矢量分析习题练习

习題1 解答1.写出下列曲线的矢長方程，并说明它们規何种曲线。

(1)x=“cos/,y =bsinf(2)x = 3sln/,j = 4sinf,z = 3cos/解：(l)F=“cos〃+"siii{/,其图形是xOy平面上之椭圆。

(2) r = 3sinri +4sin//+ 3coszAr ,其图形是平面4x - 3j = 0 与圆柱面X2+Z2=32之交线，为一椭圆。

2.设有定圆O与动圆C ,半径均为a ,动圆在定圆外相切而滚动，求动圆上一定点A/ 所描曲线的矢■方程。

解：设M点的矢径为OM ^r^xi + yj ,厶OC = 8,页7与兀轴的夹角为28—希；因OM =OC + CM^r = xi+yj = 2«cos^ + 2«sin^+acos(2&—7r)j +asin(2^—/r)j则x = 2a cos 0-a cos 28, y = 2a sin& - a sin2&・故r =(加cos&-acos2&” + (2«sin&-asin2&)</4.求曲线x = r,j = /2,z = |z3的一个切向单位矢。

2 2 , 解：曲线的矢長方程为f=ti + t j + ~( k则其切向矢長为^ = i + 2tj + 2t2k模为I —-1= J1 + 4/2 + 4严=1 + 2/2 'dtdr dr i + 2(/ + 2t 2k 于是切向单位矢長为示/ I莎'= i +2八—6・求曲线x=asin t,y=asln2t,z=acost,在心二处的一个切向矢1L4解：曲线矢星方程为r=a sin2+«sin2(/^acostkdr7 •求曲线x=t 2 +l,y=4t-3.z = 2t 2 -6t 在对应于f = 2的点M 处的切线方程和 法平面方程。

矢量的练习题矢量是物理学中非常重要的概念，也是解决各种力学问题的基础。

通过练习题的形式，我们可以更好地理解和应用矢量概念。

本文将从基础的概念出发，逐渐深入矢量的练习题。

1. 直角坐标系中的向量运算(1) 向量 a = 3i + 4j，向量 b = -2i + 5j，请计算向量 a 和向量 b 的和并绘制图示。

解析：向量的和是将对应分量相加得到的结果。

根据题目给出的向量，我们有：a +b = (3i + 4j) + (-2i + 5j) = (3 - 2)i + (4 + 5)j = i + 9j绘制图示时，可绘制直角坐标系，并在起点处标记向量a 和向量b，然后用箭头表示向量的长度和方向，连接起点和终点。

(2) 向量 c = -2i + j，向量 d = 3i - 5j，请计算向量 c 和向量 d 的差并绘制图示。

解析：向量的差是将对应分量相减得到的结果。

根据题目给出的向量，我们有：c -d = (-2i + j) - (3i - 5j) = (-2 - 3)i + (1 + 5)j = -5i + 6j绘制图示时，同样绘制直角坐标系，并在起点处标记向量 c 和向量d，然后用箭头表示向量的长度和方向，连接起点和终点。

2. 矢量的数量积(1) 向量 e = 2i + 3j，向量 f = 4i - j，请计算向量 e 和向量 f 的数量积。

解析：向量的数量积是将对应分量相乘后相加得到的结果。

根据题目给出的向量，我们有：e ·f = (2i + 3j) · (4i - j) = 8i^2 + 12ij - 2ij - 3j^2 = 8 - 15 = -7其中 i^2 = j^2 = 1，ij = ji = -1。

(2) 向量 g = i + 3j，向量 h = -2i + 5j，请计算向量 g 和向量 h 的数量积。

解析：同样地，根据题目给出的向量我们有：g · h = (i + 3j) · (-2i + 5j) = -2i^2 + 5ij + 6ij + 15j^2 = -2 - 11 = -13练习题的目的是巩固矢量的基本概念和运算规则。

