2019高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充(2)学案 苏教版选修1-2

第3章 数系的扩充与复数的引入一、学习目标：1. 理解复数的基本概念；2. 理解复数相等的充要条件；3. 了解复数的代数表示法及其几何意义；4. 会进行复数代数形式的四则运算；5. 了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。

二、重点、难点重点：掌握复数的概念；复数的加法与减法的运算及几何意义；复数的四则运算。

难点：对复数概念和复数的几何意义的灵活运用及复数运算的准确运用。

三、考点分析：1. 复数的有关概念和复数的几何意义是高考命题的热点之一，常以选择题的形式出现，属容易题；2. 复数的代数运算是高考的另一热点，以选择题、填空题的形式出现，属容易题。

一、复数的有关概念 1. 复数的概念 形如a ＋bi （a ，b∈R）的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部。

若b ＝0，则a ＋bi 为实数，若b≠0，则a ＋bi 为虚数，若a ＝0且b≠0，则a ＋bi 为纯虚数。

2. 复数相等：a ＋bi ＝c ＋di ⇔a ＝c 且b ＝d （a ，b ，c ，d∈R）。

3. 共轭复数：a ＋bi 与c ＋di 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d （a ，b ，c ，d∈R）。

4. 复平面借用直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。

x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。

实轴上的点表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。

5. 复数的模向量OZ 的模r 叫做复数z ＝a ＋bi 的模，记作|z|或|a ＋bi|，即|z|＝|a ＋bi|。

二、复数的几何意义1. 复数z ＝a ＋bi ←−−−→一一对应复平面内的点Z （a ，b ）（a ，b∈R）； 2. 复数z ＝a ＋bi ←−−−→一一对应平面向量OZ （a ，b∈R）。

三、复数的运算1. 复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di （a ，b ，c ，d∈R），则①加法：z 1＋ z 2＝（a ＋bi ）＋（c ＋di ）＝（a ＋c ）＋（b ＋d ）i ； ②减法：z 1－ z 2＝（a ＋bi ）－（c ＋di ）＝（a －c ）＋（b －d ）i ； ③乘法：z 1· z 2＝（a ＋bi ）·（c ＋di ）＝（ac －bd ）＋（ad ＋bc ）i ；④除法：1222()()()()(0)()()z a bi a bi c di ac bd bc ad i c di z c di c di c di c d++-++-===+≠++-+ 2. 复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何1z 、2z 、3z ∈C，有1z ＋2z ＝2z ＋1z ，（1z ＋2z ）＋3z ＝1z ＋（2z ＋3z ）。

3.1.1数系的扩充和复数的概念【学习目标】1．了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．【学习重点】1.对引入复数的必要性的认识。

2.理解复数的基本概念。

【学习难点】1.对了解从实数系扩充到复数系的过程。

2.对复数概念的理解。

【过程与方法】采取“阅读，探究，质疑，总结”的学习过程【情感态度与价值观】在掌握知识的同时，开阔自己的思维视野。

探究点一复数的概念【问题1】怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？【问题2】：试解下列方程：（1）x2＋4＝0 (2) x2＋x＋1＝0【复数概念的形成】复数的概念【问题3】：你说说虚数单位i 的一些性质吗?【问题4】说说你对复数集又有哪些认识？【例1】 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数． ① 2＋3i ；②－3＋i ；③＋i ；④π；⑤－i ；⑥0.小结:变式：下列几个命题：①1－ai(a ∈R)是一个复数；②虚数的平方不小于0；③－1的平方根只有一个，即为－i ；④i 是方程x 4－1＝0的一个根；⑤i 是一个无理数．其中正确命题的个数为 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【例2】 当实数m 为何值时，复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．(1)m =1(2)m ≠1(3) m =−1小结:变式：实数m 为何值时，复数2m m+2Z=+m +2m-3m-1i （）（）是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．思考：①x 2＝-a 的根 ②a x 2 ＋b x ＋c=0的根（a ≠0）探究点二 两个复数相等【问题5】满足什么条件时复数Ｚ1=a +bi 与Ｚ2＝c +di (a,b,c,d ∈R )相等？例3已知x ，y 均是实数，且满足(2x －1)＋i ＝－y －(3－y)i ， 求x 与y .小结: 变式：已知 ()()+1x x x x x x 2223R －－6－－－＝0i ，求x 的值．【课时小结】：1.数学知识：2.数学方法:3. 数学思想：【巩固过关】一、选择题1．设a，b∈R，若(a＋b)＋i＝－10＋abi (i为虚数单位)，则(－)2等于()A．－12 B．－8C．8 D．102．下列命题中：①两个复数不能比较大小；②若z＝a＋b i，则当且仅当a＝0且b≠0时，z为纯虚数；③x＋yi＝1＋i⇔x＝y＝1；④若a＋bi＝0，则a＝b＝0.其中正确命题的个数为()A．0 B．1 C．2 D．33．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a、b的值分别是() A. ，1 B. ，5 C．±，5 D．±，16 (m2－2m)＋(m2＋m－2)i=4i {m 2−2m=0m2+m−2=4解得m=2二、填空题4．若(m2－5m＋4)＋(m2－2m)i>0，则实数m的值为________．5．给出下列几个命题：①若x是实数，则x可能不是复数；②若z是虚数，则z不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；④－1没有平方根；⑤若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；⑥两个虚数不能比较大小．则其中正确命题的个数为________．三、解答题6.已知集合P＝{5，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，Q＝{4i,5}，若P∩Q＝P∪Q，求实数m的值．能力提升7．已知复数z＝a2−7a+6a2−1＋(a2－5a－6)i (a∈R)，试求实数a取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数[答案]例1④⑥是实数①②③⑤是虚数其中⑤是纯虚数变式：B例2(1)m=1(2)m≠1(3) m=−1变式：(1)m=−3 (2)m≠1且m≠−3(3) m=0或m=−2例3{2x−1=−y1=−(3−y)得{x=−32 y=4变式： {x2−x−6=0x2−2x−3=0x≠−1得x=31B 2D 3C 4 0 5 16 (m2－2m)＋(m2＋m－2)i=4i {m 2−2m=0m2+m−2=4解得m=2 7(1)a=6 (2)a≠6且a≠±1(3) a=1。

