导数练习及答案
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高考数学模拟卷基础题型训练(1)姓名:导数概念公式【笔记】课堂练习1、在曲线2y x =上切线倾斜角为4π的点是( D ) A .(0,0) B .(2,4) C .11(,)416 D .11(,)24【笔记】 2、曲线221y x =+在点(1,3)P -处的切线方程为( A )A .41y x =--B .47y x =--C .41y x =-D .47y x =+【笔记】 3、函数在322y x x =-+在2x =处的切线的斜率为 10【笔记】4、函数1y x x=+的导数是( A ) A .211x -B .11x -C .211x + D .11x+ 【笔记】5、函数cos xy x=的导数是( C ) A .2sin x x - B .sin x - C .2sin cos x x x x +- D . 2cos cos x x xx+- 【笔记】6、函数sin (cos 1)y x x =+的导数是( C )A .cos2cos x x -B .cos2sin x x +C .cos2cos x x +D .2cos cos x x +【笔记】课后作业(1) 姓名:1、32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于( D )A .319 B .316 C .313 D .3102、函数sin 4y x =在点(,0)M π处的切线方程为( D )A .y x π=-B .0y =C . 4y x π=-D .44y x π=- 3、求下列函数的导数:(1)12y x =; (2)41y x=; (3)y 【答案】(1)11'12x y =, (2)54--=x y ;(3)5253-=x y4、若3'0(),()3f x x f x ==,则0x 的值为_________1±________5、函数sin x y x =的导数为___________2'sin cos xx x x y -=__________ 6、与曲线y =1ex 2相切于P (e ,e)处的切线方程是(其中e 是自然对数的底)高考数学模拟卷基础题型训练(2)姓名:1、已知曲线3:C y x =。
导数的计算练习题及答案1. 计算函数f(x) = 3x^2 - 4x + 2的导数f'(x)。
解答:根据函数f(x) = 3x^2 - 4x + 2,使用导数的定义来计算导数f'(x)。
f'(x) = lim(delta x -> 0) (f(x + delta x) - f(x)) / delta x代入函数f(x)的表达式:f'(x) = lim(delta x -> 0) [(3(x + delta x)^2 - 4(x + delta x) + 2) -(3x^2 - 4x + 2)] / delta x化简并展开:f'(x) = lim(delta x -> 0) [3(x^2 + 2x * delta x + (delta x)^2) - 4x - 4 * delta x + 2 - 3x^2 + 4x - 2] / delta xf'(x) = lim(delta x -> 0) [3x^2 + 6x * delta x + 3(delta x)^2 - 4x - 4* delta x + 2 - 3x^2 + 4x - 2] / delta xf'(x) = lim(delta x -> 0) [6x * delta x + 3(delta x)^2 - 4 * delta x] / delta xf'(x) = lim(delta x -> 0) [6x + 3 * delta x - 4]由于求导数时delta x趋近于0,所以delta x也可以看作一个无穷小量,其平方项可以忽略不计,即delta x^2 = 0。
化简结果:f'(x) = 6x - 4所以函数f(x) = 3x^2 - 4x + 2的导数f'(x)为6x - 4。
2. 计算函数g(x) = 2sin(x) + 3cos(x)的导数g'(x)。
导数练习题班级 姓名 一、选择题 1.当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A .在区间[x 0,x 1]上的平均变化率 B .在x 0处的变化率 C .在x 1处的变化量 D .在区间[x 0,x 1]上的导数 2.已知函数y =f (x )=x 2+1,则在x =2,Δx =0.1时,Δy 的值为( ) A .0.40 B .0.41 C .0.43 D .0.44 3.函数f (x )=2x 2-1在区间(1,1+Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A .4 B .4+2Δx C .4+2(Δx )2D .4x 4.如果质点M 按照规律s =3t 2运动,则在t =3时的瞬时速度为( ) A . 6 B .18 C .54 D .81 5.已知f (x )=-x 2+10,则f (x )在x =32处的瞬时变化率是( ) A .3 B .-3 C . 2 D .-2 6.设f ′(x 0)=0,则曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线( ) A .不存在 B .与x 轴平行或重合 C .与x 轴垂直 D.与x 轴相交但不垂直7.曲线y =-1x在点(1,-1)处的切线方程为( )A .y =x -2B .y =xC .y =x + 2D .y =-x -28.已知曲线y =2x 2上一点A (2,8),则A 处的切线斜率为( )A .4B .16C .8D .2 9.下列点中,在曲线y =x 2上,且在该点处的切线倾斜角为π4的是( )A .(0,0)B .(2,4)C .(14,116) D .(12,14) 10.若曲线y =x 2+ax +b 在点(0,b )处的切线方程是x -y +1=0,则( ) A .a =1,b = 1B .a =-1,b =1C .a =1,b =- 1D .a =-1,b =-1 11.已知f (x )=x 2,则f ′(3)=( )A .0B .2xC . 6D .9 12.已知函数f (x )=1x,则f ′(-3)=( ) A . 4 B.19C .-14D .-1913.函数y =x 2x +3的导数是( )A.x 2+6x ?x +3?2B.x 2+6x x +3C.-2x ?x +3?2D.3x 2+6x?x +3?2 14.若函数f (x )=12f ′(-1)x 2-2x +3,则f ′(-1)的值为( )A .0B .-1C . 1D.215.命题甲:对任意x ∈(a ,b ),有f ′(x )>0;命题乙:f (x )在(a ,b )内是单调递增的.则甲是乙的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件16.函数f (x )=(x -3)e x 的单调递增区间是( )A .(-∞,2)B .(0,3)C .(1,4)D .(2,+∞)17.函数y =ax 3-x 在R 上是减函数,则( )A .a ≥13B .a =1C .a =2D .a ≤018.