高中矢量试题及答案大全一、选择题1. 矢量A与矢量B的和，记作A+B，表示：A. 两个矢量首尾相接B. 两个矢量的模相加C. 两个矢量的模相乘D. 两个矢量的模与方向的合成答案：A2. 矢量A与矢量B的差，记作A-B，表示：A. 两个矢量的模相减B. 两个矢量的模相除C. 两个矢量的模与方向的合成D. 两个矢量首尾相接答案：C3. 矢量A与矢量B的标量积（点积）结果为：A. 矢量B. 标量C. 模D. 方向答案：B4. 矢量A与矢量B的向量积（叉积）结果为：A. 矢量B. 标量C. 模D. 方向答案：A5. 以下哪个操作不能改变矢量的大小？A. 平移B. 旋转C. 缩放D. 反射答案：C二、填空题6. 矢量A的模为3，矢量B的模为4，A和B的夹角为60°，则A与B 的标量积为________。

答案：67. 若矢量A的模为5，矢量B的模为6，且A与B的向量积的模为30，则A和B的夹角为________。

答案：30°8. 一个矢量在x轴上的投影是其在x轴方向上的________。

答案：分量9. 若两个矢量垂直，则它们向量积的模等于它们标量积的________。

答案：模的乘积10. 矢量A与矢量B的夹角为θ，A的模为a，B的模为b，则A与B的向量积的模为________。

答案：ab*sinθ三、简答题11. 请简述矢量的基本性质。

答案：矢量具有大小和方向两个属性，可以进行加法、减法、标量乘法、向量积和标量积等运算。

矢量加法遵循平行四边形法则，向量积遵循右手定则。

12. 请解释什么是矢量的平行四边形法则。

答案：平行四边形法则是指两个矢量的和可以通过将这两个矢量首尾相接，形成一个平行四边形，然后从起点到终点的对角线作为两个矢量和的表示。

四、计算题13. 已知矢量A=3i+4j，矢量B=2i-j，求A+B和A-B。

答案：A+B=(3+2)i+(4-1)j=5i+3j，A-B=(3-2)i+(4+1)j=i+5j。

高中矢量试题及答案解析试题一：矢量加法1. 若有两个矢量A和B，A的模长为3，方向角为30°，B的模长为4，方向角为60°，求A+B的模长和方向角。

试题二：矢量减法2. 已知矢量C=(3, 4)，矢量D=(1, 2)，求C-D的矢量。

试题三：矢量的点乘3. 已知矢量E=(2, 3)和矢量F=(-1, 2)，求E和F的点乘结果。

试题四：矢量的叉乘4. 若矢量G=(1, 0, 1)和矢量H=(0, 1, 1)，求G和H的叉乘结果。

试题五：矢量的大小和方向5. 给定一个矢量I=(4, -2)，求其大小和方向角。

试题六：矢量的标量乘法6. 已知矢量J=(2, -1)，求2J的矢量。

试题七：矢量分解7. 将矢量K=(5, 3)分解为沿x轴和y轴的两个分量。

试题八：矢量的应用8. 在物理中，已知一个物体受到两个力的作用，力F1=(3, 4)，力F2=(-2, 1)，求合力F。

答案解析：试题一解析：A+B的矢量可以通过矢量加法的几何方法或代数方法求得。

这里我们使用代数方法。

首先，将矢量A和B转换为单位矢量，然后进行加法运算，最后求得结果矢量的模长和方向角。

具体计算过程略。

试题二解析：C-D的矢量可以通过简单的坐标减法得到。

具体计算过程为：C-D =(3-1, 4-2) = (2, 2)。

试题三解析：E和F的点乘可以通过坐标乘积求和得到。

具体计算过程为：E·F =2*(-1) + 3*2 = -2 + 6 = 4。

试题四解析：G和H的叉乘结果是一个垂直于G和H的矢量，其模长等于G和H模长的乘积与它们夹角的正弦值的乘积。

具体计算过程略。

试题五解析：矢量I的大小可以通过勾股定理求得，方向角可以通过反正切函数求得。

具体计算过程略。

试题六解析：2J的矢量可以通过将J的每个分量乘以2得到。

具体计算过程为：2J = (2*2, 2*(-1)) = (4, -2)。

试题七解析：矢量K的x轴分量是其在x轴上的投影，y轴分量是其在y轴上的投影。

高中矢量试题及答案详解试题一：矢量加法1. 若有向量\( \vec{A} = 3\hat{i} + 4\hat{j} \) 和 \( \vec{B}= -2\hat{i} + 3\hat{j} \)，求这两个向量的和。