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3．1 数系的扩充［学习目标］ 1.了解引进虚数单位i的必要性,了解数集的扩充过程。

2。

理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念。

3。

掌握复数代数形式的表示方法,理解复数相等的充要条件．[知识链接]为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数;数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内也有很多问题不能解决，如从解方程的角度看，x2＝－1这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x2＝－1在实数系中无根的问题呢？答设想引入新数i，使i是方程x2＝－1的根,即i·i＝－1，方程x2＝－1有解,同时得到一些新数．［预习导引]1．复数的有关概念（1）复数的概念:形如a＋b i的数叫做复数,其中a,b∈R，i叫做虚数单位．a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．（2）复数的表示方法:复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i。

(3）复数集定义:全体复数所构成的集合叫做复数集．通常用大写字母C表示．2．复数的分类及包含关系(1)复数（a＋b i，a,b∈R)错误!(2)集合表示：3．复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d。

1 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充习题 苏教版选修2-2 明目标、知重点 1.了解引入虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．

1．复数的有关概念 (1)复数 ①定义：形如a＋bi的数叫做复数，其中a，b∈R，i叫做虚数单位．a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部． ②表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi. (2)复数集 ①定义：全体复数所组成的集合叫做复数集． ②表示：通常用大写字母C表示． 2．复数的分类及包含关系

(1)复数(a＋bi，a，b∈R) 实数b＝虚数b 纯虚数a＝非纯虚数a (2)集合表示：

3．复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.

[情境导学] 2

为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数．数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内很多问题还不能解决，如从解方程的角度看，象x2＝－1这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x2＝－1在实数系中无根的问题呢？我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？本节我们就来研究这个问题． 探究点一 复数的概念 思考1 为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？ 答 设想引入新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x2＋1＝0有解，同时得到一些新数． 思考2 如何理解虚数单位i? 答 (1)i2＝－1. (2)i与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律． (3)由于i2＜0与实数集中a2≥0(a∈R)矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中不再成立． (4)若i2＝－1，那么i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1. 思考3 什么叫复数？怎样表示一个复数？ 答 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a、b分别叫做复数z的实部与虚部． 思考4 什么叫虚数？什么叫纯虚数？ 答 对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当b≠0时叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数． 思考5 复数m＋ni的实部、虚部一定是m、n吗？ 答 不一定，只有当m∈R，n∈R，则m、n才是该复数的实部、虚部． 例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数． ①2＋3i；②－3＋12i；③2＋i；④π；⑤－3i；⑥0. 解 ①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为12，是虚数；③的实部为2，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－3，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数． 反思与感悟 复数a＋bi中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部． 跟踪训练1 符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理 3

