公开课北师大版初中数学九年级《圆周角和圆心角的关系》教学课件

∵ 弦BC是直径 ，
∴ ∠A＝90 °
。
90°的圆周角所对的弦是_直__径____。
∵ ∠A＝90 ° ，
∴ 弦BC是直径
。
巩固练习
1、小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆 形.下面所示的四种圆弧形，你能判断哪个是半圆形？ 为什么？
2、如图，⊙O的直径AB=10cm，C为⊙O上的一点， ∠B=30°，求AC的长.
解：∠BAD+∠BCD＝180 ° 理由：
∵AC是直径 ∴ ∠ABC＝∠ADC＝ 90° ∵四边形ABCD内角和为360 ° ∴ ∠BAD+∠BCD＝180 °
（3）如图3-20，C点的位置发生了变化， ∠BAD与∠BCD之间有的关系还成立吗？为什么？
（4）通过前面的环节，我们发现∠BAD与∠BCD之间有什 么关系？
•
2.但是，情况终于改变了。一些急欲 挽救中 国的社 会改革 家发现 ，旧时 代的主 流意识 形态必 须改变 ，而那 些数千 年来深 入民间 社会的 精神活 力则应 该调动 起来。 因此， 大家又 重新惊 喜地发 现了墨 子。
•
3.中国作家结识雨果已经近一百年。 当伟大 的雨果 以其壮 丽风采 开辟着 一个理 想的正 义世界 的时候 ，当他 以浪漫 主义的 狂飙之 势席卷 风云变 幻的欧 罗巴的 时候， 中国还 是一只 沉睡的 雄狮， 尚未向 世界打 开广泛 的视听 。
•
8.心理学上有一种认识——评估学说， 即个体 对事物 有了认 识，就 会利用 头脑中 的旧经 验来解 释新输 入的信 息，进 行评估 ，于是 产生情 绪体验 。而个 体对事 物究竟 体验为 积极的 情绪还 是消极 的情绪 ，在于 怎样认 识事物 。
•
9.迫于现实社会生存的巨大综合压力 和人类 因物质 文明进 步而带 来的精 神困惑 ，当代 诗歌的 内容越 来越局 限于私 人性的 东西， 正日愈 失去处 理重大 社会题 材的艺 术能力 ，这就 使得它 日愈减 少获得 公众关 注的机 会，而 只有在 少数未 被现代 社会物 质化的 心灵当 中获得 知音；

解∵AB为直径 ∴∠BCA=90° 在Rt△ABC中， ∠ABC=30°，AB=10cm
∴
B O
C
A
议一议
如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的直径， 请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为什么？
D
A
解：∠BAD与∠BCD互补
∵AC为直径
∴∠ABC=90°,∠ABC=90°
O
∵∠ABC+∠BCD+∠ABC+∠BAD=360°
视察图，圆周角∠BAC=90°，弦BC是直径吗？为什
么？
A
解：弦BC是直径。
连接OC、OB
∵∠BAC=90° ∴∠BOC=2∠BAC=180°
B
O
C
（圆周角的度数等于它所对弧上的
圆心角的度数的一半）
∴B、O、C三点在同一直线上
∴BC是⊙O的一条直径
直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。在书上画记，背读
3.4 圆周角和圆心角的关系 第二课时
课前复习
1.圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角. 2.圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
3.圆周角定理推论: 同弧 (等弧)所对的圆周角相等.
4.在同圆或等圆中,
Dபைடு நூலகம்
B E
●O
相等的圆周角所对的弧相等. 5.在同圆或等圆中,
4.如图，⊙O1 与⊙O2 都经过 A，B 两点，且点 O2 在⊙O1 ︵
上，点 C 是 AO2 B 上的一点（点 C 不与 A，B 重合），AC 的延长线交⊙O2 于点 P，连接 AB，BC，BP。 （1）根据题意将图形补充完整；
︵ （2）当点 C 在 AO2 B 上运动时，图中大小不变的角有哪

