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浅谈导数在经济分析中的应用【摘要】导数在经济分析中起着重要的作用。
本文通过引述导数在经济分析中的重要性为引言，后分别讨论导数的定义及基本概念、导数在边际分析中的应用、导数在优化问题中的应用、导数在市场分析中的应用、导数在曲线拟合中的应用等五个部分。
导数在经济分析中被广泛应用，帮助经济学家解决各种问题，如边际成本与边际收益的分析、生产要素的最优配置、市场需求与供给的变化等。
结论部分强调导数对经济分析的重要性，指出导数作为数学工具在经济学领域的广泛应用，促进了经济学的发展与进步。
通过本文的阐述，读者将更深入地了解导数在经济分析中的应用及其重要性。
【关键词】导数, 经济分析, 边际分析, 优化问题, 市场分析, 曲线拟合, 重要性1. 引言1.1 导数在经济分析中的重要性导数在经济分析中扮演着非常重要的角色。
导数是微积分的基本概念之一，它提供了一种衡量变化率的工具，可以帮助经济学家更好地理解和解释经济现象。
在经济学中，很多问题都涉及到变化率，例如成本的变化率、利润的变化率以及需求的变化率等等。
通过导数的概念，我们可以更精确地分析这些变化率，从而为经济决策提供更有力的支持。
导数在经济分析中的应用是非常广泛的。
它可以帮助经济学家分析边际效用、边际成本和边际收益等概念。
在优化问题中，导数也起着至关重要的作用。
通过求取函数的导数，我们可以找到函数的极值点，从而确定最优的经济决策。
导数在市场分析中也扮演着重要的角色。
通过对市场需求和供给函数求导，我们可以得到市场的均衡价格和数量，从而分析市场的竞争情况和市场结构。
导数在经济分析中的应用是不可替代的。
它为经济学家提供了一种强大的工具，帮助他们更深入地理解经济现象，做出更准确的经济决策。
在当今竞争激烈的经济环境中，熟练掌握导数分析方法将是经济学家们取得成功的关键之一。
2. 正文2.1 导数的定义及基本概念导数在经济分析中扮演着重要的角色，它是微积分中的一个重要概念，可以帮助经济学家理解和解释经济现象。
导数在经济中的应用1. 引言导数是微积分中的一个重要概念，它在经济学中有许多重要的应用。
导数可以用于解决一系列经济问题，如利润最大化、边际分析和最优化问题等。
本文将介绍导数在经济学中的应用，包括边际效益、弹性、生产函数和消费函数等。
2. 边际效益在经济学中，边际效益指的是增加或减少一单位生产或消费所带来的额外效益。
导数可以用来计算边际效益。
例如，在生产中，我们可以通过计算产出的边际效益来确定最有效的生产水平。
导数可以帮助我们计算出增加一单位产出所带来的额外收益。
同样，在消费中，导数可以帮助我们计算出消费品的边际效益，从而确定最佳消费水平。
3. 弹性在经济学中，弹性指的是经济变量相对于另一个变量的变化率。
导数可以用来计算弹性。
例如，价格弹性是指商品需求量对价格变化的敏感程度。
导数可以帮助我们计算出商品需求量对商品价格变化的弹性。
这对于企业定价、市场分析和政府政策制定等都非常重要。
4. 生产函数在经济学中，生产函数描述了生产要素（如劳动力和资本）与产出之间的关系。
导数在生产函数中有重要的应用。
导数可以帮助我们理解生产要素的边际效用和生产效率。
通过计算生产函数的导数，我们可以确定最优的生产要素组合，从而实现生产效率的最大化。
5. 消费函数在经济学中，消费函数描述了消费者通过消费来获得效用的方式。
导数在消费函数中也有重要的应用。
导数可以帮助我们计算消费者对不同消费品的边际效用，从而确定最佳的消费组合。
通过计算消费函数的导数，我们可以了解到在不同价格水平下，消费者对不同商品的需求变化情况。
6. 最优化问题在经济学中，最优化问题是经常遇到的问题之一。
最优化问题指的是在一定的约束条件下，寻找使某一目标函数取得最大值或最小值的变量值。
导数在解决最优化问题中发挥了重要的作用。
通过计算目标函数的导数，我们可以找到目标函数取得最大值或最小值的变量值，从而解决最优化问题。
7. 结论导数在经济学中有许多重要的应用。
它可以帮助我们解决一系列经济问题，如边际效益、弹性、最优化问题等。
导数在生活中的应用例子
一、在经济学中
1、供求曲线中的供求应变：当价格发生变化时，需求量会出现波动，
以及需求量对价格的变化也变化，供求曲线受到价格变化的影响。
这
就是导致供求应变的原因，而这个原因可以用微积分的偏导数来证明。
