绝对值知识讲解

绝对值（提髙）

【学习目标】

1. 掌握一个数的绝对值的求法和性质；

2. 进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义：

3. 会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；

4. 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题.

【要点梳理】

要点一、绝对值

1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a •

要点诠释；

（1） 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身：一个负数的绝对值是它的相反数：0

的绝对值是0.即对于任何有理数a都有：

a （a >0）

：a | 0 （a = 0）

-a （a < 0）

（2） 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距 离越远，绝对值越大：离原点的距离越近，绝对值越小.

（3） 一个有理数是由符号和绝对值两个方而来确定的.

2•性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0.

要点二、有理数的大小比较

1 .数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小.如：a与b在数轴上

的位豊如图所示，则a

2 •法则比较法： ° 1

两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下:

两数同号 同为正号：绝对值大的数大

同为负号：绝对值大的反而小

两数异号 正数大于负数

一数为0 正数与0：正数大于0

负数与0：负数小于0

要点诠释：

利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对 值的大小：（3）判定两数的大小.

3. 作差法：设a、b为任意数，若a-b>0,则a>b：若a-b=0,则a=b：若a-b<0, a

4. 求商法：设a、b为任意正数，若->1,则a〉/儿若匕=1,则。=庆若纟<1,则avb；

b b b

反之也成立.若a、b为任意负数，则与上述结论相反.

5. 倒数比较法：如果两个数都大于0,那么倒数大的反而小.

【典型例题】

类型一、绝对值的概念

@^1.计算：（1） 一_4丄 （2） -4 +）3 + 0 （3） -| + （-8） 5

【答案9解析】运用绝对值意义先求出各个绝对值再il•算结果.

解:(1) —§=—[―(rg) =_4*,

(2) -4 + 3 + 0 =4+3+0=7,

(3) -| + (-8) |=-[-(-8)]=-8,

【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解，一种是利 用绝对值的代数意义求解，后种方法的具体做法：首先判断这个数是正数、负数还是0.再 根据绝对值的代数意义，确左去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是0.从 而求出该数的绝对值.

(2015•娄底)若la - ll=a- 1,则a的取值范围是( )

A.aMl B.aWl C.al

【思路点拨】根据lal=a时，aMO,因此la - ll=a- 1,则a-120,即可求得a的取值范围.

【答案】A

【解析】

解:因为la・ll=a- 1,则a - 1鼻0,

解得：a^l,

【总结升华】此题考查绝对值，只要熟知绝对值的性质即可解答.一个正数的绝对值是它本 身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.

举一反三：

【变式1】(2015*重庆校级模拟)若a>3,贝IJI6 - 2al= _________ (用含a的代数式表示).

【答案】2a-6

【变式2】如果数轴上的点A到原点的距离是6,则点A表示的数为 _________ .

如果 I x—2 I =1,那么.Y= _________ :

如果I x I >3,那么x的范围是 _______________ .

【答案】6或-6 ： 1或3： x>3或x<-3

【变式3】已知丨a =3, b |=4,若a, b同号，则a+b |= ____________________:若a, b异号,

ml a+b |= _________ •据此讨论|a+b|与| a + b|的大小关系.

【答案】7, 1；若a, b同号或至少有一个为零，贝IJ a+b = a|+ b ；若a, b异号，则;a+b <|a|+|b|,

由此可得：|a+b|W a + b .

类型二、比大小

3.比较下列每组数的大小：

(1)-(-5)与(2)-(+3)与 0： (3)

【思路点拨】先化简符号，去掉绝对值号再分淸是“正数与0、负数与0、正数与负数、两 个正数还是两个负数X然后比较.

【答案与解析】

解:(1)化简得：-(-5)=5, -|-5| =-5.

因为正数大于一切负数，所以-5・⑶化简得： 这是两个负数比较大因为 4 _4_

16

5 "5 (2)化简得：-(+3)=-3・因为负数小于零，所以-(+3)<0・

3 —3— 且 16 >15 .所以 4< 3

4 4 20 20 20 5 4

(4) 化简得：--3・14 =-3・14,这是两个负数比较大小，因为-it =71, 1-3. 14 =3. 14, 而兀>3・14,所以-71<- ：一3・14・

【总结升华】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比 较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断.

