2019届高考数学(理科)一轮复习练习(人教版)第二篇+第8节 函数与方程Word版含解析

第8讲函数与方程板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 函数零点1．定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．2．三个等价关系3．存在性定理考点2 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系Δ>0 Δ＝0 Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴的交点(x 1,0)，(x 2,0)(x 1,0)无交点 零点 x 1，x 2 x 1无对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．[必会结论]1．若函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，则函数y ＝f (x )一定有零点．2.由函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上有零点不一定能推出f (a )·f (b )＜0，如图所示．所以f (a )·f (b )＜0是y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上有零点的充分不必要条件．事实上，只有当函数图象通过零点(不是偶个零点)时，函数值才变号，即相邻两个零点之间的函数值同号．3．若函数f (x )在[a ，b ]上单调，且f (x )的图象是连续不断的一条曲线，则f (a )·f (b )＜0⇒函数f (x )在[a ，b ]上只有一个零点．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点．( )(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在当b 2－4ac <0时没有零点．( )(3)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )＜0.( ) (4)若f (x )在区间[a ，b ]上连续不断，且f (a )·f (b )＞0，则f (x )在(a ，b )内没有零点．( )(5)函数f (x )＝kx ＋1在[1,2]上有零点，则－1≤k ≤－12.( )答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ 2．[课本改编]函数f (x )＝x －4x的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无数个答案 C解析 令f (x )＝0，解x －4x＝0，即x 2－4＝0，且x ≠0，则x ＝±2.3．[课本改编]方程2－x＋x 2＝3的实数解的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．1 D ．4答案 A解析 构造函数y ＝2－x与y ＝3－x 2，在同一坐标系中作出它们的图象，可知有两个交点，故方程2－x ＋x 2＝3的实数解的个数为2.故选A.4．[2018·西安模拟]设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)答案 B解析 函数f (x )的零点所在的区间转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出图象如图，可知f (x )的零点所在的区间为(1,2)．故选B.5．[2018·安徽模拟]在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为________．答案 －12解析 函数y ＝|x －a |－1的大致图象如图所示，∴若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，只需2a ＝－1，可得a ＝－12.6．[2018·贵阳监测]用二分法求图象连续不断的函数f (x )在(1,5)上的近似解(精确度为0.1)，求解的部分过程如下：f (1)·f (5)<0，取(1,5)的中点x 1＝1＋52＝3，计算得f (1)·f (x 1)<0，f (x 1)·f (5)>0，则此时能判断函数f (x )一定有零点的区间为________．答案 (1,3)解析 因为函数f (x )为连续函数且f (1)·f (3)<0，所以函数f (x ) 在(1,3)内一定有零点．板块二 典例探究·考向突破 考向确定函数零点所在区间例 1 [2018·德州模拟]函数f (x )＝ln (x ＋1)－2x的零点所在的区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B ．(1，e －1) C ．(e －1,2) D ．(2，e)答案 C解析 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 32－4<0，f (1)＝ln 2－2<0，f (e －1)＝1－2e －1<0，f (2)＝ln 3－1>0，所以f (e －1)f (2)<0，故函数的零点所在的区间是(e －1,2)．【变式训练1】 函数f (x )＝e x＋4x －3的零点所在的区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 答案 C解析 易知函数f (x )＝e x＋4x －3在R 上为增函数，故f (x )＝e x＋4x －3至多有一个零点．∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝e 14 ＋1－3＝e 14 －2<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12 ＋2－3＝e 12 －1>0，∴函数f (x )＝ex＋4x －3的零点所在的区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12.考向判断函数零点的个数例 2 函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 B解析 函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数即为函数y ＝|log 0.5x |与y ＝12x 图象的交点个数.在同一直角坐标系中作出函数y ＝|log 0.5x |与y ＝12x 的图象如图．由图象易知有两个交点． 触类旁通判断函数零点个数的方法(1)解方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【变式训练2】 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________．答案 2解析 当x ≤0时，由x 2－2＝0得x ＝－2；当x >0时，f (x )＝2x －6＋ln x 在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3>0，所以f (x )在(0，＋∞)上有且只有一个零点．综上可知，f (x )的零点个数为2.考向与函数零点有关的求参问题例3 (1)[2018·嘉兴模拟]设函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，若x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N ，则x 0所在的区间是________．答案 (1,2)解析 设f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，则x 0是函数f (x )的零点，在同一坐标系下画出函数y ＝x3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象如图所示．因为f (1)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝－1＜0，f (2)＝8－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝7＞0，所以f (1)f (2)＜0，所以x 0∈(1,2)．(2)[2016·山东高考]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．答案 (3，＋∞)解析 函数f (x )的大致图象如图所示，根据题意知只要m >4m －m 2即可，又m >0，解得m >3，故实数m 的取值范围是(3，＋∞)．触类旁通已知函数有零点求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．【变式训练3】 (1)[2018·启东检测]若函数f (x )＝log 2x ＋x －k (k ∈Z )在区间(2,3)上有零点，则k ＝________.答案 4解析 函数f (x )＝log 2x ＋x －k 在(2,3)上单调递增，所以f (2)f (3)<0，即(log 22＋2－k )·(log 23＋3－k )<0，整理得(3－k )(log 23＋3－k )<0，解得3<k <3＋log 23，而4<3＋log 23<5，因为k ∈Z ，故k ＝4.(2)[2015·北京高考]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x <1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1.①若a ＝1，则f (x )的最小值为________；②若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________．答案 ①－1 ②⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞)解析 ①若a ＝1，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x <1，4(x －1)(x －2)，x ≥1，作出函数f (x )的图象如图所示．由图可得f (x )的最小值为－1.②当a ≥1时，要使f (x )恰有2个零点，需满足21－a ≤0，即a ≥2，所以a ≥2；当a <1时，要使f (x )恰有2个零点，需满足⎩⎪⎨⎪⎧a <1≤2a ，21－a >0，解得12≤a <1.综上，实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞)．核心规律1.判定函数零点的常用方法(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f (x )＝0.2.研究方程f (x )＝g (x )的解，实质就是研究G (x )＝f (x )－g (x )的零点．3.转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．满分策略1.函数f (x )的零点不是点，是一个实数，是方程f (x )＝0的根，也是函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标．2.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象来分析.板块三 启智培优·破译高考题型技法系列4——利用函数的零点比较大小[2018·武汉调研]已知x 0是函数f (x )＝2x ＋11－x 的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解题视点 构造函数y ＝2x和函数y ＝1x －1，并画出函数的图象，可根据函数的图象进行判断．解析 在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝2x和函数y ＝1x －1的图象，如图所示． 由图可知函数y ＝2x和函数y ＝1x －1的图象只有一个交点，即函数f (x )＝2x＋11－x只有一个零点x 0，且x 0>1.因为x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则由函数图象可知，f (x 1)<0，f (x 2)>0. 答案 B答题启示 借助函数零点比较大小.要比较f (a )与f (b )的大小，通常先比较f (a )、f (b )与0的大小.跟踪训练[2018·广东七校联考]已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x－log 3x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且x 0<x 1，则f (x 1)的值( )A ．