2、市场竞争：随着竞争者数量的增加，市场价格也会发生变化，价格
作为变量，市场最终决定价格时，就会出现供需冲突，从而引起价格
波动，这就用微积分中的导数来分析。
二、在金融学中
1、货币政策传导机制：货币政策的实施使得利率的变化对经济的影响，用微积分的意义来看，利率是一种曲线，当利率变化时，曲线的斜率
也会变化，这就是利率传导机制。
2、投资机会成本：投资机会成本指的是投资者在一定条件下所承担的
投资风险，当利率下降时，投资机会成本也会发生变化，而这一变化
可以用微积分中的导数来进行分析。
三、在制造业中
1、公差计算：在计算机装配工艺中，产品的尺寸关系到了其加工的质量，如果所用的部件的尺寸不符合公差要求，就会出现不良的加工结
果，这时处理的办法就是计算出来最大的容许偏差，而这个最大容许
偏差就是通过微积分的偏微分来计算出来的。
2、工艺优化：为了确保加工出来的产品的质量，就必须对付诸如温度、压力、用料等参数进行优化调整，这可以使用微积分来分析各参数对
最终结果的影响，以达到最优化调整的效果。
浅谈导数在经济分析中的应用导数在经济分析中有广泛的应用，主要体现在以下几个方面：1. 边际效应分析：导数可以衡量一个经济变量对另一个经济变量的边际影响。
对于一个生产函数来说，生产量对于投入变量的边际影响可以通过对生产函数求导得到。
这种边际效应分析可以帮助经济学家和决策者理解不同变量之间的相互关系，并制定相应的政策。
2. 最优化问题：很多经济问题可以通过最优化理论求解，而求解最优化问题往往需要使用导数。
生产者在确定生产量时通常会面临成本最小化问题，这个问题可以通过对成本函数求导得到最小化成本对应的生产量。
消费者在确定消费组合时也会面临效用最大化问题，同样可以通过对效用函数求导得到最大化效用对应的消费组合。
3. 弹性分析：弹性是衡量变量之间相互影响的一种度量，而导数可以用来计算弹性。
常见的有价格弹性、收入弹性等。
价格弹性可以告诉我们当价格发生变化时，需求量或供应量的相应变化幅度。
收入弹性可以告诉我们消费者的购买力提高或降低时，对于不同商品需求的变化情况。
通过弹性分析，我们可以更好地理解市场的运行规律，为政策调控提供有力的依据。
4. 经济模型的建立和分析：经济模型是经济学中用来描述经济系统的一种工具，而模型的建立和分析往往需要使用导数。
在宏观经济学中，凯恩斯经济学模型通过对消费函数的导数进行分析，揭示了收入对消费的影响；在微观经济学中，供求模型通过对供给曲线和需求曲线的导数进行分析，揭示了价格和数量之间的关系。
导数在经济分析中具有重要的应用价值。
通过对经济变量之间的边际效应、最优化问题、弹性分析以及经济模型的建立和分析等进行导数的运用，我们可以更好地理解经济现象，分析经济问题，制定经济政策。
导数也为经济学提供了强大的工具和方法，使得经济学成为一门严谨而科学的学科。
导数在经济学中的应用1. 引言经济学是一门研究人类如何管理资源以满足各种需求的学科。
在经济学中，数学工具起着非常重要的作用，其中导数是一种常用的数学工具。
导数可以帮助经济学家研究和分析各种经济现象，并做出相应的政策建议。
本文将介绍导数在经济学中的应用，并通过具体的例子来说明其作用。
2. 供需分析在经济学中，供需分析是一种基本的方法，用于研究产品或服务的市场行为。
通过对供给曲线和需求曲线的分析，经济学家可以确定平衡价格和数量。
而导数在供需分析中起着重要的作用。
导数可以帮助我们理解市场的反应速度。
例如，假设某种商品的需求量与价格之间存在负相关关系。
通过计算需求曲线的导数，我们可以得到价格变化对需求量变化的敏感度。
当我们知道了市场对价格变化的敏感度后，可以通过调整价格来影响需求量，实现市场的稳定。
3. 生产函数分析在经济学中，生产函数是一种描述生产过程的数学模型。
生产函数可以帮助我们分析输入要素对输出的影响。
而导数在生产函数分析中可以帮助经济学家计算边际产出。
边际产出指的是增加一个单位的输入要素所能获得的额外产出。
通过计算生产函数的导数，我们可以得到边际产出的变化情况。
这对于生产效率的改进和资源的优化分配非常重要。
4. 最优化问题经济学中经常会遇到最优化问题，即在给定的约束条件下，寻找能够使某个目标函数取得最大或最小值的变量取值。
导数在最优化问题中起着重要的作用。
通过计算目标函数的导数，我们可以找到函数的极值点。
这对于决策者来说非常有用，因为他们可以通过调整相关变量来实现经济目标的最大化或最小化。