举一反三: 【髙清课堂：绝对值比大小例(简单举例)】

【变式1】比大小：

(1) -0.3 一丄 (2)」_丄| - _丄・

——3 I 9丿 10

【答案】>;>

【高清课堂：绝对值比大小 典型例题2 (最后两个)】

【变式 2】比大小：(1) -1.38 _______ -1.384： (2) 一几—-3. 14・

【答案】>;V

【变式3】若m>0, n<0,且|m > n，用“ >”把m, -m, n, -n连接起来.

【答案】解法一：丁 m>0, n<0,

・•・m为正数，-m为负数，n为负数，-n为正数.

又•・•正数大于一切负数,且|m|>|n|,

m>-n>n>-m.

解法二：因为m>0, n<0且m> n|,

把m, n, -m, -n表示在数轴上，如图所示.

-m n 0 -w ZM

•••数轴上的数右边的数总比左边的数大，

类型三、含有字母的绝对值的化简

@^4.把下列各式去掉绝对值的符号.

(1) a-4|(a^4)； (2) |5-b (b>5).

【答案与解析】

(1) V a^4, Aa-4^0, A a-4 =a-4・

(2) V b>5, ••• 5-b<0, ••• 5-b|=-(5-b)=b-5・ 【总结升华】由字母的取值范围来判断绝对值里而的符号情况，再根据绝对值的意义去掉绝 对值的符号.

举一反三：

【变式1】已知有理数a, b, c在数轴上对应的点的位置如图所示：

c a b .

"》

-3 -2 -1 0 2

化简：| 3a| +1 2@+& ||.

【答案】

解：由图所示，可<0<2

3a-c >0, 2Q +b >0 , c-b <0»

V \3a-c\-{-\2^b\-\c-b\ =(3a_c) + (2a+&)_[_(o_b)]

二％-u + (N+E) + (c-6) =3a-c-\-2a-\-b-\-c-b = 5a .

原式二 5a .

【变式2】求|入+2| + |入-3|的最小值.

【答案】

解法一：当x<-2时，贝I]

\x+2\+\x-3\ = -(x+2)+[-(x-3)\ = -x-2-x+3 = -2x+\>5

当一2 兰3 时，则 |-V+2] + |x—3| =(兀+2) + [—(兀一3)] = x+2—x+3 = 5

当乳 > 3时，贝'J|x+2| + |x—3] =(x+2) + (x—3) = x+2+x—3 = 2x—l>5 综上：当—2<^<3时，k+2| + |x—3|取得最小值为：5.

解法二：借助数轴分类讨论：①z-2；②-2<^<3；③A>3.

“ + 2| + |;t-3|的几何意义为x对应的点到-2对应点的距离与x对应点到3对应 点的距离和.

由图明显看出-2

所以，一2

【答案9解析】由|2a+l|王0, |2-糾20, |2@ + 1汁|2-树=0,可得［了

1 a =--

・ 2

b = 2

【总结升华】由于任何一个数的绝对值大于或等于0,要使这两个数的和为0,需要这两个

数都为0・几个非负数的和为0,则每一个数均为0・ 举一反三:

【变式1】已知I 4—3|=3—4.则X的取值范用是____________ ・

3 3

【答案】兀乞二：提示：将4/一3看成整体I即二一a,则«<0,故4x-3<0> x<-. 4 4

【变式2】已知b为正整数，且“、b满足|2a-4|+b = l,求〃的值.

「力一4=0

【答案】解：由题意得，-

b = 1

、

类型五、绝对值的实际应用

@>6.正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果， 用正数记超过规左质量的克数，用负数记不足规左质量的克数.检测结果（单位：克）：-25, + 10, -20, +30,

+15, -40.裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由.

【答案与解析】

解：因为 I +10 I < I +15 I < I -20 I < I -25 I < I +30 I < I -40 I ,所以检测结果为+10 的足球的质量好一些.所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛.

【总结升华】绝对值越小，越接近标准.

举一反三：

【变式】一只可爱的小虫从点O岀发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正 数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程（单位：cm）依次记为：+5, -3, +10, -8, -6, +12,

-10,在爬行过程中，如果小虫每爬行lcm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共 可以得到多少粒芝麻？

【答案】

解：小虫爬行的总路程为：

+5 + -3k +10 + -8 + -6 + +12 +） -101 = 5+3+10+8+6+12+10=54 （cm）

小虫得到的芝麻数为54X2=108（粒）

答：小虫一共可以得到108粒芝麻.