恒为负B ．等于零C ．恒为正D ．不大于零答案 A解析 由于函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x－log 3x 在定义域内是减函数，于是，若f (x 0)＝0，当x 0<x 1时，一定有f (x 1)<0.故选A.板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．[2018·北京丰台二模]函数f (x )＝x 12 －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 令f (x )＝0，得x12 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，在平面直角坐标系中分别画出函数y ＝x12 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，可得交点只有一个，所以零点只有一个．故选B.2．函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)答案 C解析 因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则由题意得f (1)·f (2)＝(0－a )(3－a )<0，解得0<a <3.故选C.3．[2018·济南模拟]若f (x )是奇函数，且x 0是y ＝f (x )＋e x的一个零点，则－x 0一定是下列哪个函数的零点( )A ．y ＝f (－x )e x－1 B ．y ＝f (x )e －x＋1 C ．y ＝e xf (x )－1 D ．y ＝e xf (x )＋1答案 C解析 由已知可得f (x 0)＝－e x 0，则e-x 0·f (x 0)＝－1，e-x 0f (－x 0)＝1，故－x 0一定是y ＝e xf (x )－1的零点．4．设a 是方程2ln x －3＝－x 的解，则a 在下列哪个区间内( ) A ．(0,1) B ．(3,4) C ．(2,3) D ．(1,2)答案 D解析 令f (x )＝2ln x －3＋x ，则函数f (x )在(0，＋∞)上递增，且f (1)＝－2<0，f (2)＝2ln 2－1＝ln 4－1>0，所以函数f (x )在(1,2)上有零点，即a 在区间(1,2)内．5．用二分法研究函数f (x )＝x 5＋8x 3－1的零点时，第一次经过计算得f (0)<0，f (0.5)>0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为( )A ．(0,0.5)，f (0.125)B ．(0.5,1)，f (0.875)C ．(0.5,1)，f (0.75)D ．(0,0.5)，f (0.25)答案 D解析 ∵f (x )＝x 5＋8x 3－1，f (0)<0，f (0.5)>0，∴f (0)·f (0.5)<0，∴其中一个零点所在的区间为(0,0.5)，第二次应计算的函数值应为f (0.25)．故选D.6．[2018·昆明模拟]若x 0是方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝x13 的解，则x 0属于区间( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 答案 B7．[2018·大连模拟]函数f (x )＝(x ＋1)ln x －1的零点有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个答案 B解析 由f (x )＝(x ＋1)ln x －1＝0，得ln x ＝1x ＋1，作出函数y ＝ln x ，y ＝1x ＋1的图象如图，由图象可知交点个数为1，即函数的零点个数为1.选B.8．[2018·孝感高级中学调考]函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点在区间(a ，a ＋1)(a ∈Z )内，则a ＝________.答案 2解析 因为函数f (x )＝ln x ＋2x －6的定义域为(0，＋∞)，所以a ≥0，函数f (x )＝lnx ＋2x －6在(0，＋∞)上是单调递增函数，f (1)＝－4<0，f (2)＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3>0，所以函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点在区间(2,3)内，故a ＝2.9．g (x )＝x ＋e2x－m (x >0，其中e 表示自然对数的底数)．若g (x )在(0，＋∞)上有零点，则m 的取值范围是________．答案 [2e ，＋∞)解析 由g (x )＝0，得x 2－mx ＋e 2＝0，x >0.由此方程有大于零的根，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2>0，Δ＝m 2－4e 2≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m ≥2e或m ≤－2e ，故m ≥2e.10．[2018·安庆模拟]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x <1，log 12x ，x ≥1，若关于x 的方程f (x )＝k有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．答案 (－1,0)解析 关于x 的方程f (x )＝k 有三个不同的实根，等价于函数f (x )与函数y ＝k 的图象有三个不同的交点，作出函数的图象如图所示，由图可知实数k 的取值范围是(－1,0)．[B 级 知能提升]1．[2018·衡阳模拟]函数f (x )＝log 3x ＋x －2的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)答案 B解析 函数f (x )＝log 3x ＋x －2的定义域为(0，＋∞)，并且f (x )在(0，＋∞)上单调递增，图象是一条连续曲线．又f (1)＝－1<0，f (2)＝log 32>0，f (3)＝2>0，根据零点存在性定理，可知函数f (x )＝log 3x ＋x －2有唯一零点，且零点在区间(1,2)内．2．[2018·大连一模]f (x )是R 上的偶函数，f (x ＋2)＝f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，则函数y ＝f (x )－|log 5x |的零点个数为( )A ．4B ．5C ．8D ．10答案 B解析 由零点的定义可得f (x )＝|log 5x |，两个函数图象如图，总共有5个交点，所以共有5个零点．3.[2017·唐山模拟]当x ∈[1,2]时，函数y ＝12x 2与y ＝a x(a >0)的图象有交点，求a 的取值范围________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 解析 当a ＝1时，显然成立．当a >1时，如图①所示，使得两个函数图象有交点，需满足12×22≥a 2，即1<a ≤2；当0<a <1时，如图②所示，需满足12×12≤a 1，即12≤a <1，综上可知，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12， 2. 4．已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x . (1)写出函数y ＝f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求a 的取值范围．解 (1)设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝x 2＋2x . 又∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－x 2－2x .∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.(2)方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，即y ＝f (x )与y ＝a 的图象有3个不同的交点，作出y ＝f (x )与y ＝a 的图象如图所示，故若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，只需－1<a <1，故a 的取值范围为(－1,1)．5．已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x，x >0，x ＋1，x ≤0.(1)求g [f (1)]的值；(2)若方程g [f (x )]－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围． 解 (1)∵f (1)＝－12－2×1＝－3， ∴g [f (1)]＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t <1)的图象，如图所示，由图象可知，当1≤a <54时，函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，54.。

2019年高三理科数学一轮复习：函数与方程（解析版）1．函数的零点(1)定义：对于函数y ＝f (x )，我们把使___________的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． 函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的________，也是函数y ＝f (x )的图象与x 轴的____________．(2)函数有零点的几个等价关系： 方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴___________⇔ 函数y ＝f (x ) ___________．由此可知，求方程f (x )＝0的实数根，就是确定函数y ＝f (x )的________．一般地，对于不能用公式求根的方程f (x )＝0来说，我们可以将它与____________联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根． 2．函数的零点存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有___________，那么，函数y ＝f (x )在区间___________内有零点，即存在c ∈___________，使得___________，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．3．二次函数的零点分布(即一元二次方程根的分布，见2.4节“考点梳理”5)自查自纠1．(1)f (x )＝0 实数根 交点的横坐标 (2)有交点 有零点 零点 函数y ＝f (x ) 2．f (a )·f (b )＜0 (a ，b ) (a ，b ) f (c )＝0下列函数中，不能用二分法求零点近似值的是( ) A ．f (x )＝x 5－3x ＋1 B ．g (x )＝2x 3－8x －1C ．h (x )＝|2x －9x |D ．φ(x )＝12x －ln x解：h (x )非负．故选C .(2015·安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln xD ．y ＝x 2＋1解：y ＝cos x 是偶函数且有无数多个零点，y ＝sin x 为奇函数，y ＝ln x 既不是奇函数也不是偶函数，y ＝x 2＋1是偶函数但没有零点．故选A .已知函数f (x )＝6x－log 2x .在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞)解：f (x )在(0，＋∞)为减函数，又f (1)＝6＞0，f (2)＝2＞0，f (4)＝32－2＝－12＜0.故选C .函数f (x )＝x ＋ln x －3在(2，3)内的零点个数是________．解：f (x )单调递增，又f (2)f (3)＜0，故f (x )在(2，3)内仅一个零点．故填1.方程ln x ＝8－2x 的实数根x ∈(k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________.解：构造函数f (x )＝ln x ＋2x －8，所以f ′(x )＝1x ＋2＞0(x ＞0)，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (1)＝－6＜0，f (2)＝ln2－4＜0，f (3)＝ln3－2＜0，f (4)＝ln4＞0，所以f (x )的唯一零点在(3，4)内，因此k ＝3.