函数y =4x 2+1x的单调递增区间是( )A .(0,+∞)B .(-∞,1)C .(12,+∞) D .(1,+∞) 19.“函数y =f (x )在一点的导数值为0”是“函数y =f (x )在这点取极值”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件20.设x 0为可导函数f (x )的极值点,则下列说法正确的是( )A .必有f ′(x 0)=0B .f ′(x 0)不存在C .f ′(x 0)=0或f ′(x 0)不存在D .f ′(x 0)存在但可能不为0 22.函数f (x )=x 3+ax 2+3x -9,已知f (x )在x =-3时取得极值,则a =( )A .2B .3C .4D .5 23.函数f (x )的定义域为开区间(a ,b ),导函数f ′(x )在(a ,b )内的图象如图所示,则函数f (x )在开区间(a ,b )内的极小值点有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 24.函数f (x )=-13x 3+12x 2+2x 取极小值时,x 的值是( ) A .2 B .2,- 1 C .-1 D .-3 25.函数f (x )=-x 2+4x +7,在x ∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( ) A .f (2),f (3) B .f (3),f (5) C .f (2),f (5) D .f (5),f (3) 26.f (x )=x 3-3x 2+2在区间[-1,1]上的最大值是( ) A .-2 B .0 C .2 D .4 27.函数f (x )=x 3-3x 2-9x +k 在区间[-4,4]上的最大值为10,则其最小值为( ) A .-10 B .-71 C .-15 D .-22 28.(2010年高考山东卷)已知某生产厂家的年利润y (单元:万元)与年产量x (单位:万件)的函数关系式为y =-13x 3+81x -234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( ) A .13万件 B .11万件 C .9万件 D .7万件 29.一点沿直线运动,如果由始点起经过t 秒运动的距离为s =14t 4-53t 3+2t 2,那么速度为零的时刻是( )A.1秒末 B.0秒 C.4秒末D.0,1,4秒末二、填空题1.设函数y=f(x)=ax2+2x,若f′(1)=4,则a=________.2.若曲线y=2x2-4x+a与直线y=1相切,则a=________.3.已知函数y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则ba=________.4.令f(x)=x2·e x,则f′(x)等于________.5.函数y=x2+4x在x=x0处的切线斜率为2,则x0=________.6.若y=10x,则y′|x=1=________.7.一物体的运动方程是s(t)=1t,当t=3时的瞬时速度为________.8.设f(x)=ax2-b sin x,且f′(0)=1,f′(π3)=12,则a=________,b=________.9.y=x3-6x+a的极大值为________.10.函数y=x e x的最小值为________.11.做一个容积为256 dm3的方底无盖水箱,它的高为______dm时最省料.12.有一长为16 m的篱笆,要围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是________m2.三、解答题1.求下列函数的导数:(1)y=3x2+x cos x; (2)y=x1+x;(3)y=lg x-e x.2.已知抛物线y=x2+4与直线y=x +10,求:(1)它们的交点; (2)抛物线在交点处的切线方程.3.求下列函数的单调区间:(1)y=x-ln x;(2)y=12x .4.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,当x=-1时,取得极大值7;当x=3时,取得极小值,求这个极小值及a、b、c的值.5.已知函数f(x)=13x3-4x+4.(1)求函数的极值;(2)求函数在区间[-3,4]上的最大值和最小值.导数练习题答案班级姓名一、选择题1.当自变量从x0变到x1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )A.在区间[x0,x1]上的平均变化率B.在x0处的变化率C.在x1处的变化量D.在区间[x0,x1]上的导数答案:A2.已知函数y=f(x)=x2+1,则在x =2,Δx=0.1时,Δy的值为( ) A.0.40B .0.41C.0.43D .0.44解析:选 B.Δy=f(2.1)-f(2)=2.12-22=0.41.3.函数f(x)=2x2-1在区间(1,1+Δx)上的平均变化率ΔyΔx等于( )A. 4B .4+2ΔxC.4+2(Δx)2D .4x解析:选B.因为Δy=[2(1+Δx)2-1]-(2×12-1)=4Δx+2(Δx)2,所以ΔyΔx=4+2Δx,故选B.4.如果质点M按照规律s=3t2运动,则在t=3时的瞬时速度为( )A. 6B .18C.54D .81解析:选B.ΔsΔt=3?3+Δt?2-3×32Δt,s′=li mΔt→0ΔsΔt=li mΔt→0(18+3Δt)=18,故选B.5.已知f(x)=-x2+10,则f(x)在x=32处的瞬时变化率是( )A. 3B .-3C. 2D .-2解析:选B.6.设f′(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线( )A.不存在B .与x轴平行或重合C.与x轴垂直D .与x轴相交但不垂直解析:选B.函数在某点处的导数为零,说明相应曲线在该点处的切线的斜率为零.7.曲线y=-1x在点(1,-1)处的切线方程为( )A.y=x- 2B .y=xC.y=x+ 2D.y=-x-2解析:选 A.f′(1)=li mΔx→0-11+Δx+11Δx=li mΔx→011+Δx=1,则在(1,-1)处的切线方程为y+1=x-1,即y=x-2.8.已知曲线y=2x2上一点A(2,8),则A处的切线斜率为( )A. 4B.16C.8D.2解析:选C.9.下列点中,在曲线y=x2上,且在该点处的切线倾斜角为π4的是( ) A.(0,0)B .(2,4)C.(14,116)D.(12,14)故选D.10.若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则( )A.a=1,b= 1B.a=-1,b=1C.a=1,b=- 1D.a=-1,b=-1解析:选A.11.已知f(x)=x2,则f′(3)=( ) A.0 B.2xC.6 D.9解析:选C.∵f ′(x )=2x ,∴f ′(3)=6.12.已知函数f (x )=1x,则f ′(-3)=( )A .4 B.19 C .-14 D .-19解析:选 D.∵f ′(x )=-1x2,∴f ′(-3)=-19. 