2. 已知向量\( \vec{C} = 5\hat{i} - 2\hat{j} \)，若向量\( \vec{A} \) 和 \( \vec{B} \) 的和等于向量\( \vec{C} \)，求向量\( \vec{A} \)。

答案详解：1. 根据矢量加法的规则，我们可以直接将对应的分量相加：\[ \vec{A} + \vec{B} = (3 - 2)\hat{i} + (4 + 3)\hat{j} =\hat{i} + 7\hat{j} \]2. 根据题目条件，向量\( \vec{A} + \vec{B} = \vec{C} \)，我们可以将向量\( \vec{A} \) 表示为：\[ \vec{A} = \vec{C} - \vec{B} = (5 - (-2))\hat{i} + (-2 -3)\hat{j} = 7\hat{i} - 5\hat{j} \]试题二：矢量减法1. 若有向量\( \vec{D} = 6\hat{i} - 3\hat{j} \) 和 \( \vec{E}= 2\hat{i} + 4\hat{j} \)，求这两个向量的差。

2. 若向量\( \vec{F} = -3\hat{i} + 2\hat{j} \) 是向量\( \vec{D} \) 减去向量\( \vec{E} \) 的结果，求向量\( \vec{E} \)。

答案详解：1. 矢量减法可以通过加法的逆运算来实现，即：\[ \vec{D} - \vec{E} = (6 - 2)\hat{i} + (-3 - 4)\hat{j} =4\hat{i} - 7\hat{j} \]2. 根据题目条件，向量\( \vec{F} = \vec{D} - \vec{E} \)，我们可以将向量\( \vec{E} \) 表示为：\[ \vec{E} = \vec{D} - \vec{F} = (6 - (-3))\hat{i} + (-3 -2)\hat{j} = 9\hat{i} - 5\hat{j} \]试题三：矢量点乘1. 若有向量\( \vec{G} = 4\hat{i} + 2\hat{j} \) 和 \( \vec{H}= 3\hat{i} - 5\hat{j} \)，求这两个向量的点乘。

习题1 解答1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。

()1x a t y b t cos ,sin ==()2x t y t z t 3sin ,4sin ,3cos ===解：解： ()1r a ti b tj cos sin =+，其图形是xOy 平面上之椭圆。

平面上之椭圆。

()2r ti tj tk 3sin 4sin 3cos =++，其图形是平面430x y -=与圆柱面2223x z +=之交线，为一椭圆。

之交线，为一椭圆。

2．设有定圆O 与动圆c ，半径均为a ，动圆在定圆外相切而滚动，求动圆上一定点M 所描曲线的矢量方程。

解：设M 点的矢径为OM r xi yj ==+，AOC q Ð=，CM 与x 轴的夹角为2q p -；因OM OC CM =+有()()r xi yj a i a j a i a j q q q p q p 2cos 2sin cos 2sin 2=+=++-+-则.2sin sin 2,2cos cos 2q q q q a a y a a x -=-=故j a a i a a r )2sin sin2()2cos cos 2(q q q q -+-= 4．求曲线3232,,t z t y t x ===的一个切向单位矢量t 。

解：曲线的矢量方程为k t j t ti r3232++=则其切向矢量为k t tj i dtdr 222++=模为24221441||t t t dtdr +=++=于是切向单位矢量为222122||/t kt tj i d td r d td r+++=6．求曲线x a t y a t z a t 2sin ,sin2,cos ,===在t p4=处的一个切向矢量。

解：曲线矢量方程为解：曲线矢量方程为 ra ti a tj a tk 2sin sin2cos =++p r tpd 2d2dtdr ]--+-dr 127933x y22+xy 1122211dy dx --1M¶¶¶¶dtdzdtdydtdx 141414))¶¶¶¶¶¶zx yu x u 14141414)-¶¶¶¶¶lu grad ¶))¶¶¶u 11176)2)72714141414))¶¶¶¶¶¶z uy u x u 。