故填3.类型一 判断函数零点所在区间(2017·浙江温州十校联考)设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，4)解法一：函数f (x )的零点所在的区间可转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的取值范围．作图如右图，可知f (x )的零点所在的区间为(1，2)．解法二：易知f (x )＝ln x ＋x －2在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝1－2＝－1<0，f (2)＝ln2>0.所以根据函数零点存在性定理可知在区间(1，2)内函数存在零点．故选B .【点拨】确定函数f (x )的零点所在区间的常用方法：(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象在给定区间上是否有交点来判断．在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫－14，0 B.⎝⎛⎭⎫0，14 C.⎝⎛⎭⎫14，12 D.⎝⎛⎭⎫12，34 解：因为f (x )＝e x ＋4x －3，所以f ′(x )＝e x ＋4>0. 所以f (x )在其定义域上是单调递增函数．因为f ⎝⎛⎭⎫－14＝e -1－4<0，f (0)＝－2<0， f ⎝⎛⎭⎫14＝e 14－2<0，f ⎝⎛⎭⎫12＝e 12－1>0，所以f ⎝⎛⎭⎫14·f ⎝⎛⎭⎫12<0，所以f (x )的零点所在区间为⎝⎛⎭⎫14，12.故选C . 类型二 零点个数的判断(2015·湖北)f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2－x 2的零点个数为________．解：f (x )＝2sin x cos x －x 2＝sin2x －x 2，则函数的零点即为函数y ＝sin2x 与函数y ＝x 2图象的交点，如图所示，两图象有2个交点，则函数有2个零点．故填2.【点拨】函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令f (x )＝0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，应注意：①满足条件的零点可能不惟一；②不满足条件时，也可能有零点，因此一般要再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数．(2016·南昌二模)已知函数y ＝f (x )是周期为2的周期函数，且当x ∈[－1，1]时，f (x )＝2|x |－1，则函数F (x )＝f (x )－|lg x |的零点个数是( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．18解：在坐标平面内画出y ＝f (x )与y ＝|lg x |的大致图象如图，由图象可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F (x )＝f (x )－|lg x |的零点个数是10. 故选B .类型三 已知零点情况求参数的取值范围(2016·柳州模拟)函数f (x )的定义域为实数集R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x－1，－1≤x ＜0，log 2（x ＋1），0≤x ＜3，对任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (x －2)．若在区间[－5，3]上函数g (x )＝f (x )－mx ＋m 恰好有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，－16B.⎣⎡⎭⎫－12，－16C.⎝⎛⎭⎫－12，－13D.⎣⎡⎦⎤－12，－13 解：因为对任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (x －2)，所以函数f (x )的周期为4.由在区间[－5，3]上函数g (x )＝f (x )－mx ＋m 有三个不同的零点，知函数f (x )与函数h (x )＝mx －m 的图象在[－5，3]上有三个不同的交点．在同一坐标系上画出函数f (x )与h (x )在区间[－5，3]上的图象，如图所示．由图可知1－0－1－1≤m ＜1－0－5－1，即－12≤m <－16.故选B .【点拨】若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，作图要准确，注意结合参数的几何意义．(1)函数f (x )＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1，2)C ．(0，3)D ．(0，2)(2)(2016·太原模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x－1|，x <2，3x －1，x ≥2， 若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(0，3)C ．(0，2)D ．(0，1)解：(1)因为函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1，2)上单调递增，又函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1，2)内，则有f (1)·f (2)＜0，所以(－a )(4－1－a )＜0，即a (a －3)＜0，所以0＜a ＜3.故选C .(2)画出函数f (x )的图象如图所示，观察图象可知，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有3个不同的交点，此时需满足0＜a ＜1.故选D .类型四 二分法求函数的零点y ＝f (x )x 1 2 3 4 5 6 y0.5－3－234－4则y ＝f (x )在区间(1，6)上零点个数为( ) A ．3个 B ．奇数 C ．偶数 D ．至少3个解：由表可知，在(1，2)，(3，4)，(5，6)三个区间内，y ＝f (x )各至少有一个零点，故在(1，6)内至少有3个零点．故选D .【点拨】用二分法求函数f(x)满足给定的精确度的零点近似值的步骤如下：(1)确定初始区间[a0，b0]，验证f(a0)·f(b0)＜0，给定精确度ε；(2)求区间[a0，b0]的中点x0＝a0＋b0 2；(3)计算f(x0)：①若f(x0)＝0，则x0就是函数的零点；②若f(a0)·f(x0)＜0，则令a1＝a0，b1＝x0(此时零点∈[a1，b1])；③若f(a0)·f(x0)＞0，则令a1＝x0，b1＝b0(此时零点∈[a1，b1])；(4)判断区间[a1，b1]是否达到精确度ε：即若|a1－b1|＜ε，则得到零点近似值a1(或b1)；否则重复(2)～(4)．若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)＞0，f(1)·f(2)·f(4)＜0，则下列命题正确的是()A．函数f(x)在区间(0，1)内有零点B．函数f(x)在区间(1，2)内有零点C．函数f(x)在区间(0，2)内有零点D．函数f(x)在区间(0，4)内有零点解：因为f(1)·f(2)·f(4)＜0，所以f(1)、f(2)、f(4)中至少有一个小于0.若f(1)＜0，则在(0，1)内有零点，在(0，4)内必有零点；若f(2)＜0，则在(0，2)内有零点，在(0，4)内必有零点；若f(4)＜0，则在(0，4)内有零点．故选D.1．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，注意它是数而不是点．2．确定函数f(x)零点个数(方程f(x)＝0的实根个数)的方法：(1)判断二次函数f(x)在R上的零点个数，一般由对应的二次方程f(x)＝0的判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断．(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，有时还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题．(3)若函数f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又f(a)·f(b)＜0，则y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一零点．1．下列函数中不存在零点的是()A ．y ＝x －1xB ．y ＝x 2－xC ．y ＝tan xD ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，x －1，x ＜0解：D 中y ≥1或y ＜－1，不存在零点．故选D .2．(2015·广东学业水平考试)函数f (x )＝12x －x ＋2的零点所在的一个区间是( )A ．(－1，0)B ．(0，1)C ．(1，2)D ．(2，3)解：f (2)＞0，f (3)＜0.故选D .3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x ＞0 的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：当x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0⇒x ＝－3或1(舍)；当x ＞0时，令－2＋ln x ＝0⇒x ＝e 2.故选C .4．(2015·青岛模拟)若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．a >15B ．a >15或a <－1C ．－1<a <15D ．a <－1解：由题可知函数f (x )的图象是一条直线，所以f (x )在区间(－1，1)上存在一个零点等价于f (－1)f (1)＜0，即(1－5a )(a ＋1)＜0.解得a ＞15或a ＜－1.故选B .5．f (x )是R 上的偶函数，f (x ＋2)＝f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，则函数y ＝f (x )－|log 5x |的零点个数为( )A ．4B ．5C ．8D ．10解：f (x )是周期为2的偶函数，从而可得y ＝f (x )与y ＝|log 5x |的函数图象如图所示，总共有5个交点，所以共有5个零点．故选B .6．(2016·重庆一诊)设函数f (x )＝e x ＋2x －4，g (x )＝ln x ＋2x 2－5，若实数a ，b 分别是f (x )，g (x )的零点，则( )A ．g (a )＜0＜f (b )B ．f (b )＜0＜g (a )C ．0＜g (a )＜f (b )D ．f (b )＜g (a )＜0解：依题意，f (0)＝－3＜0，f (1)＝e －2＞0，且函数f (x )是增函数，因此函数f (x )的零点在区间(0，1)内，即0＜a ＜1.g (1)＝－3＜0，g (2)＝ln2＋3＞0，函数g (x )的零点在区间(1，2)内，即1＜b ＜2，于是有f (b )＞f (1)＞0.又函数g (x )在(0，1)内是增函数，因此有g (a )＜g (1)＜0，g (a )＜0＜f (b )．故选A .7．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )＞0的解集是________． 解：因为f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2，3.所以－2，3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3＝－a ，－2×3＝b ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－6，所以f (x )＝x 2－x －6.因为不等式af (－2x )＞0，即－(4x 2＋2x －6)＞0⇔2x 2＋x －3＜0⇔－32＜x ＜1.故填⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－32＜x ＜1.8．已知函数f (x )＝1x ＋2－m |x |有三个零点，则实数m 的取值范围为________．解：函数f (x )有三个零点等价于方程1x ＋2＝m |x |有且仅有三个实根．当m ＝0时，不合题意，舍去；当m ≠0时，因为1x ＋2＝m |x |⇔1m ＝|x |(x ＋2)，作函数y ＝|x |(x ＋2)的图象，如图所示，由图象可知m 应满足0<1m <1，解得m >1.