5. 边际效用分析边际效用是指每增加一个单位的消费量所产生的额外满足感。
在经济学中，通过边际效用的概念，经济学家可以研究消费者的行为和做出相关政策建议。
导数在边际效用分析中起着重要的作用。
通过计算效用函数的导数，我们可以得到边际效用的变化情况。
这可以帮助我们判断消费者对于不同商品之间的偏好，并且可以进行合理的消费决策。
浅谈导数在经济分析中的应用导数在经济分析中有广泛的应用。
导数是微积分的基本概念之一，指的是函数的变化率。
在经济学中，我们常常需要研究经济变量随时间、价格或其他因素的变化情况，而导数为我们提供了一个量化经济变量变化的工具。
导数在经济需求和供给分析中起到了重要的作用。
需求和供给曲线是经济学中研究市场均衡的基本工具。
需求曲线描述了消费者对商品的需求量随价格的关系，供给曲线则描述了生产者愿意出售商品的数量随价格的关系。
通过求导数，我们可以计算出需求和供给曲线的斜率，从而获得市场的均衡价格和数量。
导数在边际效应分析中也有重要的应用。
在经济学中，边际效应指的是增加一单位投入或消费对产出或满足程度的最后一单位影响。
边际生产力衡量了增加一单位劳动力对产出的额外贡献。
通过求导数，我们可以计算边际生产力的大小，从而进行优化决策，如确定最优的生产要素组合和劳动力数量。
导数在经济最优化问题中也发挥着重要的作用。
经济最优化问题是经济学中一个重要的研究领域，研究如何在特定的约束条件下最大化效用或利润。
通过求导，我们可以计算出效用函数或利润函数的最大值或最小值，从而得到最优的决策。
导数还可以用于经济政策评估。
经济政策通常会对经济变量产生影响，如通货膨胀率、失业率等。
通过构建经济模型，我们可以建立政策变量与经济变量之间的关系，并通过求导数来计算政策对经济变量的影响程度。
这样可以帮助政策制定者评估政策的有效性和可能的副作用。
导数还可以用于经济预测和风险管理。
通过对历史数据进行建模，并通过求导数计算出经济变量的趋势和变化率，我们可以进行经济预测。
这对于企业的生产计划、投资决策以及金融市场的投资策略都有重要的意义。
导数还可以用于评估金融风险，如统计价值风险、股票价格波动等，为金融机构和投资者提供决策支持。
导数在经济分析中应用广泛，可以帮助我们理解经济变量的变化规律，优化决策，评估政策效果和管理风险。
熟练运用导数的原理和技巧，将有助于经济学家和决策者更好地理解和应对经济问题。
浅谈导数在经济分析中的应用导数是微积分中的重要概念，用于研究函数的变化率和曲线的斜率。
在经济分析中，导数的应用广泛而且重要。
导数可用于分析经济模型中的最优解。
在经济学中，我们常常面临一些最优化问题，例如最大化利润、最小化成本、最大化效用等。
通过研究函数的导数，我们可以找到这些问题的最优解。
当求解一个最大化利润的问题时，我们可以通过计算利润函数的导数，找到使导数等于零的点，这个点就是最大化利润的解。
类似地，当求解最小化成本的问题时，我们可以通过计算成本函数的导数来找到最小化成本的解。
导数在经济模型的求解中起到了非常重要的作用。
导数可用于分析边际效应。
在经济学中，边际效应是指对一个变量进行微小改变所带来的变化效果。
边际成本是指增加一个单位产量所需要的额外成本，边际效用是指多消费一个单位产品所带来的额外满足程度。
通过计算边际效应的导数，我们可以更好地理解和分析经济行为。
当我们对某产品的需求函数求导，得到的导数表示每增加一个单位价格，消费者购买该产品的数量将减少多少。
通过分析这个导数，我们可以判断价格对需求的弹性，从而指导企业制定合理的定价策略。
导数还可用于分析生产函数和成本函数之间的关系。
生产函数是描述产出与生产要素之间关系的函数，成本函数是描述产出与生产要素成本之间关系的函数。
通过计算生产函数和成本函数的偏导数，我们可以分析不同生产要素对产出和成本的贡献程度，从而进行资源配置和效率分析。
当我们计算产出对某一生产要素的偏导数时，得到的导数表示增加一个单位该生产要素将增加产出的多少。
通过分析这个导数，我们可以判断生产要素的边际报酬，进而进行合理的资源配置。
导数可用于分析市场供求关系和均衡价格。
在经济学中，供求关系是描述市场上商品或劳务的供给和需求之间的关系。
通过计算供应函数和需求函数的导数，我们可以分析不同因素对价格和数量的影响。
当我们计算需求函数对价格的导数时，得到的导数表示价格对需求的弹性，即价格变动对需求量的影响程度。