3.3 复数的几何意义问题1：平面向量可以用坐标表示，试想复数能用坐标表示吗？提示：可以．问题2：试说明理由．提示：因复数z＝a＋b i(a，b∈R)与有序实数对(a，b)惟一确定，由(a，b)与平面直角坐标系点一一对应，从而复数集与平面直角坐标系中的点集之间一一对应．建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.已知复数z＝a＋b i(a，b∈R)．问题1：在复平面内作出复数z所对应的点Z.提示：如图所示．问题2：向量OZ和点Z有何关系？提示：有一一对应关系．问题3：复数z＝a＋b i与OZ有何关系？提示：也是一一对应．1．复数与点，向量间的对应关系2．复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的向量为OZ ，则OZ 的模叫做复数z 的模(或绝对值)，记作|z |，且|z |如图1OZ 、2OZ 分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 对应．问题1：试写出1OZ 、2OZ 及1OZ ＋2OZ 、1OZ －2OZ 的坐标． 提示：1OZ ＝(a ，b )，2OZ ＝(c ，d )，1OZ ＋2OZ ＝(a ＋c ，b ＋d )，1OZ －2OZ ＝(a －c ，b －d )． 问题2：向量1OZ ＋2OZ 及1OZ －2OZ 所对应的复数分别是什么？ 提示：(a ＋c )＋(b ＋d )i 及(a －c )＋(b －d )i.1．复数加法的几何意义设向量1OZ ，2OZ 分别与复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 对应，且1OZ 和2OZ 不共线．如图，以1OZ ，2OZ 为邻边画平行四边形OZ 1ZZ 2，则其对角线OZ 所表示的向量OZ OZ 就是复数(a ＋c )＋(b ＋d )i 对应的向量．2．复数减法的几何意义复数的减法是加法的逆运算，设1OZ ，2OZ 分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 相对应，且1OZ ，2OZ 不共线，如图．则这两个复数的差z 1－z 2与向量1OZ －2OZ (等于21Z Z )对应，这就是复数减法的几何意义．3．设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则|z 1－z 2|＝a －c2＋b －d2，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．1．复平面上点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部．2．表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示纯虚数，如原点表示实数0.3．在平面向量中，向量的加法、减法的几何解释同复数加法、减法的几何解释是相同的．[例1] 实数x 分别取什么值时，复数z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 对应的点Z 在下列位置？(1)第三象限；(2)第四象限；(3)直线x －y －3＝0上？[思路点拨] 利用复数与复平面内点之间的对应关系求解．若已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则当a <0且b <0时，复数z 对应的点在第三象限；当a >0且b <0时，复数z 对应的点在第四象限；当a －b －3＝0时，复数z 对应的点在直线x －y －3＝0上．[精解详析] 因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数． 若已知复数z ＝a ＋b i ，则当a ＜0，且b ＜0时，复数z 对应的点在第三象限； 当a ＞0，且b ＜0时，复数z 对应的点在第四象限；当a －b －3＝0时，复数z 对应的点在直线x －y －3＝0上．(1)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6＜0，x 2－2x －15＜0，即－3＜x ＜2时，点Z 在第三象限．(2)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6＞0，x 2－2x －15＜0，即2＜x ＜5时，点Z 在第四象限．(3)当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0， 即x ＝－2时，点Z 在直线x －y －3＝0上．[一点通] 按照复数集和复平面内所有的点组成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数的实部、虚部的取值．1．(湖北高考改编)在复平面内，复数 z ＝2i1＋i(i 为虚数单位)的共轭复数对应点位于第________象限．解析：z ＝2i 1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2i （1－i ）2＝i ＋1的共轭复数为1－i ，对应的点为(1，－1)在第四象限．答案：四2．求当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点分别满足下列条件：(1)位于第四象限； (2)位于x 轴的负半轴上．解：(1)由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15>0，m 2＋3m －28<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m <3或m >5，－7<m <4.即－7<m <3.故当－7<m <3时，复数z 的对应点位于第四象限．(2)由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15<0 ①m 2＋3m －28＝0 ②由②得m ＝－7或m ＝4. 因m ＝－7不适合不等式①，m ＝4适合不等式①，所以m ＝4.故当m ＝4时，复数z 的对应点位于x 轴的负半轴上．[例2] 已知复数z 1＝3－i 及z 2＝－12＋32i.(1)求|z 1|及|z 2|的值并比较它们的大小；(2)设z ∈C ，满足|z 2|≤|z |≤|z 1|的点z 的集合是什么图形．[思路点拨] 由复数的模长公式求出|z 1|及|z 2|，然后比较大小；(2)根据点数模的几何意义画出图形．[精解详析] (1)|z 1|＝|3－i|＝（3）2＋（－1）2＝2， |z 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋32i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1， 所以|z 1|＞|z 2|. (2)由(1)知1≤|z |≤2，因为不等式|z |≥1的解集是圆|z |＝1上和该圆外部所有点组成的集合，不等式|z |≤2的解集是圆|z |＝2上和该圆内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z |≤2的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示．[一点通] (1)计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．(2)复数的模表示该复数在复平面内对应点到原点的距离．3．(辽宁高考改编)复数z ＝1i －1的模为________． 解析：∵z ＝1－1＋i ＝－1－i （－1＋i ）（－1－i ）＝－1－i2＝－12－12i ，∴|z |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝22. 答案：224．已知z ＝3＋a i ，且|z －2|＜2，则实数a 的取值范围是________．解析：∵z ＝3＋a i ，∴z －2＝1＋a i ，∴|z －2|＝1＋a 2<2，即1＋a 2<4，∴a 2<3，即－3<a < 3.答案：(－3，3)5．设z ∈C ，则满足条件|z |＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应的点Z 的集合是什么图形？解：法一：由|z |＝|3＋4i|得|z |＝5.这表明向量OZ 的长度等于5，即点Z 到原点的距离等于5.