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由此定义重节点均差
f [ x0 , x0 ]= lim f [ x0 , x ]=f ( x0 )
x x0
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类似地可定义重节点的二阶均差
1 f [ x0 , x0，x0 ]= lim f [ x0 , x1，x2 ]= f ( x0 ) x1 x0 2 x x
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解：
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(0) 0, H 3 (1) H 3 (1) 1, 满足H 3 (0) H 3 的Hermite插值多项式为( x0 0, x1 1)
它就是一个埃尔米特插值多项式，其余项为
f ( n1) ( ) Rn ( x) ( x x0 )n1 , (a, b) (n 1)!
f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n n!
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§ 2.4 埃尔米特插值法
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2
2
2
1 设P( x) H 3 ( x)+Ax x 1 , 令P(2) 1得 A 4 于是
2
2 3
1 2 1 2 2 2 P( x) 2 x x + x x 1 = x x 3 4 4
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解法三：
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2 0
一般地，可定义重节点的n阶均差
f [ x0 , x0， ，x0 ]= lim f [ x0 , x1 ,
xi x0
xn ]=
1 ( n) f ( x0 ) n!
在牛顿均差插值多项式中若令xi—>x0(i=0,1,…n),则由上式可得 泰勒多项式
Pn ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
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重节点均差 定理3
设f C n [a, b], x0 , x1, xn为[a, b]上的相异节点，则f [ x0 , x1, xn ] 是其变量的连续函数。
如果[a, b]上的节点互异，根据均差定义，若f C1[a, b]，则有
f ( x) f ( x0 ) lim f [ x0 , x ] lim f ( x0 ) x x0 x x0 x x0
( x j ) j ( x) H 3 ( x) H 3 ( x j ) j ( x) H 3
j 0 1
x 1 x 0 x0 1 2 x 1 1 0 1 0 1 0 2 x 2 x3