导数与函数的经济学应用问题关系解析与归纳在经济学领域，函数是一种重要的数学工具，用于描述和分析经济现象和经济行为。
而导数则是函数的基本概念之一，它可以帮助我们理解和解决各种经济学应用问题。
本文将深入探讨导数与函数的经济学应用问题的关系，并对其进行解析和归纳。
1. 供给函数与弹性供给是经济学中的重要概念，它描述了商品或服务在不同价格下的数量关系。
供给函数可以用来描述供应商在不同价格下所愿意提供的商品或服务数量。
通过对供给函数求导，我们可以得到供给函数的导数，即供给函数的斜率。
供给函数的导数可以帮助我们计算供给的弹性，这一概念表示供给量对价格变化的敏感程度。
供给弹性的大小对经济政策制定和市场预测有着重要的影响。
2. 需求函数与边际效用需求函数描述了消费者在不同价格下购买商品或服务的数量关系。
通过对需求函数求导，我们可以得到需求函数的导数，即需求函数的斜率。
需求函数的导数可以帮助我们计算需求的边际效用，这一概念表示消费者对商品或服务购买数量的额外满足程度。
边际效用的变化对消费者决策和市场均衡有着重要的影响。
3. 最优化问题与目标函数在经济学中，最优化问题是常见的分析方法之一。
最优化问题通过设立一个目标函数，并通过求解目标函数的最大值或最小值来得到最优解。
在最优化问题中，导数起到了至关重要的作用。
通过对目标函数求导，可以得到目标函数的导数，并通过导数为零的点确定最优解。
在经济学中，最优化问题的应用非常广泛，如企业利润最大化、消费者效用最大化等。
4. 生产函数与生产效率生产函数描述了生产过程中投入要素（如劳动和资本）与产出之间的关系。
通过对生产函数求导，我们可以得到生产函数的边际产出，即每增加一单位投入要素所能获得的产出变化量。
边际产出可以帮助企业确定最优投入组合，提高生产效率。
在经济学中，生产函数的分析是研究生产决策和资源配置的重要工具。
通过以上几个方面的分析，可以看出导数与函数的密切关联，并且在经济学应用问题中发挥着重要的作用。
导数及其经济应用1. 导数的概念在微积分中，导数是描述函数变化率的重要概念。
对于一个函数f(x) ，在某一点 x 处的导数表示函数在该点的变化速率。
导数可以通过函数的斜率来理解，即函数在某一点的切线的斜率。
数学上，函数 f(x) 在某一点 x 处的导数表示为f’(x) 或者 dy/dx ，可以通过以下公式计算：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中 lim 表示极限， h 表示变化的量。
可以理解为在 x 点处取极小的 h ，求得斜率。
2. 导数的应用导数在数学中是一种重要的工具，广泛应用于各个领域。
在经济学中，导数的应用尤为突出，可以帮助解决一系列经济问题。
2.1 边际收益在经济学中，边际收益是指某一项生产要素〔如劳动力、资本等〕增加一单位所带来的额外收益。
边际收益可以通过导数的概念来理解。
假设某企业生产某种产品，其总收益函数为 R(x)，其中 x 表示生产该产品的数量。
那么边际收益可以表示为R’(x) 。
边际收益的计算可以帮助企业决定生产的最优数量。
当边际收益大于本钱时，企业可以继续增加生产数量，以获取更多的利润；当边际收益小于本钱时，企业应该减少生产数量，以防止亏损。
2.2 边际本钱与边际收益类似，边际本钱是指增加一单位生产要素所带来的额外本钱。
可以通过导数的概念来计算边际本钱。
假设某企业的总本钱函数为 C(x)，其中 x 表示生产的数量。
那么边际本钱可以表示为C’(x) 。
边际本钱的计算可以帮助企业决定生产的最优数量。
当边际本钱小于边际收益时，企业可以增加生产数量，以获得更多的利润；当边际本钱大于边际收益时，企业应该减少生产数量，以防止亏损。
2.3 价格弹性价格弹性是衡量需求对价格变化的敏感程度的指标，在经济学中有重要的应用。
价格弹性可以通过导数的概念来计算。
假设某商品的需求函数为 q(p)，其中 p 表示商品的价格。
那么价格弹性可以表示为 dq/dp * (p/q) ，其中 dq/dp 表示需求函数对价格的导数。