第一章 矢量分析 练习题参考答案参考答案:1、解：（1）z y x e ˆe ˆeˆB A 427--=+ （2）103310=+-=⋅B A2、解：（1）y xy A +-=⋅∇2（2）2ˆˆx e z e A z x +=⨯∇3、解：（1）z y x e e eB A ˆ2ˆˆ-+=- （2） 60=θ4、解：（1） 12-+=⋅∇x A（2） ⎰⎰⎰+-=+-===⋅11110x y S xdxdy S d A5、解：（1）y x e ˆyu e ˆx u u ∂∂+∂∂=∇y x e ˆy e ˆx 22+= （2） 2=∇u6、解：（1） z y x P e e eˆ3ˆ2ˆ++-=∇ψ 梯度的大小：14=∇P ψ（2）梯度的方向 14ˆ3ˆ2ˆˆz y x e e en++-= 7、解：（1）2ˆ3ˆ6ˆ301021ˆˆˆz y x z y x e e ee e e B A -+-=-=⨯ （2）z y x e e eB A ˆ3ˆ2ˆ2-+=+ 8、解：（1）y A 24-=⋅∇（2）在点()1,1处 矢量 y x e e A ˆ4ˆ-=所以矢量场A 在点()1,1处的大小为()171422=-+=A 9、解（1） 21y x A ++=⋅∇（2）z x e y eyz A ˆˆ2+=⨯∇ 10、解：（1） 52122=+=A()103122=-+=B（2） z z y y x x B A B A B A B A ++=⋅()1300211=-⨯+⨯+⨯= 11、解：（1）zE y E x E E z y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇ 0=（2）点()43,处y x e ˆeˆE 34+= ，故其大小为 53422=+=E12、解： （1） 不一定（2） 由： C A B A ⋅=⋅ 知： ()0=-⋅C B A此时当有三种可能：C B = 或 0=A 或 A 与C B -相互垂直13、解：（1）点电荷位置矢量 z y x s e e er ˆ4ˆˆ3++-= 场点位置矢量 z y x f e e er ˆ3ˆ2ˆ2+-=（2） 点电荷到场点的距离矢量 s f r r R -=z y x e e eR ˆˆ3ˆ5--= 14、解：（1）y x e yu e x u u ˆˆ∂∂+∂∂=∇y x e y e ˆ2ˆ+-= （2）梯度在正x 方向的投影 1ˆ-=⋅∇x eu15、解：（1）设直角坐标系中的坐标为()z y x ,,，由圆柱坐标系与直角坐标系转换关系得：232cos 4cos -===πϕρx 464.332sin 4sin ===πϕρy 3=z （2）任意点的位置矢量为 z y x e z e y ex r ˆˆˆ++= 将()z y x ,,的数值代入得该点的位置矢量： z y x e e er ˆ3ˆ464.3ˆ2++-= 16、解：（1）3=⋅∇A（2）矢量场A 在点()2,2,1处的大小 3=A17、解：（1）根据2cos ==⋅θAB B A3714.01385.52cos =⨯=θ 所以 12.68=θ（2）矢量A 在B 上的分量为 2=⋅=⋅B A BB A 18、解（1）直角坐标中的表达式z y x r e z e y e x r r eE ˆˆˆˆ++=== (2) 3=E19、解：(1) 0=⨯∇A(2) 矢量场A 的在点()1,1处的大小为：2=A20、证明：在直角坐标系里计算3=⋅∇r若在球坐标系里计算，则 232211()()()3r r r r r r r r r ∂∂∇⋅===∂∂由此说明了矢量场的散度与坐标的选择无关。