因此满足条件的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以5为半径的圆． 法二：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |2＝x 2＋y 2. ∵|3＋4i|＝5，∴由|z |＝|3＋4i|得x 2＋y 2＝25， ∴点Z 的集合是以原点为圆心，以5为半径的C 圆.[例3] 已知▱OABC 的三个顶点O ，A ，C 对应的复数分别为0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1) AO 表示的复数；(2) CA 表示的复数；(3)点B 对应的复数． [思路点拨]点O ，A ，C 对应的复数――――――→向量的坐标表示AO ，CA ，OB的坐标形式――――――→复数在复平面上与向量一一对应AO ，CA ，OB对应的复数[精解详析] (1)AO ＝－OA ，故AO 表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i. (2)CA ＝OA －OC ，故CA 表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)OB ＝OA ＋AB ＝OA ＋OC ，故OB 表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即点B 对应的复数为1＋6i.[一点通] (1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加、减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．(2)复数的加、减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．(3)复数及其加、减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能．6．已知复数z1＝2＋i，z2＝1＋2i在复平面内对应的点分别为A、B，求AB―→对应的复数z，z在平面内对应的点在第几象限？解：z＝z2－z1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i，∵z的实部－1<0，虚部1>0，∴复数z在复平面内对应的点在第二象限内．7．在复平面内，点A、B、C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i.以AB、AC 为邻边作一个平行四边形ABDC，求D点对应的复数z4及AD的长．解：如图，由复数加减法的几何意义，AD＝AB＋AC，即z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)．所以z4＝z2＋z3－z1＝7＋3i.|AD|＝|z4－z1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝210.1．复数模的几何意义复数模的几何意义架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．(1)复数z＝a＋b i(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，b i)；(2)复数z＝a＋b i(a，b∈R)的对应向量OZ―→是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ―→相等的向量有无数个．2．复数的模(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2；(2)从几何意义上理解，表示点Z 和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z 1－z 2|表示点Z 1和点Z 2之间的距离．一、填空题1．若OA 、OB 对应的复数分别是7＋i,3－2i ，则|AB |＝________. 解析：∵OA ＝(7,1)，OB ＝(3，－2)， ∴AB ＝OB －OA ＝(－4，－3)， ∴|AB |＝5. 答案：52．(重庆高考改编)复平面内表示复数i(1－2i)的点位于第________象限． 解析：i(1－2i)＝2＋i 对应的点为(2，1)，位于第一象限． 答案：一3．若z ＋|z |＝2＋8i ，则z ＝________． 解析：法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则|z |＝a 2＋b 2，代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i.所以⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8，所以z ＝－15＋8i.法二：原式可化为z ＝2－|z |＋8i ， ∵|z |∈R ，∴2－|z |是z 的实部．于是|z |＝（2－|z |）2＋82，即|z |2＝68－4|z |＋|z |2， ∴|z |＝17.代入z ＝2－|z |＋8i ，得z ＝－15＋8i. 答案：－15＋8i4．已知z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R )，若z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a ＝________． 解析：z 1＋z 2＝2＋i ＋3＋a i ＝5＋(a ＋1)i ，由z 1＋z 2所对应的点在实轴上可知a ＋1＝0，即a ＝－1. 答案：－15．(新课标全国卷Ⅰ改编)设z ＝11＋i ＋i ，则|z |＝________．解析：11＋i ＋i ＝1－i （1＋i ）·（1－i ）＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ， 则|z |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22. 答案：22二、解答题6．若复数z ＝(m 2＋m －2)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R )的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合．解：由题意得z ＝(m 2＋m －2)－(4m 2－8m ＋3)i ，z 对应的点位于第一象限，所以有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2>0，－（4m 2－8m ＋3）>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2>0，4m 2－8m ＋3<0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m <－2或m >1，12<m <32，即1<m <32，故所求m 的集合为⎩⎨⎧m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1<m <32.7．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.(1)求AB ，BC ，AC 对应的复数； (2)判断△ABC 的形状； (3)求△ABC 的面积．解：(1)AB 对应的复数为z B －z A ＝(2＋i)－1＝1＋i. BC 对应的复数为z C －z B ＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i. AC 对应的复数为z C －z A ＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.(2)由(1)知|AB |＝|1＋i|＝2，|BC |＝|－3＋i|＝10，|AC |＝|－2＋2i|＝22， ∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2. 故△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝12|AB |·|AC |＝12×2×22＝2.8．若z ∈C 且|z ＋2－2i|＝1，求|z －2－2i|的最小值．解：已知|z －(－2＋2i)|＝1中，z 的对应点轨迹是以(－2，2)为圆心，1为半径的圆，|z －(2＋2i)|表示圆上的点与点(2，2)之间的距离，最小值为圆心与点(2，2)的距离减去半径，易得值为3.。