3、 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D为半 圆上的两点，∠COD=500，则∠CAD=_________
想一想
圆周角
• 当球员在B,D,E处射门时, 他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角 的大小有什么关系?.
A
E
●O
C
B
D
A
E B
C D
如图所示，∠ADB、∠ACB、∠AOB分别是什么角？它们有何共同点？ ∠ADB与∠ACB有什么关系？
A C
A C
●O ●O
●O
B
B
B
教师提示:注意圆心与圆周角的位置关系.
议一议
圆周角和圆心角的关系
• 1.第一考虑一种特殊情况：
• 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角
∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
A
∵∴∠∠AAOOCC=是∠△B+A∠BOA的.外角，老师期望:
∵OA=OB， ∴∠A=∠B.
圆周角定理推论: 同弧(等弧)所对的圆周角相等. 都等于这条弧所对的圆心角的一半.
C
D
O
在同圆或等圆中, 相等的圆周角所对的弧相等.
B A
拓展练习
演示
1.如图(3),AB是直径,你能确定∠C的度数吗?
A
D
C
B E
●O
B
D
●O
A
C (1)
A (2)
C (3)
●O
B
推论：
直径所对的圆周角是直角； 反过来，90°的圆周角所对的弦是直径.
拓展练习
演示
2.如图(1),在⊙O中,∠BAD=50°,求∠C的大小.

C
n这三个角的大小有什 么关系?.
练习：
1 、判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理
由。
不是
不是
是
图１
图２
图３
不是
图４
不是
图５
2、指出
图中的圆 周角。 A
O
C B
∠ACO ∠ACB ∠ BCO ∠OAB ∠BAC ∠OAC ∠ABO ∠CBO ∠ABC
圆周角和圆心角的关系
• 如图,视察弧AC所对的圆周角∠ABC与圆心角∠AOC, 它们的大小有什么关系?
例1.如图：OA、OB、OC都是⊙ O的半径 ∠AOB=2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC.
分析：学会找准AB所对的圆周角和圆心角，以及 BC所对的圆周角和圆心角，再根据题目条件进行 代换即可。
证明：∠ACB= ∠AOB
∠BAC= ∠BOC
∠AOB=2∠BOC ∠ACB=2∠BAC A
O
C B
D
1.求圆中角X的度数
C 120°
O
.O
C
70° x
A
B
.O X B A
A C
B
2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=__1_3。0°
3、 如图，在直径为AB的半圆中，O为 圆心，C、D为半圆上的两点， ∠COD=500，则∠CAD=__2_5_º_____
做做看，收获知多少？
4、判断
∴ ∠ABC = ∠AOC.
B
• 3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周 角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
n提示:能否也转化为1的情况? n过点B作直径BD.由1可得: n∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD,

有什么关系？
D
A
根据圆内接四边形的对角互补，
∠A +∠BCD =180° .
又∠BCD +∠DCE =180° .
∴∠A =∠DCE .
O
B
E
C
练一练
1.如图,在圆内接四边形ABCD中,∠A∶∠C=1∶2,则∠A的度数等于( C )
A.30°
B.45°
C.60°
D.80°
2.如图,已知四边形ABCD内接于半径为4的☉O中,且∠C=2∠A,则BD= 4 .
典例精析
例、如图，⊙O的直径AB =10cm，C 为⊙O上一点，∠B = 30°，求
AC的长.
解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
在Rt△ACB中，

sin∠ABC＝ ，

∴AC＝AB sin∠ABC＝10×sin30°


＝10× ＝5(cm)．
∴AC的长为5 cm.
点拨
解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三
为什么？
分析：BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰三角形，要证明D是BC的中点，只要连接AD，证
明AD是高或是∠BAC的平分线即可．
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
【巩固提高】
学生练习1 课本80页随堂练习第1题、第2题．
学生练习2 课本83页随堂练习第1题、第2题、第3题．
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
为什么？
（2）如中图，点C是的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD之间的关系还成立吗？
（3）如右图，四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，∠DCE是它的一个外角，∠A与∠DCE的大小有什么关系？

