(北师大版)初中数学《平行线的证明》知识回顾

“平行线的证明”知识回顾
“平行线的证明”一章是证明的初步，主要涉及命题、公理、定理的有关概念，以及与平行线、三角形的内角和等有关的简单的证明．通过本章的复习，要掌握证明的格式，能利用学过的公理、定理等进行简单问题的证明或计算．
一、定义与命题
1.定义：对术语和名称的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义.如“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离的定义.
2.命题：判断一件事情的句子叫做命题，每个命题都是由条件和结论两部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项.命题一般写成“如果……，那么……”的形式，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.
3.真命题、假命题与反例
真命题：正确的命题称为真命题.
假命题：不正确的命题称为假命题.
反例：要说明一个命题是假命题，通常可以举出一二例子，使之具有命题的条件，而不具有命题的结论，这个例子称为反例.
4.公理、定理、证明
公理：人们公认的真命题称为公理.
定理：经过证明了的真命题称为定理.
证明：推理的过程称为证明.
例1在下列命题中，真命题是（）．
A．两个钝角三角形一定相似
B．两个等腰三角形一定相似
C．两个直角三角形一定相似
D．两个等边三角形一定相似
析解：本题是和三角形相似的有关命题的识别，真命题就是条件成立，结论正确的命题．两个三角形是否相似，主要看是否满足下列相似的条件之一：①有两组对应角相等的两个三角形相似；②两边对应成比例，且夹角相等的两个三角
形相似；③三边对应成比例的两个三角形相似．所给的选项中只有两个等边三角形满足以上条件．所以选（D ）．
说明：和命题有关的试题，多以选择题的形式出现，以判断真假命题类型题为主要形式．
二、平行线的判定和性质
1.平行线的判定公理：同位角相等，两直线平行.
2.平行线的判定定理1：同旁内角互补，两直线平行.
3.平行线的判定定理2：内错角相等，两直线平行.
平行线的性质公理：两直线平行，同位角相等.
4.平行线的性质定理1：两直线平行，内错角相等.
平行线的性质定理2：两直线平行，同旁内角互补.
注意：对于平行线的判定与性质，一定不要混淆它们的条件和结论，平行线的条件是由角的数量关系来确定直线的位置关系，平行线的性质是由平行线的位置关系来确定角的数量关系.对平行线的判定而言，“两直线平行”是结论，对平行线的性质而言，“两直线平行”是条件.因此，不能随便说“同位角相等”“同旁内角互补”.
例2 如图1，AB CD ∥，EF 分别交AB CD ，于M N ，，
50EMB =∠，MG 平分BMF ∠，MG 交CD 于G ．求∠1的度数．
分析：要求∠1的度数，根据两直线平行可得1BMG =∠∠，所以只要根据已知条件求出BMG ∠的度数即可．
解：因为AB CD ∥，
所以1BMG =∠∠（两直线平行，内错角相等）
． 又50EMB =∠，MG 平分BMF ∠，
所以11(18050)6522
BMG FMB ==-=∠∠． 所以165=∠．
说明：根据平行条件求角的度数，一般借助平行线的性质（两直线平行，同位角相等，内错角相等或同旁内角互补）解决问题，有时还要用到三角形的外角性质等．
三、三角形内角和定理
探究三角形内角和定理时，将三角形的三个内角“凑”在一起，拼成一个平角，从而得到三角形的内角和等于180°，这里体现了一种重要的数学思想——转化思想.三角形内角和定理的证明方法较多，除了转化为平角证明外，还可以利用“构造周角”的方法以及“两直线平行，同旁内角互补”的方法解析证明. 例3 如图2，已知ABC △中，90BAC =∠，AD BC ⊥于D ，E 是AD 上一点．求证：BED C >∠∠．
分析：BED ∠与C ∠没有直接的联系，但BED ∠、C ∠都与BAC ∠有关，因此可以用BAC ∠作中间量进行过渡．
证明：在ABC △中，90ABC C +=∠∠，
因为AD BC ⊥，所以90ADB =∠，
在ABD △中，90ADB =∠，
所以90ABC BAD +=∠∠，
所以C BAD =∠∠．
因为BED BAD >∠∠（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）， 所以BED C >∠∠．
说明：证明角的不等关系式时一般用到三角形的外角与三角形的内角的关系：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
四、三角形的外角
三角形内角和定理的两个推论是：
推论1 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
推论2 三角形的一个外角等于任何一个和它不相邻的内角.