故填(1，＋∞)．9．已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点． 解：因为f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，即方程(2x )2＋m ·2x ＋1＝0仅有一个实根． 设2x ＝t (t ＞0)，则t 2＋mt ＋1＝0.当Δ＝0，即m 2－4＝0，所以m ＝－2时，t ＝1； m ＝2时，t ＝－1(不合题意，舍去)， 所以2x ＝1，x ＝0符合题意．当Δ＞0，即m ＞2或m ＜－2时，t 2＋mt ＋1＝0有两正根或两负根， 即f (x )有两个零点或没有零点．所以这种情况不符合题意． 综上可知，m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0. 10．已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a .(1)判断命题：“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y ＝f (x )在区间(－1，0)及⎝⎛⎭⎫0，12内各有一个零点，求实数a 的取值范围． 解：(1)“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”是真命题． 依题意，f (x )＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根，因为Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必有实根．(2)依题意，要使y ＝f (x )在区间(－1，0)及⎝⎛⎭⎫0，12内各有一个零点， 只需⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＞0，f （0）＜0，f ⎝⎛⎭⎫12＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a ＞0，1－2a ＜0，34－a ＞0，解得12<a <34.故实数a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |12＜a ＜34.11．已知函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )．当－1<x ≤0时，f (x )＝e －x ；当0<x ≤1时，f (x )＝4x 2－4x ＋1.(1)求函数f (x )在(－1，1)上的单调区间；(2)若g (x )＝f (x )－kx (k >0)，求函数g (x )在[0，3]上的零点个数．解：(1)当－1<x ≤0时，函数f (x )＝e －x 是单调递减的．函数y ＝4x 2－4x ＋1的图象的对称轴是x ＝12，开口向上，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递减，在⎣⎡⎭⎫12，1上单调递增．又因为f (0)＝e －0＝1＝4×02－4×0＋1，所以函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－1，12，单调递增区间为⎣⎡⎭⎫12，1.(2)f (x )的周期为2，画出函数y ＝f (x )在2个周期内的图象如图，结合图象可知，当0<k ≤13时，g (x )有四个零点；当13<k ≤1时，g (x )有三个零点；当1<k <e 时，g (x )有两个零点；当k ≥e 时，g (x )有一个零点．(2016·茂名二模)已知函数f (x )＝－π2x ，g (x )＝x cos x －sin x ，当x ∈[－3π，0)∪(0，3π]时，方程f (x )＝g (x )的根的个数是( )A ．8B ．6C ．4D ．2解：由题意知，函数f (x )＝－π2x 在[－3π，0)∪(0，3π]上是奇函数且是反比例函数，g (x )＝x cos x －sin x 在[－3π，0)∪(0，3π]上是奇函数．g ′(x )＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ，故g (x )在(0，π]上是减函数，在(π，2π]上是增函数，在(2π，3π]上是减函数，且g (0)＝0，g (π)＝－π，g (2π)＝2π，g (3π)＝－3π.作出函数f (x )与g (x )在[－3π，0)∪(0，3π]上的图象如图所示：结合图象可知，两函数图象有6个交点．故选B ．。

【课时训练】指数与指数函数一、选择题1．(2019某某某某调研)函数f (x )＝2|x －1|的大致图象是( )A B C D 【答案】B【解析】由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x <1，可知f (x )在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递减．故选B.2．(2018某某某某一中月考)已知函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( )A ．f (－4)>f (1)B ．f (－4)＝f (1)C ．f (－4)<f (1)D ．不能确定【答案】A【解析】由题意可知a >1, f (－4)＝a 3,f (1)＝a 2，由y ＝a t(a >1)的单调性知a 3>a 2，所以 f (－4)>f (1)．3．(2018某某某某调研)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]【答案】B【解析】由f (1)＝19得a 2＝19，又a >0，所以a ＝13，因此f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.因为g (x )＝|2x －4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递减区间是[2，＋∞)．4．(2018某某某某一模)已知奇函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧fx ，x >0，g x ，x <0.如果f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)对应的图象如图所示，那么g (x )＝( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x B ．－⎝ ⎛⎭⎪⎫12xC ．2－xD ．－2x【答案】D【解析】由题图可知f (1)＝12，∴a ＝12，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .由题意得g (x )＝－f (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x＝－2x.故选D.5．(2018某某省实验中学分校月考)函数y ＝16－2x的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[0,4] C ．[0,4) D ．(0,4)【答案】C【解析】函数y ＝16－2x中，因为16－2x≥0，所以2x≤16.因此2x∈(0,16]，所以16－2x∈[0,16)．故y ＝∈[0,4)．故选C.6．(2018某某某某第一中学月考)已知集合A ＝{x |(2－x )·(2＋x )>0}，则函数f (x )＝4x－2x ＋1－3(x ∈A )的最小值为( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4【答案】D【解析】由题知集合A ＝{x |－2<x <2}．又f (x )＝(2x )2－2×2x －3，设2x＝t ，则14<t <4，所以f (x )＝g (t )＝t 2－2t －3＝(t －1)2－4，且函数g (t )的对称轴为直线t ＝1，所以最小值为g (1)＝－4.故选D.7．(2018某某某某联考)已知函数f (x )＝e x，如果x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，则下列关于f (x )的性质：①(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0；②y ＝f (x )不存在反函数；③f (x 1)＋f (x 2)<2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22；④方程f (x )＝x 2在(0，＋∞)上没有实数根．其中正确的是( )A ．①②B ．①④C ．①③D ．③④【答案】B8．(2018某某某某联考)若函数f (x )＝2x －a ＋1＋x －a －a 的定义域与值域相同，则a ＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．±1【答案】B【解析】∵函数f (x )＝2x －a ＋1＋x －a －a ，∴函数f (x )的定义域为[a ，＋∞)． ∵函数f (x )的定义域与值域相同， ∴函数f (x )的值域为[a ，＋∞)．又∵函数f (x )在[a ，＋∞)上是单调递增函数，∴当x ＝a 时，f (a )＝2a －a ＋1－a ＝a ，解得a ＝1.故选B.二、填空题9．(2018某某某某一模)已知函数f (x )＝e x －e －xe x ＋e －x ，若f (a )＝－12，则f (－a )＝________. 【答案】12【解析】∵f (x )＝e x－e －xe x ＋e －x ，f (a )＝－12，∴e a －e －a e a ＋e －a ＝－12.∴f (－a )＝e －a －e a e －a ＋e a ＝－e a －e －ae a ＋e －a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12. 10．(2018某某一中月考)若函数f (x )＝a x－1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________.【答案】 3【解析】当a >1时，f (x )＝a x －1在[0,2]上为增函数，则a 2－1＝2，∴a ＝± 3.又a >1，∴a ＝ 3.当0<a <1时，f (x )＝a x－1在[0,2]上为减函数，又f (0)＝0≠2，∴0<a <1不成立．综上可知，a ＝ 3.11．(2018某某十校联考)已知max (a ，b )表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max {e |x |，e|x －2|}，则f (x )的最小值为________．【答案】e【解析】由于f (x )＝max {e |x |，e |x －2|}＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥1，e 2－x，x <1.当x ≥1时，f (x )≥e，且当x ＝1时，取得最小值e ；当x <1时，f (x )>e.故f (x )的最小值为f (1)＝e.12．(2018某某某某海阳一中期中)已知函数f (x )＝2|x －2|－1在区间[0，m ]上的值域为[0,3]，则实数m 的取值X 围为________．【答案】[2,4] 【解析】函数f (x )＝2|x －2|－1的对称轴为直线x ＝2，且在(－∞，2]上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．由于函数f (x )＝2|x －2|－1在区间[0，m ]上的值域为[0,3]且函数关于直线x ＝2对称，f (0)＝f (4)＝3，f (2)＝0，所以结合图象可知m ∈[2,4]．三、解答题13．(2018某某余姚中学月考)已知定义在R 上的函数 f (x )＝2x－12|x |.(1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，某某数m 的取值X 围． 【解】(1)当x ＜0时，f (x )＝0，无解； 当x ≥0时，f (x )＝2x－12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x－2＝0，将上式看成关于2x的一元二次方程， 解得2x ＝2或2x＝－12，∵2x＞0，∴x ＝1.(2)当t ∈[1,2]时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t－122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，即m (22t－1)≥－(24t－1)，∵22t－1＞0， ∴m ≥－(22t＋1)，∵t ∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5]， 故实数m 的取值X 围是[－5，＋∞)．。