13.函数y =x 2x +3的导数是( ) A.x 2+6x ?x +3?2 B.x 2+6x x +3 C.-2x ?x +3?2 D.3x 2+6x ?x +3?2 解析:选A14.若函数f (x )=12f ′(-1)x 2-2x +3,则f ′(-1)的值为( )A .0B .-1C .1D .2解析:选 B.∵f (x )=12f ′(-1)x 2-2x +3,∴f ′(x )=f ′(-1)x -2.∴f ′(-1)=f ′(-1)×(-1)-2.∴f ′(-1)=-1. 15.命题甲:对任意x ∈(a ,b ),有f ′(x )>0;命题乙:f (x )在(a ,b )内是单调递增的.则甲是乙的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A.f (x )=x 3在(-1,1)内是单调递增的,但f ′(x )=3x 2≥0(-1<x <1),故甲是乙的充分不必要条件,选A. 16.函数f (x )=(x -3)e x 的单调递增区间是( ) A .(-∞,2) B .(0,3)C .(1,4)D .(2,+∞解析:选 D.f ′(x )=(x -3)′e x+(x -3)(e x )′=(x -2)e x , 令f ′(x )>0,解得x >2,故选D.17.函数y =ax 3-x 在R 上是减函数,则( ) A .a ≥13 B .a =1 C .a =2 D .a ≤0解析:选D.因为y ′=3ax 2-1,函数y =ax 3-x 在(-∞,+∞)上是减函数, 所以y ′=3ax 2-1≤0恒成立, 即3ax 2≤1恒成立. 当x =0时,3ax 2≤1恒成立,此时a ∈R ;当x ≠0时,若a ≤13x2恒成立,则a ≤0.综上可得a ≤0.18.函数y =4x 2+1x的单调递增区间是( )A .(0,+∞)B .(-∞,C .(12,+∞)D .(1,+∞解析:选 C.∵y ′=8x -1x 2=8x 3-1x 2>0,∴x >12. 即函数的单调递增区间为(12,+∞). 19.“函数y =f (x )在一点的导数值为0”是“函数y =f (x )在这点取极值”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选B.对于f(x)=x3,f′(x)=3x2,f′(0)=0,不能推出f(x)在x =0处取极值,反之成立.故选B. 20.设x0为可导函数f(x)的极值点,则下列说法正确的是( )A.必有f′(x0)=0B.f′(x0)不存在C.f′(x0)=0或f′(x0)不存在D.f′(x0)存在但可能不为0答案:A22.函数f(x)=x3+ax2+3x-9,已知f(x)在x=-3时取得极值,则a=( )A.2 B.3C.4 D.5解析:选D.f′(x)=3x2+2ax+3,∵f(x)在x=-3处取得极值,∴f′(-3)=0,即27-6a+3=0,∴a=5.23.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内的极小值点有( )A.1个B.2个C.3个D.4个解析:选A.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如题图所示,函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点即函数由减函数变为增函数的点,其导数值为由负到正的点,只有1个.24.函数f(x)=-13x3+12x2+2x取极小值时,x的值是( )A.2 B.2,-1C.-1 D.-3解析:选C.f′(x)=-x2+x+2=-(x-2)(x+1).∵在x=-1的附近左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,如图所示:∴x=-1时取极小值.25.函数f(x)=-x2+4x+7,在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( )A.f(2),f(3)B.f(3),f(5)C.f(2),f(5) D.f(5),f(3)解析:选B.∵f′(x)=-2x+4,∴当x∈[3,5]时,f′(x)<0,故f(x)在[3,5]上单调递减,故f(x)的最大值和最小值分别是f(3),f(5).26.f(x)=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值是( )A.-2 B.0C.2 D.4解析:选 C.f′(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f′(x)=0可得x=0或x =2(舍去),当-1≤x<0时,f′(x)>0,当0<x≤1时,f′(x)<0.所以当x=0时,f(x)取得最大值为2.27.函数f(x)=x3-3x2-9x+k在区间[-4,4]上的最大值为10,则其最小值为( )A.-10 B.-71C.-15 D.-22解析:选B.f′(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1).由f′(x)=0得x=3,-1.又f(-4)=k-76,f(3)=k-27,f(-1)=k+5,f(4)=k-20.由f(x)max=k+5=10,得k=5,∴f(x)min=k-76=-71. 28.(2010年高考山东卷)已知某生产厂家的年利润y(单元:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-1 3x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A.13万件B.11万件C.9万件D.7万件解析:选C29.一点沿直线运动,如果由始点起经过t秒运动的距离为s=14t4-53t3+2t2,那么速度为零的时刻是( )A.1秒末B.0秒C.4秒末D.0,1,4秒末解析:选D.∵s′=t3-5t2+4t,令s′=0,得t1=0,t2=1,t3=4,此时的函数值最大,故选D.二、填空题1.设函数y=f(x)=ax2+2x,若f′(1)=4,则a=________.答案:12.若曲线y=2x2-4x+a与直线y=1相切,则a=________.答案:33.已知函数y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则ba=________.答案:24.令f(x)=x2·e x,则f′(x)等于________.解析:f′(x)=(x2)′·e x+x2·(e x)′=2x·e x+x2·e x=e x(2x+x2).答案:e x(2x+x2)5.函数y=x2+4x在x=x0处的切线斜率为2,则x0=________.解析:2=li mΔx→0 ?x0+Δx?2+4?x0+Δx?-x20-4x0Δx=2x0+4,∴x0=-1.答案:-16.若y=10x,则y′|x=1=________.解析:∵y′=10x ln10,∴y′|x=1=10ln10.答案:10ln107.一物体的运动方程是s(t)=1t,当t =3时的瞬时速度为________.解析:∵s′(t)=-1t2,∴s′(3)=-132=-19.