中文摘要随着经济的快速发展，运用我们所学的数学知识能较好的解决很多经济领域里的问题.导数在经济领域中的应用越来越广泛.并且导数已经成为经济分析中最为实用的数学工具之一.如边际成本、需求弹性、成本的最小化、利润的最大化、决策的最优化等，都是通过导数来解决的.掌握导数的基本概念和经济中常见函数的概念非常重要，把经济学中很多现象进行分析，归纳到数学领域中，在微观经济学中有很多具体的例子，加以应用就会对很多经营决策者起非常重要的作用.所以，学习导数的概念并熟练掌握导数的应用尤为重要.本文将着重阐述利用导数解决常见的经济问题.关键词：导数；函数；边际；优化；弹性；成本；利润.中文摘要......................................................................................................................１.. (11)引言................................................................................................................................ (11)1.导数的概念.................................................................................................................. (11)2.经济中常用的函数......................................................................................................2.1需求函数 (1)2.2成本函数 (2)2.3利润函数 (2)3.导数在经济分析中的应用举例................................................................................... (33)3.1求边际成本 (3)3.2研究需求弹性 (5)3.3成本最小化 (8)3.4利润最大化 (9)3.5决策的最优化 (9)4.结语 (11)参考文献 (12)２1引言高等数学的主要内容是微积分，微分学则是微积分的重要组成部分，而导数又是微分学中的基本概念之一，所以学习导数的概念并熟练掌握导数的应用尤为重要.导数的应用范围颇为广泛，比如在物理学中的应用，在工程技术上的应用，在经济学中的应用等等，本文仅就导数在经济中的应用问题加以分析，讨论.1.1.导数的概念导数的概念从数量关系而言，导数反映函数的自变量在变化时，相应的函数值变化的快慢程度——变化率（瞬时变化率）.在经济工作中，也存在变化率的问题，著名的边际分析就是用求函数导数的方法，解决边际变化问题的.从数学表达式而言，研究的是函数的增量与自变量的增量比的极限问题.函数()y f x =在某一点0x 的导数表达式如下]1[：)()()(lim 0000x f xx f x x f x ′=∆−∆+→∆.2.经济中常用的函数导数在经济领域中的应用，主要是研究在这一领域中出现的一些函数关系，因此必须了解一些经济分析中常见的函数.2.1需求函数作为市场上的一种商品，其需求量受到很多因素影响，如商品的市场价格、消费者的喜好等.为了便于讨论，我们先不考虑其他因素，假设商品的需求量仅受市场价格的影响.即)(p f Q =其中Q 表示商品需求量，p 表示商品市场价格.22.2成本函数成本包括固定成本和变动成本两类.固定成本是指厂房、设备等固定资产的折旧、管理者的固定工资等，记为0C .变动成本是指原材料的费用、工人的工资等，记为1C .这两类成本的总和称为总成本，记为C ，即10C C C +=，假设固定成本不变（0C 为常数），变动成本是产量Q 的函数（)(11Q C C =），则成本函数为]2[)()(10Q C C Q C C +==.2.3利润函数利润函数)()()(X C X R X L −=被称为企业目标函数.()(X R 为总收入函数、)(X C 为总成本函数).作为企业,生产的最重要的目的就是获取利润，利润是指收入扣除成本后的剩余部分，记为L .为了求出使利润最大的产出水平,首先,必须满足最大值的必要条件:一阶导数0)(=′X L ,求0)(=′X L ,即)()(X C X R ′=′.其次,还必须满足最大值的充分条件:当0)(=′X L 时,0)(<′′X L ,即)()(X C X R ′′<′′.在经济学上意味着:当产出水平满足)()(X C X R ′=′时,若)(X R ′的变化率小于)(X C ′的变化率,这时产出水平使利润最大.总收入减去变动成本称为毛利润，再减去固定成本称为纯利润.