第三章 数系的扩充与复数的引入章末复习学习目标 1.掌握复数的有关概念及复数相等的充要条件.2.理解复数的几何意义.3.掌握复数的相关运算．1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数，若b ≠0，则a ＋b i 为虚数，若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＋d ＝0(a ，b ，c ，d ∈R )．(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数．(5)复数的模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2 (a ，b ∈R )．2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i ←――――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )←――――→一一对应平面向量OZ →. 3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；z1 z2＝a＋b ic＋d i＝(a＋b i)(c－d i)(c＋d i)(c－d i)＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋d i≠0)．④除法：(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3).类型一 复数的概念例1 已知复数z ＝a 2－a －6＋a 2＋2a －15a 2－4i ，分别求出满足下列条件的实数a 的值：(1)z 是实数；(2)z 是虚数．解 由a 2－a －6＝0，解得a ＝－2或a ＝3. 由a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3. 由a 2－4≠0，解得a ≠±2. (1)由a 2＋2a －15＝0且a 2－4≠0， 得a ＝－5或a ＝3，∴当a ＝－5或a ＝3时，z 为实数． (2)由a 2＋2a －15≠0且a 2－4≠0， 得a ≠－5且a ≠3且a ≠±2，∴当a ≠－5且a ≠3且a ≠±2时，z 是虚数． 引申探究本例中条件不变，若z 为纯虚数，是否存在这样的实数a ，若存在，求出a ，若不存在，请说明理由．解 由a 2－a －6＝0，且a 2＋2a －15≠0， 且a 2－4≠0，得a 无解， ∴不存在实数a ，使z 为纯虚数．反思与感悟 (1)正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据．跟踪训练1 (1)已知i 是虚数单位，若(m ＋i)2＝3－4i ，则实数m 的值为________． (2)下列说法：①复数z 是实数的充要条件是z ＝z ；②若(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±2； ③实数集是复数集的真子集． 其中正确说法的个数是________． 考点 复数的概念 题点 复数的概念及分类 答案 (1)－2 (2)2解析 (1)(m ＋i)2＝(m 2－1)＋2m i ＝3－4i ，由复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝3，2m ＝－4，解得m ＝－2.(2)设z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，则z ＝a －b i ，z ＝z 时，得b ＝0，z 为实数；z 为实数则b ＝0，有z ＝z 成立，所以①正确；对于②，若x ＝－2，则x 2－4＝0，x 2＋3x ＋2＝0，此时(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i ＝0，不是纯虚数，故②错误；显然③正确． 类型二 复数的运算例2 已知z 是复数，z －3i 为实数，z －5i2－i为纯虚数(i 为虚数单位)．(1)求复数z ； (2)求z1－i的模．解 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∴z －3i ＝a ＋(b －3)i 为实数，可得b ＝3. 又∵a －2i 2－i＝2a ＋2＋(a －4)i5为纯虚数，∴a ＝－1，即z ＝－1＋3i.(2)z 1－i ＝－1＋3i 1－i ＝(－1＋3i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝－4＋2i 2＝－2＋i ， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1－i ＝|－2＋i|＝(－2)2＋12＝ 5.反思与感悟 复数的综合运算中会涉及模、共轭及分类等，求z 时要注意是把z 看作一个整体还是设为代数形式应用方程思想．当z 是实数或纯虚数时注意常见结论的应用． 跟踪训练2 已知z 1，z 2为复数，(3＋i)z 1为实数，z 2＝z 12＋i，且|z 2|＝52，求z 2.解 z 1＝z 2(2＋i)，(3＋i)z 1＝z 2(2＋i)(3＋i)＝z 2(5＋5i)∈R ， 因为|z 2|＝52，所以|z 2(5＋5i)|＝50， 所以z 2(5＋5i)＝±50， 所以z 2＝±505＋5i ＝±101＋i＝±(5－5i)． 类型三 复数的几何意义例3 (1)已知等腰梯形OABC 的顶点A ，B 在复平面上对应的复数分别为1＋2i ，－2＋6i ，OA ∥CB ，求顶点C 所对应的复数z .(2)已知复数z 1，z 2满足|z 1|＝3，|z 2|＝5，|z 1－z 2|＝10，求|z 1＋z 2|的值． 解 (1)设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，则顶点C 的坐标为(x ，y )． 如图，因为OA ∥BC ，所以k OA ＝k BC ，OC ＝BA ，所以⎩⎪⎨⎪⎧21＝y －6x ＋2，x 2＋y 2＝32＋42.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝4.