课时分层训练(十一) 函数与方程A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( ) 【导学号：31222061】A ．0,2B ．0，12C ．0，－12D ．2，－12C [由题意知2a ＋b ＝0，即b ＝－2a .令g (x )＝bx 2－ax ＝0，得x ＝0或x ＝a b ＝－12.]2．函数f (x )＝e x＋x －2的零点所在的区间为( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)C [因为f (0)＝e 0＋0－2＝－1＜0，f (1)＝e 1＋1－2＝e －1＞0，故f (0)·f (1)＜0，故选C.]3．函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,2)内的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3B [由指数函数、幂函数的性质可知，f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,2)内单调递增，且f (0)＝－1＜0，f (2)＝10＞0，所以f (0)·f (2)＜0，即函数f (x )＝2x＋x 3－2在区间(0,2)内有唯一一个零点，故选B.]4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，e x，x ＞0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( )A ．[0,1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，1]∪(2，＋∞)D ．(－∞，0]∪(1，＋∞)D [函数g (x )＝f (x )＋x －m 的零点就是方程f (x )＋x ＝m 的根，画出h (x )＝f (x )＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，e x＋x ，x ＞0的大致图象(图略)．观察它与直线y ＝m 的交点，得知当m ≤0或m ＞1时，有交点，即函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点．]5．(2016·湖北七校2月联考)已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )A.14B.18 C ．－78D ．－38C [令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ只有一个实根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.故选C.]二、填空题6．已知关于x 的方程x 2＋mx －6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m 的取值范围是________．【导学号：31222062】(－∞，1) [设函数f (x )＝x 2＋mx －6，则根据条件有f (2)＜0，即4＋2m －6＜0，解得m ＜1.]7．(2016·浙江高考)设函数f (x )＝x 3＋3x 2＋1，已知a ≠0，且f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2，x ∈R ，则实数a ＝________，b ＝________.－2 1 [∵f (x )＝x 3＋3x 2＋1，则f (a )＝a 3＋3a 2＋1，∴f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2＝(x －b )(x 2－2ax ＋a 2)＝x 3－(2a ＋b )x 2＋(a 2＋2ab )x －a 2b ＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2.由此可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－3，①a 2＋2ab ＝0，②a 3＋3a 2＝a 2b .③∵a ≠0，∴由②得a ＝－2b ，代入①式得b ＝1，a ＝－2.]8．(2015·湖南高考)若函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是__________．(0,2) [由f (x )＝|2x－2|－b ＝0得|2x －2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x－2|与y ＝b 的图象，如图所示，则当0<b <2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点．]三、解答题9．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使f (x 0)＝x 0.[证明] 令g (x )＝f (x )－x .2分 ∵g (0)＝14，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＝－18，∴g (0)·g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0.7分 又函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上连续， ∴存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使g (x 0)＝0， 即f (x 0)＝x 0.12分10．已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a ，(1)判断命题：“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，求实数a 的取值范围． [解] (1)“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”是真命题． 依题意，f (x )＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根.3分因为Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必有实根.5分(2)依题意，要使y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点， 只需⎩⎪⎨⎪⎧ f －，f ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，7分即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a >0，1－2a <0，34－a >0，解得12<a <34.10分故实数a 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪12<a <34.12分 B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·郑州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0，2x －1，x ＞0(a ∈R)，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－1]C ．[－1,0)D ．(0,1]D [因为当x ＞0时，f (x )＝2x －1， 由f (x )＝0得x ＝12.所以要使f (x )在R 上有两个零点，则必须2x－a ＝0在(－∞，0]上有唯一实数解． 又当x ∈(－∞，0]时，2x∈(0,1]，且y ＝2x在(－∞，0]上单调递增， 故所求a 的取值范围是(0,1]．]2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f [f (x )]＋1的所有零点所构成的集合为________．【导学号：31222063】⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，－12，14，2 [由题意知f [f (x )]＝－1，由f (x )＝－1得x ＝－2或x ＝12，则函数y ＝f [f (x )]＋1的零点就是使f (x )＝－2或f (x )＝12的x 的值．解f (x )＝－2得x ＝－3或x ＝14，解f (x )＝12得x ＝－12或x ＝2，从而函数y ＝f [f (x )]＋1的零点构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，－12，14，2.] 3．若关于x 的方程22x ＋2xa ＋a ＋1＝0有实根，求实数a 的取值范围． [解] 法一(换元法)：设t ＝2x (t ＞0)，则原方程可变为t 2＋at ＋a ＋1＝0，(*) 原方程有实根，即方程(*)有正根． 令f (t )＝t 2＋at ＋a ＋1.3分 ①若方程(*)有两个正实根t 1，t 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－a ＋，t 1＋t 2＝－a ＞0，t 1·t 2＝a ＋1＞0，解得－1＜a ≤2－22；6分②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根不合题意，舍去)，则f (0)＝a ＋1＜0，解得a ＜－1；9分③若方程(*)有一个正实根和一个零根，则f (0)＝0且－a2＞0，解得a ＝－1.综上，a 的取值范围是(－∞，2－22].12分法二(分离变量法)：由方程，解得a ＝－22x＋12x ＋1，3分设t ＝2x(t ＞0)，则a ＝－t 2＋1t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t ＋1－1＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤t ＋＋2t ＋1，其中t ＋1＞1，9分 由基本不等式，得(t ＋1)＋2t ＋1≥22，当且仅当t ＝2－1时取等号，故a ≤2－2 2.12分。

2.8 函数与方程[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．(2017·临汾三模)已知函数f(x)、g(x)：则函数y＝f[g(x)]的零点是( )A．0 B．1 C．2 D．3答案 B解析由题意，g(x)＝1，∴x＝1，故选B.2．(2017·衡水调研)方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析∵a>0，∴a2＋1>1，而y＝|x2－2x|的图象如图，∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点．故选B.3．若函数f(x)＝2ax2－x－1在(0,1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是( ) A．(－1,1) B．[1，＋∞)C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)答案 C解析 当a ＝0时，函数的零点是x ＝－1，不合题意．当a ≠0时，若Δ>0，f (0)·f (1)<0，则a >1.若Δ＝0，即a ＝－18，函数的零点是x ＝－2，不合题意，故选C.4．(2017·浙江嘉兴测试)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x－cos x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －cos x 的零点个数为⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －cos x ＝0⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫14x＝cos x 的根的个数，即函数h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x与g (x )＝cos x 的图象的交点个数．如图所示，在区间[0,2π]上交点个数为3，故选C.5．(2017·河南新乡三模)若函数f (x )＝log 2(x ＋a )与g (x )＝x 2－(a ＋1)x －4(a ＋5)存在相同的零点，则a 的值为( )A ．4或－52B ．4或－2C ．5或－2D ．