答案:-198.设f(x)=ax2-b sin x,且f′(0)=1,f′(π3)=12,则a=________,b=________.解析:∵f′(x)=2ax-b cos x,f′(0)=-b=1得b=-1,f′(π3)=23πa+12=12,得a=0.答案:0 -19.y=x3-6x+a的极大值为________.解析:y′=3x2-6=0,得x=± 2.当x<-2或x>2时,y′>0;当-2 <x<2时,y′<0.∴函数在x=-2时,取得极大值a+4 2.答案:a+4 210.函数y=x e x的最小值为________.解析:令y′=(x+1)e x=0,得x =-1.当x<-1时,y′<0;当x>-1时,y′>0.∴y min=f(-1)=-1 e .答案:-1 e11.做一个容积为256 dm3的方底无盖水箱,它的高为______dm时最省料.解析:设底面边长为x,则高为h=256x2,其表面积为S=x2+4×256x2×x=x2+256×4x,S′=2x-256×4x2,令S′=0,则x=8,则高h=25664=4 (dm).答案:412.有一长为16 m的篱笆,要围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是________m2.解析:设矩形的长为x m,则宽为16-2x2=(8-x) m(0<x<8),∴S(x)=x(8-x)=-x2+8x∴S′(x)=-2x+8,令S′(x)=0,则x=4,又在(0,8)上只有一个极值点,且x∈(0,4)时,S(x)单调递增,x∈(4,8)时,S(x)单调递减,故S(x)max=S(4)=16.答案:16三、解答题1.求下列函数的导数:(1)y=3x2+x cos x;(2)y=x1+x;(3)y=lg x-e x.解:(1)y′=6x+cos x-x sin x.(2)y′=1+x-x?1+x?2=1?1+x?2.(3)y′=(lg x)′-(e x)′=1x ln10-e x.2.已知抛物线y=x2+4与直线y=x+10,求:(1)它们的交点;(2)抛物线在交点处的切线方程.解:(1)由⎩⎨⎧y=x2+4,y=x+10,得x2+4=10+x,即x2-x-6=0,∴x=-2或x=3.代入直线的方程得y=8或13.∴抛物线与直线的交点坐标为(-2,8)或(3,13).(2)∵y=x2+4,∴y′=limΔx→0?x+Δx?2+4-?x2+4?Δx=limΔx→0?Δx?2+2x·ΔxΔx=limΔx→0(Δx+2x)=2x.∴y′|x=-2=-4,y′|x=3=6,即在点(-2,8)处的切线斜率为-4,在点(3,13)处的切线斜率为6.∴在点(-2,8)处的切线方程为4x+y=0;在点(3,13)处的切线方程为6x-y-5=0.3.求下列函数的单调区间:(1)y=x-ln x;(2)y=12x.解:(1)函数的定义域为(0,+∞).其导数为y′=1-1x.令1-1x>0,解得x>1;再令1-1x<0,解得0<x<1.因此,函数的单调增区间为(1,+∞),函数的单调减区间为(0,1).4.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,当x =-1时,取得极大值7;当x =3时,取得极小值,求这个极小值及a 、b 、c的值.解:f ′(x )=3x 2+2ax +b ,依题意可知-1,3是方程3x 2+2ax +b =0的两个根,则有⎩⎨⎧-1+3=-23a ,-1×3=b3,解得⎩⎨⎧a =-3,b =-9,∴f (x )=x 3-3x 2-9x +c .由f (-1)=7,得-1-3+9+c =7,∴c =2.∴极小值为f (3)=33-3×32-9×3+2=-25.5.已知函数f (x )=13x 3-4x +4.(1)求函数的极值;(2)求函数在区间[-3,4]上的最大值和最小值.解:(1)f ′(x )=x 2-4,解方程x 2-4=0,得x 1=-2,x 2=2.当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化数有极大值,且极大值为283;而当x =2时,函数有极小值,且极小值为-43.(2)f (-3)=13×(-3)3-4×(-3)+4=7,f (4)=13×43-4×4+4=283,与极值比较,得函数在区间[-3,4]上的最大值是283,最小值是-43.。
【巩固练习】一、选择题1.设函数310()(12)f x x =-,则'(1)f =( )A .0B .―1C .―60D .602.(2014 江西校级一模)若2()2ln f x x x =-,则'()0f x >的解集为( )A.(0,1)B.()(),10,1-∞-C. ()()1,01,-+∞D.()1,+∞3.(2014春 永寿县校级期中)下列式子不正确的是( )A.()'23cos 6sin x x x x +=-B. ()'1ln 22ln 2x x x x -=- C. ()'2sin 22cos 2x x = D.'2sin cos sin x x x x x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 4.函数4538y x x =+-的导数是( ) A .3543x + B .0 C .3425(43)(38)x x x ++- D .3425(43)(38)x x x +-+- 5.(2015 安徽四模)已知函数()f x 的导函数为'()f x ,且满足关系式2'()3(2)ln f x x xf x =++,则'(2)f 的值等于( )A. 2B.-2C.94 D.94- 6.设曲线1(1)1x y x x +=≠-在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=( ) A .2 B .12 C .―12D .―2 7.23log cos (cos 0)y x x =≠的导数是( )A .32log tan e x -⋅B .32log cot e x ⋅C .32log cos e x -⋅D .22log cos e x 二、填空题8.曲线y=sin x 在点,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为________。
9.设y=(2x+a)2,且2'|20x y ==,则a=________。
10.31sin x x '⎛⎫-= ⎪⎝⎭____________,()2sin 25x x '+=⎡⎤⎣⎦____________。
求导练习题带答案求导是微积分中的一项基本技能,它可以帮助我们理解函数的变化率以及找到函数的极值点。
以下是一些求导的练习题及其答案,适合初学者练习。
练习题1:求函数 f(x) = x^3 的导数。
解:根据幂函数的求导法则,对于函数 f(x) = x^n,其导数为 f'(x) = n * x^(n-1)。
因此,对于 f(x) = x^3,我们有 f'(x) = 3 *x^(3-1) = 3x^2。
练习题2:求函数 g(x) = sin(x) 的导数。
解:根据三角函数的求导法则,sin(x) 的导数是 cos(x)。
所以,g'(x) = cos(x)。
练习题3:求函数 h(x) = 2x^2 + 3x - 1 的导数。