关于三角形外角的重要结论是三角形内角和定理的推论.第一个推论反映了一个外角与它不相邻的两个的相等关系，应用在证明或计算内角与外角的大小问题中；第二个推论反映了一个外角与它不相邻的内角的不等关系，用于证明和三角形有关的角的不等关系问题中.
例4 如图3，点P 是△ABC 内的一点，连接BP 、CP.
求证：∠BPC>∠BAC.
分析：要求证明∠BPC>∠BAC ，通常有两种方法：一是找到第三个角，利用不等式的传递性得证；二是将∠BPC 和∠BAC 都分成两个角，利用同向不等式的和所得不等式仍然成立来证明.
证法一：如图3（1）所示，延长BP 交AC 于点D.
由于∠BPC 是△DPC 的外角，所以∠BPC>∠CDP.
由于∠CDP 是△ABD 的外角，所以∠CDP>∠BAC.
所以∠BPC>BAC.
证法二：如图3（2）所示，连接AP 并延长AP.
因为∠1是△ABP 的外角，所以∠1>∠3.
因为∠2是△APC 的外角，所以∠2>∠4.
所以∠1+∠2>∠3+∠4.
又因为∠1+∠2=∠BPC ，∠3+∠4=∠BAC ，
所以∠BPC>∠BAC.
点评：要证角的不等关系，一般地将大角转化为某三角形的外角，将小角转化为某三角形的内角.解决本题的关键是通过添加辅助线以达到此目的. 练习
1、写出下列命题的条件和结论.
（1）如果一个三角形中有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形.
（2）对顶角相等.
2、如图，在△AFD 和△BEC 中，点A ，E ，F ，C 在同一直线上，有下面4个论断：①AD=CB ；②BE=DF ；③∠B=∠D ；④AD//BC.请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，写出一个真命题，并证明.
A
C P D
（1） （2） 图3 B
4 1 3
2
3、在△ABC 中，∠B-∠C=40°，∠A=80°，求∠A 、∠B 、∠C 的度数，并判断△ABC 的形状？
4、如图，已知∠1=100°，∠2=140°，那么∠3=______.
参考答案
1、解析：（1）命题一般写成“如果A ，那么B”的形式，A 部分为条件，B 部分为结论，所以（1）中的条件“一个三角形中有两条边相等”，结论为“这个三角形是等腰三角形”.
（2）对于命题本身不含“如果”，“那么”词语，此时需将其改写成“如果……，那么……”的形式，再找条件和结论，便不易错，所以（2）中可改成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，故条件为“两个角是对顶角”，结论为“这两个角相等”.
2、分析：本题是一道开放性问题，在写命题时，要根据题意找一个比较简单的，这样解答起来也较容易.
解：如，已知：BE=DF ，∠B=∠D ，AD=CB.
求证：AD//BC.
证明：因为AD=CB ，∠B=∠D ，BE=DF ，
所以△ADF ≌△CBE.
所以∠A=∠C ，所以AD//BC.
3、分析：利用隐含条件：三角形的三个内角和等于180°.构造方程求解.
解：因为∠A+∠B+∠C=180°，∠A=80°，
所以∠B+∠C=100°，又∠B-∠C=40°，
所以∠B=70°，∠C=30°，
所以△ABC为锐角三角形
4、分析：观察图形可知，欲求∠3的度数，可先求∠4的度数，这只要利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可.
解：因为∠1=100°，所以∠4=1800°-∠1=70°.
又∠2=∠3+∠4.
所以∠3=∠2-∠4=140°-70°=70°.。