6或－52答案 C解析 g (x )＝x 2－(a ＋1)x －4(a ＋5)＝(x ＋4)[x －(a ＋5)]，令g (x )＝0，得x ＝－4或x ＝a ＋5，则f (－4)＝log 2(－4＋a )＝0或f (a ＋5)＝log 2(2a ＋5)＝0，解得a ＝5或a ＝－2.故选C.6．(2017·河南十所名校联考)设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数y ＝f (x )( )A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均有零点B ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均无零点C ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 答案 D解析 令f (x )＝0得13x ＝ln x ．作出函数y ＝13x 和y ＝ln x 的图象，如图，显然y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在(1，e)内有零点，故选D.7．(2017·东城区期末)已知x 0是函数f (x )＝2x＋11－x 的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0 答案 B解析 设g (x )＝11－x ，由于函数g (x )＝11－x ＝－1x －1在(1，＋∞)上单调递增，函数h (x )＝2x在(1，＋∞)上单调递增，故函数f (x )＝h (x )＋g (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )在(1，＋∞)上只有唯一的零点x 0，且在(1，x 0)上f (x 1)<0，在(x 0，＋∞)上f (x 2)>0，故选B.8．(2017·江西赣州一模)函数f (x )，g (x )满足：对任意x ∈R ，都有f (x 2－2x ＋3)＝g (x )，若关于x 的方程g (x )＋sinπ2x ＝0只有5个根，则这5个根之和为( ) A ．5 B ．6 C ．8 D ．9 答案 A解析 由f (x 2－2x ＋3)＝g (x )及y ＝x 2－2x ＋3的图象关于直线x ＝1对称知g (x )的图象关于直线x ＝1对称，由g (x )＋sin π2x ＝0，知g (x )＝－sin π2x ，因为y ＝－sin π2x 的图象也关于直线x ＝1对称，g (x )＋sin π2x ＝0有5个根，故必有一个根为1，另外4个根的和为4.所以原方程所有根之和为5.故选A.9．(2017·山东济宁模拟)定义在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1π，π上的函数f (x )满足f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1π，1时，f (x )＝ln x ，若函数g (x )＝f (x )－ax 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1π，π上有零点，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－ln ππ，0B ．[－πln π，0] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1e ，ln ππ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－e π，－1π 答案 B解析 令x ∈[1，π]，则1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1π，1，因为f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1π，1时，f (x )＝lnx ，所以f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－ln x ，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1π，1，－ln x ，x ∈[1，π]，在坐标系中画出函数f (x )的图象如图：因为函数g (x )＝f (x )－ax 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1π，π上有零点，所以直线y ＝ax 与函数f (x )的图象有交点．由图得，当a 取满足题意的最小值时，直线y ＝ax 与f (x )的图象相交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫1π，－ln π，此时－ln π＝a π⇒a ＝－πln π，由图可得，实数a 的取值范围是[－πlnπ，0]，故选B.10．(2016·天津高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋a －x ＋3a ，x <0，log a x ＋＋1，x ≥0(a >0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34 答案 C解析 要使函数f (x )在R 上单调递减，只需⎩⎪⎨⎪⎧3－4a 2≥0，0<a <1，3a ≥1，解之得13≤a ≤34，因为方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，所以直线y ＝2－x 与函数y ＝|f (x )|的图象有两个交点，如图所示．易知y ＝|f (x )|的图象与x 轴的交点的横坐标为1a －1，又13≤1a －1≤2，故由图可知，直线y ＝2－x 与y ＝|f (x )|的图象在x >0时有一个交点；当直线y ＝2－x 与y ＝x 2＋(4a －3)x＋3a (x <0)的图象相切时，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2－x 0＝x 20＋a －x 0＋3a ，－1＝2x 0＋a －，整理可得4a 2－7a ＋3＝0，解得a ＝1(舍)或a ＝34.而当3a ≤2，即a ≤23时，直线y ＝2－x 与y ＝|f (x )|的图象在y 轴左侧有一个交点，综合可得a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34.故选C.二、填空题11．(2017·河北模拟)若函数f (x )＝ln (x －1)－3x的零点在区间(k ，k ＋1)(k ∈Z )上，则k 的值为________．答案 3解析 易知函数f (x )＝ln (x －1)－3x在其定义域上连续，f (3)＝ln 2－1<0，f (4)＝ln 3－34>0，故f (3)·f (4)<0，故函数的零点在区间(3,4)上，故k ＝3，故答案为3. 12．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________．答案 2解析 当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍)，所以在(－∞，0]上有一个零点．当x >0时，f ′(x )＝2＋1x>0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．又因为f (2)＝－2＋ln 2<0，f (3)＝ln 3>0，所以f (x )在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f (x )的零点13．已知a 是实数，函数f (x )＝2a |x |＋2x －a ，若函数y ＝f (x )有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 由题意易知a ≠0，令f (x )＝0，即2a |x |＋2x －a ＝0，变形得|x |－12＝－1ax ，分别作出函数y 1＝|x |－12，y 2＝－1ax 的图象，如图所示．由图易知，当0<－1a <1或－1<－1a<0，即a <－1或a >1时，y 1和y 2的图象有两个不同的交点，所以当a <－1或a >1时，函数y ＝f (x )有且仅有两个零点，即实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．14．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )．对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I )，y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称．若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )>g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是________．答案 (210，＋∞)解析 函数g (x )的定义域是[－2,2]，根据已知得h x ＋g x2＝f (x )，所以h (x )＝2f (x )－g (x )＝6x ＋2b －4－x 2.h (x )>g (x )恒成立，即6x ＋2b －4－x 2>4－x 2恒成立，即3x ＋b >4－x 2恒成立，令y ＝3x ＋b ，y ＝4－x 2，则只要直线y ＝3x ＋b 在半圆 x 2＋y 2＝4(y ≥0)上方即可，由|b |10>2，解得b >210(舍去负值)，故实数b 的取值范围是(210，＋∞)．三、解答题15．已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a .(1)判断命题：“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，求实数a 的取值范围．解 (1)“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”是真命题．依题意，f (x )＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根，因为Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必(2)依题意，要使y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点， 只需⎩⎪⎨⎪⎧f －，f ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a >0，1－2a <0，34－a >0，解得12<a <34.故实数a 的取值范围为{a ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12<a <34.16．(2017·江西模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e2x(x >0)．(1)若g (x )＝m 有实数根，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． 解 (1)∵x >0时，g (x )＝x ＋e2x≥2x ·e2x＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ，故g (x )的值域是[2e ，＋∞)， 因而只需m ≥2e，则y ＝g (x )－m 就有零点． ∴m 的取值范围是[2e ，＋∞)．(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e2x(x >0)的大致图象．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2， ∴其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2.故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．。