如果把利润定义为总收入减总成本，那么利润也可以表示为产量函数]3[.33.导数在经济分析中的应用举例3.1求边际成本在经济问题中，常常会使用变化率的概念，变化率又分为平均变化率和瞬时变化率.平均变化率就是函数增量与自变量增量之比，函数)(x f y =在),(00x x x ∆+内的平均变化率为xy ∆∆，如我们常用到年产量的平均变化率、成本的平均变化率、利润的平均变化率等.瞬时变化率就是函数对自变量的导数]4[.边际成本的定义是产量增加一个单位时所增加的总成本.现假设产品数量是连续变化的,于是单位产品可以无限细分.如果产量已经是X ,在此水平上若产量从X 增至X X ∆+,那么总成本)(X C 相应的增量是)()(X C X X C C −∆+=∆,它与X ∆的比为]5[:XX C X X C X C ∆−∆+=∆∆)()(.这表示在X 和X X ∆+之间总成本的平均变化率.若令0→∆X ,取极限就可以得到边际成本X X C X X C X C X C X X ∆−∆+=∆∆=′→∆→∆)()(lim lim)(00.在经济学中，一个经济函数()f x 的导数)(x f ′称为该函数的边际函数.()f x 在点0x x =处的导数)(x f ′称为()f x 在点0x x =处的变化率，也称为()f x 在0x x =处的边际函数值.它表示在点0x x =处)(x f 的变化速度.现设()y f x =是一个可导的经济函数，于是当x ∆很小时()()()()()f x x f x f x x x f x x ο′′+∆−=∆+∆≈∆.特别地，当1x ∆=或1x ∆=−时，分别给出4(1)()()f x f x f x ′+−≈或()(1)()f x f x f x ′−−≈因此边际函数值'0()f x 的经济意义是：经济函数()f x 在点0x x =处当自变量x 再增加1个单位时，因变量()f x 的改变量的近似值，或近似于经济函数值0()f x 与0(1)f x −之差.某产品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入(劳力、原料、设备等)的总额.总成本由固定资本和可变资本组成.不变资本，可变资本是产量的函数，那么总成本也是产量函数.平均成本是生产一定量产品平均每单位产品的成本.边际成本是总成本的变化率.在生产技术水平和生产要素的价格固定不变的条件下，成本是产量的函数.说明在不同的产量水平，每增加一个单位产品，总成本的增加额将是不同的.设总成本函数()C C Q =，Q 为产量，则平均成本函数为__()()C Q C C Q Q==生产Q 个单位产品时的边际成本函数为()C C Q ′′=)(0Q C ′称为当产量为0Q 时的边际成本.西方经济学家对它的解释是：当生产0Q 个单位产品前最后增加的那个单位产品所花费的成本或生产0Q 个单位产品后增加的那个单位产品所花费的成本.这两种理解均算正确.结合具体的经济问题,进行边际分析,使之得到较客观的结论,理解其在经济学中的实际意义,提高分析问题和解决问题的能力,达到预期的目的.例1已知生产某产品Q 件的成本为29000400.001C Q Q =++(元)，试求：(1)边际成本函数；(2)产量为1000件时的边际成本，并解释其经济意义；(3)产量为多少件时，平均成本最小？5解(1)边际成本函数：400.002C Q′=+(2)产量为1000件时的边际成本：(1000)400.002100042C ′=+×=它表示当产量为1000件时，再生产1件产品需要的成本为42元；(3)平均成本：_9000400.001C C Q Q Q==++，001.090002+−=′−Q C ，令0=′−C ，得3000=Q (件).由于0002.0>=′′C ，故当产量为3000件时平均成本最小.3.2研究需求弹性前面所谈的函数改变量与函数变化率是绝对改变量与绝对变化率.在实际问题中，有时仅知道函数()y f x =的改变量y ∆及绝对改变率()f x ′是不够的.例如，设有A 和B 两种商品，其单价分别为10元和100元.同时提价1元，显然改变量相同，但提价的百分数大不相同，分别为10%和1%.前者变化率是后者的10倍，因此有必要研究函数的相对改变量以及相对变化率，这在经济学中称为弹性.它定量地反映了一个经济量(自变量)变动时，另一个经济量(因变量)随之变动的灵敏程度，即自变量变动百分之一时，因变量变动的百分数.