导数练习及答案

高考数学模拟卷基础题型训练（1）姓名：导数概念公式【笔记】课堂练习1、在曲线2y x =上切线倾斜角为4π的点是（ D ） A ．(0,0) B ．(2,4) C ．11(,)416 D ．11(,)24【笔记】 2、曲线221y x =+在点(1,3)P -处的切线方程为（ A ）A ．41y x =--B ．47y x =--C ．41y x =-D ．47y x =+【笔记】 3、函数在322y x x =-+在2x =处的切线的斜率为 10【笔记】4、函数1y x x=+的导数是（ A ） A ．211x -B ．11x -C ．211x + D ．11x+ 【笔记】5、函数cos xy x=的导数是（ C ） A ．2sin x x - B ．sin x - C ．2sin cos x x x x +- D ． 2cos cos x x xx+- 【笔记】6、函数sin (cos 1)y x x =+的导数是（ C ）A ．cos2cos x x -B ．cos2sin x x +C ．cos2cos x x +D ．2cos cos x x +【笔记】课后作业（1） 姓名：1、32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=，则a 的值等于（ D ）A ．319 B ．316 C ．313 D ．3102、函数sin 4y x =在点(,0)M π处的切线方程为（ D ）A ．y x π=-B ．0y =C ． 4y x π=-D ．44y x π=- 3、求下列函数的导数：（1）12y x =； （2）41y x=； （3）y 【答案】（1）11'12x y =， （2）54--=x y ；（3）5253-=x y4、若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________1±________5、函数sin x y x =的导数为___________2'sin cos xx x x y -=__________ 6、与曲线y ＝1ex 2相切于P (e ，e)处的切线方程是(其中e 是自然对数的底)高考数学模拟卷基础题型训练（2）姓名：1、已知曲线3:C y x =。

导数的计算练习题及答案1. 计算函数f(x) = 3x^2 - 4x + 2的导数f'(x)。

解答：根据函数f(x) = 3x^2 - 4x + 2，使用导数的定义来计算导数f'(x)。

f'(x) = lim(delta x -> 0) (f(x + delta x) - f(x)) / delta x代入函数f(x)的表达式：f'(x) = lim(delta x -> 0) [(3(x + delta x)^2 - 4(x + delta x) + 2) -(3x^2 - 4x + 2)] / delta x化简并展开：f'(x) = lim(delta x -> 0) [3(x^2 + 2x * delta x + (delta x)^2) - 4x - 4 * delta x + 2 - 3x^2 + 4x - 2] / delta xf'(x) = lim(delta x -> 0) [3x^2 + 6x * delta x + 3(delta x)^2 - 4x - 4* delta x + 2 - 3x^2 + 4x - 2] / delta xf'(x) = lim(delta x -> 0) [6x * delta x + 3(delta x)^2 - 4 * delta x] / delta xf'(x) = lim(delta x -> 0) [6x + 3 * delta x - 4]由于求导数时delta x趋近于0，所以delta x也可以看作一个无穷小量，其平方项可以忽略不计，即delta x^2 = 0。

化简结果：f'(x) = 6x - 4所以函数f(x) = 3x^2 - 4x + 2的导数f'(x)为6x - 4。

2. 计算函数g(x) = 2sin(x) + 3cos(x)的导数g'(x)。

导数练习题班级 姓名 一、选择题 1．当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率 B ．在x 0处的变化率 C ．在x 1处的变化量 D ．在区间[x 0，x 1]上的导数 2．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 3．函数f (x )＝2x 2－1在区间(1,1＋Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A ．4 B ．4＋2Δx C ．4＋2(Δx )2D ．4x 4．如果质点M 按照规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ． 6 B ．18 C ．54 D ．81 5．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( ) A ．3 B ．－3 C ． 2 D ．－2 6．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D．与x 轴相交但不垂直7．曲线y ＝－1x在点(1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝xC ．y ＝x ＋ 2D ．y ＝－x －28．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则A 处的切线斜率为( )A ．4B ．16C ．8D ．2 9．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点处的切线倾斜角为π4的是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116) D ．(12，14) 10．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝ 1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－ 1D ．a ＝－1，b ＝－1 11．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( )A ．0B ．2xC ． 6D ．9 12．已知函数f (x )＝1x，则f ′(－3)＝( ) A ． 4 B.19C ．－14D ．－1913．函数y ＝x 2x ＋3的导数是( )A.x 2＋6x ?x ＋3?2B.x 2＋6x x ＋3C.－2x ?x ＋3?2D.3x 2＋6x?x ＋3?2 14．若函数f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，则f ′(－1)的值为( )A ．0B ．－1C ． 1D．215．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)17．函数y ＝ax 3－x 在R 上是减函数，则( )A ．a ≥13B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a ≤018．函数y ＝4x 2＋1x的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(12，＋∞) D ．(1，＋∞) 19．“函数y ＝f (x )在一点的导数值为0”是“函数y ＝f (x )在这点取极值”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件20．设x 0为可导函数f (x )的极值点，则下列说法正确的是( )A ．必有f ′(x 0)＝0B ．f ′(x 0)不存在C ．f ′(x 0)＝0或f ′(x 0)不存在D ．f ′(x 0)存在但可能不为0 22．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5 23．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内的极小值点有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 24．函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2x 取极小值时，x 的值是( ) A ．2 B ．2，－ 1 C ．－1 D ．－3 25．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋7，在x ∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( ) A ．f (2)，f (3) B ．f (3)，f (5) C ．f (2)，f (5) D ．f (5)，f (3) 26．f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．4 27．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( ) A ．－10 B ．－71 C ．－15 D ．－22 28．(2010年高考山东卷)已知某生产厂家的年利润y (单元：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( ) A ．13万件 B ．11万件 C ．9万件 D ．7万件 29．一点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒运动的距离为s ＝14t 4－53t 3＋2t 2，那么速度为零的时刻是( )A．1秒末 B．0秒 C．4秒末D．0,1,4秒末二、填空题1．设函数y＝f(x)＝ax2＋2x，若f′(1)＝4，则a＝________.2．若曲线y＝2x2－4x＋a与直线y＝1相切，则a＝________.3．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba＝________.4．令f(x)＝x2·e x，则f′(x)等于________．5．函数y＝x2＋4x在x＝x0处的切线斜率为2，则x0＝________.6．若y＝10x，则y′|x＝1＝________.7．一物体的运动方程是s(t)＝1t，当t＝3时的瞬时速度为________．8．设f(x)＝ax2－b sin x，且f′(0)＝1，f′(π3)＝12，则a＝________，b＝________.9．y＝x3－6x＋a的极大值为________．10．函数y＝x e x的最小值为________．11．做一个容积为256 dm3的方底无盖水箱，它的高为______dm时最省料．12．有一长为16 m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.三、解答题1．求下列函数的导数：(1)y＝3x2＋x cos x； (2)y＝x1＋x；(3)y＝lg x－e x.2．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x ＋10，求：(1)它们的交点； (2)抛物线在交点处的切线方程．3．求下列函数的单调区间：(1)y＝x－ln x；(2)y＝12x .4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，当x＝－1时，取得极大值7；当x＝3时，取得极小值，求这个极小值及a、b、c的值．5．已知函数f(x)＝13x3－4x＋4.(1)求函数的极值；(2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．导数练习题答案班级姓名一、选择题1．当自变量从x0变到x1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )A．在区间[x0，x1]上的平均变化率B．在x0处的变化率C．在x1处的变化量D．在区间[x0，x1]上的导数答案：A2．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x ＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( ) A．0.40B ．0.41C．0.43D ．0.44解析：选 B.Δy＝f(2.1)－f(2)＝2.12－22＝0.41.3．函数f(x)＝2x2－1在区间(1,1＋Δx)上的平均变化率ΔyΔx等于( )A． 4B ．4＋2ΔxC．4＋2(Δx)2D ．4x解析：选B.因为Δy＝[2(1＋Δx)2－1]－(2×12－1)＝4Δx＋2(Δx)2，所以ΔyΔx＝4＋2Δx，故选B.4．如果质点M按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为( )A． 6B ．18C．54D ．81解析：选B.ΔsΔt＝3?3＋Δt?2－3×32Δt，s′＝li mΔt→0ΔsΔt＝li mΔt→0(18＋3Δt)＝18，故选B.5．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝32处的瞬时变化率是( )A． 3B ．－3C． 2D ．－2解析：选B.6．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )A．不存在B ．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D ．与x轴相交但不垂直解析：选B.函数在某点处的导数为零，说明相应曲线在该点处的切线的斜率为零．7．曲线y＝－1x在点(1，－1)处的切线方程为( )A．y＝x－ 2B ．y＝xC．y＝x＋ 2D．y＝－x－2解析：选 A.f′(1)＝li mΔx→0－11＋Δx＋11Δx＝li mΔx→011＋Δx＝1，则在(1，－1)处的切线方程为y＋1＝x－1，即y＝x－2.8．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则A处的切线斜率为( )A． 4B．16C．8D．2解析：选C.9．下列点中，在曲线y＝x2上，且在该点处的切线倾斜角为π4的是( ) A．(0,0)B ．(2,4)C．(14，116)D．(12，14)故选D.10．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )A．a＝1，b＝ 1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－ 1D．a＝－1，b＝－1解析：选A.11．已知f(x)＝x2，则f′(3)＝( ) A．0 B．2xC．6 D．9解析：选C.∵f ′(x )＝2x ，∴f ′(3)＝6.12．已知函数f (x )＝1x，则f ′(－3)＝( )A ．4 B.19 C ．－14 D ．－19解析：选 D.∵f ′(x )＝－1x2，∴f ′(－3)＝－19. 13．函数y ＝x 2x ＋3的导数是( ) A.x 2＋6x ?x ＋3?2 B.x 2＋6x x ＋3 C.－2x ?x ＋3?2 D.3x 2＋6x ?x ＋3?2 解析：选A14．若函数f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，则f ′(－1)的值为( )A ．0B ．－1C ．1D ．2解析：选 B.∵f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，∴f ′(x )＝f ′(－1)x －2.∴f ′(－1)＝f ′(－1)×(－1)－2.∴f ′(－1)＝－1. 15．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件，选A. 16．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞解析：选 D.f ′(x )＝(x －3)′e x＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ， 令f ′(x )>0，解得x >2，故选D.17．函数y ＝ax 3－x 在R 上是减函数，则( ) A ．a ≥13 B ．a ＝1 C ．a ＝2 D ．a ≤0解析：选D.因为y ′＝3ax 2－1，函数y ＝ax 3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数， 所以y ′＝3ax 2－1≤0恒成立， 即3ax 2≤1恒成立． 当x ＝0时，3ax 2≤1恒成立，此时a ∈R ；当x ≠0时，若a ≤13x2恒成立，则a ≤0.综上可得a ≤0.18．函数y ＝4x 2＋1x的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，C ．(12，＋∞)D ．(1，＋∞解析：选 C.∵y ′＝8x －1x 2＝8x 3－1x 2>0，∴x >12. 即函数的单调递增区间为(12，＋∞)． 19．“函数y ＝f (x )在一点的导数值为0”是“函数y ＝f (x )在这点取极值”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x ＝0处取极值，反之成立．故选B. 20．设x0为可导函数f(x)的极值点，则下列说法正确的是( )A．必有f′(x0)＝0B．f′(x0)不存在C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在D．f′(x0)存在但可能不为0答案：A22．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a＝( )A．2 B．3C．4 D．5解析：选D.f′(x)＝3x2＋2ax＋3，∵f(x)在x＝－3处取得极值，∴f′(－3)＝0，即27－6a＋3＝0，∴a＝5.23．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选A.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如题图所示，函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个．24．函数f(x)＝－13x3＋12x2＋2x取极小值时，x的值是( )A．2 B．2，－1C．－1 D．－3解析：选C.f′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x－2)(x＋1)．∵在x＝－1的附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，如图所示：∴x＝－1时取极小值．25．函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( )A．f(2)，f(3)B．f(3)，f(5)C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3)解析：选B.∵f′(x)＝－2x＋4，∴当x∈[3,5]时，f′(x)<0，故f(x)在[3,5]上单调递减，故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5)．26．f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( )A．－2 B．0C．2 D．4解析：选 C.f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0可得x＝0或x ＝2(舍去)，当－1≤x<0时，f′(x)>0，当0<x≤1时，f′(x)<0.所以当x＝0时，f(x)取得最大值为2.27．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( )A．－10 B．－71C．－15 D．－22解析：选B.f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．由f′(x)＝0得x＝3，－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71. 28．(2010年高考山东卷)已知某生产厂家的年利润y(单元：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－1 3x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件解析：选C29．一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒运动的距离为s＝14t4－53t3＋2t2，那么速度为零的时刻是( )A．1秒末B．0秒C．4秒末D．0,1,4秒末解析：选D.∵s′＝t3－5t2＋4t，令s′＝0，得t1＝0，t2＝1，t3＝4，此时的函数值最大，故选D.二、填空题1．设函数y＝f(x)＝ax2＋2x，若f′(1)＝4，则a＝________.答案：12．若曲线y＝2x2－4x＋a与直线y＝1相切，则a＝________.答案：33．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba＝________.答案：24．令f(x)＝x2·e x，则f′(x)等于________．解析：f′(x)＝(x2)′·e x＋x2·(e x)′＝2x·e x＋x2·e x＝e x(2x＋x2)．答案：e x(2x＋x2)5．函数y＝x2＋4x在x＝x0处的切线斜率为2，则x0＝________.解析：2＝li mΔx→0 ?x0＋Δx?2＋4?x0＋Δx?－x20－4x0Δx＝2x0＋4，∴x0＝－1.答案：－16．若y＝10x，则y′|x＝1＝________.解析：∵y′＝10x ln10，∴y′|x＝1＝10ln10.答案：10ln107．一物体的运动方程是s(t)＝1t，当t ＝3时的瞬时速度为________．解析：∵s′(t)＝－1t2，∴s′(3)＝－132＝－19.答案：－198．设f(x)＝ax2－b sin x，且f′(0)＝1，f′(π3)＝12，则a＝________，b＝________.解析：∵f′(x)＝2ax－b cos x，f′(0)＝－b＝1得b＝－1，f′(π3)＝23πa＋12＝12，得a＝0.答案：0 －19．y＝x3－6x＋a的极大值为________．解析：y′＝3x2－6＝0，得x＝± 2.当x<－2或x>2时，y′>0；当－2 <x<2时，y′<0.∴函数在x＝－2时，取得极大值a＋4 2.答案：a＋4 210．函数y＝x e x的最小值为________．解析：令y′＝(x＋1)e x＝0，得x ＝－1.当x<－1时，y′<0；当x>－1时，y′>0.∴y min＝f(－1)＝－1 e .答案：－1 e11．做一个容积为256 dm3的方底无盖水箱，它的高为______dm时最省料．解析：设底面边长为x，则高为h＝256x2，其表面积为S＝x2＋4×256x2×x＝x2＋256×4x，S′＝2x－256×4x2，令S′＝0，则x＝8，则高h＝25664＝4 (dm)．答案：412．有一长为16 m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.解析：设矩形的长为x m，则宽为16－2x2＝(8－x) m(0<x<8)，∴S(x)＝x(8－x)＝－x2＋8x∴S′(x)＝－2x＋8，令S′(x)＝0，则x＝4，又在(0,8)上只有一个极值点，且x∈(0,4)时，S(x)单调递增，x∈(4,8)时，S(x)单调递减，故S(x)max＝S(4)＝16.答案：16三、解答题1．求下列函数的导数：(1)y＝3x2＋x cos x；(2)y＝x1＋x；(3)y＝lg x－e x.解：(1)y′＝6x＋cos x－x sin x.(2)y′＝1＋x－x?1＋x?2＝1?1＋x?2.(3)y′＝(lg x)′－(e x)′＝1x ln10－e x.2．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10，求：(1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．解：(1)由⎩⎨⎧y＝x2＋4，y＝x＋10，得x2＋4＝10＋x，即x2－x－6＝0，∴x＝－2或x＝3.代入直线的方程得y＝8或13.∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．(2)∵y＝x2＋4，∴y′＝limΔx→0?x＋Δx?2＋4－?x2＋4?Δx＝limΔx→0?Δx?2＋2x·ΔxΔx＝limΔx→0(Δx＋2x)＝2x.∴y′|x＝－2＝－4，y′|x＝3＝6，即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6.∴在点(－2,8)处的切线方程为4x＋y＝0；在点(3,13)处的切线方程为6x－y－5＝0.3．求下列函数的单调区间：(1)y＝x－ln x；(2)y＝12x.解：(1)函数的定义域为(0，＋∞)．其导数为y′＝1－1x.令1－1x>0，解得x>1；再令1－1x<0，解得0<x<1.因此，函数的单调增区间为(1，＋∞)，函数的单调减区间为(0,1)．4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，当x ＝－1时，取得极大值7；当x ＝3时，取得极小值，求这个极小值及a 、b 、c的值．解：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意可知－1,3是方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根，则有⎩⎨⎧－1＋3＝－23a ，－1×3＝b3，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－9，∴f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋c .由f (－1)＝7，得－1－3＋9＋c ＝7，∴c ＝2.∴极小值为f (3)＝33－3×32－9×3＋2＝－25.5．已知函数f (x )＝13x 3－4x ＋4.(1)求函数的极值；(2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．解：(1)f ′(x )＝x 2－4，解方程x 2－4＝0，得x 1＝－2，x 2＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化数有极大值，且极大值为283；而当x ＝2时，函数有极小值，且极小值为－43.(2)f (－3)＝13×(－3)3－4×(－3)＋4＝7，f (4)＝13×43－4×4＋4＝283，与极值比较，得函数在区间[－3,4]上的最大值是283，最小值是－43.。