解:根据多项式的求导法则,我们可以分别对每一项求导,然后将结果相加。
对于 h(x) = 2x^2 + 3x - 1,我们有 h'(x) = 2 * 2x^(2-1) + 3 * 1x^(1-1) - 0 = 4x + 3。
练习题4:求函数 k(x) = (x^2 - 1)^3 的导数。
解:这里我们使用链式法则和幂函数的求导法则。
首先,设 u = x^2- 1,那么 k(x) = u^3。
u 的导数是 u' = 2x,而 u^3 的导数是3u^2。
应用链式法则,我们得到 k'(x) = 3u^2 * u' = 3(x^2 - 1)^2 * 2x = 6x(x^2 - 1)。
练习题5:求函数 m(x) = e^x 的导数。
解:根据指数函数的求导法则,e^x 的导数是它自身。
所以,m'(x) = e^x。
练习题6:求函数 n(x) = ln(x) 的导数。
解:自然对数函数 ln(x) 的导数是 1/x。
因此,n'(x) = 1/x。
练习题7:求函数 p(x) = (3x - 2)^5 的导数。
解:使用链式法则和幂函数的求导法则。
导数练习题(含答案)导数概念及其几何意义、导数的运算一、选择题:1 已知32()32f x ax x =++,若(1)4f '-=,则a 的值等于A 193B 103C 163D 1332 已知直线1y kx =+与曲线3y xax b =++切于点(1,3),则b 的值为A 3B -3C 5D -5 3 函数2y x a a =+2()(x-)的导数为 A 222()xa - B 223()xa + C 223()xa - D 222()xa +4 曲线313y xx=+在点4(1,)3处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 A 19 B 29 C 13 D 23 5 已知二次函数2y axbx c=++的导数为(),(0)0f x f ''>,对于任意实数x ,有()0f x ≥,则(1)(0)f f '的最小值为 A 3 B 52 C 2 D 326 已知函数()f x 在1x =处的导数为3,则()f x 的解析式可能为 A 2()(1)3(1)f x x x =-+- B()2(1)f x x =- C 2()2(1)f x x =- D()1f x x =-7 下列求导数运算正确的是A 211()1x x x '+=+ B 21(log )ln 2x x '= C 3(3)3log xxe'=⋅ D2(cos )2sin x x x x'=-8 曲线32153y x x =-+在1x =处的切线的倾斜角为A 6πB 34πC 4πD 3π9 曲线3231y xx =-+在点(1,1)-处的切线方程为A 34y x =-B 32y x =-+C 43y x =-+ D45y x =-10 设函数sin cos y x x x =+的图像上的点(,)x y 处的切线斜率为k ,若()k g x =,则函数()k g x =的图像大致为11 一质点的运动方程为253s t =-,则在一段时间[1,1]t +∆内相应的平均速度为A 36t ∆+B 36t -∆+C 36t ∆-D 36t -∆-12 曲线()ln(21)f x x =-上的点到直线230x y -+=的最短距离是A 5B 25 5 D 0 13 过曲线32y xx =+-上的点0P 的切线平行于直线41y x =-,则切点0P 的坐标为A (0,1)(1,0)-或B (1,4)(1,0)--或C (1,4)(0,2)---或D (2,8)(1,0)或14 点P 在曲线323y xx =-+上移动,设点P 处切线的倾斜A BC D角为α,则角α的取值范围是A [0,]2πB 3[0,)[,)24πππC 3[,)4ππ D 3(,]24ππ二、填空题15 设()y f x =是二次函数,方程()0f x =有两个相等实根,且()22f x x '=+,则()y f x =的表达式是______________ 16函数2sin x y x=的导数为_________________________________17 已知函数()y f x =的图像在点(1,(1))M f 处的切线方程是122y x =+,则(1)(1)f f '+=_________18 已知直线y kx =与曲线ln y x =有公共点,则k 的最大值为___________________________ 三、解答题19 求下列函数的导数 (1)1sin 1cos x y x-=+ (2)5sin x x xy ++=(3)11x xy x x=-+ (4)tan y x x=⋅20 已知曲线21:Cy x =与22:(2)Cy x =--,直线l 与12,C C 都相切,求直线l 的方程21 设函数()b f x ax x =-,曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --= (1)求()f x 的解析式(2)证明:曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值,并求此定值。
1、函数f(*)=(2*2―k*+k)·e -*(Ⅰ)当k 为何值时,)(x f 无极值;(Ⅱ)试确定实数k 的值,使)(x f 的极小值为0 2、函数()ln f x ax x =+()a ∈R .(Ⅰ)假设2a =,求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率;(Ⅱ)求()f x 的单调区间;〔Ⅲ〕设2()22g x x x =-+,假设对任意1(0,)x ∈+∞,均存在[]20,1x ∈,使得12()()f x g x <,求a 的取值围. 3、设函数()1x f x x ae -=-。
〔I 〕求函数()f x 单调区间; 〔II 〕假设()0R f x x ≤∈对恒成立,求a 的取值围;〔III 〕对任意n 的个正整数1212,,nn a a a a a a A n++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=记〔1〕求证:()11,2,i a iAa e i n A-≤=⋅⋅⋅〔2〕求证:A ≥4、函数b x x a x a x f +++-=23213)(,其中,a b ∈R . 〔Ⅰ〕假设曲线)(x f y =在点))2(,2(f P 处的切线方程为45-=x y ,求函数)(x f 的解析式; 〔Ⅱ〕当0>a 时,讨论函数)(x f 的单调性. 5、函数2()(21)(R x f x ax x e a -=-+⋅∈,e 为自然对数的底数).(I)当时,求函数()f x 的极值;(Ⅱ)假设函数()f x 在[-1,1]上单调递减,求a 的取值围. 6、函数2()(33)x f x x x e =-+⋅,设2t >-,(2),()f m f t n -==.〔Ⅰ〕试确定t 的取值围,使得函数()f x 在[]2,t -上为单调函数;〔Ⅱ〕试判断,m n 的大小并说明理由;〔Ⅲ〕求证:对于任意的2t >-,总存在0(2,)x t ∈-,满足0'20()2(1)3x f x t e =-,并确定这样的0x 的个数.7、函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-.