定义设函数()y f x =在点x 处可导，且()0y f x =≠.函数的相对改变量yy∆与自变量的相对改变量x x∆之比当0x ∆→时的极限]6[60lim ()()x yx x y y f x x y f x x ∆→∆′′==∆.称为函数()y f x =在点x 处的弹性，记作0yx x x ε=，即()()yx x f x f x ε′=.由定义知，当1%x x ∆=时%yx y yε∆=，.可见，函数()y f x =的弹性具有下述意义：函数()y f x =在点0x 处的弹性0%yx x x ε=表示在点0x 处当x 改变1%时，函数()y f x =在0()f x 的水平上近似改变0%yxx x ε=.在应用问题中解释弹性的具体意义时，常略去“近似”二字.由定义还可见，函数的弹性与量纲无关，即与各有关变量的计量单位无关.这使得弹性概念在经济中具有广泛应用.例如，显然各种商品的计量单位不尽相同，但比较不同商品的需求弹性并不受到计量单位的限制.函数在点x 的弹性yx ε反映了()f x 对x 的变化反映的强烈程度或灵敏度.yx ε的表达式可改写为yx dydx yx ε==边际函数平均函数故在经济学中，弹性又可解释为边际函数与平均函数之比.在经济学的常用到需求弹性.“需求”是指在一定价格条件下，消费者愿意购买并且有支付能力购买的商品量.设P 表示商品价格，Q 表示需求量，那么需求函数：()Q f p =一般说来，商品价格低，需求大；商品价格高，需求小.因此，一般需求函7数()Q f p =是单调减少函数.需求函数()Q f p =的边际函数()Q f p ′′=称为边际需求.在经济学中，把需求量对价格相对变化率称为需求弹性也称其为需求的价格弹性.需求弹性是刻划商品价格变动时需求变动的强弱.弹性概念在经济分析中应用非常广泛.例2某商品需求函数为102p Q =−求：(1)需求价格弹性函数；(2)当3P =时的需求价格弹性；(3)在3P =时，若价格上涨1%，其总收益是增加，还是减少？它将变化百分之几？解：(1)按弹性定义有1()220102QP P p p Q p Q p ε′==−=−−i (2)当3P =时的需求价格弹性为330.1817QP P ε==−≈−(3)由于总收益2102p R PQ P ==−于是总收入的价格弹性函数22(10)(10)20102RP dR P P P P P dP R P P ε−==−=−−i i ，从而在3=P 时，总收益的价格弹性332(10)0.8220RP P P P P ε==−=≈−.故在3P =时，若价格上涨1%，需求仅减少0.18%,总收益将增加,总收益8约增加%82.0.经济活动的目的，除了考虑社会效益，对于一个具体的公司，决策者更多的是考虑经营的成果，如何降低成本，提高利润等问题.在市场经济中,企业经营者应充分了解所经营商品的需求价格弹性,正确把握商品的价格.这样既可以在激烈的市场竞争中立于不败之地,又可以为企业带来一定的经济效益.3.3成本最小化例3某种产品的总成本C （万元）与产量Q （万件）之间的函数关系式（即总成本函数）为]7[23()10040.20.01C C Q Q Q Q ==+−+求生产水平为10Q =（万件）时的平均成本和边际成本，并从降低成本角看，继续提高产量是否合适？解：当10Q =时的总成本为23(10)1004100.2100.0110130C =+×−×+×=（万元），所以平均成本（单位成本）为(10)101301013C ÷=÷=（元/件），边际成本2()40.40.03C C Q Q Q ′==−+，21040.4100.03103Q C ==−×+×=（元/件）因此在生产水平为10万件时，每增加一个产品总成本增加3元，远低于当前的单位成本，从降低成本角度看，应该继续提高产量.93.4利润最大化例4某公司生产某产品的成本函数和收入函数依次为，21()30002005C Q Q Q ⎛⎞=++⎜⎟⎝⎠，21()35020R Q Q Q ⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠，其中Q 为产品的月产量，每月的产品均能全部销完，求利润最大的月产量应为多少？]