高中矢量试题及答案试题一：矢量加法1. 已知矢量A = 3i + 4j，矢量B = 2i - 5j，求矢量A + B。

2. 若矢量C = 2i - 3j，矢量D = -i + 4j，求矢量C - D。

试题二：矢量的数量积3. 已知矢量E = 5i + 6j，矢量F = 3i - 2j，求矢量E与F的数量积。

4. 若矢量G = -i + 2j，矢量H = 4i + j，求矢量G与H的数量积。

试题三：矢量的向量积5. 已知矢量I = i + 2j + 3k，矢量J = 2i - j + k，求矢量I与J 的向量积。

6. 若矢量K = 3i - 2j + k，矢量L = i + j - 2k，求矢量K与L的向量积。

试题四：矢量的标量三重积7. 已知矢量M = 2i + 3j + k，矢量N = i - 2j + 3k，矢量O = 4i - j + 2k，求矢量M、N、O的标量三重积。

试题五：矢量的模和方向8. 已知矢量P = 4i + 3j，求矢量P的模和方向。

9. 若矢量Q = -i + 3j，求矢量Q的模和方向。

试题六：矢量的单位矢量10. 已知矢量R = 5i + 12j，求矢量R的单位矢量。

试题七：矢量的投影11. 已知矢量S = 2i + 6j，矢量T = 3i - j，求矢量S在矢量T上的投影。

试题八：矢量场中的线积分和面积分12. 已知矢量场F = yzi + xzj + xyk，求在平面x + y + z = 1（z≥0）上的线积分，路径为从点(0,0,0)到(1,0,1)。

13. 已知矢量场G = x^2i + y^2j + z^2k，求在球面x^2 + y^2 +z^2 = 1上的面积分。

答案：试题一：1. A + B = (3 + 2)i + (4 - 5)j = 5i - j2. C - D = (2 - (-1))i + (-3 - 4)j = 3i - 7j试题二：3. E·F = (5 * 3) + (6 * -2) = 15 - 12 = 34. G·H = (-1 * 4) + (2 * 1) = -4 + 2 = -2试题三：5. I×J = (2 * 1 - 3 * -1)i - (1 * k - 3 * 1)j + (1 * -1 - 2 * 2)k = i + 2j - 5k6. K×L = (-2 * -2 - 1 * 1)i - (3 * 1 - k * 1)j + (3 * 1 - (-2) * 1)k = -3i - 2j + 5k试题四：7. M·(N×O) = (2 * (-1) * 2 - 3 * 4) + (3 * 4 - 1 * (-1)) + (1 * 1 - 3 * (-2)) = -4 + 13 + 7 = 16试题五：8. 模：|P| = √(4^2 + 3^2) = 5，方向：与x轴的夹角为arctan(3/4)。

第一章 矢量分析一、基本概念与公式1.标量与矢量矢量：一个既有大小又有方向的量。

标量：一个仅用大小就能够完整描述的物理量。

2.矢量运算1.加法矢量的加法符合交换律和结合律A B B A +=+ ()A B C A B A C ⋅+=⋅+⋅2．矢量的乘法 1） 数乘一个标量k 与一个矢量A 的乘积kA 仍为一个矢量，即x y z x y z k A kA e kA e kA e =++ 若0k >，则kA 与A 同方向；若0k <，则kA 与A 与反方向。

2） 标量积AB cos A B AB θ⋅=x x y y z z A B A B A B =++3）矢量积||||sin n AB A B A B e θ⨯=xy zxy z xyzxe e e A A A B B B = ()()()x y z y z z y z x x z x y y x e A B A B e A B A B e A B A B =-+-+-4）三个矢量的乘积标量三重积：()A B C ⋅⨯ 的结果为一标量。

有如下循环互换规律：()()()A B C B C A C A B ⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯ 矢量三重积：)(C B A⨯⨯的结果为一矢量。

可展成下述两矢量之差：()()()A B C B A C C A B ⨯⨯=⋅-⋅3.三种常用的正交坐标系 1）直角坐标系在直角坐标系内的任一矢量A 可以表示为(,,)(,,)(,,)(,,)x y z x y z A x y z A x y z e A x y z e A x y z e =++式中，,,x y z A A A 分别为矢量A 在,,x y z e e e 方向上的分量。

位置矢量： x y z r xe ye ze =++ ( 位置矢量的微分为 x yzd r d x ed ye d z e =++ 与三个坐标面单位矢量相垂直的三个面积元分别为 x d S d y d z =，y dS dxdz =，z dS dxdy =体积元为 dV dxdydz =2）柱坐标系任一矢量场A 在圆柱坐标系中可表示为z z A A e A e A e ρρϕϕ=++ 式中,,z A A A ρϕ称为圆柱坐标分量，是矢量A 在三个垂直坐标轴上的投影。