〔Ⅰ〕假设()f x 在1x =处取得极值,求a 的值;〔Ⅱ〕求函数()y f x =在2[,]a a 上的最大值. 8、函数221()()ln 2f x ax x x ax x =--+.()a ∈R . 〔I 〕当0a =时,求曲线()y f x =在(e,(e))f 处的切线方程〔e 2.718...=〕; 〔II 〕求函数()f x 的单调区间.9、函数()(1)e (0)xa f x x x=->,其中e 为自然对数的底数.〔Ⅰ〕当2a =时,求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的面积;〔Ⅱ〕假设函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点,且极大值与极小值的积为5e ,求a 的值.10、函数36)2(23)(23-++-=x x a ax x f . 〔1〕当1=a 时,求函数)(x f 的极小值;〔2〕试讨论曲线)(x f y =与x 轴的公共点的个数。
一.解答题(共15小题)1.请默写基础初等函数的导数公式:(1)(C)′=,C为常数;(2)(xα)′=,α为常数;(3)(a x)′=,a为常数,a>0且a≠1;(4)(log a x)′=,a为常数,a>0且a≠1;(5)(sin x)′=;(6)(cos x)′=.2.求下列函数的导数(1)y=x2﹣7x+6;(2)y=x+2sin x,x∈(0,2π).3.求下列函数的导数:(1)f(x)=3x4+sin x;(2).4.求下列函数的导数:(1)y=ln(2x+1);(2).5.求下列函数的导数:(1);(2)g(x)=(8﹣3x)7;(3)p(x)=5cos(2x﹣3);(4)w(x)=ln(5x+6)2.6.求下列函数的导数.(Ⅰ);(Ⅱ).7.求下列函数的导数.(1)f(x)=sin x cos x;(2)y=.8.求下列函数的导数.(1)y=;(2)y=(2x2+3)(3x﹣2).9.求下列函数的导数:(1);(2).10.求下列函数的导数:(1)S(t)=;(2)h(x)=(2x2+3)(3x﹣2).11.求下列函数的导数.(1);(2).12.求下列函数的导数:(1)y=;(2)y=.13.求下列函数的导数:(1)y=sin x+lnx;(2)y=cos x+x;(3)y=x sin x;(4);(5)y=3x2+x cos x;(6).14.求下列函数的导数.(1)y=x3﹣2x+3;(2)y=x sin(2x+5).15.求下列函数的导数:(1)y=(x2+3x+3)e x+1;(2)解析一.解答题(共15小题)1.请默写基础初等函数的导数公式:(1)(C)′=0,C为常数;(2)(xα)′=αxα﹣1,α为常数;(3)(a x)′=a x lna,a为常数,a>0且a≠1;(4)(log a x)′=,a为常数,a>0且a≠1;(5)(sin x)′=cos x;(6)(cos x)′=﹣sin x.分析:根据初等函数的导数公式,直接求解即可.解答:解:(1)(C)′=0,(2)(xα)′=αxα﹣1,(3)(a x)′=a x lna,(4)(log a x)′=,(5)(sin x)′=cos x,(6)(cos x)′=﹣sin x.故答案为:(1)0;(2)αxα﹣1;(3)a x lna;(4);(5)cos x;(6)﹣sin x.点评:本题主要考查初等函数的导数公式,比较基础.2.求下列函数的导数(1)y=x2﹣7x+6;(2)y=x+2sin x,x∈(0,2π).分析:利用导数的运算性质逐个化简即可求解.解答:解:(1)由已知可得y′=2x﹣7;(2)由已知可得y′=1+2cos x.点评:本题考查了导数的运算性质,属于基础题.3.求下列函数的导数:(1)f(x)=3x4+sin x;(2).分析:(1)(2)由基本初等函数的导数公式及导数加减、乘法法则求导函数即可.解答:解:(1)f(x)=3x4+sin x则f′(x)=12x3+cos x;(2),则f′(x)=+﹣2e2x﹣1.点评:本题主要考查导数的基本运算,比较基础.4.求下列函数的导数:(1)y=ln(2x+1);(2).分析:根据导数的公式即可得到结论.解答:解:(1)∵y=ln(2x+1),∴y′=×2=,(2)∵,∴y′=﹣sin(﹣2x)×(﹣2)=2sin(﹣2x)=﹣2sin(2x﹣).点评:本题主要考查导数的基本运算,比较基础.5.求下列函数的导数:(1);(2)g(x)=(8﹣3x)7;(3)p(x)=5cos(2x﹣3);(4)w(x)=ln(5x+6)2.分析:根据复合函数的求导法则、基本初等函数的求导公式求导计算即可.解答:解:(1)∵,∴.(2)∵g(x)=(8﹣3x)7,∴g'(x)=7(8﹣3x)6⋅(8﹣3x)'=﹣21(8﹣3x)6.(3)∵p(x)=5cos(2x﹣3),∴p'(x)=﹣5sin(2x﹣3)⋅(2x﹣3)'=﹣10sin(2x﹣3).(4)∵w(x)=ln(5x+6)2,∴点评:本题考查导数的计算,注意复合函数的导数计算,属于基础题.(Ⅰ);(Ⅱ).分析:根据导数的公式即可得到结论.解答:解:(Ⅰ)=.(Ⅱ).点评:本题主要考查导数的基本运算,比较基础.7.求下列函数的导数.(1)f(x)=sin x cos x;(2)y=.分析:利用导数的运算性质化简即可求解.解答:解:(1)因为f(x)=sin x cos x=sin2x,所以f′(x)=cos2x×=cos2x,(2)∵y=,∴y′==.点评:本题考查了导数的运算性质,考查了学生的运算求解能力,属于基础题.8.求下列函数的导数.(1)y=;(2)y=(2x2+3)(3x﹣2).分析:根据导数的公式,即可依次求解.解答:解:(1)y'==.(2)因为y=(2x2+3)(3x﹣2)=6x3﹣4x2+9x﹣6,所以y′=18x2﹣8x+9.点评:本题主要考查导数的运算,属于基础题.(1);(2).分析:(1)先展开f(x),然后求导即可;(2)根据基本初等函数和商的导数的求导公式求导即可.解答:解:(1),;(2).点评:本题考查了基本初等函数和商的导数的求导公式,考查了计算能力,属于基础题.10.求下列函数的导数:(1)S(t)=;(2)h(x)=(2x2+3)(3x﹣2).分析:结合基本初等函数的求导公式及求导法则求解即可.解答:解:(1)S(t)==t+,所以S′(t)=1﹣;(2)h(x)=(2x2+3)(3x﹣2),所以h′(x)=4x(3x﹣2)+3(2x2+3)=18x2﹣8x+9.点评:本题主要考查了基本初等函数的求导公式及求导法则,属于基础题.11.求下列函数的导数.(1);(2).分析:利用复合函数的导函数的求法,结合导数的运算求解即可.解答:解:(1),所以;(2)所以.点评:本题考查了导函数的求法,重点考查了导数的运算,属基础题.12.求下列函数的导数:(1)y=;(2)y=.分析:直接利用基本初等函数的导数公式,复合函数的导数公式以及导数的四则运算求解即可.解答:解:(1)令t=1﹣2x2,则,所以;(2).点评:本题考查了导数的运算,解题的关键是掌握基本初等函数的导数公式,复合函数的导数公式以及导数的四则运算,考查了运算能力,属于基础题.13.