8[解：222()()()1135030002002053150300020315010L Q R Q C Q Q Q Q Q Q Q L Q =−⎛⎞⎛⎞=+−−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎛⎞=+−⎜⎟⎝⎠⎛⎞′=−⎜⎟⎝⎠，令()0L Q ′=，可以得到500Q =，当然也可以看出只有一个极大值点，且()L Q 是一个二次函数，根据生活中的实际规律可得，它就是最大值点.所以，当月产量为500生产单位时，利润最大.从上例我们可以证明，利润最大的必要条件是边际收入等于边际成本.即由()0L Q ′=，且()()()L Q R Q C Q =−，得()()()0L Q R Q C Q ′′′=−=，即()()R Q C Q ′′=,()()R Q C Q =.公司获利最大的时候，边际利润即为零.3.5决策的最优化例5某企业生产过程中需使用某种原材料.到外地采购一次这种原材料，要10开销采购人员的工资、旅差费、手续费、运输费、检验费等，但每次采购的总的采购费用基本相同.原材料被采购回来后，除了被使用外，存放在仓库里，要开销保管费用，库存费用通常是采购批量、采购价格、保管费率三者乘积的一半，试求总费用最小的采购批量.解：设每年使用原材料的总量为Q ，每次采购的批量为q ，每次采购费用为k ，则年采购次数为Q q ⎛⎞⎜⎟⎝⎠，每年的采购费用为Q k q ⎛⎞×⎜⎟⎝⎠.又设该原材料的价格为p ，保管费率是i ，则库存费用为12q p i ⎛⎞×××⎜⎟⎝⎠，因此总费用为1()2Q C q k q p i q ⎛⎞⎛⎞=×+×××⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠求导得21()2Q C q k p i q ⎛⎞⎛⎞′=−×+××⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠，可令()0C q ′=.这是所求的唯一值，根据生活的实际情况定有最小值，这唯一的点就是最小值点，所以当每次采购批量为pi Qk 2时，总费用最小.上例的结果是理想化的瞬时送货的最佳库存模型，这个模型被广泛地应用于生产实际.通过以上的讨论可以看出,数学与经济科学有着密切的关系,经济学中经常要遇到诸如需求函数、供给函数、总收益函数、生产函数、成本函数、消费函数、投资函数等等,通过边际分析、弹性分析来计算最大利润、库存管理、成本最低的生产量等一系列问题中的应用,使其经济问题得到圆满的解决.结语4.4.结语导数在经济学中的应用颇为广泛，不仅此而已.从上面的例子可以看出，导数对于在经济学中边际问题的分析尤为重要，通过边际问题的分析，对于企业的决策者作出正确的决策起了十分重要的作用！因此，导数对于在经济学中边际问题的分析尤为重要.作为一个合格的企业经营者，应该掌握相应的数学分析方法，从而为科学的经营者决策提供可靠依据，为经营者作出正确的决策起了十分重要的作用！11参考文献[1]崔宜兰.导数在经济领域中的最优化问题的应用[J].安庆师范学院学报(自然科学版),1997,(1)：36-37.[2]顾霞芳.浅谈导数在经济中的应用[J].职业圈,2007,(2)：24-26.[3]臧忠卿.导数在经济分析中的应用[J].商场现代化,2006,(30)：45-46.[4]徐志霞,刘青,张彩霞.导数在经济分析中的应用[J]．商业研究，2000,(10)：28-29.[5]晋晓飞.导数在经济领域的简单应用[J].时代经贸(下旬刊)，2007,(11)：51-52.[6]曾小凤.导数在经济分析应用中“边际”与“弹性”的联系与区别[J].闽西职业大学学报,2004,(3)：47-48.[7]侯志芳.浅议导数在经济分析中的应用[J].常州工学院学报，1994,(2).16-17.[8]卢达平.《微积分》在经济管理中的应用[J].龙岩学院学报，2006,(3).67-68.[9]王晓微,王玉宝.谈导数的多种应用[J].齐齐哈尔师范高等专科学校学报，2007,（2）：42-44.[10]陈秀华.导数在需求理论中的应用[J].南京广播电视大学学报，2003,(2)：32-33.[11]李春萍.导数与积分在经济分析中的应用[J].商业现代化,2007，（5）：182-183.[12]E.S.Noussair,On the existence of solutions of nonlinear elliptic boundary problems,J.diff.Eqns.34(1999),482-495.12。