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如电压U 、电荷量Q 、电流I 、面积S 等。

矢量：具有大小和方向特征的量。

如电场强度矢量、磁场强度矢量、作用力矢量、速度矢量等。

标量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量唯一地描述，则该标量函数定出标量场。

例如物理系统中的温度、压力、密度等可以用标量场来表示。

矢量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量唯一地描述，则该矢量函数定出矢量场。

例如流体空间中的流速分布等可以用矢量场来表示。

标量场 矢量场矢量描述矢量可采用有向线段、文字、单位矢量、分量表示等多种方式来描述。

场的"场图"表示研究标量和矢量场时，用“场图”表示场变量在空间逐点演变的情况具有很大的意义。

对标量场，用等值面图表示。

空间内标量值相等的点集合形成的曲面称为等值面，例如气象图上的等压线，地图上的等高线等。

显然，等值面的方程式为＝常数值对矢量场，则用一些有向曲线来形象表示矢量在空间的分布，称为力线或流线。

力线上任意点的切线方向必定与该点的矢量方向相同，即, 称为力线的微分方程式。

式中为力线切向的一段矢量。

在直角坐标内，力线的微分方程式可写成按统一规则，绘制出力线，则既能根据力线确定矢量场中各点矢量的方向，又可根据各处力线的疏密程度，判别出各处矢量的大小及变化趋势。

P点处的矢量力线图矢量代数平行四边形法则求和差作图法遵循平行四边形法则分量法.求点积（标量积、内积）公式：特点：应用：电通量的计算求矢积（矢量积、外积）公式：特点：应用：磁感应强度的计算|首页|目录|向前|向后|资源|搜索|帮助|矢量分析> 矢量的环流、旋度矢量的环流、矢量的环流定义：矢量沿某一有向闭合曲线的线积分为沿的环流，即。

物理意义：矢量沿闭合曲线的环流反映了闭合曲线内源的性质。

第1章 矢量分析1.1 / 1.1-1 矢径z z y y x xr ˆˆˆ++=与各坐标轴正向的夹角分别为α,β,γ。

请用坐标(x,y,z )来表示α,β,γ ,并证明1cos cos cos 222=++γβα[解] γβαcos ˆcos ˆcos ˆˆˆˆˆ222z y xzy x z z y y x xr r r++=++++== 222222222c o s ,c o s ,c o s zy x z zy x y zy x x ++=++=++=∴γβα1cos cos cos 222=++γβα, 得证.1.2 / 1.1-2设xy 平面上二矢径a r 、b r 与x 轴的夹角分别为α、β，请利用b a r r ⋅证明βαβαβαs i n s i n c o s c o s )c o s (+=-。

[解] 设 ααs i n ˆc o s ˆa a a r y r xr += ββsin ˆcos ˆb b b r y r xr += 则 βαβαs i n s i n c o s c o s b a b a b a r r r r r r +=⋅ 因 a r 、b r 夹角为βα-,如图所示,有 )cos(βα-=⋅b a b a r r r r比较上二式得 βαβαβαs i n s i n c o s c o s )c o s (+=-, 得证.1.3 / 1.1-3 z y xA ˆ9ˆˆ--=，3ˆ4ˆ2ˆz y xB +-=，求：(a)B A -; (b) B A ⋅; (c) B A ⨯ [解] (a) B A -=4ˆ5ˆˆ)31(ˆ)49(ˆ)21(ˆz y x z y x---=+---- (b) B A ⋅=3533623ˆˆ4ˆ9ˆ2ˆˆ=-+=⋅-⋅+⋅z z y y x x(c) 342191ˆˆˆ---=⨯z y xB A14ˆ5ˆ31ˆ)184(ˆ)32(ˆ)427(ˆz y x z y x+--=+-+--+--= 1.4 / 1.1-4 用两种方法求1.1-3题矢量A 和B 的夹角α。