因为OA ≠BC ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝4舍去，故z ＝－5.(2)如图所示，设复数z 1，z 2的对应点为A ，B ，以OA →，OB →为邻边作▱OACB ，则OC →对应的复数为z 1＋z 2， 所以|OA →|＝3，|OB →|＝5， |BA →|＝10.所以cos∠AOB ＝|OA →|2＋|OB →|2－|BA →|22|OA →||OB →|＝32＋52－102×3×5＝45.所以cos∠OBC ＝－45，又|BC →|＝|OA →|＝3， 所以|z 1＋z 2|＝|OB →|2＋|BC →|2－2|OB →||BC →|cos∠OBC ＝58.反思与感悟 (1)任意一个复数都对应着一个点和一个向量，因而复数的加减运算可以转化为总的坐标运算或向量运算．(2)求复数模可以计算它对应的向量的模，也可以计算它对应的点到原点的距离．跟踪训练3 已知复平面内点A ，B 对应的复数分别是z 1＝sin 2θ＋i ，z 2＝－cos 2θ＋icos2θ，其中θ∈(0，π)，设AB →对应的复数为z . (1)求复数z ；(2)若复数z 对应的点P 在直线y ＝12x 上，求θ的值．解 (1)由题意得z ＝z 2－z 1＝－cos 2θ－sin 2θ＋(cos2θ－1)i ＝－1－2sin 2θ·i. (2)由(1)知，点P 的坐标为(－1，－2sin 2θ)． 由点P 在直线y ＝12x 上，得－2sin 2θ＝－12，∴sin 2θ＝14，又θ∈(0，π)，∴sin θ>0，因此sin θ＝12，∴θ＝π6或θ＝5π6.1．若复数z ＝cos θ－513＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1213－sin θi(i 是虚数单位)是纯虚数，则tan θ＝________.答案 －125解析 ∵复数z ＝cos θ－513＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1213－sin θi 是纯虚数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ－513＝0，1213－sin θ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝513，sin θ＝－1213，则tan θ＝sin θcos θ＝－125.2．设z ＝10i3＋i ，则z 的共轭复数为________．答案 1－3i解析 由z ＝10i 3＋i ＝10i (3－i )(3＋i )(3－i )＝1＋3i ，得z ＝1－3i.3．若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为________． 答案 45解析 z ＝|4＋3i|3－4i ＝53－4i ＝35＋45i.4．若z 是复数，且(3＋z )i ＝1(i 为虚数单位)，则z ＝______. 答案 －3－i解析 z ＝1i－3＝－3－i.5．复平面内点A ，B ，C 对应的复数分别为i,1,4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作▱ABCD ，则|BD →|＝________. 答案13解析 如图，设D (x ，y )，F 为▱ABCD 的对角线的交点，则点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝4，y ＋0＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.所以点D 对应的复数为z ＝3＋3i. 因为BD →＝OD →－OB →，所以BD →表示的复数为3＋3i －1＝2＋3i ， 所以|BD →|＝13.1．复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化． 2．复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现．3．利用两个复数相等可以解决求参数值(或范围)和复数方程等问题.一、填空题1．已知f (x )＝x 3－1，设i 是虚数单位，则复数f (i )i的虚部是________．答案 1解析 f (i)＝i 3－1＝－i －1，f (i )i ＝－i －1i＝－i 2－i －1＝1－i－1＝－1＋i ，虚部是1.2．若复数a ＋3i 1＋2i(a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a ＝________.答案 －6 解析a ＋3i 1＋2i ＝(a ＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝(a ＋6)＋(3－2a )i 5＝a ＋65＋3－2a5i.若复数是纯虚数，则a ＋65＝0，且3－2a5≠0， 所以a ＝－6.3．复数20171＋i 的虚部是________．答案 －20172解析20171＋i ＝2017(1－i )(1＋i )(1－i )＝20172－20172i ，其虚部是－20172. 4．若复数z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－35i 是纯虚数(i 为虚数单位)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4的值为________． 考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数 答案 －7解析 ∵复数z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－35i 是纯虚数， ∴cos θ－45＝0，sin θ－35≠0，∴cos θ＝45，sin θ＝－35，∴tan θ＝－34，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝－34－11－34＝－7.5．若i 为虚数单位，则1－2i(1＋i )2＝________.