第8讲函数与方程板块四 模拟演练•提能增分[A 级基础达标]丄 21. [2018 •北京丰台二模]函数fg=x —£•)的零点个数为() A. 0 B. 1 0. 2D. 3丄=£•〉，在平面直角坐标系中分别画出函数 y=x 与 V)"的图象，可得交点只有一个，所以零点只有一个.故选B.92. 函数f(x) =2X---- 曰的一个零点在区间(1,2)内，则实数e?的取值范围是()x A. (1,3) B. (1,2) C. (0,3)D. (0,2)答案C解析 因为fd)在(0, +->)上是增函数，则由题意得f(l)・/'(2) = (0 —日)(3 —日)〈0, 解得0<^<3.故选C.3. [2018 •济南模拟]若f(x)是奇函数，且&是y=f(x) + e v 的一个零点，则一心一定是 下列哪个函数的零点()解析 由已知可得f(xo)=—e ,则e ・f (Ab)= —1, e f(—彌)=1,故一乩一定 是y=ef{x) —1的零点.4. 设日是方程21n x —* = — x 的解，则辺在下列哪个区间内( )A. (0,1)B. (3,4)C. (2,3)D. (1,2)答案D解析 令/U)=21门/一3 +匕 则函数fd)在(0, +8)上递增，HAl)=-2<0, /(2) = 21n 2-l = ln 4-1>0,所以函数代方在(1, 2)上有零点，即臼在区间(1,2)内.5. 用二分法研允函数f\x) =x +8/—1的零点时，第一次经过计算得/'(0)<0, f(0・5) >0, 则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为()A. (0, 0. 5), A0. 125)B. (0. 5, 1), A0. 875)C. (0. 5, 1), A0. 75)D. (0, 0. 5), HO. 25)答案B解析令f\x) = 0,A. y=f( — x)e"—l B ・ y= f(x)e~r+i C. y=e Af(x) — 1D. y=eW) +1答案CXo -Ao -Ab答案D解析V /U)=/+8/-l, A0)<0, A0. 5)>0,A0) • Ao. 5)<0,其中一个零点所在的区间为(0, 0. 5),第二次应计算的函数值应为A0. 25).故选D.丄6.[2018 •昆明模拟]若及是方程^=x3的解，则/属于区间()A.(0, |C.答案B解析令/&) =丄丨疋3 ,/(1)= —-1 =L*0,丄<0,>0,\ )内有零点.7. [2018 •大连模拟]函数f(x) = (x+l)lnA. 0个C. 2个答案BX— 1B.D.的零点有()1个3个B.D.1的图解析象如图，由图象可知交点个数为1,即函数的零点个数为1•选B.8. ［2018 •孝感高级中学调考］函数/W=ln A ^+2%-6的零点在区间a+l)(aEZ)内，贝I 」日= ____ •答案2解析 因为函数/U)=lnx+2x —6的定义域为(0, +-),所以日20,函数f{x)=}xxx +2x-6 在(0, +8)上是单调递增函数，f(l)=_4<0, A2)=ln 2 — 2<0, /(3)=ln 3>0, 所以函数Ax)=ln %+2%-6的零点在区间(2, 3)内，故臼=2.29. g{x) =x+~■—刃(x 〉0,其中e 表示自然对数的底数).若g (劝在(0, +8)上有零点，X则刃的収值范围是 ________ .答案［2e, +8)解析 由 g{x) =0,得 /—z»^+e 2=0, x 〉0.m2>0,/ =〃/—4e 空 0— 1, XL10. [2018 •安庆模拟]已知函数fU)=jlogj_ 心1,2有三个不同的实根，则实数斤的取值范围是 答案(一1,0)y=x 2- \(x< 1 j 丿解析 关于％的方程f(X)=k 有三个不同的实根，等价于函数fd)与函数尸*的图象 有三个不同的交点，作出函数的图彖如图所示，由图可知实数斤的取值范围是(一1,0)・［B 级知能提升］1. ［2018・衡阳模拟］函数f\x) =log3卄2的零点所在的区间为() A. (0, 1) B. (1,2) C. (2,3)D. (3,4)答案B解析 函数t\x) =\o^x+ x —2的定义域为(0, +8),并且f(x)在(0, +8)上单调递 增，图象是一条连续曲线.由此方程有大于零的根，得解得刃>0, /z?22c 或〃W故/〃三2e. 若关于x 的方程f(x) =k又/(1)=-1<0, H2)=log32>0, f(3)=2>0,根据零点存在性定理，可知函数f(x)=log3%+^-2有唯一零点，且零点在区间(1,2)内.2.［2018 •大连一模］f(x)是R 上的偶函数，/(%+2) =/(%),当0W/W1 时，f3=£, 则函数y= f\x) — I log5%|的零点个数为( )A. 4B. 5C. 8D. 10答案B解析由零点的定义可得Ax) = |log5%|,两个函数图象如图，总共有5个交点，所以共有5个零点.3.［2017・唐山模拟］当圧［1,2］时，函数与y= a (a>0)的图象有交点，求臼的取值范围.答案*，迈解析当白=1时，显然成立.当自>1时，如图①所示，使得两个函数图象有交点，需满足即1〈日即养水1,综上可知，ae 边.4.已知y= f{x)是定义域为R的奇函数，当炸［0, +°°)时，2/.(1)写出函数y=f^的解析式；(2)若方程fg =日恰有3个不同的解，求曰的取值范闱.解(1)设*0,则一00,・・・f(—方=#+2兀又V fix)是奇函数，•e. f{x) = — f\~x) = —x —2x.(2)方程f{x)=a 恰有3个不同的解，即y=f(x)与的图象有3个不同的交点，作11! y=f\x)与y=盘的图象如图所示，故若方程f(x) =a 恰有3个不同的解，只需一1<曲， 故白的取值范围为(-1,1)・•" ]JV 〉O ,5.已知函数 f{x) = —x~2x, =< 心、卄 1, xWO.⑴求Hf(l)]的值；⑵若方程g[fU ]—曰=0有4个实数根，求实数a 的取值范围.解 ⑴ VAl)=-l 2-2Xl = -3,.•・g[f(l)]=g( —3) = —3+1 = —2.(2)令fg = t,则原方程化为f 易知方程= t 在胆(一8, 1)内有2个不 同的解，则原方程有4个解等价于函数尸g&)(Kl)与尸日的图象有2个不同的交点，作 出函数y=g(t)(t<l)的图象，如图所示，由图象可知，当时，函数y=g(Z )(Z 〈l)与y有2个不同的交点，即所求日的取值范围是1, #— x~2x,/• fXx)=<X ~2X 9。

第八节函数与方程————————————————————————————————[考纲传真] 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x ∈D)的零点．(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0.2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( )(2)函数y＝f(x)，x∈D在区间(a，b)⊆D内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.( )(3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．( )(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac＜0时没有零点．( )[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)函数f(x)＝e x＋3x的零点个数是( )A．0 B．1C ．2D ．3B [∵f (－1)＝1e －3＜0，f (0)＝1＞0，∴f (x )在(－1,0)内有零点，又f (x )为增函数，∴函数f (x )有且只有一个零点．]3．(2015·安徽高考)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln xD ．y ＝x 2＋1A [由于y ＝sin x 是奇函数；y ＝ln x 是非奇非偶函数，y ＝x 2＋1是偶函数但没有零点，只有y ＝cos x 是偶函数又有零点．]4．(2016·江西赣中南五校联考)函数f (x )＝3x－x 2的零点所在区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(－2，－1)D ．(－1,0)D [∵f (－2)＝－359，f (－1)＝－23，f (0)＝1，f (1)＝2，f (2)＝5，∴f (0)f (1)＞0，f (1)f (2)＞0，f (－2)f (－1)＞0，f (－1)f (0)＜0，故选D.]5．函数f (x )＝ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________．【导学号：31222059】⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 [∵函数f (x )的图象为直线，由题意可得f (－1)f (1)＜0，∴(－3a ＋1)·(1－a )＜0，解得13＜a ＜1，∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.]A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)(2)函数f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零点. 【导学号：31222060】(1)B (2)存在 [(1)函数f (x )的零点所在的区间可转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的取值范围．作图如下：可知f (x )的零点所在的区间为(1,2)． (2)法一：∵f (1)＝12－3×1－18＝－20＜0，f (8)＝82－3×8－18＝22＞0，∴f (1)·f (8)＜0，又f (x )＝x 2－3x －18，x ∈[1,8]的图象是连续的， 故f (x )＝x 2－3x －18在x ∈[1,8]上存在零点． 法二：令f (x )＝0，得x 2－3x －18＝0， ∴(x －6)(x ＋3)＝0.∵x ＝6∈[1,8]，x ＝－3∉[1,8]，∴f (x )＝x 2－3x －18在x ∈[1,8]上存在零点．] [规律方法] 判断函数零点所在区间的方法：判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理，当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时，可画出图象判断．[变式训练1] 已知函数f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)C [∵f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2在(0，＋∞)上是增函数，又f (1)＝ln 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝ln 1－2＜0，f (2)＝ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＜0，f (3)＝ln 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫121＞0，∴x 0∈(2,3)，故选C.]0.5A ．1B ．2C ．3D ．4(2)(2017·秦皇岛模拟)函数f (x )＝{ ln x －x 2＋2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0的零点个数是________．(1)B (2)3 [(1)令f (x )＝2x|log 0.5x |－1＝0，可得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点．(2)当x ＞0时，作函数y ＝ln x 和y ＝x 2－2x 的图象， 由图知，当x ＞0时，f (x )有2个零点； 当x ≤0时，由f (x )＝0得x ＝－14，综上，f (x )有3个零点．][规律方法] 判断函数零点个数的方法：(1)解方程法：所对应方程f (x )＝0有几个不同的实数解就有几个零点． (2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．[变式训练2] (2015·湖北高考)函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数为________．2 [f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2＝2sin x cos x －x 2＝sin 2x －x 2，由f (x )＝0，得sin2x ＝x 2.设y 1＝sin 2x ，y 2＝x 2，在同一平面直角坐标系中画出二者的图象，如图所示．由图象知，两个函数图象有两个交点，故函数f (x )有两个零点．](2017·昆明模拟)已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x －4)＝f (x )，且在区间[0,2]上f (x )＝x ，若关于x 的方程f (x )＝log a x 有三个不同的实根，求a 的取值范围．