用于找相 等的角
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
2、圆周角定理的推论2：
用于找相
半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 等的弧
90°的圆周角所对的弦是直径。
用于判断某 条线是否过
圆心
用于判断某个 圆周角是否是
直角
例1:如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延
一、温故知新
1、圆周角定义: 顶点在圆上,并且两 边都和圆相交的角叫圆周角.
特征： ① 角的顶点在圆上. ② 角的两边都与圆相交.
温故知新
2、圆心角与所对的弧的关系 3、圆周角与所对的弧的关系 4、同弧所对的圆心角与圆周角的关系
圆周角定理
圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
∠ α ＜ ∠C,这与∠ α ＞ ∠C矛盾.
所以:
C
船不可能在⊙O外.
P E
因此,船只能位于⊙O内. (2)船位于暗礁区域外(即⊙O外).A
·o
B
随堂练习
1、为什么有些电影院的坐位排列(横排) 呈圆弧形?说一说这种设计的合理性?
2、如图,哪个角与∠BAC 相等?
D A
C
B
随堂练习
3.如图.⊙O的直径AB=10cm,C是⊙O上的一点. ∠ABC =30°.求AC的长.
A
EB
结论：
D
（1）AE = BE，AC = BC，AD = BD
（2）AC = BC，∠CAB = ∠ABC = ∠D，
∠ACE =∠BCE =∠DAB
（3）BC2 = AC2 = CE ·CD，AD2 = DE ·DC
BE2 = AE2 = DE ·CE

综上所述，船只能在⊙O内。 C
αP E
·o
A
B
解： （2）当船与两个灯塔的夹角α小于“危险角” 时，船位于暗礁区域外（ ⊙O外）。理由如下：
①假设船在⊙O上，则∠ α＝ ∠C，这与∠ α< ∠C矛 盾，所以船不可能在⊙O上；
②假设船在⊙O内，如图，延长AP交⊙O于E，连接 BE，则∠E＝ ∠C。因为 ∠ α> ∠E， 所以∠ α> ∠C，这与∠ α< ∠C矛盾，所以船不可能在⊙O内；
(3)若OC = 2cm,则BD = __4__cm。
D
C
A O1 O
B
如图：∠APC=∠CPB=60° 求证：△ABC是等边三角形
A P
· O
C B
应用拓展
船在航行过程中，船长通过测定角度来确定是否会遇到暗
礁。如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两
点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点， ∠ACB
4、如图，⊙O中，∠ACB = 130º，则∠AOB=_1_0_0_º__。 A
5、下列命题中是真命题的是（D）
（A）顶点在圆周上的角叫做圆周角。 （B）60º的圆周角所对的弧的度数是30º
OB C
（C）一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角。 O
（D）120º的弧所对的圆周角是60º
B AC
1、如图1,在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关
·o
B
解： （1）当船与两个灯塔的夹角α大于“危险角” 时，船位于暗礁区域内（ ⊙O内）。理由如下：
①假设船在⊙O上，则∠ α＝ ∠C，这与∠ α> ∠C 矛盾，所以船不可能在⊙O上；
②假设船在⊙O外，如图，则∠ α< ∠AEB， ∠AEB＝ ∠C，即∠ α< ∠C，这与∠ α> ∠C矛盾， 所以船不可能在⊙O外；