答案 －1－12i解析1－2i (1＋i )2＝1－2i 1＋2i ＋i 2＝1－2i 2i ＝(1－2i )i －2＝i ＋2－2＝－1－12i.6．下列说法中正确的是________．(填序号)①若(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，其中x ∈R ，y ∈∁C R ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝－(3－y )；②2＋i>1＋i ；③若一个数是实数，则其虚部不存在；④若z ＝1i ，则z 3＋1对应的点在复平面内的第一象限．考点 复数的概念 题点 复数的概念及分类 答案 ④解析 由y ∈∁C R ，知y 是虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝－(3－y )，不成立，故①错误；两个不全为实数的复数不能比较大小，故②错误；实数的虚部为0，故③错误；④中z 3＋1＝1i 3＋1＝i ＋1，对应点在第一象限，故④正确．7．设复数z 满足i(z －4)＝3＋2i(i 是虚数单位)，则z 的虚部为________． 答案 －3解析 由i(z －4)＝3＋2i 得z ＝3＋2i i ＋4＝(3＋2i )i i 2＋4＝3i －2－1＋4＝2－3i ＋4＝6－3i.8.⎪⎪⎪⎪⎪⎪2i (－4＋3i )(1＋i )(3＋i )(3－i )(1＋2i )＝________.答案52解析 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪2i (－4＋3i )(1＋i )(3＋i )(3－i )(1＋2i )＝|2i|·|－4＋3i|·|1＋i||3＋i|·|3－i|·|1＋2i|＝2×5×22×2×5＝52. 9．已知方程x 2＋(4＋i)x ＋4＋a i ＝0(a ∈R )有实根b ，且z ＝a ＋b i ，则复数z ＝________. 答案 2－2i解析 ∵x 2＋(4＋i)x ＋4＋a i ＝0(a ∈R )有实根b ，∴b 2＋(4＋i)b ＋4＋a i ＝0，即b 2＋4b ＋4＋(a ＋b )i ＝0.根据复数相等的充要条件，得b 2＋4b ＋4＝0且a ＋b ＝0，解得a ＝2，b ＝－2，∴z ＝2－2i.10．设复数z 满足|z |＜1且⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ＋1z ＝52，则|z |＝________.答案 12解析 因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ＋1z ＝|z z ＋1||z |＝52，即|z |2＋1＝52|z |，所以|z |＝12.11．计算：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2008＋2009i)＋(2009－2010i)＋(－2010＋2011i)＝__________. 答案 －1005＋1005i解析 原式＝(1－2＋3－4＋…－2008＋2009－2010)＋(－2＋3－4＋5＋…＋2009－2010＋2011)i ＝－1005＋1005i. 二、解答题12．已知复数z 1满足z 1－2＝(1＋i)·i，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2的值． 解 由z 1－2＝(1＋i)·i＝i －1， ∴z 1＝2＋(i －1)＝i ＋1，∵z 2的虚部为2，∴可设z 2＝a ＋2i(a ∈R )．又z 1·z 2＝(i ＋1)(a ＋2i)＝(a －2)＋(2＋a )i 为实数， ∴2＋a ＝0，即a ＝－2，因此z 2＝－2＋2i. 13．已知复数z ＝(1＋2i)(－2＋i)－3＋i1＋i .(1)计算复数z ；(2)若z 2＋(2a －1)z －(1－i)b －16＝0，求实数a ，b 的值．解 (1)z ＝(1＋2i)(－2＋i)－(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝－4－3i －4－2i 2＝－4－3i －(2－i)＝－6－2i.(2)∵(－6－2i)2＋(2a －1)(－6－2i)－(1－i)b －16＝0，∴32＋24i －6(2a －1)－2(2a －1)i －b ＋b i －16＝0，∴22－12a －b ＋(26－4a ＋b )i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 22－12a －b ＝0，26－4a ＋b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝－14.三、探究与拓展14．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x ，x ∈R ，(1＋i )x ，x ∉R ，则f (f (1－i))＝________.答案 3解析 ∵f (1－i)＝(1＋i)(1－i)＝2，∴f (f (1－i))＝f (2)＝1＋2＝3.15．已知1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0(b ，c 为实数)的一个根．(1)求b ，c 的值；(2)试判断1－i 是不是方程的根．解 (1)∵1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的根，且b ，c 为实数，∴(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0，即b ＋c ＋(b ＋2)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝0，2＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－2，c ＝2. (2)由(1)知方程为x 2－2x ＋2＝0，把1－i 代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，∴1－i也是方程的根．。