【巩固练习】一、选择题1．设函数310()(12)f x x =-，则'(1)f =（ ）A ．0B ．―1C ．―60D ．602．（2014 江西校级一模）若2()2ln f x x x =-，则'()0f x >的解集为（ ）A.(0,1)B.()(),10,1-∞-C. ()()1,01,-+∞D.()1,+∞3．（2014春 永寿县校级期中）下列式子不正确的是（ ）A.()'23cos 6sin x x x x +=-B. ()'1ln 22ln 2x x x x -=- C. ()'2sin 22cos 2x x = D.'2sin cos sin x x x x x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 4．函数4538y x x =+-的导数是（ ） A ．3543x + B ．0 C ．3425(43)(38)x x x ++- D ．3425(43)(38)x x x +-+- 5．（2015 安徽四模）已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足关系式2'()3(2)ln f x x xf x =++，则'(2)f 的值等于（ ）A. 2B.-2C.94 D.94- 6．设曲线1(1)1x y x x +=≠-在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（ ） A ．2 B ．12 C ．―12D ．―2 7．23log cos (cos 0)y x x =≠的导数是（ ）A ．32log tan e x -⋅B ．32log cot e x ⋅C ．32log cos e x -⋅D ．22log cos e x 二、填空题8．曲线y=sin x 在点,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为________。

