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。（互为相反数的两个数的绝对值相等。） 6.比较大小 （1）数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。 （2）方法总结： 两个正数比较大小，与小学一致；正数与零比较，正数大于零；正数与负数比较，正数大于负数；负数与零比较，负数小于零；两个负数比较，绝对值大的反而小。 二、 有理数的加减法 1.有理数的加法 有理数的加法法则：（先确定符号，再算绝对值） 1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2.异号两数相加 ，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 4 3.互为相反数的两个数相加得0；（如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数） 4.一个数同0相加，仍得这个数。 注：两个变化：减号变成加号；减数变成它的相反数。 3.有理数的加减混合运算 规则：运用减法法则将加减混合运算统一为加法进行运算 （为了书写简便，可以把已经统一为加法运算的式子中各个加数的括号和它前面的加号省略，写成省略加号的和的形式。） 步骤： （1）减法化加法；（2）省略括号和加号； （3）运用加法运算律使计算简便； 5 （4）运用有理数加法法则进行计算。 注：运用加法运算律时，可按如下几点进行： （1）同号的先结合；（2）同分母的分数或者比较容易通分的分数相结合；（3）互为相反数的两数相结合；（4）能凑成整数的两数相结合；（5）带分数一般化为假分数或者分为整数和分数两部分，再分别相加。 三、有理数的乘除法 1.有理数的乘法 有理数的乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同0相乘，都得0. 倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数。0没有倒数。 多个有理数相乘的法则及规律： （1）几个不是0的数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数；负因数的个数是偶数时，积是正数。确定符号后，把各个因数的绝对值相乘。 （2）几个数相乘，有一个因数为0，积为0；反之，如果积为0，那么至少有一个因数是0. 6 注：带分数与分数相乘时，通常把带分数化成假分数，再与分数相乘。 2.有理数的乘法运算律 （2）两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 0除以任何不为0的数，都得0。 步骤：先确定商的符号，再算出商的绝对值。 4.有理数的乘除混合运算 运算顺序：从左往右进行，将除法化成乘法后，进行约分计算。 （注：带分数应首先化为假分数进行运算） 7 5.有理数的四则混合运算 运算顺序：先乘除，后加减，有括号要先算括号里面的。 注：除法一般先化为乘法，带分数化为假分数，合理使用运算律。 四、有理数的乘方 乘方的规律： 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0. 2.有理数的混合运算 运算顺序： （1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算,从左到右进行； （3）如有括号，先算括号里的，按小括号、中括号、大括号的顺序。 8 3.科学记数法 4.近似数和有效数字 在实际问题中，由“四舍五入”得到的数或大约估计的数都是近似数。（近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0.） 一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字。 精确度：表示一个近似数与准确数的接近程度。一个近似数，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位。 第二章 整式加减 一、本节学习指导 本节我们抓住几个“式”的概念，并且会判断是否为同类项，同学们对概念要反复推敲理解，然后多做一些练习题就能掌握. 1、单项式 9 （1）都是数或字母的积的式子叫做单项式。（单独的一个数或一个字母也是单项式。）如：2,2bc,3m,a,都是单项式。 （2）单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。如：2ab中2是这个单项式的系数。 （3）单项式系数应注意的问题： ① 单项式表示数字与字母相乘时，通常把数字写在前面； ② 当单项式的系数是带分数时，要把带分数化成假分数； ③ 当单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； ④ 圆周率» ⑤ 单项式的系数应包括它前面的“正”、“负”符号。 （4）一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如：xy2,这个单项式的次数是 3 次，而不是2次。（单独的一个数的次数是0.） 2、多项式 （1）几个单项的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。多项式的每一项都包含它前面的符号。如：2a2+3b-5 是一个多项式，2a2,3b,-5是这个多项式项，-5是常数项。 10 （2）多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。如：2a2+3b-5的次数是2. （3）单项式与多项式统称整式。 3、合并同类项 （1）所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。如：2a+3a-a+3a2中2a,3a,a是同类项，而2a,3a2则不是同类项。 （2）把多项式里的同类项合并成一项，叫做合并同类项。（3）、合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变。如：2a+3a-a 合并同类项得：4a,数字相加或相减，字母不变。 4、去括号 （1）去括号法则： ① 如果括号外的因数是正数，去括号后括号内每一项的符号都不变。（“+”不变） 如：（2a+5）去括号后不变：2a+5 ② 如果括号外的因数是负数，去括号后括号内每一项的符号都变。（“-”全变） 如：-（2a+5）去括号后变成：-2a-5 （2）去括号应注意： ① 去括号应考虑括号内的每一项的符号，做的要变都11 变，要不变都不变； ② 括号内原来有几项，去掉括号后仍有几项，同时括号前的符号也要去掉。 （3）当括号前的因数是1或-1时： ① 先把数字与括号内的每一项相乘； ② 再根据去括号法则去括号。 （4）一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 经验之谈：本节知识点中我们要特别注意两点，一、同类项的判断，字母完全相同的项，我们成为同类项，数字部分不用管。二、去括号，这是最容易出错的地方，我们要注意括号前面是负号的情况。

十五次课学完初一上学期数学(人教版)讲义

有理数的基本概念（上）

板块一 有理数基本概念

【知识导航】

正数：像3、1、+0.33 等的数，叫做正数。在小学学过的数，除0外都是正数。正数都大于0。

负数：像-1、-3.12、-175、-2012等在正数前加上“-”（读作负）号的数，叫做负数。负数都小于0。0既不是正数，也不是负数。

如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义。

如：南为正方向，向南1km表示为+1km，那么向北3km表示为-3km。

有理数：整数与分数统称为有理数。

无理数：无限不循环小数，如π。

注意：⑴正数和零统称为非负数；

⑵负数和零统称为非正数；

⑶正整数和零统称为非负整数；

⑷负整数和零统称为非正整数。

【例1】

⑴下列各组量中，具有相反意义的量是（ ） A．节约汽油10升和浪费粮食 B．向东走8公里和向北走8公里

C．收入300元和支出100元 D．身高1.8米和身高0.9米

⑵如果零上5C记作5C，那么零下5C记作（ ）

A．-5 B．-10 C．5C D．10C

⑶如果水位升高4m时水位变化记为+4m，那么水位下降3m记作___，水位不升不降时水位变化记为____m

⑷甲乙两地的海拔高度分别为200米，-150米，那么甲地比乙地高出（ ）

A．200米 B．50米 C．300米 D．350米

⑸学而思饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“60030(ml)”字样，请问“30ml”是什么意思？质监局对该产品抽查3瓶，容量分别为589ml,573ml,627ml，问抽查产品的容量是否合格？

【例2】

0.05⑴一种零件的长度在图纸上是(20

0.05)米，表示这种零件加工要求最大不超过_______，最小不小于_____.

⑵1是（ ） A．最小的整数 B．最小的正整数 C．最小的自然数 D．最小的有理数

,1,0.313,3.14,⑶4.5,6,0,2.4,11以上各数中，____属于负数，____属于非正数， 2