求下列函数的导数:(1)y=sin x+lnx;(2)y=cos x+x;(3)y=x sin x;(4);(5)y=3x2+x cos x;(6).分析:由已知结合函数的求导公式即可求解.解答:解:(1)y′=cos x+;(2)y′=﹣sin x+1;(3)y′=sin x+x cos x;(4)y′==;(5)y′=6x+cos x﹣x sin x;(6)y′==﹣.点评:本题主要考查了函数的求导公式的应用,属于基础题.14.求下列函数的导数.(1)y=x3﹣2x+3;(2)y=x sin(2x+5).分析:根据基本初等函数和复合函数的求导公式求导即可.解答:解:(1)y′=3x2﹣2;(2)y′=sin(2x+5)+2x cos(2x+5).点评:本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式,考查了计算能力,属于基础题.15.求下列函数的导数:(1)y=(x2+3x+3)e x+1;(2).分析:利用导数的运算法则以及常见函数的导数进行求解即可.解答:解:(1)因为y=(x2+3x+3)e x+1,所以y'=[(x2+3x+3)e x+1]'=(x2+3x+3+2x+3)e x+1=(x2+5x+6)e x+1=(x+2)(x+3)e x+1;(2)因为,所以.点评:本题考查了导数的运算,主要考查了导数的运算法则以及常见函数的导数公式,考查了化简运算能力,属于基础题.。
1.设正弦函数y =sin x 在x =0和x =π2附近的平均变化率为k 1,k 2,则k 1,k 2的大小关系为( )A .k 1>k 2B .k 1<k 2C .k 1=k 2D .不确定2.设y =-2e xsin x ,则y ′等于( )A .-2e x cos xB .-2e xsin xC .2e x sin xD .-2e x(sin x +cos x )3.已知m <0,f (x )=mx 3+27x m,且f ′(1)≥-18,则实数m 等于( )A .-9B .-3C .3D .94.若曲线y =x 3-2ax 2+2ax 上任意点处的切线的倾斜角都是锐角,求整数a 的值.5.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t 秒后的位移为s =13t 3-32t 2+2t ,那么速度为零的时刻是( )A .0秒B .1秒末C .2秒末D .1秒末和2秒末6.已知二次函数f (x )的图象如图所示,则其导函数f ′(x )的图象大致形状是( )7.曲线y =13x 3+12x 2在点T (1,56)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A.4918B.4936C.4972D.49144 8.(2009年高考安徽卷)设函数f (x )=sin θ3x 3+3cos θ2x 2+tan θ,其中θ∈[0,5π12],则导数f ′(1)的取值范围是( )A .[-2,2]B .[2,3]C .[3,2]D .[2,2]9.已知函数y =f (x )的图象在点M (1,f (1))处的切线方程是y =12x +2,则f (1)+f ′(1)=________.10.下列图象中,有一个是函数f (x )=13x 3+ax 2+(a 2-1)x +1(a ∈R ,a ≠0)的导函数f ′(x )的图象,则f (-1)=________.11.已知函数f (x )=x 3-3x 及y =f (x )上一点P (1,-2),过点P 作直线l .(1)求使直线l 和y =f (x )相切且以P 为切点的直线方程; (2)求使直线l 和y =f (x )相切且切点异于P 的直线方程.12.(2008年高考海南、宁夏卷)设函数f (x )=ax -b x,曲线y =f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为7x -4y -12=0.(1)求f (x )的解析式;(2)证明:曲线y =f (x )上任一点处的切线与直线x =0和直线y =x 所围成的三角形面积为定值,并求此定值.13.函数y =3x 2-6ln x 的单调增区间为________,单调减区间为________.14.(2009年高考北京卷)设函数f (x )=x 3-3ax +b (a ≠0).(1)若曲线y =f (x )在点(2,f (2))处与直线y =8相切,求a ,b 的值; (2)求函数f (x )的单调区间与极值点.15.函数f (x )=x 3-6b 2x +3b 在(0,1)内有极小值,则( )A .b >0B .b <12C .0<b <22D .b <1 16.已知函数f (x )的导数为f ′(x )=4x 3-4x ,且f (x )的图象过点(0,-5),当函数f (x )取得极大值-5时,x 的值应为( )A .-1B .0C .1D .±117.直线y =a 与函数f (x )=x 3-3x 的图象有相异的三个公共点,则a 的取值范围是________.1,解析:选A.∵y =sin x ,∴y ′=(sin x )′=cos x ,k 1=cos0=1,k 2=cos π2=0,∴k 1>k 2.2, 解析:选D.∵y =-2e xsin x ,∴y ′=(-2e x )′sin x +(-2e x)·(sin x )′=-2e x sin x -2e xcos x=-2e x(sin x +cos x ).3, 解析:选B.由于f ′(x )=3mx 2+27m,故f ′(1)≥-183m +27m≥-18,由m <0得3m+27m≥-183m 2+18m +27≤03(m +3)2≤0,故m =-3.4解:∵曲线y =x 3-2ax 2+2ax ,∴该曲线上任意点处切线的斜率k =y ′=3x 2-4ax +2a . 又∵切线的倾斜角都是锐角,∴k >0恒成立,即3x 2-4ax +2a >0恒成立.∴Δ=(-4a )2-4×3×2a =16a 2-24a <0,∴0<a <32.又∵a ∈Z ,∴a =1.5解析:选D.∵s =13t 3-32t 2+2t ,∴v =s ′(t )=t 2-3t +2,令v =0得,t 2-3t +2=0,解得t 1=1,t 2=2.6解析:选B.设二次函数为y =ax 2+b (a <0,b >0),则y ′=2ax ,又∵a <0,故选B.7, 解析:选D.易知点T 为切点,由f ′(1)=2,故切线方程为:y =2x -76,其在两坐标轴的截距分别为712,-76,故直线与两坐标轴围成的三角形面积S =12×712×|-76|=49144.8, 解析:选D.∵f ′(x )=sin θ·x 2+3cos θ·x ,∴f ′(1)=sin θ+3cos θ=2sin(θ+π3).∵θ∈[0,5π12],∴θ+π3∈[π3,3π4].∴sin(θ+π3)∈[22,1].∴2sin(θ+π3)∈[2,2].9, 解析:由已知切点在切线上,所以f (1)=12+2=52,切点处的导数为切线的斜率,所以f ′(1)=12,所以f (1)+f ′(1)=3.答案:310, 解析:∵f ′(x )=x 2+2ax +(a 2-1),∴导函数f ′(x )的图象开口向上.