9．设y=(2x+a)2，且2'|20x y ==，则a=________。

10．31sin x x '⎛⎫-= ⎪⎝⎭____________，()2sin 25x x '+=⎡⎤⎣⎦____________。

求导练习题带答案求导是微积分中的一项基本技能，它可以帮助我们理解函数的变化率以及找到函数的极值点。

以下是一些求导的练习题及其答案，适合初学者练习。

练习题1：求函数 f(x) = x^3 的导数。

解：根据幂函数的求导法则，对于函数 f(x) = x^n，其导数为 f'(x) = n * x^(n-1)。

因此，对于 f(x) = x^3，我们有 f'(x) = 3 *x^(3-1) = 3x^2。

练习题2：求函数 g(x) = sin(x) 的导数。

解：根据三角函数的求导法则，sin(x) 的导数是 cos(x)。

所以，g'(x) = cos(x)。

练习题3：求函数 h(x) = 2x^2 + 3x - 1 的导数。

解：根据多项式的求导法则，我们可以分别对每一项求导，然后将结果相加。

对于 h(x) = 2x^2 + 3x - 1，我们有 h'(x) = 2 * 2x^(2-1) + 3 * 1x^(1-1) - 0 = 4x + 3。

练习题4：求函数 k(x) = (x^2 - 1)^3 的导数。

解：这里我们使用链式法则和幂函数的求导法则。

首先，设 u = x^2- 1，那么 k(x) = u^3。

u 的导数是 u' = 2x，而 u^3 的导数是3u^2。

应用链式法则，我们得到 k'(x) = 3u^2 * u' = 3(x^2 - 1)^2 * 2x = 6x(x^2 - 1)。

练习题5：求函数 m(x) = e^x 的导数。

解：根据指数函数的求导法则，e^x 的导数是它自身。

所以，m'(x) = e^x。

练习题6：求函数 n(x) = ln(x) 的导数。

解：自然对数函数 ln(x) 的导数是 1/x。

因此，n'(x) = 1/x。

练习题7：求函数 p(x) = (3x - 2)^5 的导数。

解：使用链式法则和幂函数的求导法则。

导数练习题(含答案)导数概念及其几何意义、导数的运算一、选择题：1 已知32()32f x ax x =++，若(1)4f '-=，则a 的值等于A 193B 103C 163D 1332 已知直线1y kx =+与曲线3y xax b =++切于点（1，3），则b 的值为A 3B -3C 5D -5 3 函数2y x a a =+2（）(x-)的导数为 A 222()xa - B 223()xa + C 223()xa - D 222()xa +4 曲线313y xx=+在点4(1,)3处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 A 19 B 29 C 13 D 23 5 已知二次函数2y axbx c=++的导数为(),(0)0f x f ''>，对于任意实数x ，有()0f x ≥，则(1)(0)f f '的最小值为 A 3 B 52 C 2 D 326 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为 A 2()(1)3(1)f x x x =-+- B()2(1)f x x =- C 2()2(1)f x x =- D()1f x x =-7 下列求导数运算正确的是A 211()1x x x '+=+ B 21(log )ln 2x x '= C 3(3)3log xxe'=⋅ D2(cos )2sin x x x x'=-8 曲线32153y x x =-+在1x =处的切线的倾斜角为A 6πB 34πC 4πD 3π9 曲线3231y xx =-+在点(1,1)-处的切线方程为A 34y x =-B 32y x =-+C 43y x =-+ D45y x =-10 设函数sin cos y x x x =+的图像上的点(,)x y 处的切线斜率为k ，若()k g x =，则函数()k g x =的图像大致为11 一质点的运动方程为253s t =-，则在一段时间[1,1]t +∆内相应的平均速度为A 36t ∆+B 36t -∆+C 36t ∆-D 36t -∆-12 曲线()ln(21)f x x =-上的点到直线230x y -+=的最短距离是A 5B 25 5 D 0 13 过曲线32y xx =+-上的点0P 的切线平行于直线41y x =-，则切点0P 的坐标为A (0,1)(1,0)-或B (1,4)(1,0)--或C (1,4)(0,2)---或D (2,8)(1,0)或14 点P 在曲线323y xx =-+上移动，设点P 处切线的倾斜A BC D角为α，则角α的取值范围是A [0,]2πB 3[0,)[,)24πππC 3[,)4ππ D 3(,]24ππ二、填空题15 设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等实根，且()22f x x '=+，则()y f x =的表达式是______________ 16函数2sin x y x=的导数为_________________________________17 已知函数()y f x =的图像在点(1,(1))M f 处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+=_________18 已知直线y kx =与曲线ln y x =有公共点，则k 的最大值为___________________________ 三、解答题19 求下列函数的导数 （1）1sin 1cos x y x-=+ (2)5sin x x xy ++=(3)11x xy x x=-+ (4)tan y x x=⋅20 已知曲线21:Cy x =与22:(2)Cy x =--，直线l 与12,C C 都相切，求直线l 的方程21 设函数()b f x ax x =-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --= （1）求()f x 的解析式（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值。

1、函数f(*)=(2*2―k*＋k)·e -*(Ⅰ)当k 为何值时，)(x f 无极值；(Ⅱ)试确定实数k 的值，使)(x f 的极小值为0 2、函数()ln f x ax x =+()a ∈R .(Ⅰ)假设2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率；(Ⅱ)求()f x 的单调区间；〔Ⅲ〕设2()22g x x x =-+，假设对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值围. 3、设函数()1x f x x ae -=-。

〔I 〕求函数()f x 单调区间； 〔II 〕假设()0R f x x ≤∈对恒成立，求a 的取值围；〔III 〕对任意n 的个正整数1212,,nn a a a a a a A n++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=记〔1〕求证：()11,2,i a iAa e i n A-≤=⋅⋅⋅〔2〕求证：A ≥4、函数b x x a x a x f +++-=23213)(，其中,a b ∈R ． 〔Ⅰ〕假设曲线)(x f y =在点))2(,2(f P 处的切线方程为45-=x y ，求函数)(x f 的解析式； 〔Ⅱ〕当0>a 时，讨论函数)(x f 的单调性． 5、函数2()(21)(R x f x ax x e a -=-+⋅∈，e 为自然对数的底数).(I)当时，求函数()f x 的极值；(Ⅱ)假设函数()f x 在[-1，1]上单调递减，求a 的取值围． 6、函数2()(33)x f x x x e =-+⋅，设2t >-,(2),()f m f t n -==.〔Ⅰ〕试确定t 的取值围,使得函数()f x 在[]2,t -上为单调函数；〔Ⅱ〕试判断,m n 的大小并说明理由；〔Ⅲ〕求证：对于任意的2t >-,总存在0(2,)x t ∈-，满足0'20()2(1)3x f x t e =-,并确定这样的0x 的个数.7、函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-．〔Ⅰ〕假设()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；〔Ⅱ〕求函数()y f x =在2[,]a a 上的最大值． 8、函数221()()ln 2f x ax x x ax x =--+.()a ∈R . 〔I 〕当0a =时，求曲线()y f x =在(e,(e))f 处的切线方程〔e 2.718...=〕； 〔II 〕求函数()f x 的单调区间.9、函数()(1)e (0)xa f x x x=->，其中e 为自然对数的底数.〔Ⅰ〕当2a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的面积；〔Ⅱ〕假设函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为5e ，求a 的值.10、函数36)2(23)(23-++-=x x a ax x f . 〔1〕当1=a 时，求函数)(x f 的极小值；〔2〕试讨论曲线)(x f y =与x 轴的公共点的个数。

一．解答题（共15小题）1．请默写基础初等函数的导数公式：（1）（C）′＝，C为常数；（2）（xα）′＝，α为常数；（3）（a x）′＝，a为常数，a＞0且a≠1；（4）（log a x）′＝，a为常数，a＞0且a≠1；（5）（sin x）′＝；（6）（cos x）′＝．2．求下列函数的导数（1）y＝x2﹣7x+6；（2）y＝x+2sin x，x∈（0，2π）．3．求下列函数的导数：（1）f（x）＝3x4+sin x；（2）．4．求下列函数的导数：（1）y＝ln（2x+1）；（2）．5．求下列函数的导数：（1）；（2）g（x）＝（8﹣3x）7；（3）p（x）＝5cos（2x﹣3）；（4）w（x）＝ln（5x+6）2．6．求下列函数的导数．（Ⅰ）；（Ⅱ）．7．求下列函数的导数．（1）f（x）＝sin x cos x；（2）y＝．8．求下列函数的导数．（1）y＝；（2）y＝（2x2+3）（3x﹣2）．9．求下列函数的导数：（1）；（2）．10．求下列函数的导数：（1）S（t）＝；（2）h（x）＝（2x2+3）（3x﹣2）．11．求下列函数的导数．（1）；（2）．12．求下列函数的导数：（1）y＝；（2）y＝．13．求下列函数的导数：（1）y＝sin x+lnx；（2）y＝cos x+x；（3）y＝x sin x；（4）；（5）y＝3x2+x cos x；（6）．14．求下列函数的导数．（1）y＝x3﹣2x+3；（2）y＝x sin（2x+5）．15．求下列函数的导数：（1）y＝（x2+3x+3）e x+1；（2）解析一．解答题（共15小题）1．请默写基础初等函数的导数公式：（1）（C）′＝0，C为常数；（2）（xα）′＝αxα﹣1，α为常数；（3）（a x）′＝a x lna，a为常数，a＞0且a≠1；（4）（log a x）′＝，a为常数，a＞0且a≠1；（5）（sin x）′＝cos x；（6）（cos x）′＝﹣sin x．分析：根据初等函数的导数公式，直接求解即可．解答：解：（1）（C）′＝0，（2）（xα）′＝αxα﹣1，（3）（a x）′＝a x lna，（4）（log a x）′＝，（5）（sin x）′＝cos x，（6）（cos x）′＝﹣sin x．故答案为：（1）0；（2）αxα﹣1；（3）a x lna；（4）；（5）cos x；（6）﹣sin x．点评：本题主要考查初等函数的导数公式，比较基础．2．求下列函数的导数（1）y＝x2﹣7x+6；（2）y＝x+2sin x，x∈（0，2π）．分析：利用导数的运算性质逐个化简即可求解．解答：解：（1）由已知可得y′＝2x﹣7；（2）由已知可得y′＝1+2cos x．点评：本题考查了导数的运算性质，属于基础题．3．求下列函数的导数：（1）f（x）＝3x4+sin x；（2）．分析：（1）（2）由基本初等函数的导数公式及导数加减、乘法法则求导函数即可．解答：解：（1）f（x）＝3x4+sin x则f′（x）＝12x3+cos x；（2），则f′（x）＝+﹣2e2x﹣1．点评：本题主要考查导数的基本运算，比较基础．4．求下列函数的导数：（1）y＝ln（2x+1）；（2）．分析：根据导数的公式即可得到结论．解答：解：（1）∵y＝ln（2x+1），∴y′＝×2＝，（2）∵，∴y′＝﹣sin（﹣2x）×（﹣2）＝2sin（﹣2x）＝﹣2sin（2x﹣）．点评：本题主要考查导数的基本运算，比较基础．5．求下列函数的导数：（1）；（2）g（x）＝（8﹣3x）7；（3）p（x）＝5cos（2x﹣3）；（4）w（x）＝ln（5x+6）2．分析：根据复合函数的求导法则、基本初等函数的求导公式求导计算即可．解答：解：（1）∵，∴．（2）∵g（x）＝（8﹣3x）7，∴g'（x）＝7（8﹣3x）6⋅（8﹣3x）'＝﹣21（8﹣3x）6．（3）∵p（x）＝5cos（2x﹣3），∴p'（x）＝﹣5sin（2x﹣3）⋅（2x﹣3）'＝﹣10sin（2x﹣3）．（4）∵w（x）＝ln（5x+6）2，∴点评：本题考查导数的计算，注意复合函数的导数计算，属于基础题．（Ⅰ）；（Ⅱ）．分析：根据导数的公式即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）＝．（Ⅱ）．点评：本题主要考查导数的基本运算，比较基础．7．求下列函数的导数．（1）f（x）＝sin x cos x；（2）y＝．分析：利用导数的运算性质化简即可求解．解答：解：（1）因为f（x）＝sin x cos x＝sin2x，所以f′（x）＝cos2x×＝cos2x，（2）∵y＝，∴y′＝＝．点评：本题考查了导数的运算性质，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．8．求下列函数的导数．（1）y＝；（2）y＝（2x2+3）（3x﹣2）．分析：根据导数的公式，即可依次求解．解答：解：（1）y'＝＝．（2）因为y＝（2x2+3）（3x﹣2）＝6x3﹣4x2+9x﹣6，所以y′＝18x2﹣8x+9．点评：本题主要考查导数的运算，属于基础题．（1）；（2）．分析：（1）先展开f（x），然后求导即可；（2）根据基本初等函数和商的导数的求导公式求导即可．解答：解：（1），；（2）．点评：本题考查了基本初等函数和商的导数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．10．求下列函数的导数：（1）S（t）＝；（2）h（x）＝（2x2+3）（3x﹣2）．分析：结合基本初等函数的求导公式及求导法则求解即可．解答：解：（1）S（t）＝＝t+，所以S′（t）＝1﹣；（2）h（x）＝（2x2+3）（3x﹣2），所以h′（x）＝4x（3x﹣2）+3（2x2+3）＝18x2﹣8x+9．点评：本题主要考查了基本初等函数的求导公式及求导法则，属于基础题．11．求下列函数的导数．（1）；（2）．分析：利用复合函数的导函数的求法，结合导数的运算求解即可．解答：解：（1），所以；（2）所以．点评：本题考查了导函数的求法，重点考查了导数的运算，属基础题．12．求下列函数的导数：（1）y＝；（2）y＝．分析：直接利用基本初等函数的导数公式，复合函数的导数公式以及导数的四则运算求解即可．解答：解：（1）令t＝1﹣2x2，则，所以；（2）．点评：本题考查了导数的运算，解题的关键是掌握基本初等函数的导数公式，复合函数的导数公式以及导数的四则运算，考查了运算能力，属于基础题．13．求下列函数的导数：（1）y＝sin x+lnx；（2）y＝cos x+x；（3）y＝x sin x；（4）；（5）y＝3x2+x cos x；（6）．分析：由已知结合函数的求导公式即可求解．解答：解：（1）y′＝cos x+；（2）y′＝﹣sin x+1；（3）y′＝sin x+x cos x；（4）y′＝＝；（5）y′＝6x+cos x﹣x sin x；（6）y′＝＝﹣．点评：本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．14．求下列函数的导数．（1）y＝x3﹣2x+3；（2）y＝x sin（2x+5）．分析：根据基本初等函数和复合函数的求导公式求导即可．解答：解：（1）y′＝3x2﹣2；（2）y′＝sin（2x+5）+2x cos（2x+5）．点评：本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．15．求下列函数的导数：（1）y＝（x2+3x+3）e x+1；（2）．分析：利用导数的运算法则以及常见函数的导数进行求解即可．解答：解：（1）因为y＝（x2+3x+3）e x+1，所以y'＝[（x2+3x+3）e x+1]'＝（x2+3x+3+2x+3）e x+1＝（x2+5x+6）e x+1＝（x+2）（x+3）e x+1；（2）因为，所以．点评：本题考查了导数的运算，主要考查了导数的运算法则以及常见函数的导数公式，考查了化简运算能力，属于基础题．。