北京师范大学出版社 九年级 | 下册
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
课时小结：
1．本节课我们探索了圆的对称性． 2．利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理． 3．垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决弦长、半径、 弦心距等计算问题．
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
课后作业：
(一)课本习题3．2，1、2．试一试１. (二) 预习课本：P94～97内容
新课讲解
知识点2 直角所对的弦是直径
在如图中，圆周角∠A＝90°，弦BC是直径吗？为什么？
新课讲解
90°的圆周角所对的弦是直径.
新课讲解
典例分析
例 如图，已知经过原点的⊙P与x轴、y轴分别交于A，B 两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB等于( B ) A．80° B．90° C．100° D．无法确定
拓展与延伸
已知在半径为4的⊙O中，弦AB＝4 3 ，点P在圆上，则 ∠APB＝_6_0_°__或__1_2_0_°_．
第3单元 · 圆
圆的对称性
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
问题： 前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义?
我们是用什么方法研究轴对称图形的?
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
交点，即垂足． 4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图.
问题：（1）右图是轴对称图形吗？ 如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？ 说一说你的理由。
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
总结得出垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的 弧。 推理格式：如图所示 ∵CD⊥AB，CD为⊙O的直径 ∴AM=BM，AD BD, AC BC .

2.如图，已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角
∠ADB= .
D
O B
A C
课堂小结
圆周角和圆 心角的关系
(1)概念（圆周角）； (2)定理：一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆 心角的一半； (3)推论：同圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等. 相等的圆周角所对的弧相等；
A
O
B
DC
E
新知探究
定 理： 圆的内接四边形的对角互补 定理拓展： 任何一个外角都等于它的内对角 .
EA B
D
O
C F
∠D＋∠B＝180° ∠A＋∠C＝180°
∠EAB＝∠BCD ∠FCB＝∠BAD
外角
对角 内对角
新知探究
又一种重要的辅助线
如图，⊙O1和⊙O2都经过A、B两点，经过A点的直线CD与⊙O1交于点C， 与⊙O2交于点D，经过B点的直线EF与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F . 求证：CE∥DF .
2.如图②，圆周角∠BAC =90º，弦BC经过圆心O吗？
90º
A
A
经过
A
B
O
C
B
●
C
O
A
图① 由此你能得出什么结论?
图②
新知探究
圆周角定理的推论2：
用于构造直角
直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
用于判断某条 弦是否是直径
新知探究
圆周角定理的推论： 推论1 : 同弧或等弧所对的圆周角相等； 推论2 : 直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径 .
新知探究
4.如图,△ABC的顶点均在⊙O上, AB=4, ∠C=30°,求⊙O的直径.
解：连接AO并延长交⊙O于点E， 连接BE所以∠E=30°, ∠ABE=90°. 由AB=4得直径AE=8.

B B
论证猜想
C C O O
1 ACB AOB 2
（3）圆心在∠ACB的外部.
B B
D D D
A
结论归纳
作直径AD
作直径AD
圆周角定理： 圆周角的度数等于它所对弧上
的圆心角度数的一半。
探究发现（二）
问题1：判断图中∠C和∠D的大小关系？
B
A O D
C
同弧所对圆周角相等
探索发现（二）
︵ ︵ 问题2：如果AB=EF判断图中 C和 G 的大小关系？
2.度量你所画的角，有何发现?与同伴交流，说出 你的猜想。
问题解决
1.为了解决一条弧所对圆周角的大小关系,我们先探 究一条弧所对的圆心角和圆周角之间有什么关系？
问题解决
2.一条弧所对的圆周角有无数个,而与圆心的位置 可以分为几种情况呢?
C O A B C
O
O
A
C
A
B
B
圆心在一边上
圆心在角内
圆心在角外
C
G
A B
O F
E 同弧或等弧所对的圆周角相等.
情景再现
D A C O B
甲 丙
乙
仅从射 门角度 大小考 虑，谁 射门更 有利？
学以致用
1.求圆中 的度数.
O
70°
C
A
B

A
35
变式：求∠AEB度数
120
学以致用
，求证：AB∥CD． 2.已知：如图 AC BD
初中数学学科德育优秀课例展评
3.4.1圆周角和圆心角的关系
D A C O B
甲 丙
乙
如图，在一次足 球比赛中，三名 队员互相配合向 对方球门MN进 攻,当甲带球冲 到A点时,丙恰好 冲到圆心O点位 置，乙到达B处， 此时他们都认为 自己的射门角度 最大，不知到底 该把球传给谁？