又∵a ≠0,其图象必为第三张图.由图象特征知f ′(0)=0, 且-a >0, ∴a =-1.故f (-1)=-13-1+1=-13.11, 解:(1)由f (x )=x 3-3x 得,f ′(x )=3x 2-3,过点P 且以P (1,-2)为切点的直线的斜率f ′(1)=0,∴所求直线方程为y =-2;(2)设过P (1,-2)的直线l 与y =f (x )切于另一点(x 0,y 0),则f ′(x 0)=3x 02-3. 又直线过(x 0,y 0),P (1,-2),故其斜率可表示为y 0-(-2)x 0-1=x 03-3x 0+2x 0-1,又x 03-3x 0+2x 0-1=3x 02-3,即x 03-3x 0+2=3(x 02-1)·(x 0-1),解得x 0=1(舍)或x 0=-12,故所求直线的斜率为k =3×(14-1)=-94,∴y -(-2)=-94(x -1),即9x +4y -1=0.12, 解:(1)方程7x -4y -12=0可化为y =74x -3.当x =2时,y =12.又f ′(x )=a +bx2,于是⎩⎪⎨⎪⎧2a -b 2=12,a +b 4=74,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =3.故f (x )=x -3x.(2)证明:设P (x 0,y 0)为曲线上任一点,由y ′=1+3x2知曲线在点P (x 0,y 0)处的切线方程为y -y 0=(1+3x 02)(x -x 0),即y -(x 0-3x 0)=(1+3x 02)(x -x 0).令x =0得y =-6x 0,从而得切线与直线x =0的交点坐标为(0,-6x 0).令y =x 得y =x =2x 0,从而得切线与直线y =x 的交点坐标为(2x 0,2x 0).所以点P (x 0,y 0)处的切线与直线x =0,y =x 所围成的三角形面积为S =12|-6x 0||2x 0|=6.故曲线y =f (x )上任一点处的切线与直线x =0,y =x 所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.13, 解析:y ′=6x -6x =6x 2-6x.∵定义域为(0,+∞),由y ′>0得x >1,∴增区间为(1,+∞); 由y ′<0得0<x <1.∴减区间为(0,1).答案:(1,+∞) (0,1)14, 解:(1)f ′(x )=3x 2-3a ,因为曲线y =f (x )在点(2,f (2))处与直线y =8相切,所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)=0,f (2)=8,即⎩⎪⎨⎪⎧3(4-a )=0,8-6a +b =8.解得a =4,b =24.(2)f ′(x )=3(x 2-a )(a ≠0).当a <0时,f ′(x )>0,函数f (x )在(-∞,+∞)上单调递增;此时函数f (x )没有极值点.当a >0时,由f ′(x )=0得x =±a .当x ∈(-∞,-a )时,f ′(x )>0,函数f (x )单调递增; 当x ∈(-a ,a )时,f ′(x )<0,函数f (x )单调递减. 当x ∈(a ,+∞)时,f ′(x )>0,函数f (x )单调递增.此时x =-a 是f (x )的极大值点,x =a 是f (x )的极小值点.15, 解析:选C.f ′(x )=3x 2-6b 2,令f ′(x )=0,得x =±2b .∵f (x )在(0,1)内有极小值, ∴0<2b <1.∴0<b <22.16, 解析:选B.可以求出f (x )=x 4-2x 2+c ,其中c 为常数.由于f (x )过(0,-5),所以c =-5,又由f ′(x )=0,得极值点为x =0和x =±1.又x =0时,f (x )=-5.故x 的值为0.17, 解析:令f ′(x )=3x 2-3=0,得x =±1,可求得f (x )的极大值为f (-1)=2, 极小值为f (1)=-2,如图所示,-2<a <2时,恰有三个不同公共点. 答案:(-2,2)。
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例1.利用导数的定义,求出函数y=x +的导数,并据此求函数在x=1处的导数.
例2.求等边双曲线在点处的切线斜率,并写出切线方程.
例3.设f(x)是定义在R 上的函数,且对任何x 1,x 2R 都有f(x 1+x 2)=f(x 1)·f(x 2).若f(0)0,
.
(1)求f(0)的值;
(2)x 例4(1)(2)
(3)(4)例5(1);(2)
(3)(4).
例6.若函数
在区间(,求实数a 的取值范围. 例7.已知函数
.
(1)若f(x)在实数集R上单调递增,求实数a 的取值范围;
(2)是否存在实数a ,使f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在,求出a 的取值范围;若不存在,说明理由. 例8.求下列函数的极值: (1)
;
(2).
例9.已知函数,且知当x=-1时取得极大值7,当x=3时取得极小值,试求函数f(x)的极小值,并求a,b,c的值.
例10.设有一个容积V一定的有铝合金盖的圆柱形铁桶,已知单位面积铝合金的价格是铁的三倍,问:如何设计使总造价最小?
1.解析:利用导数的定义,结合求函数的导数的方法步骤进行计算.
,
(1)求函数的增量;
(2)求函数的增量与自变量的增量的比值;
(3)求极限,得函数.
2. 处的导数(即过点P
,
切线的斜率,
切线方程为y-2=-4(x-),即4x+y-4=0.
注:求导数也可以直接用公式,这里只是说明公式的推导过
3.解析:本题主要考查用导数的定义求函数的导数的方法,以及函数极限的运算.
(1)对任意都成立,
令,得f(0)=f2(0).
(2)
4.
(1)
(2)
.
(3)
.
(4),
5.解析:应用指数、对数函数的求导公式,结合函数四则运算的求导法则及复合函数的求导法则进行求导.
(1)
(2) 设,
则
(3)
(4)
6.解析:
解:
函数的导数,令12时,函数f(x),)上为增函数,不符合题意;当
,)上为增函数.依题意应有:当(1;当(6,)时,.
所以,解得,即a的取值范围是[5,7].
7. 解析:
本题主要考查导数的概念和计算,应用导数研究函数单调性的基本方法,考查综合运用数学知识解决问题的能力.
(1)由已知,f(x)在上是单调递增函数,
在上恒成立,即对恒成立.
只需,又a=0时,,
f(x)=在R上是增函数,.
(2)由在(-1,1)上恒成立.得,
(恒成立.
当时,,在(上,
即上为减函数,
8.解析:先求导数,再求方程=0的根,根据=0
(1)令,解得.
当x变化时,与
当x=-3时,y有极大值57;当x=1时,y有极小值-7.
(2)令,解得.
当x变化时,与y的变化情况如下表:
(5,
x=0不是y的极值点;x=3时,y有极大值108;x=5时,y有极小值0.
9.解析:由于是关于x的一元二次方程,所以要重视韦达定理的重要作用.
-的根,即为方程
,解得
的极小值为,
.
10.
则.由,得,
所以,所以.令,得
此时.当时,y有最小值,即时,总造价最小.
答:当时,总造价最小.。