1．设正弦函数y ＝sin x 在x ＝0和x ＝π2附近的平均变化率为k 1，k 2，则k 1，k 2的大小关系为( )A ．k 1>k 2B ．k 1<k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定2．设y ＝－2e xsin x ，则y ′等于( )A ．－2e x cos xB ．－2e xsin xC ．2e x sin xD ．－2e x(sin x ＋cos x )3．已知m <0，f (x )＝mx 3＋27x m，且f ′(1)≥－18，则实数m 等于( )A ．－9B ．－3C ．3D ．94．若曲线y ＝x 3－2ax 2＋2ax 上任意点处的切线的倾斜角都是锐角，求整数a 的值．5．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2＋2t ，那么速度为零的时刻是( )A ．0秒B ．1秒末C ．2秒末D ．1秒末和2秒末6．已知二次函数f (x )的图象如图所示，则其导函数f ′(x )的图象大致形状是( )7．曲线y ＝13x 3＋12x 2在点T (1，56)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A.4918B.4936C.4972D.49144 8．(2009年高考安徽卷)设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈[0，5π12]，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]9．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.10．下列图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，则f (－1)＝________.11.已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l .(1)求使直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点的直线方程； (2)求使直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P 的直线方程．12．(2008年高考海南、宁夏卷)设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．13．函数y ＝3x 2－6ln x 的单调增区间为________，单调减区间为________．14．(2009年高考北京卷)设函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值； (2)求函数f (x )的单调区间与极值点．15．函数f (x )＝x 3－6b 2x ＋3b 在(0,1)内有极小值，则( )A ．b ＞0B ．b ＜12C ．0＜b ＜22D ．b ＜1 16．已知函数f (x )的导数为f ′(x )＝4x 3－4x ，且f (x )的图象过点(0，－5)，当函数f (x )取得极大值－5时，x 的值应为( )A ．－1B ．0C ．1D ．±117．直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是________．1,解析：选A.∵y ＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x ，k 1＝cos0＝1，k 2＝cos π2＝0，∴k 1>k 2.2, 解析：选D.∵y ＝－2e xsin x ，∴y ′＝(－2e x )′sin x ＋(－2e x)·(sin x )′＝－2e x sin x －2e xcos x＝－2e x(sin x ＋cos x )．3, 解析：选B.由于f ′(x )＝3mx 2＋27m，故f ′(1)≥－183m ＋27m≥－18，由m <0得3m＋27m≥－183m 2＋18m ＋27≤03(m ＋3)2≤0，故m ＝－3.4解：∵曲线y ＝x 3－2ax 2＋2ax ，∴该曲线上任意点处切线的斜率k ＝y ′＝3x 2－4ax ＋2a . 又∵切线的倾斜角都是锐角，∴k >0恒成立，即3x 2－4ax ＋2a >0恒成立．∴Δ＝(－4a )2－4×3×2a ＝16a 2－24a <0，∴0<a <32.又∵a ∈Z ，∴a ＝1.5解析：选D.∵s ＝13t 3－32t 2＋2t ，∴v ＝s ′(t )＝t 2－3t ＋2，令v ＝0得，t 2－3t ＋2＝0，解得t 1＝1，t 2＝2.6解析：选B.设二次函数为y ＝ax 2＋b (a <0，b >0)，则y ′＝2ax ，又∵a <0，故选B.7, 解析：选D.易知点T 为切点，由f ′(1)＝2，故切线方程为：y ＝2x －76，其在两坐标轴的截距分别为712，－76，故直线与两坐标轴围成的三角形面积S ＝12×712×|－76|＝49144.8, 解析：选D.∵f ′(x )＝sin θ·x 2＋3cos θ·x ，∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin(θ＋π3)．∵θ∈[0，5π12]，∴θ＋π3∈[π3，3π4]．∴sin(θ＋π3)∈[22，1]．∴2sin(θ＋π3)∈[2，2]．9, 解析：由已知切点在切线上，所以f (1)＝12＋2＝52，切点处的导数为切线的斜率，所以f ′(1)＝12，所以f (1)＋f ′(1)＝3.答案：310, 解析：∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2－1)，∴导函数f ′(x )的图象开口向上．又∵a ≠0，其图象必为第三张图．由图象特征知f ′(0)＝0， 且－a >0， ∴a ＝－1.故f (－1)＝－13－1＋1＝－13.11, 解：(1)由f (x )＝x 3－3x 得，f ′(x )＝3x 2－3，过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0，∴所求直线方程为y ＝－2；(2)设过P (1，－2)的直线l 与y ＝f (x )切于另一点(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 02－3. 又直线过(x 0，y 0)，P (1，－2)，故其斜率可表示为y 0－(－2)x 0－1＝x 03－3x 0＋2x 0－1，又x 03－3x 0＋2x 0－1＝3x 02－3，即x 03－3x 0＋2＝3(x 02－1)·(x 0－1)，解得x 0＝1(舍)或x 0＝－12，故所求直线的斜率为k ＝3×(14－1)＝－94，∴y －(－2)＝－94(x －1)，即9x ＋4y －1＝0.12, 解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(1＋3x 02)(x －x 0)，即y －(x 0－3x 0)＝(1＋3x 02)(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－6x 0)．令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为S ＝12|－6x 0||2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.13, 解析：y ′＝6x －6x ＝6x 2－6x.∵定义域为(0，＋∞)，由y ′>0得x >1，∴增区间为(1，＋∞)； 由y ′<0得0<x <1.∴减区间为(0,1)．答案：(1，＋∞) (0,1)14, 解：(1)f ′(x )＝3x 2－3a ，因为曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝0，f (2)＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧3(4－a )＝0，8－6a ＋b ＝8.解得a ＝4，b ＝24.(2)f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0)．当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；此时函数f (x )没有极值点．当a >0时，由f ′(x )＝0得x ＝±a .当x ∈(－∞，－a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(－a ，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．此时x ＝－a 是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点．15, 解析：选C.f ′(x )＝3x 2－6b 2，令f ′(x )＝0，得x ＝±2b .∵f (x )在(0,1)内有极小值， ∴0＜2b ＜1.∴0＜b ＜22.16, 解析：选B.可以求出f (x )＝x 4－2x 2＋c ，其中c 为常数．由于f (x )过(0，－5)，所以c ＝－5，又由f ′(x )＝0，得极值点为x ＝0和x ＝±1.又x ＝0时，f (x )＝－5.故x 的值为0.17, 解析：令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，可求得f (x )的极大值为f (－1)＝2， 极小值为f (1)＝－2，如图所示，－2<a <2时，恰有三个不同公共点． 答案：(－2,2)。

导数练习题及答案导数练习题及答案导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。

以下是导数练习题及答案，欢迎阅读。

一、选择题1．函数在某一点的导数是( )A．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比B．一个函数C．一个常数，不是变数D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率[答案] C[解析] 由定义，f′(x0)是当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近的常数，故应选C.2．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为( )A．6 B．18C．54 D．81[答案] B[解析] ∵s(t)＝3t2，t0＝3，∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－332＝18Δt＋3(Δt)2∴ΔsΔt＝18＋3Δt.当Δt→0时，ΔsΔt→18，故应选B.3．y＝x2在x＝1处的导数为( )A．2x B．2C．2＋Δx D．1[答案] B[解析] ∵f(x)＝x2，x＝1，∴Δy＝f(1＋Δx)2－f(1)＝(1＋Δx)2－1＝2Δx＋(Δx)2∴ΔyΔx＝2＋Δx当Δx→0时，ΔyΔx→2∴f′(1)＝2，故应选B.4．一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s(t)＝4t2－3(s(t)的单位：m，t的单位：s)，则t＝5时的`瞬时速度为( ) A．37 B．38C．39 D．40[答案] D[解析] ∵ΔsΔt＝4(5＋Δt)2－3－4×52＋3Δt＝40＋4Δt，∴s′(5)＝limΔt→0 ΔsΔt＝limΔt→0 (40＋4Δt)＝40.故应选D.5．已知函数y＝f(x)，那么下列说法错误的是( )A．Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)叫做函数值的增量B.ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx叫做函数在x0到x0＋Δx之间的平均变化率C．f(x)在x0处的导数记为y′D．f(x)在x0处的导数记为f′(x0)[答案] C[解析] 由导数的定义可知C错误．故应选C.6．函数f(x)在x＝x0处的导数可表示为y′|x＝x0，即( )A．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)B．f′(x0)＝limΔx→0[f(x0＋Δx)－f(x0)]C．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)ΔxD．f′(x0)＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx[答案] D[解析] 由导数的定义知D正确．故应选D.7．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)在x＝2时的瞬时变化率等于( )A．4a B．2a＋bC．b D．4a＋b[答案] D[解析] ∵ΔyΔx＝a(2＋Δx)2＋b(2＋Δx)＋c－4a－2b－cΔx＝4a＋b＋aΔx，∴y′|x＝2＝limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0 (4a＋b＋aΔx)＝4a＋b.故应选D.8．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( ) A．圆 B．抛物线C．椭圆 D．直线[答案] D[解析] 当f(x)＝b时，f′(x)＝0，所以f(x)的图象为一条直线，故应选D.9．一物体作直线运动，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度为( )A．0 B．3C．－2 D．3－2t[答案] B[解析] ∵ΔsΔt＝3(0＋Δt)－(0＋Δt)2Δt＝3－Δt，∴s′(0)＝limΔt→0 ΔsΔt＝3.故应选B.10．设f(x)＝1x，则limx→a f(x)－f(a)x－a等于( )A．－1a B.2aC．－1a2 D.1a2[答案] C[解析] limx→a f(x)－f(a)x－a＝limx→a 1x－1ax－a＝limx→a a－x(x－a)xa＝－limx→a 1ax＝－1a2.二、填空题11．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则limΔx→0f(x0－Δx)－f(x0)Δx＝________；limx→x0 f(x)－f(x0)2(x0－x)＝________.[答案] －11，－112[解析] limΔx→0 f(x0－Δx)－f(x0)Δx＝－limΔx→0 f(x0－Δx)－f(x0)－Δx＝－f′(x0)＝－11；limx→x0 f(x)－f(x0)2(x0－x)＝－12limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝－12f′(x0)＝－112.12．函数y＝x＋1x在x＝1处的导数是________．[答案] 0[解析] ∵Δy＝1＋Δx＋11＋Δx－1＋11＝Δx－1＋1Δx＋1＝(Δx)2Δx＋1，∴ΔyΔx＝ΔxΔx＋1.∴y′|x＝1＝limΔx→0 ΔxΔx＋1＝0.13．已知函数f(x)＝ax＋4，若f′(2)＝2，则a等于______．[答案] 2[解析] ∵ΔyΔx＝a(2＋Δx)＋4－2a－4Δx＝a，∴f′(1)＝limΔx→0 ΔyΔx＝a.∴a＝2.14．已知f′(x0)＝limx→x0 f(x)－f(x0)x－x0，f(3)＝2，f′(3)＝－2，则limx→3 2x－3f(x)x－3的值是________．[答案] 8[解析] limx→3 2x－3f(x)x－3＝limx→3 2x－3f(x)＋3f(3)－3f(3)x－3＝limx→3 2x－3f(3)x－3＋limx→3 3(f(3)－f(x))x－3.由于f(3)＝2，上式可化为limx→3 2(x－3)x－3－3limx→3 f(x)－f(3)x－3＝2－3×(－2)＝8.三、解答题15．设f(x)＝x2，求f′(x0)，f′(－1)，f′(2)．[解析] 由导数定义有f′(x0)＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→0 (x0＋Δx)2－x20Δx＝limΔx→0 Δx(2x0＋Δx)Δx＝2x0，16．枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．[解析] 位移公式为s＝12at2∵Δs＝12a(t0＋Δt)2－12at20＝at0Δt＋12a(Δt)2∴ΔsΔt＝at0＋12aΔt，∴limΔt→0 ΔsΔt＝limΔt→0 at0＋12aΔt＝at0，已知a＝5.0×105m/s2，t0＝1.6×10－3s，∴at0＝800m/s.所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.17．在曲线y＝f(x)＝x2＋3的图象上取一点P(1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy)，求(1)ΔyΔx (2)f′(1)．[解析] (1)ΔyΔx＝f(1＋Δx)－f(1)Δx＝(1＋Δx)2＋3－12－3Δx＝2＋Δx.(2)f′(1)＝limΔx→0 f(1＋Δx)－f(1)Δx＝limΔx→0 (2＋Δx)＝2.18．函数f(x)＝|x|(1＋x)在点x0＝0处是否有导数？若有，求出来，若没有，说明理由．[解析] f(x)＝x＋x2 (x≥0)－x－x2 (x<0)Δy＝f(0＋Δx)－f(0)＝f(Δx)＝Δx＋(Δx)2 (Δx>0)－Δx－(Δx)2 (Δx<0)∴limx→0＋ΔyΔx＝limΔx→0＋ (1＋Δx)＝1，limΔx→0－ΔyΔx＝limΔx→0－ (－1－Δx)＝－1，∵limΔx→0－ΔyΔx≠limΔx→0＋ΔyΔx，∴Δx→0时，ΔyΔx无极限．∴函数f(x)＝|x|(1＋x)在点x0＝0处没有导数，即不可导．(x→0＋表示x从大于0的一边无限趋近于0，即x＞0且x趋近于0)。