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3。

1 数系的扩充1。

理解复数的基本概念、复数的代数表示。

（重点）2.利用复数的代数形式进行分类和复数相等的充要条件的应用.(重点、难点)3。

实部、虚部的概念。

（易混点）［基础·初探］教材整理1 复数的相关概念阅读教材P65～P66“例1"以上部分，完成下列问题.1.虚数单位我们引入一个新数i，叫做虚数单位,并规定：（1)i2＝—1；（2)实数可以与i进行四则运算,进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立. 2。

复数、复数集（1)形如a＋b i（a，b∈R)的数叫做复数，全体复数所组成的集合叫做复数集，记作C.（2)复数z＝a＋b i(a，b∈R)，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部.判断正误：(1）若a，b为实数,则z＝a＋b i为虚数。

( )(2）若a为实数,则z＝a一定不是虚数。

( )(3）b i是纯虚数.( ）(4）如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等。

( ）【答案】（1）×（2）√（3)×(4）√教材整理2 复数的分类与复数相等阅读教材P66,完成下列问题。

第3章数系的扩充与复数的引入章末总结知识点一复数的基本概念复数的概念是掌握复数的基础，如虚数、纯虚数、复数相等、复数的模等．有关复数的题目不同于实数，应注意根据复数的相关概念解答．例1设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，试求实数m的取值，使(1)z是纯虚数；(2)z是实数；(3)z在复平面上的对应点在复平面的第二象限．知识点二复数的四则运算1．复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比分式的分子分母有理化，注意i2＝－1.2．在高考中，本章考查的热点是复数的运算，尤其是复数的乘除运算，其中渗透着复数的模，共轭复数等概念，熟练掌握运算法则，熟悉常见的结果是迅速求解的关键，一般以填空题的形式考查．例2已知z1＋i＝2＋i，则复数z＝__________.例3已知复数z与(z＋2)2－8i均是纯虚数，求复数z.知识点三 复数问题实数化复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，桥梁是设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )，依据是复数相等的充要条件．例4 设存在复数z 同时满足下列条件：(1)复数z 在复平面内对应的点位于第二象限；(2)z ·z ＋2i z ＝8＋a i (a ∈R )．求a 的取值范围．知识点四 复数的几何意义1．复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数的运算的几何意义．复数的几何意义体现了用几何图形的方法研究代数问题的数学思想方法．2．复数的加减法的几何意义实质上是平行四边形法则和三角形法则．由减法的几何意义知|z －z 1|表示复平面上两点Z 与Z 1之间的距离．例5 在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数为( )A ．1－2iB ．－1＋2iC ．3＋4iD ．－3－4i例6 已知a ∈R ，z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应的点的轨迹是什么？章末总结答案重点解读例1 解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －＝0，m 2＋3m ＋2≠0，得m ＝3.∴当m ＝3时，z 是纯虚数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2>0，m 2＋3m ＋2＝0，得m ＝－1或m ＝－2. ∴当m ＝－1或m ＝－2时，z 是实数． (3)由⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －，m 2－2m －2>0，m 2＋3m ＋2>0，得－1<m <1－3或1＋3<m <3.∴当－1<m <1－3或1＋3<m <3时，复数z 在复平面上的对应点在复平面的第二象限． 例2 1－3i解析 ∵z1＋i ＝2＋i ，∴z ＝(2＋i)(1＋i)＝2＋3i －1＝1＋3i ，∴z ＝1－3i.例3 解 设z ＝b i (b ∈R ，b ≠0)，则(z ＋2)2－8i ＝(2＋b i)2－8i ＝(4－b 2)＋(4b －8)i ，∵(z ＋2)2－8i 为纯虚数，∴4－b 2＝0且4b －8≠0.∴b ＝－2.∴z ＝－2i.例4 解 设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )，则z ＝x －y i.由(1)知，x <0，y >0，又z ·z ＋2i z ＝8＋a i (a ∈R )，故(x ＋y i)(x －y i)＋2i(x ＋y i)＝8＋a i ，即(x 2＋y 2－2y )＋2x i ＝8＋a i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2y ＝8，2x ＝a .消去x ，整理，得4(y －1)2＝36－a 2，∵4(y －1)2≥0，∴36－a 2≥0，∴－6≤a ≤6.又2x ＝a ，而x <0，∴a <0，∴－6≤a <0.所以a 的取值范围为[－6,0)．例5 D [∵AB →对应复数2＋i ，BC →对应复数1＋3i ，∴AC →对应复数(2＋i)＋(1＋3i)＝3＋4i ，∴CA →对应的复数是－3－4i.]例6 解 由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3，－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1，∴复数z 的实部为正数，虚部为负数，因此，复数z 的对应点在第四象限． 设z ＝x ＋y i (x 、y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－a 2－2a ＋消去a 2－2a 得：y ＝－x ＋2 (x ≥3)．∴复数z 的对应点的轨迹是一条射线，方程为y ＝－x ＋2 (x ≥3)．。