[思路点拨] 先作出函数f (x )的图象，根据方程有三个不同的根，确定应满足的条件． [解] 由f (x －4)＝f (x )知，函数的周期为4，又函数为偶函数，所以f (x －4)＝f (x )＝f (4－x )，3分所以函数图象关于x ＝2对称，且f (2)＝f (6)＝f (10)＝2，要使方程f (x )＝log a x 有三个不同的根，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，f＜2，f＞2，8分如图，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，log a 6＜2，log a 10＞2，解得6＜a ＜10.故a 的取值范围是(6，10).12分[规律方法] 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．[变式训练3] (1)函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)(2)(2016·山东高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．(1)C (2)(3，＋∞) [(1)∵函数f (x )＝2x－2x－a 在区间(1,2)上单调递增，又函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则有f (1)·f (2)＜0，∴(－a )(4－1－a )＜0，即a (a－3)＜0，∴0＜a ＜3.(2)作出f (x )的图象如图所示．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ，即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3.][思想与方法]1．转化思想在函数零点问题中的应用方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．2．判断函数零点个数的常用方法 (1)通过解方程来判断．(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断．(3)将函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数转化为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )图象公共点的个数来判断．3．利用函数零点求参数范围的常用方法：直接法、分离参数法、数形结合法． [易错与防范]1．函数的零点不是点，是方程f (x )＝0的实根．2．函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．课时分层训练(十一) 函数与方程A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( ) 【导学号：31222061】A ．0,2B ．0，12C ．0，－12D ．2，－12C [由题意知2a ＋b ＝0，即b ＝－2a .令g (x )＝bx 2－ax ＝0，得x ＝0或x ＝a b ＝－12.]2．函数f (x )＝e x＋x －2的零点所在的区间为( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)C [因为f (0)＝e 0＋0－2＝－1＜0，f (1)＝e 1＋1－2＝e －1＞0，故f (0)·f (1)＜0，故选C.]3．函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,2)内的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3B [由指数函数、幂函数的性质可知，f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,2)内单调递增，且f (0)＝－1＜0，f (2)＝10＞0，所以f (0)·f (2)＜0，即函数f (x )＝2x＋x 3－2在区间(0,2)内有唯一一个零点，故选B.]4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，e x，x ＞0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( )A ．[0,1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，1]∪(2，＋∞)D ．(－∞，0]∪(1，＋∞)D [函数g (x )＝f (x )＋x －m 的零点就是方程f (x )＋x ＝m 的根，画出h (x )＝f (x )＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，e x ＋x ，x ＞0的大致图象(图略)．观察它与直线y ＝m 的交点，得知当m ≤0或m ＞1时，有交点，即函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点．]5．(2016·湖北七校2月联考)已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )A.14B.18 C ．－78D ．－38C [令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ只有一个实根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.故选C.]二、填空题6．已知关于x 的方程x 2＋mx －6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m 的取值范围是________．【导学号：31222062】(－∞，1) [设函数f (x )＝x 2＋mx －6，则根据条件有f (2)＜0，即4＋2m －6＜0，解得m ＜1.]7．(2016·浙江高考)设函数f (x )＝x 3＋3x 2＋1，已知a ≠0，且f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2，x ∈R ，则实数a ＝________，b ＝________.－2 1 [∵f (x )＝x 3＋3x 2＋1，则f (a )＝a 3＋3a 2＋1，∴f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2＝(x －b )(x 2－2ax ＋a 2)＝x 3－(2a ＋b )x 2＋(a 2＋2ab )x －a 2b ＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2.由此可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－3，①a 2＋2ab ＝0，②a 3＋3a 2＝a 2b .③∵a ≠0，∴由②得a ＝－2b ，代入①式得b ＝1，a ＝－2.]8．(2015·湖南高考)若函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是__________．(0,2) [由f (x )＝|2x－2|－b ＝0得|2x －2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x－2|与y ＝b 的图象，如图所示，则当0<b <2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点．] 三、解答题9．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使f (x 0)＝x 0.[证明] 令g (x )＝f (x )－x .2分 ∵g (0)＝14，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＝－18，∴g (0)·g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0.7分 又函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上连续， ∴存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使g (x 0)＝0， 即f (x 0)＝x 0.12分10．已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a ，(1)判断命题：“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，求实数a 的取值范围． [解] (1)“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”是真命题． 依题意，f (x )＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根.3分因为Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必有实根.5分(2)依题意，要使y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点， 只需⎩⎪⎨⎪⎧ f －，f ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，7分即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a >0，1－2a <0，34－a >0，解得12<a <34.10分故实数a 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪12<a <34.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·郑州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0，2x －1，x ＞0(a ∈R)，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－1]C ．[－1,0)D ．(0,1]D [因为当x ＞0时，f (x )＝2x －1， 由f (x )＝0得x ＝12.所以要使f (x )在R 上有两个零点，则必须2x－a ＝0在(－∞，0]上有唯一实数解． 又当x ∈(－∞，0]时，2x∈(0,1]，且y ＝2x 在(－∞，0]上单调递增， 故所求a 的取值范围是(0,1]．]2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f [f (x )]＋1的所有零点所构成的集合为________．【导学号：31222063】⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，－12，14，2 [由题意知f [f (x )]＝－1，由f (x )＝－1得x ＝－2或x ＝12，则函数y ＝f [f (x )]＋1的零点就是使f (x )＝－2或f (x )＝12的x 的值．解f (x )＝－2得x ＝－3或x ＝14，解f (x )＝12得x ＝－12或x ＝2，从而函数y ＝f [f (x )]＋1的零点构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，－12，14，2.]3．若关于x 的方程22x ＋2xa ＋a ＋1＝0有实根，求实数a 的取值范围． [解] 法一(换元法)：设t ＝2x (t ＞0)，则原方程可变为t 2＋at ＋a ＋1＝0，(*) 原方程有实根，即方程(*)有正根． 令f (t )＝t 2＋at ＋a ＋1.3分 ①若方程(*)有两个正实根t 1，t 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－a ＋，t 1＋t 2＝－a ＞0，t 1·t 2＝a ＋1＞0，解得－1＜a ≤2－22；6分②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根不合题意，舍去)，则f (0)＝a ＋1＜0，解得a ＜－1；9分③若方程(*)有一个正实根和一个零根，则f (0)＝0且－a 2＞0，解得a ＝－1. 综上，a 的取值范围是(－∞，2－22].12分法二(分离变量法)：由方程，解得a ＝－22x ＋12x ＋1，3分 设t ＝2x (t ＞0)，则a ＝－t 2＋1t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t ＋1－1 ＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤t ＋＋2t ＋1，其中t ＋1＞1，9分 由基本不等式，得(t ＋1)＋2t ＋1≥22，当且仅当t ＝2－1时取等号，故a ≤2－2 2.12分。