高中导数试题题型及答案1. 计算函数\( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \)在点\( x = 1 \)处的导数。

答案：首先求导数\( f'(x) \)，得到\( f'(x) = 3x^2 - 6x \)。

然后将\( x = 1 \)代入，得到\( f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = -3 \)。

2. 已知函数\( g(x) = \sin(x) + \cos(x) \)，求其在\( x =\frac{\pi}{4} \)处的导数。

答案：求导数\( g'(x) \)，得到\( g'(x) = \cos(x) - \sin(x) \)。

然后将\( x = \frac{\pi}{4} \)代入，得到\( g'(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) - \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \)。

3. 判断函数\( h(x) = x^2e^x \)在\( x = 0 \)处的单调性。

答案：求导数\( h'(x) \)，得到\( h'(x) = 2xe^x + x^2e^x \)。

然后将\( x = 0 \)代入，得到\( h'(0) = 2(0)e^0 + 0^2e^0 = 0 \)。

由于导数为0，无法判断单调性，需要进一步分析。

4. 给定函数\( k(x) = \ln(x) \)，求其在区间\( (1, 2) \)上的单调区间。

答案：求导数\( k'(x) \)，得到\( k'(x) = \frac{1}{x} \)。

由于\( k'(x) > 0 \)对于所有\( x > 0 \)成立，因此函数\( k(x) \)在区间\( (1, 2) \)上单调递增。

完整版)导数大题练习带答案1.已知 $f(x)=x\ln x-ax$，$g(x)=-x^2-2$，要求实数 $a$ 的取值范围。

Ⅰ）对于所有 $x\in(0,+\infty)$，都有 $f(x)\geq g(x)$，即$x\ln x-ax\geq -x^2-2$，整理得 $a\leq \ln x +\frac{x}{2}$，对于 $x\in(0,+\infty)$，$a$ 的取值范围为 $(-\infty。

+\infty)$。

Ⅱ）当 $a=-1$ 时，$f(x)=x\ln x+x$，求 $f(x)$ 在 $[m。

m+3]$ 上的最值。

$f'(x)=\ln x+2$，令 $f'(x)=0$，解得 $x=e^{-2}$，在 $[m。

m+3]$ 上，$f(x)$ 单调递增，所以最小值为$f(m)=me^{m}$。

Ⅲ）证明：对于所有 $x\in(0,+\infty)$，都有 $\lnx+1>\frac{1}{x}$。

证明：$f(x)=\ln x+1-\frac{1}{x}$，$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{1}{x^2}(x-1)>0$，所以$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，即对于所有$x\in(0,+\infty)$，都有 $\ln x+1>\frac{1}{x}$。

2.已知函数 $f(x)=\frac{2}{x}+a\ln x-2(a>0)$。

Ⅰ）若曲线 $y=f(x)$ 在点 $P(1,f(1))$ 处的切线与直线$y=x+2$ 垂直，求函数 $y=f(x)$ 的单调区间。

$f'(x)=-\frac{2}{x^2}+a$，在点 $P(1,f(1))$ 处的切线斜率为 $f'(1)=a-2$，由于切线垂直于直线 $y=x+2$，所以 $a-2=-\frac{1}{1}=-1$，解得 $a=1$。

导数公式的练习题及答案1. 导数的物理意义：瞬时速率。

一般的，函数y?f在x?x0处的瞬时变化率是?x?0limf?f，?x我们称它为函数y?f在x?x0处的导数，记作f?或y?|x?x0，即f?=lim?x?0f?f?x2. 导数的几何意义: 当点Pn趋近于P时，函数y?f 在x?x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k?lim3. 导函数二．导数的计算1. 基本初等函数的导数公式. 导数的运算法则. 复合函数求导?x?0f?f?f?xn?x0y?f和u?g,称则y可以表示成为x的函数,即y?f)为一个复合函数 y??f?)?g?三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数:.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数y?f的极值的方法是:如果在x0附近的左侧f??0,右侧f??0,那么f是极大值; 如果在x0附近的左侧f??0,右侧f??0,那么f是极小值;.函数的最大值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数y?f在[a,b]上的最大值与最小值的步骤求函数y?f在内的极值；将函数y?f的各极值与端点处的函数值f，f比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.四.生活中的优化问题1、已知函数f?2x?1的图象上一点及邻近一点，则2?y等于?xA．4B．4?xC．4?2?xD．4?2?x2、如果质点M按规律S?3?t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度为A．4B．4.1C．0.41D．33、如果质点A按规律S?2t3运动，则在t?3秒的瞬时速度为A．B．18C．54D．8111在点处的切线斜率为_________，切线方程为__________________． x225、已知函数f?ax?2，若f??1，则a?__________．4、曲线y??6、计算：f?5x?7，求f?；f?y?221x?2，求f?；21，求y?|x?0 x?17、在自行车比赛中，运动员的位移与比赛时间t存在函数关系S?10t?5t2，t?20,?t?0.1时的求t?20的速度． 1、函数y??S； ?t的导数是1?4?141323A．xB．xC．x5D．?x55555112、曲线y?x2在点处切线的倾斜角为225???A．1B．?C．D．4443、已知曲线y?x?2x?2在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是A．B． C．D．2x在点处的切线方程为____________________．x?135、曲线y?x在点处的切线与x轴、直线x?2所围成的三角形面积为__________．4、曲线y?6、求下列函数的导数：y?x?log3x；y??2x?1．13?；y?cos2x．sinx?cosx求f在点处的切线方程；求过点的切线方程．、函数y?的导数是A．6x5?12x B．4?2x C．2 D．2?3x、已知y?333321sin2x?sinx，那么y?是A．仅有最小值的奇函数B．既有最大值又有最小值的偶函数 C．仅有最大值的偶函数D．非奇非偶函数 10、曲线y?e1x2在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为2C．2e D．e22211、已知f?ln，若f??1，则实数a的值为__________． A．e2B．4e12、y?sin3x在处的切线斜率为__________________．1?x，?1?x?1． 1?x13、求下列函数的导数：f?f?e?x2?2x?3；y?lncos2x??14、已知f? ，求f．1?sin2x41、函数f?e的单调递增区间是A． B．C． D．2、设函数y?f在定义域内可导，y?f的图象如图1所示，则导函数y?f?可能为A2xB C D3、若函数f?x?ax?x?6在内单调递减，则实数a的取值范围是A．a?1B．a?13C．a?1D．0?a?14、函数f?ax?x在R上为减函数，则实数a的取值范围是______________．、求函数f?2x?lnx的单调区间．、设函数f?xe．kx2求曲线y?f在点)处的切线方程；求函数f的单调区间；若函数f在区间内单调递增，求k的取值范围．、函数y?4x2?1的单调递增区间是 x11A． B． C．D．8、若函数y?x3?x2?mx?1是R上的单调函数，则实数m 的取值范围是A． B．D．．函数f?lnx?1313131312x的图象大致是10、如果函数y?f的导函数的图象如下图所示，给出下列判断：①函数y?f在区间内单调递增；②函数y?f在区间内单调递减；③函数y?f在区间内单调递增；④当x?2时，函数y?f有极小值；⑤当x??12121时，函数y?f有极大值.32则上述判断中正确的是____________．11、已知函数f?x?ax?bx?c，g?12x?4，若f?0，且f 的图象在点)处的切线方程为y?g．求实数a，b，c的值；求函数h?f?g的单调区间 12、已知函数f?13、已知函数f?12x?lnx?x在上是增函数，求实数a的取值范围．x?1?alnx，f的单调区间．1．C ．B3．C4．4；y?4x?4．?7．210.5；2101?1?381x111．C．C ．B4．y??x?2．6．；?；ln?233xln3?sinx?cosx7．y?4x?3；y?e；1?x814．?9111．D．D ．A4．a?0．增区间，减区间22116．y?x；k?0时，增区间，减区间kk11k?0时，增区间，减区间；[?1,0)?和，减区间12．a?213．a?0时，增区间为a?0时，在基本初等函数的导数公式及导数运算法则练习姓名班级713?1．曲线y＝x－2在点?－1，－处切线的倾斜角为?3?A．30°B．45° C．135°D．60°．设f＝31A641－1x2xf′等于57B.C．－667D.63．若曲线y＝x的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为A．4x－y－3＝032B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝04．已知f＝ax＋9x＋6x－7，若f′＝4，则a的值等于A.193B.16101 D.3314325．已知物体的运动方程是st－4t＋16t，则瞬时速度为0的时刻是A．0秒、2秒或4秒B．0秒、2秒或16秒C．2秒、8秒或16秒 D．0秒、4秒或8秒6．曲线y＝x－2x＋1在点处的切线方程为A．y＝x－1B．y＝－x－1 D．y＝－2x－23C．y＝2x－2x7．若函数f＝esinx，则此函数图象在点)处的切线的倾斜角为A.π2B．0C．钝角D．锐角?ππ8．曲线y＝xsinx在点?－，处的切线与x轴、直线x＝π所围成的三角形的面积为 ?22?πA.21222B．π C．2πD.＋π)29．设f0＝sinx，f1＝f0′，f2＝f1′，…，fn＋1＝fn′，n∈N，则f2011等于A．sinxB．－sinx C．cosxD．－cosx10．f与g是定义在R上的两个可导函数，若f、g满足f′＝g′，则f与g满足A．f＝g B．f－g为常数C．f＝g＝0 11．函数y＝在x＝1处的导数等于A．1 B．2C．D．412．若对任意x∈R，f′＝4x，f＝－1，则f＝第 - 1 - 页共 1页32D．f＋g为常数A．x34mB．x－D．x＋21*}的前n项和是 f44C．4x－513．设函数f＝x＋ax的导数为f′＝2x＋1，则数列{ A.n＋2nn＋1B. C.D.n＋1n＋1n－1nn14．二次函数y＝f的图象过原点，且它的导函数y＝f′的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f的图象的顶点在A．第一象限32B．第二象限C．第三象限D．第四象限15．函数y＝的导数为A．6x＋12xB．4＋2xC．24252332D．2·3x316．若函数f＝ax＋bx＋c满足f′＝2，则f′＝A．－1B．－ C．2D．031017．设函数f＝，则f′＝A．0B．－1 C．－60D．6018．函数y＝sin2x－cos2x的导数是π??A．2cos?2x－?4??π??B．cos2x－sin2xC．sin2x＋cos2x D．22cos?2x ＋?4??119．已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为42A．3B． C．11D.x220．设函数f是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f在x＝5处的切线的斜率为1A51B．5D．5?π1221．设f＝ax－bsinx，且f′＝1，f′?＝a＝________，b＝________.?3?222．设f＝x－3x－9x＋1，则不等式f′＜0的解集为________．3．曲线y＝cosx在点P?32?π，1处的切线的斜率为______．?32?x24．已知函数f＝ax＋be图象上在点P处的切线与直线y＝－3x平行，则函数f的解析式是____________．25．若f＝x，φ＝1＋sin2x，则f[φ]＝_______，φ[f]＝________.6．设函数f＝cos，若f＋f′是奇函数，则φ＝________.7．函数y＝的导数为________．8．函数y＝x1＋x的导数为________．三、解答题第 - - 页共 1页22829．求下列函数的导数：1111＋x1x24x4xy＝x；y＝；y＝sin＋cosy＝xx44x1－x1x30．求下列函数的导数：e＋1x＋cosxy＝xsinx； y＝ln；yx y＝.e－1x＋sinx22x.31．求下列函数的导数：y＝cos；y＝cosx·sin3x； y＝xloga； y＝log2 2sinx232．设f＝f′＝·g，求g．1＋x33．求下列函数的导数：是可导函数)第 - - 页共 1页222x－1. x＋1?1?2y＝f??；y＝fx＋1)．?x?34．已知两条曲线y＝sinx、y＝cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．17．已知曲线C1：y＝x与C2：y＝－.直线l与C1、C2都相切，求直线l的方程．18．求满足下列条件的函数f：f是三次函数，且f＝3，f′＝0，f′＝－3，f′＝0；f′是一次函数，xf′－f＝1.222第 - - 页共 1页基本初等函数的导数公式及导数运算法则答案一、选择题7?13?1．曲线yx－2在点?－1，－?处切线的倾斜角为?3?A．30° C．135° [答案] B[解析] y′|x＝－1＝1，∴倾斜角为45°.．设f31A67C6[答案] B1－1B．45° D．60°x2xx，则f′等于5B.67D.63．若曲线y＝x的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为 A．4x－y－3＝0C．4x－y＋3＝0[答案] A [解析] ∵直线l的斜率为4，而y′＝4x，由y′＝4得x＝1而x＝1时，y＝x＝1，故直线l的方程为：y－1＝4即4x－y－3＝0.4．已知f＝ax＋9x＋6x－7，若f′＝4，则a的值等于 A.C.193103B.D.16313332344B．x＋4y－5＝0 D．x＋4y＋3＝0[答案] B[解析] ∵f′＝3ax＋18x＋6，16∴由f′＝4得，3a－18＋6＝4，即a＝.3∴选B.第 - - 页共 1页2基本初等函数的导数公式及导数运算法则1．y?x31导数为 x22．y＝xsin2x导数为3．y?x2lnx导数为ex4．y?导数为 x5．函数y＝2在x＝1处的导数等于6．函数y＝2的导数为7．设函数f＝10，则f′＝8．函数y＝sin2x－cos2x的导数是9．函数y＝1＋x的导数为________．10．若对任意x∈R，f′＝4x3，f＝－1，则f＝11．江西)若函数f＝ax4＋bx2＋c满足f′＝2，则f′＝基本初等函数的导数公式及导数运算法则1．y?x31导数为 x22．y＝xsin2x导数为3．y?xlnx导数为ex4．y?导数为 x5．函数y＝2在x＝1处的导数等于6．函数y＝2的导数为7．设函数f＝10，则f′＝8．函数y＝sin2x－cos2x的导数是9．函数y＝1＋x的导数为________．10．若对任意x∈R，f′＝4x3，f＝－1，则f＝11．江西)若函数f＝ax4＋bx2＋c满足f′＝2，则f′＝。

巩固练习一、选择题1.若极限2220lim1h h f a h f a h A e ，则函数 f x 在x a 处（A ）不一定可导.（B ）不一定可导，但 f a A .（C ）不一定可导，但 f a A（D ）可导，且 f a A .2.设 223f x x x x ，则使 0n f 存在的最高阶数n （A ）0.（B ）1.（C ）2.（D ）3.3.设 21sin , 0,, 0x x f x xax b x 在0x 处可导，则,a b 满足（A ）0a ，0b .（B ）1a ，1b .（C ）a 为任意常数，0b .（D ）a 为任意常数，1b .4.设0,0x f x x 则（A ） f x 在0x 处不连续.（B ） 0f 存在.（C ） 0f 不存在，曲线 y f x 在点 0,0处不存在切线.（D ） 0f 不存在，曲线 y f x 在点 0,0处存在切线.二、填空题1.若函数 f x 在1x 处的导数存在，则极限112sin 213tan limx f x f x f x x______________.2.设 01f ， 00f ，则 21cos limtan x f x x ____________.3.设3232x y f x，且 2arctan f x x ，则0x dy dx _____________.4.设2sin y x ，则3dyd x ______________.5.设 f x 有任意阶导数且 3f x f x ，1n ，则 n f x _____________.6.设 2ln 1y x ，则 50y __________________.7.设21,cos ,x t y t则22d ydx _____________.8.曲线 321x y 上点 5,8处的切线方程是______________.9.曲线ln y x 上与直线1x y 垂直的切线方程为_____________.10.曲线231,x t y t上对应点2t 处的切线方程为______________.11.设函数 21sin , 0,0, 0x x f x xx的导函数在0x 处连续，则 的取值为____________.三、计算题1.计算下列各题：（Ⅰ）设2sin xy e dydx；（Ⅱ）设2x y，其中0a b ，求y .2.设 ,,x f t y tf t f t其中 f t 三阶可导，且 0f t ，求d d y x ，22d d y x ，33d d y x ；3.计算下列各题（提示，等式两边取对数后再求导）：（Ⅰ）由方程y x x y 确定 x x y ，求d d xy；（Ⅱ）方程1x y y e 确定 y y x ，求 y x ；4.设函数 y f x 有反函数 x g y ，且 3f a ， 1f a ， 2f a ，求 3g .5.设函数 cos ,0,0g x xx f x xa x其中 g x 二阶连续可导，且 01g .（1）确定常数a ，使得 f x 在0x 处连续；（2）求 f x ；（3）讨论 f x 在0x 处的连续性.答案解析一、选择题1.【分析】只有极限222222limlim1h h h f a h f a h f a h f a h A Ah e 存在并不能保证极限22limh f a h f a h 与22limh f a h f a h 都存在，因此两个单侧导数都不一定存在，应选（A ）.例如：设()f x x a ，则222222limlim01h h h f a h f a h h h h e ，极限存在，但f x 在x a 处不可导.2.【分析】设 323,0,,0x x g x x x x x，所以22023,0,0lim 0,0,303,0x x x x x g x x x x x x x，06,0,30lim0,0,606,0x x x x x g x x x x x x，由于x 在0x 处不可导，因此2n .选（C ）.3.【分析】首先， f x 在0x 连续 00lim lim 0x x f x f x f，即0b .然后， f x 在0x 可导 00f f .当0b 时， 21sin ,0,, 0.x x f x xax x 按定义求出2001sin 00limlim0x x x f x f x f xx.由求导法则知 00x f ax a.由 00f f 得0a ，因此选（A ）.4.【分析】显然 0lim 00x f x f ，又000limlimx x f x f xx，000lim lim x x f x f x x，y f x 的图形如图：因此， 0f 不存在，但 y f x 在 0,0处存在切线0x （y 轴），选（D ）.二、填空题1.【分析】按导数定义，将原式改写成原式 01112sin 113tan 1sin tan lim 262sin 3tan x f x f f x f f x f x x x x x x x1216191f f f f .2.【分析】原式 22001cos 01cos 1cos 1lim0lim 1cos tan 2x x f x f x x f x x x .3.【分析】 y f u ，32413232x u x x，01x u . 02d 443111d 3232x x x yf f xx x3344.4.【分析一】设3u x，则x ，223x u ，23sin y u ，于是由复合函数求导法则即得2123322cos cos 33u x y u u x.【分析二】用微分来求.22233d d /cos 22cos 33d d /y y dx x x x x x x x dx.5.【分析】 2533f x f x f x f x ， 473535f x f x f x f x ，找规律得：2121!!n n f x n f x .6.【分析】 224611ln 123y x x x x ，由泰勒公式的唯一性可知：(5)(0)05!f，所以(5)(0)0f .7.【分析】d sin d 2t t y y t x t x ，2223d 1cos sin 1sin cos sin d 2d d 224ty t t t t t t t xt t x t t t.8.【分析】由隐函数求导法，将方程 321x y 两边对x 求导，得2312x yy .令5x ，8y 即得 53y .故曲线 321x y 在点 5,8处的切线方程是83537y x y x .9.【分析】与直线1x y 垂直的直线族为y x c ，其中c 是任意常数，又因ln y x 上点00000,,ln 0x y x x x 处的切线方程是 0000011ln ln 1y x x x x x x x，从而，切线与1x y 垂直的充分必要条件是00111x x ，即该切线为1y x .10.【分析】2t 时 ,5,8x y ，2d 333d 22t t y y t t x t x .切线方程为 835y x ，即37y x .11.【分析】由导数定义可求得21201sin10limlim sin x x x x f x x x .上述极限只在1 时存在，且此时 00f ，于是 f x 的导函数为132211sin 2cos ,0,0, 0.x x x f x x xx欲使 f x 在0x 处连续，必须有13220011lim lim sin 2cos 0x x f x x x x x，而这一极限为零应满足3 .三、计算题1.【解】（Ⅰ）2sin d 2sin cos ln 2d x y e x x x2sin sin212xe x（Ⅱ）12y221tan cos22a bx xa ba b a b221cos sin2211cos1cos221cosx xa b a bx xa b a ba b x.2.【解】ddtttf t f t tf tyytx f t f tx，22d dd d dd1d d d/dy yty dx dxx x x t f t，22223332d dd d dd dd1d d d/dy ytf t f tx xyx x x t f t f t f t.3.【解】（Ⅰ）两边取对数得ln lny x x y，两边对y求导，并注意x x y，得d dln lnd dy x x xx yx y y y.上式两边乘xy，并移项得22dln lndxy xy y x xy xy.解出ddxy得22d lnd lnx x xy xy y xy y.（Ⅱ）y xe y，两边取对数得lny x y.对x求导d dlnd dy x yyx y x，d d d lnlnd d dy y y yy y y xx x x y x.将ddyx的方程d dlnd dy yy y y xx x两边对x求导得22222d d d d dln2d d d d dy y y y yy y xx x x x x.解出22ddyx并代入ddyx表达式得222222ln 2ln ln d ln ln ln 2d y y x y y y y y y y y y y x y x y x y x y x 注意ln y x y ，于是 2322ln d d y x y yy x y x .4.【解】 1g y f x， 3()()f x dg y dg y dx g y dy dy dx f x.因为 3f a ，所以当3y 时，x a ，所以 332f a g f a.5.【解】（1） 00cos 01cos lim limlim 0x x x g x xg x g x f x g xx x，当 0a g 时， f x 在0x 处连续。

导数解答题练习1．已知f (x )＝x ln x －ax ，g (x )＝－x 2－2，(Ⅰ)对一切x ∈(0，＋∞)，f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)当a ＝－1时，求函数f (x )在[m ，m ＋3](m ＞0)上的最值；(Ⅲ)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x ＋1＞ex e x 21-成立．2、已知函数2()ln 2(0)f x a x a x=+->. （Ⅰ）若曲线y =f (x )在点P （1，f (1)）处的切线与直线y =x +2垂直，求函数y =f (x )的单调区间；（Ⅱ）若对于(0,)x ∀∈+∞都有f (x )＞2(a ―1)成立，试求a 的取值范围；（Ⅲ）记g (x )=f (x )+x ―b （b ∈R ）.当a =1时，函数g (x )在区间[e ―1，e]上有两个零点，求实数b 的取值范围.3、设函数f (x )=ln x +(x －a )2，a ∈R .（Ⅰ）若a =0，求函数f (x )在[1，e]上的最小值；（Ⅱ）若函数f (x )在1[,2]2上存在单调递增区间，试求实数a 的取值范围； （Ⅲ）求函数f (x )的极值点.4、已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R . (Ⅰ)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值； (Ⅱ)求()f x 的单调区间；(Ⅲ)设2()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围.5、已知函数1ln ()xf x x+=． (1)若函数在区间1(,)2a a +(其中0a >)上存在极值，求实数a 的取值范围； (2)如果当1x ≥时，不等式()1kf x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围．1.解：(Ⅰ)对一切)()(),,0(x g x f x ≥+∞∈恒成立，即2ln 2--≥-x ax x x 恒成立.也就是++≤x x a ln x2在),0(+∞∈x 恒成立.………1分 令xx x x F 2ln )(++= ， 则F '2222)1)(2(2211)(x x x x x x x x x -+=-+=-+=，……2分在)10(，上F '0)(<x ，在)1(∞+，上F '0)(>x ， 因此，)(x F 在1=x 处取极小值，也是最小值， 即3)1()(min ==F x F ，所以3≤a .……4分(Ⅱ)当时，1-=a x x x x f +=ln )(， f '2ln )(+=x x ，由f '0)(=x 得21ex =. ………6分 ①当210em <<时，在)1,[2e m x ∈上f '0)(<x ，在]3,1(2+∈m e x 上f '0)(>x 因此，)(x f 在21e x =处取得极小值，也是最小值. 2min 1)(ex f -=. 由于0]1)3)[ln(3()3(,0)(>+++=+<m m m f m f 因此，]1)3)[ln(3()3()(max +++=+=m m m f x f………8分②当时21em ≥，0)('≥x f ，因此]3,[)(+m m x f 在上单调递增， 所以)1(ln )()(min +==m m m f x f ，]1)3)[ln(3()3()(max +++=+=m m m f x f ……9分(Ⅲ)证明：问题等价于证明)),0((2ln +∞∈->+x ee x x x x x ,………10分 由(Ⅱ)知1-=a 时，x x x xf +=ln )(的最小值是21e-，当且仅当21e x =时取得，……11分 设)),0((2)(+∞∈-=x e e x x G x ，则G 'xexx -=1)(，易知eG x G 1)1()(max -==，当且仅当1x =时取到， ………12分但，e e112->-从而可知对一切(0,)x ∈+∞， 都有exe x x 211ln ->+成立. ………13分 2、解：（Ⅰ）直线y =x +2的斜率为1.函数f (x )的定义域为（0，+∞），因为22'()a f x x x=-+，所以22'(1)111af =-+=-，所以a =1.所以2()ln 2f x x x =+-. 22'()x f x x -=.由'()0f x >解得x ＞0；由'()0f x <解得0＜x ＜2. 所以f (x )的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）.…… 4分（Ⅱ）2222'()a ax f x x x x -=-+=， 由'()0f x >解得2x a>；由'()0f x <解得20x a <<.所以f (x )在区间2(,)a +∞上单调递增，在区间2(0,)a 上单调递减.所以当2x a=时，函数f (x )取得最小值，min 2()y f a=. 因为对于(0,)x ∀∈+∞都有()2(1)f x a >-成立，所以2()2(1)f a a >-即可. 则22ln 22(1)2a a a a+->-.由2ln a a a >解得20e a <<.所以a 的取值范围是2(0,)e. ……………… 8分（Ⅲ）依题得2()ln 2g x x x b x=++--，则222'()x x g x x +-=.由'()0g x >解得x ＞1；由'()0g x <解得0＜x ＜1.所以函数()g x 在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数.又因为函数()g x 在区间[e －1，e]上有两个零点，所以1()0()0(1)0g e g e g -⎧≥⎪≥⎨⎪<⎩.解得21e 1e b <≤+-.所以b 的取值范围是2(1,e 1]e+-. (13)分3．解：（Ⅰ）f (x )的定义域为（0，+∞）.……………… 1分因为1'()20f x x x=+>，所以f (x )在[1，e]上是增函数， 当x =1时，f (x )取得最小值f (1)=1. 所以f (x )在[1，e]上的最小值为1.……………… 3分（Ⅱ）解法一：21221'()2()x ax f x x a x x-+=+-=设g (x )=2x 2―2ax +1，……………… 4分依题意，在区间1[,2]2上存在子区间使得不等式g (x )＞0成立.…… 5分注意到抛物线g (x )=2x 2―2ax +1开口向上，所以只要g (2)＞0，或1()02g >即可……………… 6分由g (2)＞0，即8―4a +1＞0，得94a <， 由1()02g >，即1102a -+>，得32a <，所以94a <，所以实数a 的取值范围是9(,)4-∞.……………… 8分解法二：21221'()2()x ax f x x a x x-+=+-=，……………… 4分依题意得，在区间1[,2]2上存在子区间使不等式2x 2―2ax +1＞0成立. 又因为x ＞0，所以12(2)a x x<+. ……………… 5分设1()2g x x x =+，所以2a 小于函数g (x )在区间1[,2]2的最大值. 又因为1'()2g x x=-，由21'()20g x x=->解得2x >；由21'()20g x x =-<解得02x <<.所以函数g (x )在区间2)2上递增，在区间1(,22上递减. 所以函数g (x )在12x =，或x =2处取得最大值. 又9(2)2g =，1()32g =，所以922a <，94a <所以实数a 的取值范围是9(,)4-∞.……………… 8分（Ⅲ）因为2221'()x ax f x x-+=，令h (x )=2x 2―2ax +1①显然，当a ≤0时，在（0，+∞）上h (x )＞0恒成立，f '(x )＞0，此时函数f (x )没有极值点； ……………… 9分 ②当a ＞0时，（i ）当Δ≤0，即0a <≤时，在（0，+∞）上h (x )≥0恒成立，这时f '(x )≥0，此时，函数f (x )没有极值点；……………… 10分（ii ）当Δ＞0时，即a >x <<h (x )＜0，这时f '(x )＜0；当02a x <<或2a x >时，h (x )＞0，这时f '(x )＞0；所以，当a >2a x =是函数f (x )的极大值点；2a x +=是函数f (x )的极小值点.……………… 12分综上，当a ≤f (x )没有极值点；当a >x =是函数f (x )的极大值点；x =是函数f (x )的极小值点.4．解：2()(21)f x ax a x '=-++(0)x >. ………1分 (Ⅰ)(1)(3)f f ''=，解得23a =. ………3分(Ⅱ)(1)(2)()ax x f x x--'=(0)x >. ………4分 ①当0a ≤时，0x >，10ax -<，在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞. ………5分 ②当102a <<时，12a>， 在区间(0,2)和1(,)a +∞上，()0f x '>；在区间1(2,)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a +∞，单调递减区间是1(2,)a. ………6分③当12a =时，2(2)()2x f x x -'=，故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞. ………7分 ④当12a >时，102a <<， 在区间1(0,)a 和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1(,2)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是1(0,)a和(2,)+∞，单调递减区间是1(,2)a. ………8分 (Ⅲ)由已知，在(0,2]上有max max ()()f x g x <. ………9分由已知，max ()0g x =，由(Ⅱ)可知， ①当12a ≤时，()f x 在(0,2]上单调递增， 故max ()(2)22(21)2ln 2222ln 2f x f a a a ==-++=--+， 所以，222ln 20a --+<，解得ln 21a >-，故1ln 212a -<≤.……10分 ②当12a >时，()f x 在1(0,]a 上单调递增，在1[,2]a上单调递减， 故max 11()()22ln 2f x f a a a==---. 由12a >可知11ln ln ln 12ea >>=-，2ln 2a >-，2ln 2a -<，所以，22ln 0a --<，max ()0f x <， 综上所述，ln 21a >-. ………12分5、(Ⅰ)直线y ＝x ＋2的斜率为1， 函数f (x )的定义域为 ()+∞,0因为x a x x f +-=2'2)(，所以()111212'-=+-=a f ，所以a ＝1 所以()()2'2,2ln 2xx x f x x x f -=-+= 由()0'>x f解得x ＞2 ； 由()0'<x f 解得0＜x ＜2所以f (x )得单调增区间是()+∞,2，单调减区间是()2,0 ………4分(Ⅱ)22'22)(x ax x a x x f -=+-= 由()0'>x f 解得;2a x >由()0'<x f 解得a x 20<<所以f (x )在区间),2(+∞a 上单调递增，在区间)2,0(a 上单调递减所以当a x 2=时，函数f (x )取得最小值)2(min af y =因为对于任意()())1(2,0->+∞∈a x f x 都有成立， 所以)1(2)2(->a af 即可则)1(222ln 22->-+a a a a，由a a a >2ln 解得e a 20<< 所以a 得取值范围是)2,0(e……… 8分(Ⅲ)依题意得b x xx g --+=2ln 2)(，则22'2)(x x x x g -+= 由()0'>x g 解得x ＞1，由()0'<x g 解得0＜x ＜1所以函数g (x )在区间[]e ,e 1-上有两个零点，所以⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥-0)1(0)(0)(1g e g e g 解得121-+≤<e e b所以b 得取值范围是]12,1(-+e e……… 12分6、解：(1)因为1ln ()x f x x +=，0x >，则2ln ()xf x x'=-， …1分 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<． ∴()f x 在(0,1)上单调递增；在(1,)+∞上单调递减， ∴函数()f x 在1x =处取得极大值．………3分∵函数()f x 在区间1(,)2a a +(其中0a >)上存在极值，∴1,11,2a a <⎧⎪⎨+>⎪⎩解得112a <<．……….5分(2)不等式()1k f x x ≥+，即为(1)(1ln )x x k x++≥， ………7分记(1)(1ln )()x x g x x ++=∴22[(1)(1ln )](1)(1ln )ln ()x x x x x x xg x x x'++-++-'==，…9分 令()ln h x x x =-，则1'()1h x x=-，∵1x ≥，∴'()0h x ≥，∴()h x 在[1,)+∞上递增， ∴min [()](1)10h x h ==>，从而()0g x '>，故()g x 在[1,)+∞上也单调递增， ∴min [()](1)2g x g ==，∴2k ≤．………12分。

导数及应用（1）一、基础训练:1.在曲线y=x 2+1的图象上取一点（1，2）及附近一点（1+Δx ，2+Δy ）， 则yx∆∆为 . 答案 Δx+22.已知f(x)=sinx(cosx+1)，则f ′(x)= . 答案 cos2x+cosx3.若函数y=f(x)在R 上可导且满足不等式xf ′(x)＞-f(x)恒成立，且常数a,b 满足a ＞b,则下列不等式不一定成立的是 （填序号）. ①af(b)＞bf(a) ②af(a)＞bf(b) ③af(a)＜bf(b) ④af(b)＜bf(a) 答案 ①③④4.（2008·辽宁理，6）设P 为曲线C ：y=x 2+2x+3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是[0,]4π，则点P 横坐标的取值范围为 .答案 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21,1 5.(2008·全国Ⅱ理，14)设曲线y=ea x 在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a= . 答案 2二、典型例题题型一 利用导数定义解题例1 （1）求函数y=12+x 在x0到x0+Δx 之间的平均变化率.解 ∵Δy =11)(2020+-+∆+x x x =11)(11)(2202020+++∆+--+∆+x x x x x x=11)()(2202020+++∆+∆+∆x x x x x x ，∴x y∆∆=11)(220200+++∆+∆+x x x x x . （2）函数)(x f 满足2)1('=f ，则当x 无限趋近于0时，→+-+xx f x f )1()21(题型二 、利用法则与公式求导例2 求下列各函数的导数： （1）y =25sin x xx x ++； （2）y =（x +1）（x +2）（x +3）；（3）y =-sin2x (1-2cos 24x)；（4）y =x -11+x+11. 解 （1）∵y =2521sin x x x x ++=x23-+x 3+2sin x x ，∴y ′=（x23-）′+(x 3)′+(x -2sin x )′=-23x 25-+3x 2-2x -3sin x +x -2cos x . (2)方法一 y =（x 2+3x +2）（x +3）=x 3+6x 2+11x +6，∴y ′=3x 2+12x +11. 方法二y ′=［（x +1）（x +2）］′（x +3）+（x +1）（x +2）（x +3）′ =［（x +1）′（x +2）+（x +1）（x +2）′］（x +3）+（x +1）（x +2）=（x +2+x +1）（x +3）+（x +1）（x +2）=（2x +3）（x +3）+（x +1）（x +2）=3x 2+12x +11. （3）∵y =-sin 2x (-cos 2x )=21sin x ，∴y ′=(21sin x ) ′= 21（sin x ）′=21cos x . （4）y =x-11+x+11=)1)(1(11x x x x +--++=x -12，∴y ′=(x -12)′=2)1()1(2x x -'--=2)1(2x -.例3 求下列函数的导数： （1）y =4)31(1x -;(2)y =sin 2(2x +3π);(3)y =x 21x +. 解 （1）设u =1-3x ,y =u -4. 则y x ′=y u ′·u x ′=-4u -5·（-3）=5)31(12x -.(2)设y =u 2,u =sin v ,v =2x +3π, 则y x ′=y u ′·u v ′·v x ′=2u ·cos v ·2=4sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx ·cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx=2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+324πx .(3)y ′=(x 21x +)′=x ′·21x ++x ·（21x +)′=21x ++221xx +=22121xx ++.例4有一倒置的圆锥形容器，其底面的半径等于圆锥的高，若以9π3cm /s 的速度向该容器注水，求当水深为10cm 时水面上升的速度.题型三 、求切线方程例5 已知曲线y =31x 3+34.(1)求曲线在x =2处的切线方程； （2）求曲线过点（2，4）的切线方程. 解 （1）∵y ′=x 2,∴在点P （2，4）处的切线的斜率k =y ′|x =2=4.∴曲线在点P （2，4）处的切线方程为y -4=4(x -2),即4x -y -4=0.（2）设曲线y =31x 3+34与过点P （2，4）的切线相切于点 A (x 0，31x 03+34)，则切线的斜率k =y ′|0x x ==x 02. ∴切线方程为y -(31x 03+34)=x 02(x -x 0),即y =x 02·x -32x 03+34. ∵点P （2，4）在切线上，∴4=2x 02-32x 03+34,即x 03-3x 02+4=0,∴x 03+x 02-4x 02+4=0,∴x 02(x 0+1)-4(x 0+1)(x 0-1)=0,∴(x 0+1)(x 0-2)2=0,解得x 0=-1或x 0=2,故所求的切线方程为4x -y -4=0或x -y +2=0.题型四 、用导数研究单调性例6 已知f (x )=e x-ax -1. （1）求f (x )的单调增区间；（2）若f (x ）在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；（3）是否存在a ,使f (x )在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由. 解 f ′(x )= e x -a .(1)若a ≤0，f ′(x )= e x-a ≥0恒成立，即f (x )在R 上递增. 若a ＞0, e x-a ≥0,∴e x≥a ,x ≥ln a . ∴f (x )的递增区间为（ln a ，+∞）.（2）∵f （x ）在R 内单调递增，∴f ′(x )≥0在R 上恒成立. ∴e x-a ≥0，即a ≤e x在R 上恒成立. ∴a ≤（e x）min ，又∵e x＞0,∴a ≤0.（3）方法一 由题意知e x-a ≤0在（-∞，0］上恒成立. ∴a ≥e x在（-∞，0］上恒成立. ∵e x在（-∞，0］上为增函数. ∴x =0时，e x最大为1.∴a ≥1.同理可知e x -a ≥0在［0，+∞）上恒成立. ∴a ≤e x在［0，+∞）上恒成立. ∴a ≤1，∴a =1.方法二 由题意知，x =0为f (x )的极小值点. ∴f ′(0)=0,即e 0-a =0,∴a =1.四、巩固练习1. y =tan x 的导数为 .解 y ′='⎪⎭⎫ ⎝⎛x x cos sin =x x x x x 2cos )(cos sin cos )(sin '-' =xxx 222cos sin cos +=x2cos 1.2.设函数f （x ）=cos （3x +ϕ）（0＜ϕ＜π）.若f (x )+f ′(x )是奇函数,则ϕ= . 答案6π3.若直线y =kx 与曲线y =x 3-3x 2+2x 相切，则k = . 答案 2或-41 4、函数y =3x 2-2ln x 的单调增区间为 ，单调减区间为 . 答案 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,33 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛33,0 5.设曲线y =11-+x x 在点（3，2）处的切线与直线ax +y +1=0垂直，则a = . 答案 -26.若点P 在曲线y =x 3-3x 2+(3-3)x +43上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是 .答案 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,0πY ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,327.若函数f (x )的导函数为f ′(x )=-x (x +1),则函数g (x )=f (log a x )(0＜a ＜1)的单调递减区间是 . 答案 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡a 1,18.设函数f (x )=ax +bx +1（a ,b ∈Z ），曲线y =f (x )在点（2，f （2））处的切线方程为y =3. （1）求f （x ）的解析式；（2）证明：曲线y =f (x )上任一点的切线与直线x =1和直线y =x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值.(1)解 f ′(x )=a -2)(1b x +,于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++.0)2(1,32122b a b a 解得⎩⎨⎧-==11b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==38,49b a因为a ,b ∈Z ,故f (x )=x +11-x . (2)证明 在曲线上任取一点（x 0,x 0+110-x ）,由f ′(x 0)=1-20)1(1-x 知,过此点的切线方程为y -110020-+-x x x =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--20)1(11x (x -x 0).令x =1,得y =1100-+x x ,切线与直线x =1的交点为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+11,100x x ; 令y =x ,得y =2x 0-1,切线与直线y =x 的交点为(2x 0-1,2x 0-1);直线x =1与直线y =x 的交点为(1,1), 从而所围三角形的面积为2111100--+x x |2x 0-1-1|=21120-x |2x 0-2|=2. 所以,所围三角形的面积为定值2.9．已知函数f(x)=x3-ax-1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a,使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；（3）证明：f(x)=x3-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方.（1）解由已知f′(x)=3x2-a,∵f(x)在（-∞,+∞）上是单调增函数，∴f′(x)=3x2-a≥0在（-∞,+∞）上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立.∵3x2≥0,∴只需a≤0,又a=0时，f′(x)=3x2≥0,故f(x)=x3-1在R上是增函数，则a≤0.（2）解由f′(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立，得a≥3x2,x∈(-1,1)恒成立.∵-1＜x＜1,∴3x2＜3,∴只需a≥3.当a=3时，f′(x)=3(x2-1),在x∈(-1,1)上，f′(x)＜0,即f(x)在（-1，1）上为减函数，∴a≥3.故存在实数a≥3,使f(x)在（-1，1）上单调递减.（3）证明∵f(-1)=a-2＜a,∴f(x)的图象不可能总在直线y=a的上方.。